Взаимодействие излучения с атомами

ОПТИЧЕСКИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ
ЛЕКЦИЯ №1
Взаимодействие излучения с
атомами
Астапенко В.А., д.ф.-м.н.
1
Атом водорода. Формула Бальмера.
Исследование взаимодействия электромагнитного излучения с атомами
началось с регистрации спектров атома водорода.
В результате обобщения экспериментальных данных в 1885 году было получено
простое соотношение, с высокой степенью точности описывающее измеренные к
тому времени значения длин волн атома водорода (формула Бальмера):
1
1 
 1
 R  2  2  , R  109739 см1
λ mn
n m 
где m и n – целые числа (m > n)
Формула Бальмера стала важным
экспериментальным
основанием
для
построения теории атома водорода и
установления основных закономерностей
взаимодействия
электромагнитного
излучения с атомами.
Переходы между уровнями энергии в атоме водорода,
формирующие различные серии линейчатого спектра
2
Полуклассическая теория атома Н. Бора.
Постулаты Бора.
1. Электроны в атомах находятся в особых, стационарных состояниях n>,
соответствующих круговым орбитам, параметры которых определяются
условием квантования момента количества движения:
Mn  n
2. В стационарных состояниях атомные электроны не излучают.
3. Излучение и поглощение электромагнитных волн происходит в результате
перехода атомного электрона из одного стационарного состояния (с энергией En ) в
другое стационарное состояние (с энергией Em ). Круговая частота излучения
(в случае En > Em ) равна:
ω mn 
n  m

Следует отметить, что в условие квантования момента количества движения
вошла постоянная Планка, использовавшаяся впервые для квантования энергии
радиационного осциллятора.
3
Уравнения Бора и атомные единицы.
v 2n Z e2
(2) me
 2
rn
rn
(1) me rn v n  n ;
Z e2 Z
vn 
 va ; va   c  2.188 108 см с;   e2 c  1 137
n
n
2
3
aB
n2 2
n2
8
rn 
 aB ; aB 
 0.529 10 см;  a 

 2.42 1017 c
2
2
4
Z me e
Z
me e
va me e
εa 
me e4
2
 α 2 m c 2  4.36 1011 эрг  27.2 эВ; 1эВ  1.6 1012 эрг; Ry 
εa
 13.6 эВ
2
me vn2
Z 2 me e4
Z2 2
Z e2
Z 2 me e4
Z2 2
2
Tn 
 2
 2 α me c ; U n  
 2
  2 α me c 2
2
2
2
2n
2n
rn
n
n
 n  Tn  U n  
Z 2 me e 4
2n
2

2

Z2
2n
2
α 2 me c 2
Определение: e  me   1  система единиц Хартри или атомная система единиц
Например, скорость света в вакууме: c  137 ат. ед. скорости
4
Дискретный спектр энергии
водородоподобного атома
Z2
 n   2 Ry
n
Целое неотрицательное число n, фигурирующее в этом равенстве, отвечает
главному квантовому числу электронного состояния в последовательной
квантовой теории атома водорода.
ωmn
Z 2 Ry  1
1 


;
 2
2 
n
m


для Z  1:
1
Z 2 Ry  1
1 




λ mn 2 π c  n 2 m2 
1
1 
1
 R 2  2 ,
λ mn
n m 
если положить: R 
Ry
2π c
Таким образом, теория атома Бора воспроизводит экспериментальную формулу
Бальмера для длин волн излучения атома водорода. Это явилось крупным успехом
данной теории и, что особенно важно, подтвердило необходимость введения квантовых
представлений (постоянной Планка) в микротеорию вещества.
5
Принцип соответствия между
классической и квантовой механикой
Вышеизложенная теория Бора является не только теорией атома водорода, но и теорией
взаимодействия электромагнитного излучения с атомом, т.к. важные черты этого
взаимодействия описываются 2 и 3 постулатами Бора.
Дальнейшее развитие теории взаимодействия излучения с атомами может быть
осуществлено, не прибегая к последовательному квантово-электродинамическому
формализму, а используя так называемый принцип соответствия в духе полуклассического
подхода Бора. Отправной точкой такого рассмотрения является выражение для мощности
дипольного излучения, известное из классической электродинамики. Оно имеет вид:
2
2
4 ω04
2
Q  t   3 d  t  ; d  t   e r  t  ; λ  a; Q  ω0   3 d  ω0 
3c
3c
d  ω0   d mn  m d n   dr  m  r  d  n  r 
ω0  ωmn 
n  m
Принцип соответствия
между классической и
квантовой механикой
6
Мощность излучения атомного перехода
4 ω4mn
Qmn
4 ω3mn
1
2
2
Qmn 
d


d

A

mn
mn
mn
3 c3
mn 3 c3
τ mn
Итак, использование формулы классической электродинамики и замен
дипольного момента и собственной частоты позволили получить
квантовый результат для мощности излучения спектральных линий и
вероятности спонтанного излучения. Это обстоятельство является
отражением принципа соответствия между классической и квантовой
физикой.
Данный принцип может быть сформулирован следующим образом.
Квантово-механические выражения получаются из классических, если в
последних Фурье-компоненты физических величин заменить на
матричные элементы этих величин. Причем частота квантового перехода
должна совпадать с частотой Фурье-компоненты.
7
Спектроскопический принцип
соответствия
Принцип соответствия между классической и квантовой
физикой, конкретизированный для случая излучательных
переходов в атоме, называется спектроскопическим
принципом соответствия. Его можно сформулировать
следующим образом.
Атом при взаимодействии с электромагнитным полем
ведет себя как набор классических осцилляторов,
обладающих собственными частотами, равными частотам
переходов между атомными уровнями энергии.
Это значит, что каждому переходу между атомными
состояниями и ставится в соответствие осциллятор с
собственной частотой, определяемой по 3 постулату Бора.
Назовем эти осцилляторы осцилляторами переходов.
8
Сила осциллятора
Вклад осцилляторов переходов в отклик атома на
электромагнитное воздействие пропорционален
безразмерной величине, называемой силой осциллятора.
Сила осциллятора для перехода между состояниями
дискретного спектра определяется формулой
f nj 
2 me ωnj n d j
3 e2 g j
2
; g j f nj   g n f jn
n d j  0  дипольно-разрешенный переход; f nj  0
Сила осциллятора для переходов в атоме с увеличением энергии положительна,
для переходов с уменьшением энергии - отрицательна

df 0
dε  Ne  золотое правило сумм для сил осциллятора
dε
IP
 fn0  
n
9
Силы осцилляторов для атома водорода
Начальное состояние
1s
2s
Конечное состояние
np
np
0
2
2p
3s
3p
ns
nd
np
ns
–
-0.139
–
–
0.026
0.4162
0
0
–
0.141
0.145
3
0.0791
0.4349
0.014
0.696
0
0
4
0.0290
0.1028
0.0031
0.122
0.484
0.032
5
0.0139
0.0419
0.0012
0.044
0.121
0.007
6
0.0078
0.0216
0.0006
0.022
0.052
0.003
7
0.0048
0.0127
0.0003
0.012
0.027
0.002
8
0.0032
0.0081
0.0002
0.008
0.016
0.001
0.0109
0.0268
0.0007
0.023
0.048
0.002
Асимптотическая
формула
1.6 n–3
3.7 n–3
0.1 n–3
3.3 n–3
6.2 n–3
0.3 n–3
Дискретный спектр
0.5650
0.6489
-0.119
0.928
0.707
0.121
Непрерывный спектр
0.4350
0.3511
0.008
0.183
0.293
0.010
Полная сумма
1.000
1.000
-0.111
1.111
1.000
0.111
n=1

f
n 9
n0
10
Взаимодействие электромагнитного поля с
осциллятором перехода в атоме
x jn  2  jn x jn   2jn x jn  f jn

e E    exp  i   t  d 
x jn  t   f jn  2

m   jn   2  2 i  jn 2 
P  t   e x  t  Ex  t   Pjn  Pjn
Gjnh    



jn
       jn 
2
jn
2
2  e2

3m


0
e
E  t  ;  jn    j   n 
m

e   E    exp  i   t  d  
x jn  t   i f jn 
m   2jn   2  2 i  jn 2 
4  2  jn     d 

2
jn
  2    2  jn 
2
  jn  0     jn     ;

2
2  2 e2
h




G
jn        d 
3 m 0
E   E       2          
3

2  2 e2
2  2 e2
h
Pjn  f jn
  jn  ; Pjn 
f jn  G jn         d 
3m
3m
0
11
Спектральная форма линии осциллятора
перехода
    

 
G    
        
h
jn
h
jn
2
h
jn
jn

2
 однородное уширение;
2
 jnh 
   неоднородное уширение

 
2
2
homogeneous broadening
inhomogeneous broadening
T2 
2
 jninh 
G jn   
 h
 время обратимой релаксации

e

0,6
Gjn
 время поперечной
(необратимой) релаксации
    c
jn
1

inh
G jn     
exp


inh
2   jn 
 2  jninh 


T2 
i 
d  t  d  t    t d
Однородное уширение описывается
лоренцевской формой линии (лоренциан).
0,3
0,0
0
2
4
6

8
10
Неоднородное уширение описывается
гауссовской формой линии (гауссиан).
Однородное и неоднородное уширение спектральной линии
12
Сечение радиационного перехода
 jn   
w jn
j  
 сечение фотопроцесса
w jn  вероятность в единицу времени радиационного перехода
c E02
j   
 плотность потока фотонов в монохроматическом излучении
8 
wnj 
Pnj
nj
2  2 e2
h
  jn   
f jn G jn    ;
mc
 jn   
 jnmax    jn    jn  
4  2  jn
3 c gn
8
3 c gn
nd j
nd j
2
2
G jnh   
g n , j  статистические веса
атомных состояний
Anj 
4ω3jn
3 g j c3
d jn
2
 jn
gj
max
  jn  
 jn2 , если  jn  Anj
 jn
2  gn
13
Динамическая поляризуемость атома
E  Ea  me2 e5
4
 5.14 109 B см
di     ij   E j  ; ij        ij  d       E   ;
j
d t  

 β  τ  E  t  τ  dτ  во временном представлении

rn   0 n rn  ω02 n rn 
e
f0n E  t 
m
d   d n  e  rn ; dω  e  rnω
n
f0n
e
rnω 
Eω
2
2
m ω0 n  ω  i ω  0 n
n
n
f0n
e2
 β  ω   2
m n ω0 n  ω 2  i ω  0 n
14
Предельные случаи атомной
поляризуемости
f
e2
0     0    02n  статическая поляризуемость атома
m n 0 n
 
e2 Ne
  I P   
 высокочастотная поляризуемость атома
m ω2
res    0 n
 e2 
f0n
  0n   
 резонасная поляризуемость

2
m





i

2
0n  0n
0n

e2 f 0 n
 res   
 i    exp  i 0n    0n  2  
2 m 0 n
 резонансная поляризуемость во временном представлении
15
Общие соотношения для динамической
поляризуемости
Re    
1


V .P. 


Im      
c
4 
  

V .P. 
Re      
Im   
d; Im    
1


V .P. 

Re   
  
d 
 f x 
a   f  x 

f x 
dx  lim  
dx  
dx
 0    x  a
xa
a x  a


2   Im         Im     
d   интеграл "с выколотой" точкой
 0
 2   2
 ph    оптическая теорема;  ph    сечение фотопоглощения

 ph     ph  
c  ph  
Re      
d     0  
d
2  2 0
2   2
2  2 0  2
c

c
2

2
    d  N  правило сумм для сечения фотопоглощения
ph
0
16
Динамическая поляризуемость
водородоподобного атома
2
fn
e2
2 n  1 Ry
1s     2
; n  Z
;
2
2
m n n    i  n
n
n  An  Z
110
4
28 n  n  1
2 n2
9 137   n  1
3
fn  n
8
5 2  n  1
3  n  1
2 n4
2n4
Ry
2n2
3
500
 ( )
0
 500
 110
3
8
10
12
  27.2
Реальная часть динамической поляризуемости основного состояния атома водорода как
функция частоты. Ось абсцисс отложена в эВ, ось ординат – в атомных единицах.
17
Фотоионизация атомной оболочки
2
2
4  2 N nl v a

 nl    2
d nl ,  l 1  d nl ,  l 1 

3 e aB  137  2l  1 
d
r
nl ,  l 
e v a

aB
 l 1 l  
2
 2l  1 2l   1 
  Rnl  r  r R l   r  r d r
0 0 0 0
Rnl  r  ; R l  r   радиальные волновые функции электрона в связанном и свободном состояниях
 l 1 l 

  3 j -символ, описывает правила отбора для дипольного излучения
0
0
0


l   l  1  правило отбора по орбитальному квантовому числу
Как правило, в сечение фотоионизации дает основной вклад переход с
увеличением квантового числа орбитального момента
18
Водородоподобное приближение для
фотоионизации (формула Зоммерфельда)
29  2  I1s  2 exp  4  arcctg 
;   Z m e2 p ;
    2   aB
3 Z 137   
1  exp  2   
4

H like
ph 1s
p  2m    I1s 
29  2 aB2  8    I1s   0.23 aB2  8    I1s  
1s , p  0   4 2
1 

1 
  вблизи порога фотоионизации
2
3e Z 137  3
I1s
Z
3
I
1s



 nsthres   I1s I ns   1thres
 пороговое значение сечения фотоионизации возрастает
s
с ростом главного квантового числа.
 1s 
28  aB2  I1s 
  I1s  


3 Z 2 137   
7/2

1  

I1s 
  высокочастотное приближение

для сечения фотоионизации;  nl    1  l  7/2  для фотоионизации оболочек с l  0
19
Сечение фотоионизации атома водорода,
вычисленное в различных приближениях
 Kr 
 nl
B 
 1s

64 
a B2
  
N nl
137 Z 2
3 3
Ry
I nl
 I nl 






 p  a B  
2 8  2 Ry
  
aB
3 137
  1   p  a  2
B
3
3

 R
ph
8  3 Z 2 5  2 Ry 
aB 
  

3 137
  
7/2

2

a v
n  r  B a


n  r   радиальная плотность электронов
Зоммерфельдовское, крамерсовское и борновское сечение фотоионизации
основного состояния атома водорода, а также сечение в приближении Роста
20



Рассеяние фотона на свободном
электроне
 ', k'
1 1
 
1  cos  
2 

  mc
 , k
C  h m c  2.42 1010 см

комптоновская длина волны
электрона
pe
Рассеяние фотона на покоящемся электроне, pe – импульс отдачи электрона
re2        

d       sin 2   d   формула Кляйна-Нишины-Тамма
2      

2
re  e2 m c 2  2.82 1013 см  классический радиус электрона
d
Th

1
  
  m c   re2 1  cos 2     d   формула Томсона
2
 
2
2
21
Рэлеевское рассеяние излучения на
атоме, интегральное по углу рассеяния
2
8 π ω2
 Rsc 
σi
βi  ω   рэлеевское рассеяние (без изменения частоты)
 ω 
3 c2
res    0 n
 res sc 
σi
 e2 
f0n
  0n   
 резонасная поляризуемость

2
m





i

2
0n  0n
0n

ω2ni
2π 2 2
 резонансное рассеяние
 ω  ωni   f ni re
2
2
3
 ω  ωni    ni 2 
для естественного уширения  ni ест  Ani имеем: σi res sc   ω  ωni   ni2
 i R sc    ni  
8 2 2
re N a  сечение рассеяния в высокочастотном пределе
3
и в дипольном приближении   aB ; проявляется когерентность вклада
в процесс всех электронов атома:  i R sc    ni   N a2
22
Угловое распределение рассеянного
излучения
d i R sc    ni  1  cos2  2 2

re Na
d 
2
для rj k  1
d i R sc   ni  1  cos2  2
2

re nii  k   k   в общем случае
d 
2
nii  k   Fi  k   i
 exp i k r  i
j
 атомный форм-фактор
j
Fi  k  
Na
 в приближении экспоненциальной экранировки
1  k 2 Ra2
Fi  k  0   N a ;
Fi  k Ra  1  0; Ra  радиус атома
23