Исследование явлений диффузии с помощью клеточных

Нижегородский технический лицей №38
Исследовательская работа
Исследование явлений диффузии с помощью
клеточных автоматов
Выполнил: Ученик группы №3
Виноградов И.Д.
Учитель: Тукова Н.Б.
Научный руководитель:
к.ф.м.н. Виноградов Д.В.
Нижний Новгород
2014
Клеточные автоматы


Клеточные автоматы (КА) –
это особый класс дискретных
математических моделей,
использующихся в
естественных науках:
физике, информатике,
технике, теоретической
биологии.
Физически, современный
клеточный автомат есть
компьютерная программа,
реализующая эту
математическую модель.
Планерное ружьё Госпера в
клеточном автомате «Жизнь»
Клеточные автоматы




Пространство КА: набор клеток в виде
решетки (одномерной, двумерной и тд.)
Состояние клетки: целочисленное
значение от 0 до N (0 или 1 предельный
случай)
Время КА: дискретное
Закон эволюции КА: детерминированный
либо вероятностный
КА «Жизнь»
Крест
КА «Жизнь»
Галактика Кока
Зачем нужны клеточные
автоматы



В физике, системы, состоящие из большого числа
элементов описываются усредненными величинами.
(газы: плотность, давление, температура).
В физике и технике, существуют задачи, в которых
использование усредненных величин по каким-либо
причинам затруднено.
Для моделирования этих явлений используются
клеточные автоматы.
КА в технике
В технике и теоретической
биологии встречаются задачи,
где число элементов системы
недостаточно для проведения
корректного усреднения.
 Поведение толпы людей при
экстренной эвакуации из зданий
 Движение толпы в переходах
метро
 Образование заторов при
движении транспорта.
 Коллективное движение
животных: пчел, слизняков,
птиц.
 Моделирование
распространения дыма и огня.

Узор на поверхности раковины
Conus textile формируется по
механизму клеточного автомата
КА в физике.
Случаи, когда нельзя использовать усреднение:
 Сильные неоднородности среды
 Сильные флуктуации
 Эволюция всей системы в большой степени зависит от локального
поведения её элементов в настоящем.
Примеры:
 Фазовые переходы
 Задачи типа «реакция-диффузия-конвекция» ( совместные действия
химических и физических процессов.)
Цель работы
Целью настоящей исследовательской работы является
продемонстрировать возможность клеточных автоматов
моделировать физические явления.
 Моделируемое физическое явление: диффузия примеси в
основном веществе.
Выбор обусловлен следующими причинами:
1) В современной физике КА используются для задач типа
«реакция-диффузия-конвекция»
2) Для явления диффузии существует простая математическая
модель – случайное блуждание.

Постановка задачи
Пленка газа примеси
шириной d=2 в основном
газе в начальный момент
времени
Теоретическая часть

Зависимость концентрации примеси c(x,t)
от пространственной координаты и
характерная ширина сгустка a.

 x2 
N
c ( x, t ) 
exp   2   Законы Фика
2 a  t 
 2a 
a t   D t
Количество частиц примеси S,
находящихся в пространственном
интервале [-b;b], как площадь
геометрической фигуры.
b
S  2N   ,
a
где   интегральная функция Лапласа
Идеализации

m<<M
1)Частицы – упругие шары
m

не взаимодействуют
2)
V

M
V
3)
Упругое взаимодействие
В силу принятых идеализаций будем
считать, что частицы примеси будут
двигаться независимо друг от друга, а
явление диффузии примеси можно
рассматривать как суперпозицию
броуновских движений отдельных
частиц, которое описывается
одномерной математической моделью
«случайное блуждание».
Клеточные автоматы для задач диффузии.
КА «Случайное блуждание»
Клеточный автомат «случайное блуждание», моделирующий
одномерное движение броуновской частицы
Клеточные автоматы для задач диффузии.
КА «Случайное блуждание»
Реализация клеточного
автомата «случайное
блуждание» в среде
Microsoft Excel.
Состояние клетки:
0 или 1
Клеточные автоматы для задач диффузии.
КА «диффузия примеси»
Клеточный автомат «диффузия
примеси» для количества
частиц N=6.
Суперпозиция 6 реализаций КА
«случайное блуждание».
Состояние клетки C(j;t) –
концентрация примеси
0  C  j; t   N
Начальное состояние -
C 1;0   C  1;0   3
C  j;0   0, если j  1,1
Результат эволюции клеточного автомата «диффузия примеси» для
N=90 от t=0 до t=30
Гистограммы зависимости
концентрации примеси от
пространственной
координаты для временных
шагов t=0, 10, 20, 30
Качественное сравнение теоретической и экспериментальной зависимостей
количества частиц примеси в пространственном интервале

Теоретическая зависимость.
Интеграл Лапласа или функция
ошибок.
b
S  2N   
a

Экспериментальная зависимость
количества частиц S(b) в
пространственном интервале [-b;b]
от различных значений b.
Экспериментальная зависимость характерной
ширины сгустка примеси a от времени

Экспериментально показана линейная
зависимость ширины сгустка примеси от
корня времени (закон Фика).
a t   D t

Экспериментально полученный
коэффициент диффузии
D  1, 08  0, 05
Выводы
В ходе исследовательской работы
показано, что даже простейший
клеточный автомат адекватно
описывает физическое явление
диффузии примеси в основном
веществе. Это доказывает возможность
использования клеточных автоматов
для моделирований физических
процессов.