математическое моделирование переноса химических

XVIII Международная научно-практическая конференция «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ»
Секция 8: Физические методы в науке и технике
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ХИМИЧЕСКИХ
ЗАГРЯЗНЕНИЙ В АТМОСФЕРЕ ОТ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
Покровская Е.А., Родионова Е.П.
Научный руководитель: Рыжакова Н.К., к. ф.-м. н., доцент
Томский политехнический университет, 634050, Россия, г. Томск, пр. Ленина, 30
E-mail: [email protected]
∂q
Научно-техническая революция была подго= 0 . Данное упрощение особенно целесообразно
∂t
товлена выдающимися открытиями ХХ века и
бурным развитием производства. Это не только использовать при длительных периодах экспозиуспехи ядерной физики, химии и т.д., но и непре- ции загрязнения. Например, при использовании в
кращающийся рост числа городов и городского исследованиях мхов-биоиндикаторов длительнаселения. Возросли в сотни раз объемы промыш- ность экспозиции составляет год и более [2].
Рассмотрим перемещение примеси в горизонленного производства. Такая активная деятельность человека не проходит для природы бесслед- тальной плоскости. Если ось x ориентировать в
но, поскольку ресурсы, необходимые для ускоре- направлении ветра, то v=0. Вертикальные движения научно-технического прогресса, черпаются ния в атмосфере над горизонтальной однородной
непосредственно из биосферы. В связи с этим в поверхностью малы и могут не учитываться. Ось z
последнее время перед человечеством весьма ост- обычно направлена вверх, поэтому в случае тяжеро встала проблема загрязнения окружающей сре- лых примесей w равняется (со знаком минус) скоды. Отрицательное влияние техногенного воздей- рости их гравитационного осаждения, а для легких
ствия на биосферу испытывают не только жители примесей, не имеющих собственной скорости
осаждения, можно принять w=0.
крупных городов, но и сельских районов.
При наличии ветра можно пренебречь членом,
В общей задаче охраны внешней среды проучитывающим
диффузию по оси x, поскольку в
блема обеспечения чистоты атмосферы является
этом
направлении
диффузионный поток примеси
особо важной. Это обусловлено тем, что загрязнезначительно
меньше
конвективного,
т.е.
ние воздушного бассейна представляет угрозу как
∂q
здоровью человека, так и всей окружающей среде
= 0.
kx
∂x
в целом. В литературе широко используется удачС поверхностью почвы примеси обычно слабо
ный пример Дж. Голдсмита, в котором указывается, что человек потребляет в среднем в сутки 1 кг взаимодействуют. Попав на поверхность почвы,
пищи, 1,5 кг воды, а через его легкие проходит 12 часть примеси с турбулентными вихрями снова
кг воздуха, но при этом он может прожить при- уносятся в атмосферу. Так как исследование промерно пять недель без пищи, пять суток без воды, ходит либо на урбанизированной территории, где
находятся застройки, либо на территории за черно только пять минут без воздуха.
В связи с этим изучение законов, по которым той города, которая относится к лесостепи, то
происходит перенос примесей в атмосфере, при- средний турбулентный поток примеси у земной
обретает существенное значение. Математическое поверхности мал, т. е. при z=0 k ∂q = 0.
y
∂y
моделирование, основанное на этих законах, осуществлять прогнозирование уровней загрязнений и
В случае установившейся диффузии при услоопределять наиболее опасные зоны. Наиболее час- виях горизонтально однородной местности после
то для моделирования переноса вредных веществ указанных упрощений исходное уравнение прииспользуется диффузионно-конвективное уравне- нимает вид:
∂q
∂q ∂ ∂q
ние, которое для средних значений концентраций
(2)
u + w = kz .
примеси q в турбулентной атмосфере имеет вид
∂x
∂z ∂z ∂z
[1]:
Это уравнение учитывает турбулентную диф(1)
∂q ∂
∂q ∂ ∂q
∂q
∂q
∂q
∂q
∂
фузию в вертикальном направлении, характериkx
+ ky
+ kz
− αq
+u
+v
+w
=
∂t
∂x
∂y
∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
зующуюся коэффициентом диффузионного обмеЗдесь оси x и y расположены в горизонтальной на k z , перемещением по ветру в направлении оси х
плоскости, ось z – по вертикали; t – время; u, v, w – со скоростью u и гравитационным осаждением со
средние скорости перемещения примеси за счет скоростью w.
конвективного переноса соответственно по наСтрого говоря, выбросы в атмосферу осущестправлению осей x, y, z; kx, ky, kz – горизонтальные и вляются от объемных источников. Однако размевертикальная составляющие коэффициента диф- ры источников, как правило, малы по сравнению с
фузионного обмена; α – коэффициент, опреде- расстояниями, на которых исследуется создаваеляющий изменение концентрации за счет превра- мое ими поле концентрации. Поэтому при постащении примеси. В случае изучения загрязнения новке начальных условий источник загрязнения
воздуха химическими элементами α=0.
принимается за точечный.
При решении конкретных задач уравнение (1)
Для точечного источника, расположенного в
может принимать ряд упрощений. Так, рассмотре- точке x=0, граничное условие y=0 и z=H, записыние установившегося процесса позволяет принять вается в форме:
53
XVIII Международная научно-практическая конференция «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ»
Секция 8: Физические методы в науке и технике
uq = Mδ ( y )δ ( z − H ) при x=0,
где М – выброс вещества от источника в единицу времени, δ (z − H ) – дельта функция, описывающая высоту трубы источника H.
Граничные условия на бесконечном удалении
от источника принимаются в соответствии с естественным предположением о том, что при этом
концентрация убывает до нуля:
q → 0 при z → ∞ ,
q → 0 при х → ∞
,
при
q→0
y →∞
.
Решение уравнения (2) можно найти либо аналитически, задаваясь удобной аппроксимацией
зависимости скорости ветра и коэффициентов
диффузии от высоты, либо численно, моделируя
процессы турбулентного переноса тепла и количества движения в пограничном слое атмосферы. В
данном случае решение находим аналитически.
При расчете средней концентрации в приземном слое атмосферы определяющее значение
имеют часто встречающиеся метеорологические
условия. К ним относятся так называемые нормальные метеоусловия, для которых используется
степенная аппроксимация скорости ветра и коэффициента вертикального турбулентного обмена:
θ 2 зависит от состояния атмосферы, скорости ветра и дисперсности примеси; θ 3 – от высоты источника загрязнения, а также состояния атмосферы,
коэффициента вертикальной диффузии, дисперсности частиц примеси.
Строгое определение параметров θ1 , θ 2 , θ3 невозможно в силу сложного характера атмосферных
явлений, обуславливающих перенос загрязняющих
примесей в атмосфере. Однако, если рассматривать эти параметры как феноменологические, то
их можно определить путем аппроксимации измеренных концентраций функцией вида (3) методом
наименьших квадратов. Точность аппроксимации
возрастает, если при этом задать диапазоны изменения параметров, полученных на основе соответствующих оценок. Наиболее удобно это сделать
для параметра θ3, так как он определятся в основном высотой источника h:
θ3 =
где ε, ε1 – параметры, зависящие от вертикального градиента температуры воздуха и состояния
атмосферы.
Оценка параметра θ3, проведенная для различных атмосферных условий, показала, что диапазон
изменения этого параметра составляет от 5 до 8
км. Необходимо отметить, что этот параметр примерно соответствует удвоенному расстоянию, на
котором концентрация примеси достигает максимума.
Таким образом, была получена математическая
модель переноса примеси в атмосфере, которая
применяется на кафедре Прикладной физики ТПУ
для моделирования загрязнения воздуха химическими элементами в зоне влияния точечных источников загрязнения.
n
⎛z⎞
u = u1 ⎜⎜ ⎟⎟ ;
⎝ z1 ⎠
m
⎛z⎞
k z = k1 ⎜⎜ ⎟⎟ ,
⎝ z1 ⎠
где n, m – безразмерные параметры, соответственно подобранные для интерполяции вертикального профиля скорости ветра и коэффициента
обмена. Здесь u1 и k1 – значения u и kz при z=z1.
При решении задачи о распределении тяжелой
примеси, оседающей с постоянной скоростью w,
коэффициент вертикального турбулентного обмена становится прямо пропорциональным z:
kz
k = 1 .
z
Список литературы:
1. Берлянд М. Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. – Л.: Гидрометеоиздат, 1975. - 448
с.
2. Рыжакова Н. К., Борисенко А. Л., Меркулов В. Г., Рогова Н. С. Контроль состояния атмосферы с помощью мховбиоиндикаторов //Оптика атмосферы и
океана, 2009 – т. 22, – №1. с. 101 – 104.
3. Н. Г. Гусев, В. А. Беляев. Радиоактивные
выбросы в биосфере: справочник— 2-е
изд., перераб. и доп. — М. : Энергоатомиздат, 1991. — 256 с.
z1
Аналитическое решение уравнения (2) при степенной аппроксимации скорости ветра и коэффициента турбулентного обмена выглядит следующим образом [3]:
⎛ θ ⎞
(3)
q = θ xθ exp⎜ − 3 ⎟ ,
1
2
⎝
h1+ε + ε 1
k z (1 + ε + ε1 ) ,
x⎠
где θ1 – параметр, зависящий от мощности источника М, скорости перемещения u по оси х, коэффициента вертикальной диффузии kz, а также от
состояния атмосферы (температурного градиента)
и зависимости скорости ветра от высоты; параметр
54