Урок алгебры Построение графика обратной

Функция у =
k
и ее график
x
Цель урока:
1. Сформировать понятие обратной пропорциональности.
2. Рассмотреть алгоритм построения графика обратной пропорциональности.
3. Рассмотреть утверждение о зависимости расположения графика функции от знака коэффициента k.
Методические рекомендации
1. Повторение(Вопросы}
1) Определение функции.
2) Область определения функции.
3) Область значения функции.
4) Основные способы задания функции.
5) График функции.
6) Какие функции нам известны, Их формулы и графики
7) Работа по таблице.
Один учащийся получает задание у доски:
Заполнить таблицу (табл. 1 и табл. 2) значений функции у =
х
8
по данным значениям ее аргумента.
x
1
2
3
Таблица 1
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
Таблица 2
-4
-5
-6
-7
-8
У
х
у
После фронтального разбора вопросов внимание класса привлекается к ученику, работающему у доски. Все вместе
проверяем, верно ли он заполнил обе таблицы. Следующий ученик выполняет на доске новое задание: По данным в
таблице координатам (х; у) построить на координатной плоскости соответствующие точки".
Ученик приступает к работе, а весь класс занимается по табл. 3, отвечая на поставленные учителем вопросы:
I. На каком рисунке из таблицы изображен график:
а) линейной функции;
б) прямой пропорциональности;
в) квадратичной функции;
г) функции вида у = x3 ?
Таблица 3
Первая часть урока заканчивается тем, что весь класс проверяет, верно ли ученик, вызванный к доске, расставил
точки на координатной оси.
Итак, проведено повторение известных учащимся с VII класса сведений о функциях. В ходе повторения был
одновременно подготовлен иллюстративный материал для объяснения новой темы.
Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Рассмотрим,
например, прямоугольник со сторонами x и у и площадью 8 см2. Известно, что xу = 8. Но что будет, если начать
изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной х? Длину стороны у можно узнать из формулы у
=
8
Если х увеличить в 2 раза, то сторона у уменьшится в 2 раза. Если значение х увеличивать в 3, 4, 5... раз, то
x
значение у во столько же раз уменьшается. Наоборот, если х уменьшать в несколько раз, то у будет увеличиваться во
столько же раз.
12 Поэтому функцию вида у =
8
называют обратной пропорциональностью. В общем виде k она записывается так:
x
k
у= ,
x
где k—константа, причем k0. Такие функции встречаются очень часто.
Для функции у =
8
являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в табл. 1 и 2 ряд
x
значений аргумента и функции и изобразили соответствующие точки на координатной плоскости (рис. 2).
Как же выглядит график данной функции ?
По построенным точкам трудно судить обо всем графике, ведь точки можно соединить как угодно.
Проведем исследование с помощью графика и формулы
1. Область определения функции — все числа, кроме 0.
2. При х < 0 имеем: у < 0, при х > 0 имеем у > 0.
3. - При х > 0:
если х0, то y  +  , если х +  ,, то у0.
При х<0:
если х  0, то у –  ,, если х –  , то у 0.
Выводы
1. Точка (0; 0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси Ох, ни оси Оу.
2. График находится в I ив III координатных четвертях.
3. Плавно приближается к координатным осям как в I координатной четверти, так и в III, причем он подходит к осям
как угодно близко.
Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рис. 2 (учитель это делает сам на доске) и увидеть
график функции у =
k
целиком.
x
Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает "прохожу через что-либо". Эта
кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в IV в. до н.э. Термин "гипербола" ввел
Аполлоний из г. Пергам (Малая Азия), живший в III — II вв. до н.э. Он показал, что гипербола получается, если взять
произвольный круговой конус, полости которого простираются по обе стороны от вершины, и пересечь обе его полости
плоскостью, параллельной прямой АА1 (рис. 3).
Словом "гипербола" называется стилистический прием, состоящий в образном преувеличении или преуменьшении,
например: "наметали стог выше тучи", "стал Иванушка ниже былинки в поле".
Теперь рядом с графиком функции у =
8
8
построим график функции у= –
- Учащиеся выполняют это задание в
x
x
тетрадях, а один ученик — у доски. Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает II и IV
координатные углы, а оба они симметричны относительно начала координат. К тому же если график функции у =
отобразить симметрично относительно оси Оу, то получим график функции у = –
8
x
8
Затем в классе выясняется вопрос:
x
"Как зависит расположение графика гиперболы от знака и от значения коэффициента k Демонстрируется таблица с
графиками при различных значениях k. Учащиеся убеждаются, что если k > 0, то график располагается в I и III
координатных углах, а если k < 0, то во II и IV.
Закрепление изученного проходит при построении графика, у = 6/х; и у = -6/х
1.
Свойство величин являющихся обратно пропорциональными.
2.
Расположение графиков в зависимости от k
3.
Схема построения графика

Таблица при х>0

Точки на координатной плоскости

Построить ветви (для отрицательных х т.е. х<0 симметрично относительно О)
Д.З. А: n 8 № 173, 179
Д: 370 Зв. 1 146.