Постановка задачи моделирования роста костей

Павлов А. 30510
Задача:
1)Нахождение экспериментальных
данных по упругим свойствам
кортикальной кости в зависимости от
возраста
2)Разработка алгоритмов
моделирования кости (пакет Maple)
3) Сравнение разработанной модели с
упрощенной моделью (Mathematica)
Введение
Человеку всегда было интересно знать
как он устроен, и что может произойти с
его организмом через некоторое время.
Есть 2 варианта узнать что и как:
1) Опытным путем
2) Создание некой математической
модели
Определим 4 основных вида
костей
Губчатая кость –ребра, костья
запястья, предплюсны
2) Плоские -лопатки
3) Смешанные - основания черепа,
позвонки
4) Трубчатые – плечевая, фаланги
пальцев
1)
нас будут интересовать 4 тип
костей

Трубчатая кость- её длина сильно
преобладает над шириной и
толщиной, имеет более менее
цилиндрическую среднюю часть
Рисунок трубчатой кости
Плотное вещество( компактная
кость)
Разрез компактной кости
Типы задач
1)
2)
Переход от микроструктуры к
макроструктуре
Обратная задача (определение
свойств микроструктуры по
экспериментальным данным
соответствующим макроструктуре)
Простейшая задача
Рассмотрим 1 остеон,
как многослойный
цилиндр. В центре
находиться канал
гаверсиана, и его
окружает несколько
слоев ткани, с разными
свойствами.
Необходимые формулы и
условия
Ui  Air  Bi / r
Ci  iEE  2 i (I  EE / 3)
Ei  Erierer  Eiee
Eri  riUi; Ei  Ui / r
i  Ci  Ei
i  2 i (1  v 3(1  2v))
 5r   P5
 1r   P1
B1  0
перемещение
тензор жесткости
тензор деформации
тензор напряжений
зависимость основной пары
модулей
нормальные составляющие
тензора напряжений
что мы ищем
В данной задаче мы должны найти все
константы, Ai , Bi ,используя их нам
необходимо построить графики
зависимостей ir (r ), i (r ) , затем
рассмотреть критические параметры
модулей i i (коэффициентов Ляме),
при которых канал гаверсиана не будет
поврежден( малый деформации до 5%)
Что сделано
1)
Найдены все константы,
A1   P1 / 2(     
B1  0
A2   P 2(1  1 /(  2    2)) /(1   2    2 )
B 2  r1^ 2( P1 / 2  A2(  2    2))
A3  4  A2  3(  2  3    2  3  1) /(  3  4    3  4  1)
B 3  4  r 3  4 ^ 2( A2  3r 2  3 B 2  3 / 2  A3  4 r 3  4)
A5  ( A4 r 4  B 4 / r 4  P 5r 5^ 2 / r 4) /( r 4  r 5^ 2 / r 4(  5    5))
B 5  ( A5(  5    5)  P 5)r 5^ 2
Задача 2
В данном случае мы будем
рассматривать шар, помещенный в
поле, равномерно распределенного
напряжения, и найдем его тензор
напряженией с точки зрения линейной
теории упругости, и с помощью метода
эффективного поля.

Эта задача необходима для того, того
чтобы убедиться в правильном
выборе метода эффективного поля,
для дальнейшей работы.
Линейная задача

Формулы для
решения задачи о
шарике, с точки
зрения линейной
теории упругости
Метод эффективного поля
Формулы
необходимые, для
решения методом
эффективного поля,
в данном случае нет
необходимости
искать константы

В данном случае
изображен график
нормальных и
касательных
напряжений, для 1
шарика, графики
совпали для 2-х
методов
Заключение:

Решив данную задачу, с 2-х точек
зрения, мы смогли убедится, в
равносильности двух методов теории
упругости. Это позволит
непосредственно перейти к решению
задач методом эффективного поля.
Спасибо за внимание.