10_Tema_12_urok_4

(Класс 10, модуль XII, урок 4)
Урок 4. Обратная функция
План урока






4.1. Условие обратимости и определение обратной функции
4.2. График обратной функции
4.3. Функция, обратная к строго монотонной линейной функции
4.4. Функция y  x
Тесты
Домашнее задание
Цели урока:
привести точные формулировки условия обратимости числовой функции
и определения обратной функции, рассмотреть свойство графиков
взаимно обратных функций, напомнить некоторые известные примеры
обратных функций.
4.1. Условие обратимости и определение обратной функции
Пусть функция y  f ( x) определена на множестве U . Выделим в U
некоторое подмножество D . Будем говорить, что функция f ( x)
удовлетворяет на D условию обратимости, если разным значениям a и b
аргумента x из D соответствуют разные значения f (a ) и f (b ) данной
функции.
Условие обратимости можно символически записать в виде
a  D b  D a  b  f (a )  f (b)
Пример 1. Функция y  2 x удовлетворяет условию обратимости на любом
множестве D  R , так как при a  b имеем также 2a  2b .
Пример 2. Функция y  x 2 не удовлетворяет условию обратимости в
области определения (  ) , так как, например, числа a  1 и b  1
разные, но (1)2  12 . Однако, если ограничиться множеством D  [0 ) ,
то при a  b будем иметь a 2  b 2 . Поэтому на D функция y  x 2
удовлетворяет условию обратимости.
Пусть функция y  f ( x) удовлетворяет условию обратимости на
множестве D . Множество значений, которые она принимает в D ,
обозначим через E . Определим в E новую функцию y  g ( x) следующим
образом. Возьмем какое-либо число x из множества E и найдем то
единственное число y из D , для которого f ( y )  x . Положим g ( x)  y .
Определенная по такому правилу функция g ( x ) называется обратной для
функции f ( x) на множестве D .
4.2. График обратной функции
Связь между функцией f ( x) и обратной функцией g ( x ) можно
символически выразить в виде
x  E y  g ( x)  y  D x  f ( y )
Геометрически это условие означает, что точка ( x y ) принадлежит графику
обратной функции g ( x ) тогда и только тогда, когда точка ( y x )
принадлежит графику данной функции f ( x) . Поскольку точки ( x y ) и
( y x ) симметричны друг другу относительно прямой y  x (рис. 1), то
график обратной функции симметричен графику данной функции
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
Вопрос. Пусть функция f ( x) определена на множестве D , имеет обратную,
и график этой функции симметрично отразили относительно прямой y   x .
Графиком какой функции будет полученное множество?
(Предполагаемый ответ. Это график функции, которая является
обратной к функции g ( x)  f ( x) , определенной на множестве  D ).
4.3. Функция, обратная к строго монотонной линейной функции
Мы уже видели, что функция y  2 x удовлетворяет условию
обратимости и поэтому имеет обратную функцию y  g ( x) . Найдем эту
функцию.
В предыдущем пункте показано, что обратная функция должна быть
связана с функцией y  2 x условием
y  g ( x)  x  2 y .
Следовательно, обратной является функция y  12 x .
Графиком функции y  2 x является прямая, проходящая через начало
координат и точку (1 2) . Следовательно, графиком обратной функции
y  12 x также является прямая, проходящая через начало координат и точку
(21) , симметричную точке (1 2) относительно биссектрисы угла между
положительными лучами осей Ox и Oy . Прямые y  2 x и y  12 x также
симметричны относительно этой биссектрисы (рис. 2).
4.4. Функция y  x
В пункте 4.1 было показано, что функция y  x 2 не удовлетворяет
условию обратимости на всей области определения. Однако, можно
рассмотреть сужение этой функции на множество D  [0 ) , то есть часть
функции y  x 2 , рассматривая ее на промежутке [0 ) . Получившееся
сужение уже удовлетворяет условию обратимости, а поэтому существует
обратная функция. Так как функция y  x 2 на промежутке [0 )
принимает все неотрицательные значения, обратная функция, определена на
множестве E  [0 ) и принимает все значения из множества D . Как
известно, в этом случае для записи обратной функции приходится вводить
новое обозначение. А именно, если y  x 2 и x  0 , то тогда x  y . Такое
обозначение позволяет записать в виде y  x функцию, обратную к
функции y  x 2 на множестве D  [0 ) .
Вопрос. Какой график имеет функция y  x ?
(Предполагаемый ответ. Это часть параболы).
Проверь себя. Обратная функция
Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.
Какая функция является обратной для функции y  2 x  1 , определенной на
множестве R ?
 1. y  2 x  1
1
2
 2. y  x  1
 3. y  2 x 
1
2
1
1
2
2
(Правильный вариант: 4)
 4. y  x 
Какая функция является обратной для функции y 
множестве  ;0
 0;  ?
 1. y 
x 1
на множестве  ;0
2
 0; 
 2. y 
2 x
на множестве  ;0
x
 0; 
 3. y 
2
на множестве  ;1
x 1
1; 
2
, определенной на
x 1
2 x
на множестве  ;0
x
(Правильный вариант: 2)
 4. y 
 0; 
Какая функция является обратной для функции y  2 x  1 , определенной
на множестве  0,5;   ?
1
2
 1. y  ( x 2  1) на множестве 0;  
 2. y  2 x 2  1 на множестве  0,5;  
1
2
 3. y  ( x 2  1) на множестве 0;  
1
2
(Правильный вариант: 1)
 4. y  ( x 2  1) на множестве  0,5;  
Какая функция является обратной для функции y   4  x 2 , определенной
на множестве 0;2 ?
 1. y  4  x2 на множестве 0;2
 2. y  4  x2 на множестве  2;0
 3. y   4  x 2 на множестве 0;2
 4. y   4  x 2 на множестве  2;0
(Правильный вариант: 2)
Проверь себя. Обратная функция
Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа
.
Какие из указанных функций удовлетворяют условию обратимости на
отрезке  4  x  4 ?
 1. y  sin x
 2. y  cos x
 3. y  tgx
 4. y  ctgx
(Правильные варианты: 1, 3)
Какие из указанных функций удовлетворяют условию обратимости на
промежутке ( ) ?
 1. y  3x 2  4
 2. y  x 2  5 x  1
 3. y  ( x  1)3
 4. y  x3  x
(Правильные варианты: 3, 4)
Для функции y  x 2  2 x  3 рассматриваются сужения на указанных
промежутках. В каких случаях сужение является обратимой функцией?
 1.  2;0
 2. 0;2
 3.  1;0
 4. 0;1
(Правильные варианты: 2, 3, 4)
Для функции y  x 1  x  1 рассматриваются сужения на указанных
промежутках. В каких случаях сужение является обратимой функцией?
 1.  ; 1
 2.  ;0
 3. 0;  
 4. 1; 
(Правильные варианты: 1, 4)
Домашнее задание
1. Доказать, что если функция y  f ( x) монотонна на отрезке [a b] , то она
имеет обратную.
2. Найти обратную функцию для функции y  3 x  4 .
3. Показать, что функция y  x 4 имеет обратную на промежутке [0 ) и
найти ее.
2
4. Найти обратную функцию для функции: а) y   x ; б) y  2 x  3 ; в) y  x ;
3
1
1
г) y   x  ; д) y  5 x  2 .
4
3
5. Найти обратную функцию для функции y  x3  1 и изобразить графики
обеих функций на одном рисунке.
Словарь терминов
Условие обратимости числовой функции. Функция f ( x) удовлетворяет
условию обратимости на множестве D , если разным значениям a и b
аргумента x из D соответствуют разные значения f (a ) и f (b ) данной
функции.
Условие обратимости можно символически записать в виде
a  D b  D a  b  f (a)  f (b)
Обратная функция. Пусть функция y  f ( x) удовлетворяет условию
обратимости на множестве D . Множество значений, которые она
принимает на D , обозначим через E . Определим в E новую функцию
y  g ( x) следующим образом. Возьмем какое-либо число x из множества
E и найдем то единственное число y из D , для которого f ( y )  x .
Положим g ( x)  y . Определенная по такому правилу функция g ( x )
называется обратной для функции f ( x) на множестве D .
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1. 10-12-26.EPS
Рисунок 2. 10-12-27.EPS