Исследование функций с помощью производной

Построение графиков функций
Способ построения графика функции по точкам несовершенен. Даже
вычисление ординат большого числа точек может не дать точное представление
о графике, а, следовательно, и о ходе изменение функции.
Если предварительно исследовать функцию на монотонность и
экстремумы, то потребуется значительно меньше точек и построенный по этим
точкам график будет точнее отражать ход изменения функции. Такое
исследование удобно проводить по следующей схеме:
1. Находят область определения функции D(f).
2. Исследуют функцию на четность или нечетность.
3. Находят точки пересечения графика функции с осью абсцисс (решают
уравнение f(x)=0).
4. Находят производную функции и точки разрыва (решают уравнение
f’(x)=0).
5. Находят промежутки знакопостоянства функции и знак функции на
каждом из этих промежутков.
6. Изучают поведение функции около точек разрыва и на бесконечности и
находят ее асимптоты.
7. Исследуют функцию на возрастание и убывание.
8. Находят точки максимума и минимума функции.
9. Исследуют график на выпуклость и находят точки перегиба.
10. Составляют таблицу значений функции и ее производных.
11. Строят эскиз графика.
Примеры решения задач
Пример 1. Построить график функции 𝑦 = −𝑥 4 + 2𝑥 2 + 3.
Решение.
1. Область определения функции D=R, т.е. х принимает любые значения.
2. 𝑦 ′ = (−𝑥 4 + 2𝑥 2 + 3)′ = −4𝑥 3 + 4𝑥 = −4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1).
3. Критические точки: 0; 1; - 1.
4. Составляем таблицу
x
y'
y
-∞<x< - 1
+

-1
0
4
max
- 1<x<0

0
0
3
min
0<x<1
+

1
0
4
max
1<x<+∞

В первой строке таблицы расположены критические точки функции и
ограниченные ими интервалы. Во второй строке отмечены знаки производной в
этих интервалах. В третьей и четвертой строке указаны промежутки
возрастания, убывания функции и точки экстремума.
5. Находим точки пересечения с осями:
Оу: х=0, 𝑦 = −04 + 2 ∙ 02 + 3 = 3; точка (0; 3)
Ох: у=0, 0 = −𝑥 4 + 2𝑥 2 + 3; точки (√3; 0), ( - √3; 0)
6. Функция 𝑦 = −𝑥 4 + 2𝑥 2 + 3 - четная (𝑦(−𝑥) = −(−𝑥)4 + 2(−𝑥)2 + 3 =
=−𝑥 4 + 2𝑥 2 + 3), следовательно, график симметричен относительно оси Оу.
7. Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и с учетом
полученных данных строим график:
Пример 2. Построить график функции 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥.
Решение.
1. Область определения функции D=R.
2. 𝑦 ′ = (𝑥 3 − 3𝑥)′ = 3𝑥 2 − 3 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 1).
3. Критические точки: 1; - 1.
4. Составляем таблицу
x
(-∞; - 1)
-1
(- 1; 1)
1
(1; +∞)
y'
+
0
-
0
+
y

2

-2

max
min
5. Находим точки пересечения с осями:
Оу: х=0, 𝑦 = 03 − 3 ∙ 0 = 0; (0; 0)
Ох: у=0, 0 = 𝑥 3 − 3𝑥 = 𝑥(𝑥 − √3)(𝑥 + √3); (0; 0), (√3; 0), ( - √3; 0)
6. Функция 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 - нечетная 𝑦(−𝑥) = (−𝑥)3 − 3(−𝑥)= −(𝑥 3 − 3𝑥),
следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
7. Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и с учетом
полученных данных строим график:
Пример 3. Построить график функции 𝑓(𝑥) =
𝑥 4 −1
𝑥3
.
Решение.
1. Функция 𝑓(𝑥) =
функция имеет разрыв.
𝑥 4 −1
определена всюду, кроме точки х=0. В этой точке
𝑥3
(−𝑥)4 −1
2. Так как 𝑓(−𝑥) =
(−𝑥)3
=−
𝑥 4 −1
𝑥3
= −𝑓(𝑥), то функция нечетная.
Достаточно построить ее график на луче (0; +∞) и отразить его симметрично
относительно начала координат.
3. Решая уравнение
лежит корень 1.
𝑥 4 −1
𝑥3
= 0, находим корни 1 и - 1. На луче (0; +∞)
4. Точка 1 разбивает луч (0; +∞) на промежутки (0; 1) и (1; +∞), функция
положительна при х>1 и отрицательна при 0<x<1.
1
5. Функцию можно записать в виде 𝑓(𝑥) = 1 − 3. Из этой записи видно,
𝑥
что при х→+∞ график функции почти сливается с прямой у=х и лежит ниже ее.
Это наклонная асимптота данного графика.
1 ′
3
6. 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 − 3) = 4. Так как при х>0 выполнено неравенство 𝑓 ′ (𝑥) >
𝑥
𝑥
0, то функция возрастает на луче (0; +∞).
12
7. 𝑓 ′′ (𝑥) = − 5. Так как при х>0 𝑓 ′′ (𝑥)<0, то график функции обращен
𝑥
выпуклостью вверх.
8. Составляем таблицу
(0; 1)
1
(1; +∞)
f(x)
-
0
+
𝒇′ (𝒙)
+
+
+
𝒇′′ (𝒙)
-
-
-
Возрастает, выпуклость
вверх
Пересекает ось
абсцисс
Возрастает, выпуклость
вверх
x
9. По полученным данным строим график функции
Упражнения
1. Найдите область определения функции:
1) 𝑦 =
5) 𝑦 =
1
2) 𝑦 = √36 − 𝑥 2
𝑥3
𝑥−1
6) 𝑦 =
𝑥
3) 𝑦 =
√3𝑥−2
𝑥 2 −𝑥−2
7) 𝑦 =
√𝑥+2
3−2𝑥
4) 𝑦 =
𝑥−1
8) 𝑦 =
𝑥 2 −4𝑥+3
√4−𝑥 2
1−2𝑥
5−𝑥 2
𝑥 2 +2𝑥−8
9) 𝑦 = √𝑥 2 + 4 10) 𝑦 = √𝑥 2−3𝑥−4
2
16−𝑥
2. Найдите область значений функции:
1) 𝑦 = 2√𝑥 + 1
2) 𝑦 = 3𝑥 −2
3) 𝑦 = 1 + | log 2 𝑥 |
4) 𝑦 = 1 + | √𝑥|
5) 𝑦 = 52−𝑥 − 1
6) 𝑦 = 2cos 𝑥
7) 𝑦 = √𝑥 2 + 1
8) 𝑦 = 2sin 𝑥
9) 𝑦 = 2 lg 𝑥 + 1
10) 𝑦 = 2 − √𝑥
3
4
3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
1) 𝑓(𝑥) = 1 + 1,5𝑥 − 3𝑥 2 − 2,5𝑥 3
2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4
3) 𝑦 = lg(𝑥 − 2) − 1
4) 𝑓(𝑥) =
3
5) 𝑓(𝑥) = 2 − √𝑥
7) 𝑓(𝑥) =
𝑥4
4
+ 8𝑥 − 5
9) 𝑦 = log 4 (𝑥 + 3)
𝑥5
5
−
𝑥3
3
− 6𝑥 + 1
6) 𝑦 = 2 − 3𝑥
8) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 15𝑥 − 2
3. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥
3) 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 ∓ 5𝑥 + 4
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 + 2
5) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 𝑥 3
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 (𝑥 − 2)2
9) 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 − 2
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 8
4. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1) 𝑓(𝑥) =
5) 𝑓(𝑥) =
9) 𝑓(𝑥) =
6(𝑥−1)
2) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 +3
2𝑥+1
𝑥
4−𝑥
8
6) 𝑓(𝑥) = +
𝑥
𝑥
𝑥
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥
7) 𝑓(𝑥) =
2
2𝑥
1+𝑥 2
2𝑥
1−𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) =
8) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
𝑥
𝑥−1
1
10) 𝑓(𝑥) = − 2
𝑥+2
𝑥
5. Исследуйте функцию и постройте ее график:
𝜋
1) f(x)=2cos(x+ )
4
5) f(x)=sin(2x 1
𝜋
2
2
2𝜋
3
1
𝜋
2
3
2) f(x)= sin( − 𝑥)
)
9) f(x)= cos( + 𝑥)
𝑥
𝜋
2
4
6) f(x)=ctg( + )
𝜋
𝜋
3) f(x)=tg(x - )
4) f(x)=1,5cos( − 𝑥)
4
𝑥
6
𝜋
7) f(x)=4cos( + ) 8) f(x)=tg(3𝜋 - 3x)
3
3
4
𝜋
10) f(x)=ctg(x - )
4
6. Исследуйте функцию и постройте ее график:
𝑥
1) 𝑓(𝑥) = 1 − 2 sin 2𝑥
2) 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 − sin 𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 3 − cos
4) 𝑓(𝑥) = 1 + cos 2𝑥
5) 𝑓(𝑥) = sin2 𝑥 + sin 𝑥
6) 𝑓(𝑥) = cos 2 𝑥 − cos 𝑥
7) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 + | cos 𝑥 |
8) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ctg 𝑥
9) 𝑓(𝑥) = sin 3𝑥 − 1
10) 𝑓(𝑥) = (sin 𝑥 − cos 𝑥)2
7. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1) 𝑓(𝑥) = √𝑥 ln 𝑥
4) 𝑓(𝑥) =
ln 𝑥
𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 4𝑥−1 − 2
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
2 −4𝑥
1
3) 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥 + 1)
2
5) 𝑓(𝑥)1 + log 2 (𝑥 + 2)
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ln 𝑥
8)
9) 𝑓(𝑥) = 5log5 (𝑥−1)
10)
8. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 √1 + 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 2
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
4) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 − 2
5) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 3
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 √2 − 𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4
8) 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 2
3
10) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 + 1
3
3
9) 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥 3
2
9. Исследуйте функцию и постройте ее график:
1) 𝑦 = |𝑥 − 1|
2) 𝑦 = |𝑥| − 𝑥 2
3) 𝑦 = 𝑥 2 − 2|𝑥| + 1
4) 𝑦 = 2|𝑥|
5) 𝑦 = 3𝑥 + |𝑥|
6) 𝑦 = 2𝑥 − |𝑥 − 3|
7) 𝑦 =
𝑥+1
8) 𝑦 =
|𝑥|
9) 𝑦 = | − 𝑥 2 − 𝑥 + 2|
|𝑥|−2
𝑥
10) 𝑦 = 𝑥 2 − 4|𝑥| + 3
10. Исследуйте функцию и постройте ее график:
𝑥 2 − 4, если 𝑥 ≥ 2,
1) 𝑦 = {
2 − 𝑥, если 𝑥 < 2
2)
3)
4)
3 − 𝑥 2 , если 𝑥 > 1,
5) 𝑦 = {
𝑥 − 2, если 𝑥 ≤ 2
6)
7)
8)
9)
10)
Дополнительные задания
1. Постройте
свойствами:
схематично
график
функции,
обладающей
следующими
1) D(f)=[ - 3; 5]; f '(x)>0 при x( - 3; 1), f ’(x)<0 при x(1; 5), f ’(1)=0
2) D(f)=[ - 3; 5]; f '(x)>0 при x( - 3; 1), f ’(x)<0 при x(1; 5) и функция не имеет
производной в точке 1
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
2. Является четной или нечетной функция:
1) 𝑦 = 5𝑥 6 − 2𝑥 2 − 3
2) 𝑦 = 5𝑥 + 5−𝑥
3) 𝑦 = 𝑥 √𝑥
5) 𝑦 = 4𝑥 5 − 2𝑥 3 + 𝑥
6) 𝑦 = 𝑥 4 (𝑥 2 + 2)
7) 𝑦 =
3
3
𝑥2
+1
4) 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥
8) 𝑦 =
|𝑥|+2
𝑥2
1
9) 𝑦 = ( )2𝑥
10) 𝑦 = −
2
2
𝑥3
3. Решите графически неравенство:
1) 4 − 3𝑥 ≤ 𝑥 + 2
2)
3)
4) log 0,5 𝑥 > 𝑥 − 3
5)
6)
8)
9)
7) √𝑥 − 2 ≤
3
𝑥
10) 𝑥 2 + 2𝑥 + 2 ≥ 𝑥 + 1
4. Решите графически уравнение:
1) √𝑥 − 2 =
3
𝑥
2) 𝑥 3 =
3) |𝑥 − 1| = 3 − |𝑥| 4) 𝑥 2 − 2𝑥 = −𝑥
8
𝑥−1
1
5) |1 − 𝑥| = 2 − |𝑥|
6) log 2 𝑥 = 25−𝑥
9) log 0,5 𝑥 = 𝑥 − 3
10) 2|𝑥| = 11 − |𝑥|
7) = 4𝑥
𝑥
8) 𝑥 3 =
5. Найдите множество значений функции…
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥, если 𝑥 ∈ [−1; 1]
2) 𝑓(𝑥) = −√−3𝑥 2 − 6𝑥 + 1
3) 𝑓(𝑥) = −√−3𝑥 2 + 12𝑥 − 3
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
1
𝑥
Исследование функций с помощью производных
Вариант 1
Вариант 2
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥
2. Найдите область
определения функции
√𝑥 + 2
𝑦=
3 − 2𝑥
√4 − 𝑥 2
𝑦=
1 − 2𝑥
3. Найдите область
значения функции
𝑦 = 2√𝑥 + 1
𝑦 = 3𝑥 2
4. Найдите значение
производной функции в
точке х=1
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 − 3
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3
5. Найдите промежутки
возрастания и убывания
функции
𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 5𝑥 + 4
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 8
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 + 2
𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 3𝑥 − 2
𝑥3 𝑥2
𝑓(𝑥) =
+ − 2𝑥 − 1
3
2
𝑥3
𝑓(𝑥) =
− 𝑥 2 − 3𝑥 + 5
3
1. Найдите производную
функции
6. Найдите точки
экстремума функции
7. Исследуйте функцию
на возрастание,
убывание и точки
экстремума
8. Исследуйте функцию
и постройте ее график
9. Исследуйте функцию
и постройте ее график
10. Постройте
схематично график
функции, обладающей
следующими свойствами
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥+2
𝑓(𝑥) =
𝑥
4−𝑥
𝑥 2 − 4, если 𝑥 ≥ 2,
𝑦={
2 − 𝑥, если 𝑥 < 2
3 − 𝑥 2 , если 𝑥 > 1,
𝑦={
𝑥 − 2, если 𝑥 ≤ 2
D(f)=[ - 3; 5]; f '(x)>0 при
x( - 3; 1), f ’(x)<0 при
x(1; 5), f ’(1)=0
D(f)=[ - 3; 5]; f '(x)>0 при
x( - 3; 1), f ’(x)<0 при
x(1; 5) и функция не
имеет производной в
точке 1