Теоретические вопросы по курсу «Дополнительные главы финансовой математики».

Теоретические вопросы по курсу «Дополнительные главы финансовой
математики».
1. Рынок и его участники. Финансовая система. Виды активов.
2. Производные ценные бумаги, классификация, примеры, закон неприятия риска.
3. Виды финансового риска и способы управления риском, регуляторный капитал,
экономический капитал, RAROC.
4. Примеры классических мер риска (VaR, стандартное отклонение) и их недостатки.
5. Примеры соображений безарбитражности для нахождения интервалов
справедливых цен для европейских опционов колл и пут.
6. Двухточечная модель.
7. Одношаговая модель и первая фундаментальная теорема теории арбитража.
8. Вторая фундаментальная теорема теории арбитража и примеры ее использования
для нахождения интервалов справедливых цен для платежных поручений.
9. Полнота в одношаговой модели и доказательство ее эквивалентных определений
для рынка с одним активом.
10. Одношаговая модель с опционами.
11. Теорема о представлении когерентных мер риска.
12. Примеры когерентных мер риска и расчет на простейших примерах.
13. Распределение капитала и риск-вклад. Решение задачи в гауссовском случае.
Задачи по курсу «Дополнительные главы финансовой математики».
1.
2.
3.
4.
5.
Зависимость цен опционов от S0, K и t.
Неравенство Йенсена для математических ожиданий и его следствия.
Предельные теоремы для условных математических ожиданий.
Полнота в одношаговой модели для нескольких активов.
Разложение Дуба в дискретном времени и его следствия.
6. Пусть Ω=R+, S0>0, F=B(R+), supp P = R+, S1(ω)=ω. Пусть r=0, F=(S1-K)+. Найти I(F).
7. Пусть Ω=R+, S0>0, F=B(R+), supp P = R+, S1(ω)=ω. Пусть r=0, F=(K- S1)+. Найти I(F).
8. Пусть Ω=[a,b], S0>0, F=B([a,b]), supp P = [a,b], S1(ω)=ω. Пусть r=0, F=(S1-K)+. Найти
I(F).
9. Пусть Ω=[a,b], S0>0, F=B([a,b]), supp P =[a,b], S1(ω)=ω. Пусть r=0, F=(K- S1)+. Найти
I(F).
10. Колл-пут паритет в одношаговой модели.
11. Следствие разложения Дуба для суб- и супермартингалов (свойства предсказуемой
составляющей).
12. Если в каждой коробке один из n купонов. Сколько в среднем нужно собрать
коробок, чтобы собрать все виды купонов?
13. Какая оптимальная стратегия для быстрейшего определения минимального этажа,
с которого разбивается стеклянный шар, если у Вас 2 (100) стеклянных шаров, а в
здании 100 этажей?
14. Доказательства оптимальности предъявления к исполнению американского
опциона пут в последней момент, если по базовому активу нет дивидендов.
Нерешенные задачи, приносящие бонус.
1. Является ли сумма (разность) моментов остановки моментом остановки?
2. Является ли минимум (максимум) моментов остановки моментом остановки?
3. Формулировка и доказательство теоремы о полноте в одношаговой модели с d
активами.
4. Пусть Sn – случайное блуждание. Найти P(τa<τb ), где b<0<a, τa - первый момент
достижения уровня a?
5. Пусть Sn – несимметричное случайное блуждание. Найти P(τa<τb ), где b<0<a, τa первый момент достижения уровня a?
6. Пусть Sn – случайное блуждание. Найти Eτa, где 0<a, τa - первый момент
достижения уровня a?
7. Пусть Sn – несимметричное случайное блуждание. Найти Eτa, где 0<a, τa - первый
момент достижения уровня a?
8. Пусть Sn – случайное блуждание. Найти Eτa ^ τb, где b<0<a, τa - первый момент
достижения уровня a?
9. Пусть Sn – несимметричное случайное блуждание. Найти Eτa ^ τb, где b<0<a, τa первый момент достижения уровня a?
10.Эквивалентность полноты и единственности меры в многошаговой модели.
11.Доказательство интервалов справедливых цен для американских опционов колл и
пут.
12.