Решение задач части В

Предмет математики настолько
серьезен, что полезно не упускать
случая сделать его немного
занимательным.
Б. Паскаль
Цель проекта:
создать систему упражнений
по основным, с точки зрения
учащихся, темам курса
математики 5 – 9 классов.
Участники проекта:
ученики 5 – 9 классов
Гимназии № 498
Наиболее значимые темы
курса математики 5 – 9 классов.
Множества и операции над ними.
Натуральные числа. Степень с натуральным показателем. Признаки делимости
на 2, 3, 5, 9, 10. Простые и составные числа. Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное. Деление с остатком. Выполнение арифметических
действий.
Обыкновенная и десятичные дроби. Основное свойство дроби. Сравнение
дробей. Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Нахождение части от целого и целого по его части.
Целые и рациональные числа: положительные, отрицательные и нуль. Модуль
числа. Сравнение рациональных чисел. Арифметические действия с
рациональными числами. Степень с целым показателем.
Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы
арифметических
действий:
переместительный,
сочетательный,
распределительный.
Действительные числа. Квадратный корень из числа. Корень третьей степени.
Понятие о корне n-ой степени из числа. Запись корней с помощью степени с
дробным показателем.
Иррациональные числа. Действительные числа как бесконечные десятичные
дроби. Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними.
Проценты. Нахождение процента от величины, величины по ее проценту.
Отношение. Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная
зависимости.
Решение практико-ориентированных задач.
Действия с алгебраическими выражениями. Формулы сокращенного
умножения. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с
алгебраическими дробями.
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение.
Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета
и теорема, обратная теореме Виета. Решение рациональных уравнений.
Система уравнений; решение системы.
Текстовые задачи.
Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные
неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства.
Примеры решения дробно-линейных неравенств. Метод интервалов.
Понятие функции. Область определения функции. Способы задания
функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и
наименьшее
значения
функции,
нули
функции,
промежутки
знакопостоянства. Чтение графиков функций.
Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов.
Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Степенные функции
с натуральным показателем, их графики. Графики функций: корень
квадратный, корень кубический, модуль.
Использование графиков функций для решения уравнений и систем.
Преобразования графиков.
Координаты. Изображение чисел очками координатной прямой. Числовые
промежутки: интервал, отрезок, луч. Декартовы координаты на плоскости;
координаты точки. Графики уравнений с двумя переменными и их систем,
неравенств с двумя переменными и их систем.
2. Точка, прямая и плоскость.
Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная.
Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы.
Биссектриса угла и ее свойства.
Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых.
Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых. Свойство
серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой.
Многоугольники.
Окружность и круг.
Треугольник.
Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана,
биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние
треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов
треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам
сторон и углов треугольника.
Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки
подобия треугольников.
Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус,
косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от
0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников.
Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус,
косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема
синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.
Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных
перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность Эйлера.
Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их
свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника.
Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный,
вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности,
двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных
из одной точки.
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные
и описанные четырехугольники. Вписанные и описанные окружности правильного
многоугольника.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности,
число π; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и
длиной дуги окружности.
Понятие о площади плоских фигур. Равносоставленные и равновеликие фигуры.
Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные
формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между
ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Площадь
четырехугольника.
Площадь круга и площадь сектора.
Связь между площадями подобных фигур.
Векторы
Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над
векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол
между векторами.
Начало проекта:
ноябрь 2010 года.
Окончание проекта:
март 2011 года.
Ученицы 5 класса
Кравченко Мария,
Нестерова Дарья
Вычитание и сложение
500 – 378 523 – 378
122
500 – 378 +23
122 +23
145
Вычитание и сложение
469-200
269
469-198
469 -200+2
269+2
271
Вычитание и сложение
400+237
637
396+237
400 +237 - 4
637 - 4
633
Умножение
178 10
178 1000
2 125
178 100
4 2 125
4 25
8 7 125
4 8 25
24 25
64 125
Молодцы!
Ученица 6 класса
Грохотова Анна
План решения практикоориентированных задач
Прочитать задачу, обдумать метод
решения
Решить задачу
Проверить решение на
соответствие реальным условиям
Записать ответ
Задача №1
Решение:
1) 850 + 25 = 875 (чел.) – всего на теплоходе
2) 875 : 80 = 10
75
10 80
75
80
округляем до 11, так как шлюпок
должно быть целое число.
Ответ: 11 шлюпок.
Задача №2
В супермаркете проходит рекламная акция: заплатив за
две шоколадки, покупатель получает три шоколадки
(одна шоколадка в подарок). Шоколадка стоит 36 рублей.
Какое наибольшее число шоколадок можно получить на
200 рублей?
+
Решение:
5
1) 200 : 36 = 5 9 (шт.)
5
5 9 округляем до 5, так как продукты не делятся на части
2) 5 : 2 = 2,5 (гр.)
2,5 округляем до 2, так как группы не делятся на части
3) 2 · 1 = 2 (шт.) – получили в подарок
3) 5 + 2 = 7 (шт.)
Ответ: 7 шоколадок получит
покупатель.
Задача №3
Решение:
Ошибка!
1) 13% = 0,13
2) 90  0,13 = 11,7 (руб.) – соответствуют 13% от 90 рублей.
3) 90 – 11,7 = 78,3 (руб.) – будет стоить цветок.
4) 1300 : 78,3
16,6
16,6 округляем до 16, так как цветы не делятся на части
НО! Так как цветов должно быть нечетное количество, то
получаем 15 цветков
Ответ: 15 цветков.
Задача №3
Решение:
1) 13% = 0,13
2) 1300  0,13 = 169 (руб.) – соответствуют 13% от 1300 рублей.
3) 1300 – 169 = 1131 (руб.) – получил студент после удержания
налога.
1131
377
17
4) 1131 : 90 = 90 = 30 = 12 30
17
12
округляем до 12, так как цветы не делятся на части
30
НО! Так как цветов должно быть нечетное количество, то
получаем 11 цветков
Ответ: 11 цветков.
И еще раз молодцы!
Ученик 7 класса
Бударин Александр
Задача №1
На рисунке жирными точками показано суточное
количество осадков, выпадавших в Санкт-Петербурге с 3 по
15 февраля 2010 года. По горизонтали указываются числа
месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в
соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку,
какого числа впервые
выпало 5 миллиметров
осадков.
Ответ: 11 февраля
Задача №2
На диаграмме показана среднемесячная температура
воздуха в Санкт-Петербурге за каждый месяц 2009 года. По
горизонтали указываются месяцы, по вертикали температура в градусах Цельсия.
Определите по диаграмме, в
течение какого количества
месяцев среднемесячная
температура не превышала 4
градусов Цельсия.
Ответ: 5 месяцев.
Задача №3
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового
автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в
минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат —
температура двигателя в градусах Цельсия.
Определите по графику,
сколько часов двигатель
нагревался от температуры
40 градусов до температуры
90 градусов.
Ответ:
1
12
ч
Задача №4
На диаграмме показано количество посетителей сайта
mathege.ru во все дни с 10 по 29 ноября 2010 года. По
горизонтали указываются дни месяца, по вертикали —
количество посетителей сайта за данный день.
Определите по
диаграмме, какого
числа количество
посетителей сайта
mathege.ru было
наименьшим за
указанный период
Ответ: 15 ноября
Задача №5
На рисунке показано изменение температуры воздуха на
протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и
время суток, по вертикали — значение температуры в
градусах Цельсия.
Определите по
рисунку разность
между
наибольшей и
наименьшей
температурами
воздуха 19
февраля. Ответ
дайте в градусах
Цельсия.
Ответ: 12˚
Спасибо!
Ученицы 8 класса
Лузгина Ксения,
Смирнова Дарья
Какое из чисел 1 или -1
является корнем уравнения?
1) 3x2 + 5x – 8 = 0
3 1 + 5 – 8=0;
2)
2
x
3 1 – 5 – 8=-10
- 6x - 7 = 0
1 – 6 – 7= -12;
1 +6 – 7=0
Решите уравнения :
А) x2 + 8 x – 9 = 0
x1 + x2 = -8
x1 x2 = -9
Корни уравнения
1 и -9
Б) x2 + 8 x + 7 = 0
x1 + x2 = -8
x 1 x2 = 7
Корни уравнения -1 и -7
Постарайтесь запомнить!
Корнем квадратного уравнения будет
число 1, если
a + b + c=0
Корнем квадратного уравнения будет
число
- 1 , если
a + c= b
Решите уравнения:
1. x2 + 7 x – 8 = 0
1 и -8
2. 2x2 + 5 x – 7 = 0 | : 2
Один корень 1.
x2 + 2,5 x –
3,5 = 0
Второй корень -3,5
Решите уравнения:
3. x2 + 14 x + 13 = 0
-1 и -13
4. 7x2 + 16 x + 9 = 0 | : 7
Первый корень -1
9
x2 + 16 x +
7
Второй корень
=
0
7
-
9
7
Большое спасибо!
Ученица 9 класса
Абрамова Александра
Задача №1
От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч.
Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, он
затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Чему равно
расстояние от города до поселка?
Пусть х км – расстояние от города до поселка.
Какое уравнение соответствует условию задачи?
А.
x x
  25
2 3
В.
2 3
  25
x x
Б.
x x
  25
3 2
Г.
3 2
  25
x x
Ответ: A
Задача №2
Каждый
из
двух
рабочих
одинаковой
квалификации может выполнить заказ за 15 ч.
Через 5 ч после того, как один из них приступил
к выполнению заказа, к нему присоединился
второй рабочий, и работу над заказом они
довели до конца уже вместе. За сколько часов
был выполнен весь заказ?
Примем всю работу за 1.
Решение:
1) Производительность каждого рабочего равна 1
15
.
2) 1 • 5 = 1 - часть всей работы, которую выполнил первый
15
3
рабочий за 5 часов.
3) 1 – 1 = 2
3
3
- часть всей работы, которую осталось
выполнить рабочим совместно .
4)
1
•2
15
=
2
- совместная производительность двух
15
рабочих.
5)
2
3
:
2
= 5 (ч) – время совместной работы, за которое они
15
выполнят оставшуюся часть заказа.
6) 5 + 5 = 10 (ч) – время выполнения всей работы.
Ответ: 10 часов.
Задача №3
Автобус № 39 отправился от станции м. «Московская» в
аэропорт Пулково-I, находящийся от нее на расстоянии 12
км. Пассажир, опоздавший на 10 мин. на автобус, решил
добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10 км/ч
больше скорости автобуса. С какой скоростью ехал автобус,
если он приехал в аэропорт одновременно с такси?
Решение:
Скорость,
км/ч
автобус
такси
x
x + 10
Время,
ч
Путь,
км
12
12
x>0. По условию задачи пассажир опоздал на автобус на
10 мин = 1 ч.
6
Составим уравнение:
Благодарим за
внимание!