Совместный спектральный радиус матриц: приложения и методы вычисления. В.Ю.Протасов (МГУ)

В.Ю.Протасов (МГУ)
Совместный спектральный радиус матриц:
приложения и методы вычисления.
A1 , , Am -- линейные операторы в Rd
ˆ ( A1 , , Am )  lim
max
Ad 1 Ad k
1/ k
A2 M
M
k  d1 ,..., dk {1,..., m}
Геометрический смысл:
ˆ  1  существует норма
для которой
A1M

в Rd g f
A i  1 при всех i  1, ... , m
Возьмём единичный шар в этой норме:
ˆ  1  существует центрально-симметричное выпуклое тело M  R d ,g f
для которого Ai M  int M , i  1, ... , m
ˆ  inf {   0 |  1 A1 ,
,  1 Am  сжатия в некоторой норме}
Геометрический смысл JSR
x
Пусть m  2. Предположим, что семейство  A1, A2  неприводимо.
x  R dd
 произвольная точка ,
Ok ( x)  { Ad1
Adk x , d j  1, 2,
 max
 |u|
A1 x
x  0,
j  1,
A2 x
, k } - орбита точки x.
O1 ( x) , O2 ( x) , O3 ( x) , ...
| u  Ok 
ˆ k
Приложения:
1960
1988-90
1991
1989-92
Rota, Strang (теория нормированных алгебр)
Барабанов, Козякин (динамическе системы с переключениями)
Daubechies, Lagarias, Cohen, Heil, …. (теория всплесков)
Micchelli, Prautzsch, Dyn, Dahmen, … (уточняющие схемы – теория приближений и
дизайн кривых и поверхностей)
Распределение случайных рядов (теория вероятностей),
Асимптотика бинарной функции разбиения Эйлера (комбинаторика, теория чисел),
Емкость кодов, оценка числа неперекрывающихся слов, теория графов, ....
Основные свойства
m  1. Для одного оператора ˆ (A) =  (A) = lim
k 
Ak
1/ k

max |  j |
j 1,..., d
Если операторы A1 ,... , Am коммутируют, либо их матрицы симметричны,
либо их матрицы -- верхне (нижне) треугольные, то
ˆ ( A1 ,..., Am )  max   ( A1 ) ,...,  ( Am ) 
В общем случае, однако ˆ ( A1 ,..., Am )  max   ( A1 ) ,...,  ( Am ) 
Всплески с компактным носителем
{  j ,k } j ,kZ полная ортонормированная система (ПОНС) в L2 (R),
 j ,k ( x)  2 j / 2 (2 j x  k )
Пример 1. Система Хаара (Haar, 1909),  ( x) 
[0, 1/ 2]  [1/ 2, 1]

1, 1
А.Хаар (1909), В.А. Котельников (1933), К.Э.Шеннон (1949),.
1,0
1, 1
1980-90: С.Малла, И.Мейер, И.Добеши, Ч.Чуи, А.Коэн, В.Дамен, и др.
I.Daubechies (1988) – всплески с компактным носителем.
Преимущества всплесков:
Локализация (компактные носители),
Быстрые алгоритмы вычисления коэффициентов,
Характеризация функциональных пространств
..
.
Обработка сигналов
Теория функций, теория приближений
f ( x) 

k, j Z
c j,k  ( f ,
Диф. Уравнения (Вейвлет-Галёркин метод, и др.)
j,k
c j,k 
) 

j,k
( x) ,
f ( x) 
j,k
( x) d x
Построение всплесков. Масштабирующие уравнения.
Для построения системы всплесков с компактным носителем нужно решить
масштабирующие уравнение (refinement equation)
– разностное функциональное уравнение со сжатием аргумента.
N
c
 ( x) 
k 0
c0 ,
, cN
k
 (2 x  k ) ,
- последовательность комплексных коэффициентов.
cN  (2 x  N )
( x)
c0  (2 x)
c1  (2 x  1)
.......
Это – обычное разностное уравнение, но с двоичным сжатием аргумента.
Когда мастабирующая функция  найдена, всплеск-функция 
явно выписывается:
 ( x) 
N

k 0
(1) k ck 1  (2 x  k ),
где c0 , ... , cN - коффициенты масштабирующего уравнения.
Примеры систем всплесков
1. Всплески Хаара (1909)
Масштабирующее уравнение:
 ( x)   (2 x)   (2 x  1)
1
1

1
1
0
0
1
1
2. Всплески Шеннона-Котельникова
 ( x) 

sin  x
x
 ( x) 
(1933, 1949)
sin 2 x  sin  x
x
Носитель некомпактен!
3. Всплески Мейера (1986), Всплески Баттла-Лемарье (1987) Носитель некомпактен!
4. Всплески Добеши (1988)
 ( x) 
2
Второй всплеск Добеши. Масштабирующее уравнение:
1 3
3 3
3 3
1 3
 (2 x) 
 (2 x  1) 
 (2 x  2) 
 (2 x  3)
4
4
4
4
2

0
3

3
0
Что известно о масштабирующих уравнениях ?
 ( x) 
N
c
k 0
k
 (2 x  k ) ,
  ( x) d x
Если есть решение с компактным носителем, и
N
Обратно, если
c
k 0
k
 0
N
то
c
k 0
k
 2
 2 , то есть решение с компактным носителем. Оно единственно
с точностью о домножения на константу и сосредоточено на отрезке [0, N].
( x)
Но только в обобщённых функциях из
S '(R )
0
ˆ ( )

m( / 2) ˆ ( / 2) ,
ˆ ( )


N
1 N
m( ) 
c k e  2  i k

2 k 0
m (2
j
)
j 1
Масштабирующая функция не бывает бесконечно-гладкой
  C N (R)
Примеры масштабирующих уравнений
Примеры 1. c0  c1  1
Тривиально:
 ( x)   (2 x)   (2 x  1)
Пример 2.
Пример 3.
c0 
c0 


0
1
1
, c1  1 , c 2 
2
2


1
3
3
1
, c1  , c 2  , c 3 
4
4
4
4


0
1
2
0
3
Решение неустойчиво !
Малые изменения коэффициентов могут приводить к резким изменениям решения:
Пример 4.
c0 
1

2
1

Tо же с примером c 0 
4
c1  1  
3
c1   
4
c2 
1
2
c2 
3
4
 чисто сингулярно.
c3 
1
4
 чисто сингулярно.
Cavaretta, Dahmen and Micchelli (1991)
Описание всех масштабирующих сплайнов с целыми узлами.
Lawton, Lee and Sсhen (1995)
Описание всех масштабирующих сплайнов.
Для любого N существует конечное число масштабирующих сплайнов порядка N
Berg and Plonka (2000), Hirn (2008)
Cклассификация всех кусочно-гладких масштабирующих функций.
Теорема (П. 2005). Если существует   0 для которого гладкость
масштабирующей функции  на интервале (0,  ) превосходит ее
гладкость на R , то  -- масштабирующий сплайн с целыми узлами.
Все кусочно-гладкие масштабирующие функции -- сплайны.
Все они – линейные комбинации целых сдвигов B-сплайна.
“ Типичная ” масштабирующая функция и всплеск-функция
Пример 5
 ( x)

1
2
1
2
 (2 x)   (2 x  1)   (2 x  2)   (2 x  3)
3
3
3
3
 ( x)  log 2 3  1.58...
(максимальная гладкость)
 ( x)
 ( x)  log 2 1.5  0.58...
(минимальная гладкость)
0

 sup    0 |
(изломы во всех двоичнорациональных точках)
3
|  ( x  h)   ( x) |  C h  for all x, h 
показатель гладкости (показатель Гельдера)


 log 2 1.5  0.58...

Непрерывна, но не дифференцируема
Тем не менее, она дифференцируема почти всюду
 ( x)  sup    0 |
|  ( x  h)   ( x ) |  C h 

Локальная гладкость в точке x
Почти во всех точках  ( x)  log 2 2.25  1.17...
Следовательно,  '( x)  0 п.в.
Фрактальная природа всплесков. Переменная локальная гладкость.
Как определить, будет ли масштабирующая функция непрерывной ?
I.Daubechies, D.Lagarias, 1991
 C (R)  ˆ (T0 , T1 )  1
A.Cavaretta, W.Dahmen, C.Micchelli, 1991
Более того,
   log 2 ˆ (T0 , T1 )
C.Heil, D.Strang, 1994
ˆ ( A0 , A1 )  lim
k 
1/ k
max
Ad 1
d1 , , dk
Ad k
Пример.
N  4, c0 , c1 , c2 , c3 , c4
 c0

c2

T0 
 c4
T0 , T1 - N  N  матрицы (2-блочные тёплицевы матрицы),

0
(T )  c
i
jk
2 j  k 1i
 c1

c
T1   3
0

0
0
0
c1
c3
0
c0
c2
c4
c0
c2
0
c1
c4
0
c3
0
0

0
c1 

c3 
0

c0 
c2 

c4 
Если только масштабирцующая функция ( x) -- не сплайн,
она имеет переменную локальную гладкость.
( x)
0
Гладкость почти всюду
 min      log 2 ˆ

 0   log 2 0
Минимальная
локальная гладкость
 max   log 2 
Максимальная
локальная гладкость
1/ k
Совместный спектральный радиус
ˆ ( A0 , A1 )  lim
max
Ad 1
Ad k
Нижний спектральный радиус
( A0 , A1 )  lim
min
Ad 1
Ad k
Показатель Ляпунова
k  d1 ,..., dk {0,1}
1/ k
k  d1 ,..., dk {0,1}

0 ( A0 , A1 )  lim  
Ad 1
k 
 d1 ,...,dk {0,1}
Ad k

1/ k


1/ 2k
Теорема. Для любого x  [0,1] имеем   ( x)  [ min ,  max ] .
Для каждого   [ min ,  max ] локальная гладкость  =   ( x) достигается
на всюду плотном множестве точек x  [0,1] .
Для почти всех x  [0,1] имеем
  ( x)   0   log 2 0 .
N
Как вычислить или оценить JSR ?
Перебором (  по определению) Daubechies, Lagarias, Heil, Strang,
Эспоненциальная сложность. Heil, Strang (1994) для вычисления JSR специальных 2  2-матриц
с относительной погрешностью  = 0.05 перебрали все произведения до длины k  19.
G.Gripenberg (1996) - ``branch and bound'' алгоритм.
Разумный перебор. Часто очень эфективен. Но теоретически плох.
Сходимость к величине JSR при растущем к чрезвычайно медленная.
Причина медленной сходимости:
1/ k
max
d1 ,..., d k {1,..., m}
Ad 1
Ad k

ˆ ,
k 
Выбранная норма в R d d может быть слишком далека
от той, в которой все операторы - сжимающие.
C
, где константа C - отношение двух норм.
k
Она может быть очень велика.
Скорость сходимости
Отрицательные результаты о сложности задачи вычисления JSR:
Blondel, Tsitsiclis (1997-2000).
Задача приближённого вычисления JSR для рациональных матриц NP-сложна.
Задача определения: верно ли, что JSR строго меньше 1
(для рациональных неотрицательных матриц) алгоритмически неразрешима,
начиная с размерноти d = 47.
1
Не существует алгоритма, полиномиального по размерности d и по точности

для приближения JSR с относительной погрешностью

Тем не менее, существуют алгоритмы, полиномиальные
1
(по отдельности) по d и по
(увидим).

Инвариантные нормы
Теорема 1 (Н. Барабанов, 1988)
a) Для неприводимого семейства операторов A1 ,..., Am существует   0
и норма

max
, для которой при любом x  R d

A 1 x , ... , A m x

=  x
b) Для любой такой нормы имеем   ˆ ( A1 ,..., Am ).
Независимо был установлен ‘’двойственный’’ факт:
A 2M
Теорема 2 (A.Дранишников, С.Конягин, В.Протасов, 1996)
M
a) Для неприводимого семейства операторов A1 ,..., Am существует   0
A1M
и симметричное выпуклое тело M (инвариантное тело) такое, что
def
A M  Conv ( A1 M ,..., Am M )   M
b) Для любого такого тела   ˆ ( A1 ,..., Am ).
def
A M  Conv ( A1 M ,..., Am M )
Двойственность: M = B* (поляра к B), где B - единичный шар в Барабановской норме
для сопряженных операторов A1* ,..., Am* (F.Wirth, E.Plishke, 2005)
Пример 1. Матрицы де Рама.
0 
1  2  

A1  
A2  
 (0, 0.5)
;
 ,
0


1

2





При   0.25 имеем ˆ = (A1 )  max{ 1  2 , }.


1
При   0.25 имеем ˆ = (A1 A2 )    4  72 .
2
При всех  имеем инвариантный шестиугольник М().
Y
M ()
X
Пример 2. 2n  2n  матрицы A1 , A2 функции разбиения Эйлера (теория чисел).
Они состоят из 0 и 1.
Для них ˆ 
( A0 A1) при нечетных n, и ˆ  ( A1 ) при четных n.
Инвариантная норма строится для всех n  13.
Пример 3. Проблема ёмкости двоиных кодов, избегающих данных запрещенных разностей.
Для любого набора запрещённых разностей ёмкость равна JSR двух 0-1 матриц размерности d  2m1.
При малых m инвариантная норма явно строится и находится значение ёмкости.
Алгоритм приближения инвариантной нормы многогранниками
Qk  APk
Берем произвольный начальный многогранник P0  R d
(1  )Qk
центрально-симметричный относительно нуля,
последовательность {Pk } определяется индуктивно:
Pk
Qk 1  A Pk  Conv ( A1 , A 2 ). Многогранник Pk 1 приближает Qk 1
A1 Pk
Am Pk
Pk 1
с относительной погрешностью  : (1  ) Qk 1  Pk 1  Qk 1
и содержит не более N   Cd (1 d ) / 2 вершин.
Pk  2
Если положить Pk 1  A Pk , то многогранник Pm может иметь до 2m вершин,
и сложность будет экспоненциальной.
Не нужно хранить все вершины Pm , можно приближать, Pm  Qm .
После С0 
1
итераций получим нужное приближение
Общее число операций
Для d=2 число операций:
При
  0.0001
( diam Pm )1/ m  ˆ
 C ( d , A0 , A1 )   ( d 1) / 2
C 3/ 2
требуется
 106 операций.
Для d =2 алгоритм был запрограммирован И.Шейпаком в 1998.
При d > 2 непонятно как практически реализовывать
Оценка JSR с помощью тензорных произведений матриц
Протасов (1997),
Zhow (1998),
Blondel, Nesterov (2005)
Алгоритм - полиномиальный по размерности d. Даёт грубые оценки на ˆ.
Lp - спектраьный радиус ( p -радиус),
p  [1,  ]
 k
 p ( A1 ,..., Am )  lim  m  Ad 1
k 
d1 , , d k

Определен в 1995 независимо: Y.Wang (p = 1),
1/ pm
p
Adm



ˆ  
,
R.Q.Jia (для всех p)
 p  ˆ  m1/ p  p
Для любого p имеем:
Для целых четных p  2r значение  p вычисляется как обычное собственное значение
матрицы
1
A=
m
m
A
k 1
2r
k
  2 r ( A1 ,..., Am ) 
  ( A)
1/ 2 r
.
Через A  B обозначено тензорное (кронекеровское) пр-е матриц A, B - матрица размера d 2
Для любого r имеем:
Матрица Ak
2r
1/ 2r ( A)  ˆ  m1/ 2r 1/ 2r ( A)
имеет размерность d
2r
1
 матрица A =
m
m
A
k 1
2r
k
имеет размерность d 2 r .
Величина  1/ 2 r ( A) даёт приближени JSR с погрешностью   m1/ 2 r  1 
ln m
2r
1 m 2
 (A), где A =  Ak приближает ˆ с  = 2  1  41%
m k 1
Пример 1. Для двух d  d  матриц величина
Размерность матрицы A равна d 2 (можно понизить до  d 2 / 2 )
Пример 2. Для двух d  d  матриц величина
4
1 m 4
 (A), где A =  Ak приближает ˆ с  = 4 2  1  19%
m k 1
Размерность матрицы A равна d 4 (можно понизить до
 d 4 / 24)
Идея доказательства. p-инвариантные нормы.
N  N (R d ) множество всех норм в R d . N  выпуклый невырожденный точечный конус.
Для еприводимого семейства матриц A1 , ... , Am и для p  [1, +] рассмотрим оператор
1/ p
1 m

F : N  N,
F ( | . | )[u ]    | Am u | p  , u  R d
 m j 1

Для любой нормы | . |  N функционал F ( | . | ) также норма.
F(N)
 f
f
1
 | A1u |  ...  | Amu |
m
F ( | . | )[u ]  max  | A1u | , ... , | Amu | 
Примеры. p =1.
p = .
F ( | . | )[u ] 

N
При p = 2 оператор F сохраняет евклидовы нормы (единичный шар - эллипсоид).
Теорема. Для неприводимого семейства { A1 , ... , Am } и любого p  [1, ] оператор F
имеет ''собственный вектор'': существует норма | . |  N и  > 0 , для которых
F ( | . | )[u ]   | u | ,
u  Rd .
Для любой такой нормы ''собственное значение''  равно  p ( A1 , ... , Am ).
F(N2r)
 f
f
Следствие. При p  2r (r - целое)
F имеет инвариантный конус
1/ 2 r




2r
N 2 r   x    (a j , x) 
  существует инвариантная норма f  N 2 r ,
 j



соответствующая вектору Перрона-Фробениуса оператора F .
На конусе N 2 r
1
оператор F задаётся матрицей A =
m
  2 r ( A1 ,..., Am ) 
  ( A)
1/ 2 r
.
m
A
k 1
2r
k
N2r
Алгоритм вычисления JSR поиском лучшей нормы
в определенном семействе норм.
Идея: мы не можем найти инвариантную норму. Тогда приблизим её с помощью
норм из определеннго конечномерного класса.
(стандартный трюк в теории приближений)
(V.Blondel, Yu.Nesterov, J.Theys, 2005)
(V.Protasov, R.Jungers, and V.Blondel, 2010)
Рассмотрим сначала случай неотрицательных матриц
Возьмём класс ``прямоугольных'' норм u
rk
x
 max
i 1,...,d
ui
,
xi
u >0.
d
x
 min
многогранник с mk гранями
x
subject to:
 x  0
Ax
 rk x  0 ,
Rd
A  Ad 1
Теорема. Для любого k имеем
Ad k
d  1/ k rk
1/ k

ˆ  rk
1/ k
Случай произвольных матриц
Берём все ``эллипсоидные'' нормы u
X

( Xu, u), где X - положительно-определённая матрица.
Решаем следующую задачу полуопределённого программирования
с одним (матричным) неизвестным X и mk ограничениями.
X
rk
 min
subject to:
 X
0
AT X A  rk X
0 ,
A  Ad 1
Ad k
X
Общая задача полуопределённого программирования:
l0 ( X 1 ,..., X q )  min
X 1 ,..., X q
0
ls ( X 1 ,..., X q )  0 ,
s  1,..., N
Эффективно решается методом внутренней точки. ЛП-задачи – частный случай.
Теорема. Для любого k имеем
d  1/(2 k ) rk
1/(2 k )

ˆ  rk
1/(2 k )
Доказать больше иногда легче.
Джордж Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения» (1954)
Если не получается что-то доказать, можно попробовать доказать больше.
Если не получается хорошо приблизить JSR, можно попробовать …
вычислить его точно.
Понятие экстремальной нормы
Определение. Норма
.
является экстремальной, если
Aj
 ˆ , j  1,..., m .
Для экстремальной нормы сходимость осуществляется в один шаг:
1/ k
max
d1 ,..., d k {1,..., m}
Ad 1
Ad k
 ˆ ,
k 
Если M - единичный шар экстремальной нормы, то A j M  ˆ M ,
A2 M
A1M
M
j  1,..., m.
Как построить экстремальную норму ?
Пусть m =2. Нормируем матрицы так, чтобы ˆ ( A1 , A2 )  1
v
( x )
x  R dd  произвольная точка , x  0,
Ok ( x)  { Ad1 Adk x , d j  1, 2, j  1, , k }
( x ) 
{ y R dd ,
x
 {k j } jN , xk j  Om j ( x) , lim xk j  x}
j 
A1 x
- множество частичных пределов (точек накопления) орбиты.
Пусть M ( x)  Conv (( x),  ( x)); тогда ( x) непусто,
dim M ( x)  d и
A1 ( x)
A2 ( x)
(свойство самоподобия A1 K
O1 ( x) , O2 ( x) ,O3 ( x) ,
 ( x)
A2 K
 K)
A2 x
, O( x)
Будем строить единичный шар экстремальной нормы в качестве многогранника M .
Оказывается, что такая норма существует для большинства семейств матриц.
Наблюдение 1. Для приводимого семейства задача вычисления JSR сводится к
Нескольким аналогичным задачам в меньших размерностях. Таким образом,
предполагаем, что семейство неприводимо.
Наблюдение 2. Если произведение П максимальное, то его максимальный
собственный вектор v должен быть крайней точкой множества M.
Если M – многогранник, то v -- его вершина.
Итак, максимальные собственные векторы произведения П и всех его циклических
перестановок -- вершины M.
Qv
Наблюдение 3. Критерий остановки:
Лемма. Пусть  ( ) = 1 и
v
v* - максимальный
собственный вектор  * . Если существует другое
произведение Q, для которого (v*, Qv) > (v*, v),
то  - не максимальное.
v
Qv
Алгоритм точного вычисления JSR (Н.Гуглиелми, В.Протасов, 2011)
Берем максимальный собственный вектор v1 of   Ad1
Полагаем v j  Ad k  j2
j  2,
Adk v1 ,
vk
, k.
…..
Ad 2
Ad1
v1
Adk .
Adk
Adk 2
v2
v3
Ad k 1
vs  A j v 1
v p  Ai v q
‘’Мертвые’’ ветви
Каждый раз проверяем, будет ли новая точка принадлежать выпуклой оболочке
предыдущих точек (ЛП задача).
Алгоритм завершается, когда не появилось ни одной новой вершины.
Инвариантный многогранник M – выпуклая оболочка всех точек, построенных алгоритмом
Для каждой очередной вершины применяем критерий остановки:
Пусть v*j -- максимальный собственный вектор циклической перестановки *j
такой, что (v*j , v j ) = 1, j  1, ..., k. Тогда:
 не является максимальным
 Для некоторого j {1, ..., m} и некоторой вершины vs имеем |(v*j , vs ) |  1.
*
k
v
v3*
…..
vk
v1
v1*
*
2
v
v2
v3
vs  A j v r
v p  Ai v q
Для каждой новой вершины vs все произведения | (v*j , vs ) | , j  1, ... , k ,
не должны превосходить 1. Иначе,  -- не максимальный
Пример 1. Задача о плотности единиц в ромбе Паскаля:
(S.Finch, P.Sebah, and Z.-Q.Bai, 2008)
Плотность единиц в ромбе Паскаля порядка n -- между C nlog2  ( A1 , A2 ) и
C nlog2 ˆ ( A1 , A2 ) , где
Известно, что ˆ ( A1 , A2 ) = 2.
Относительно  ( A1 , A2 ), выдвинута гипотеза, что он равен
1+ 5
= 1.6180...
2
На самом деле,
 ( A1 , A2 )    A13 A23 
(алгоритм работает несколько секунд)
1/ 6
 1.6376...
Выбираем   A13 A23
Инвариантный многогранник M1 имеет 8 вершин.
Пример 2. Асимптотика бинарной функции разбиения Эйлера.
Бинарная функция разбиения Эйлера bd (k ) -- это количество разложений
k  d0  21 d1  22 d2 
2m1 dm1 ,
где d j {0,1,
, d 1}
Как мы знаем, b2 (k )  1. Для d  3 нужно оценить рост bd (k ) при k  .
b2 (k )
 1
(L.Euler, 1728)
b3 (k )  s(k  1) (Stern, 1858)
b4 (k ) 
k / 2  1
(Klosinsky, Alexanderson, Hillman, 1984)
Какова асимптотика величины bd (k ) при k   ?
L.Euler (1728), A.Tanturri (1918), K.Mahler (1940), N.de Bruijn (1948)
L.Carlitz (1965), D.Knuth (1966), R.Churchhouse (1969), B.Reznick (1990)
Ответ:
b2 r (k )  C k  , где   log 2 r
(B.Reznick, 1990)
C k 1 
b2 r 1 (k )  C k 2 , где
1  log 2 ( A1 , A2 ),  2  log 2 ˆ ( A1 , A2 ) (V.Protasov, 2000)
A1 , A2 это (d  1)  (d  1)  матрицы из нулей и единиц:
 1, если 2  2k  j  i  d  1
( Ai ) j k  
 0, иначе.
1

0
A1  
0

0
1 1 0

1 1 0
1 1 1

0 1 1
Пример. При d = 5 :
1

1
A2  
0

0
Алгоритм вычисляет точные значения для d  100.
Оказывается, что для всех d имеем
либо ˆ 
( A 1 A2 ) ,   ( A1 ) , либо:  
( A 1 A2 ) , ˆ  ( A1 )
Для размерности 50 программа работает 5 минут,
для размерности 100 -- около 20 минут
1 0 0

1 1 0
1 1 0

1 1 1
Функция разбиения Эйлера для троичного разложения:
Выбираем   A1 A3
Экстремальный многогранник M3 имеет 16 вершин.
Пример 3. Асимптотика числа слов двоичного алфавита без перекрытий.
Задача сводится к вычислению JSR и LSR двух 20x20-матриц.
  2 (Blerk, 1988) ,   2.226 (Kobayashi, 1988)
ˆ  2.584 Этот результат последовательно улучшался: 2.226    ˆ  2.584
Kforu (1988), Kobayashi (1988), Cassaigne (1993), Lepisto (1995)
    ( A1 A210 ) 
1/11
 2.41756...
;
ˆ    ( A1 A2 ) 
Программа работает 8 минут
1/ 2
 2.51793...
Вычисление JSR для случайных пар матриц
Вычисление JSR и LSR для случайных пар булевских матриц размерности d = 100.
Условия конечной сходимости алгоритма
Определение. Произведение   Adk
Ad1 называется доминирующим, если  ( )=1,
и существует q  1 такое, что  () < q для всех остальных произведений   Adn
не являющихся степенями , или степенями его циклических перестановок.
доминирующее
максимальное
Теорема 1. Алгоритм сходится за конечное время тогда и только тогда
когда произведение  доминирующее.
Ad1 ,
Спасибо!