Системы уравнений

Системы уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными f(x, y)=0 и g(x, y)=0, где
f(x, y), g(x, y) – некоторые выражения с переменными х и у. Если ставится
задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что задана
𝑓(𝑥, 𝑦) = 0,
система уравнений: {
.
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0
Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑔1 (𝑥, 𝑦),
{1
𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 𝑔2 (𝑥, 𝑦)
Решением системы уравнений с двумя переменными называют
упорядоченную пару чисел (x0; y0), являющуюся решением каждого из
уравнений, входящих в систему.
Решить систему – это значит найти все ее решения или доказать, что
данная система не имеет решений.
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же
множество решений.
Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными
системами уравнений.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и
несовместной, если таких решений не существует.
Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют
одни и те же решения или обе не имеют решений.
Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия,
преобразующие данную систему в эквивалентную ей:
1) менять порядок следования уравнений;
2) умножать на число cR, c0 любое уравнение;
3) умножать на число cR, c0 одно уравнение системы и прибавлять его
к другому уравнению.
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0,
Несколько уравнений образуют совокупность уравнений [ 1
,
𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 0
если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы
одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных
уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1 ,
, где a1, b1, c1, a2, b2, c2R.
{ 1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Геометрически каждому уравнению системы соответствует прямая линия
на плоскости.
Справедливы утверждения:
a1 b1
 ,
a2 b2
1) если
то система имеет единственное решение (геометрически –
прямые пересекаются в определенной точке);
2) если
a1 b1 c1

 ,
a2 b2 c2
то система не имеет решений (прямые параллельны);
a1 b1 c1

 ,
a2 b2 c2
то система имеет бесконечно много решений (прямые
3) если
и – совпадают).
Основными методами решения систем уравнений являются:
1) метод подстановки;
2) метод исключения неизвестной;
3) метод сложения;
4) метод умножения (деления) уравнений;
5) метод замены переменных;
6) графический метод.
Теоремы о равносильности систем уравнений
1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно
уравнение системы оставить без изменения, а второе уравнение заменить
равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.
2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно
уравнение системы оставить без изменения, а второе уравнение заменить
суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет
равносильна заданной.
3. Если обе части уравнения 𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 𝑔2 (𝑥, 𝑦) ни при каких (х; у)
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑔1 (𝑥, 𝑦),
одновременно не обращаются в нуль, то системы { 1
;
𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 𝑔2 (𝑥, 𝑦)
𝑓1 (𝑥, 𝑦) = 𝑔1 (𝑥, 𝑦),
𝑓1 (𝑥, 𝑦) = 𝑔1 (𝑥, 𝑦),
; { 𝑓1 (𝑥,𝑦) 𝑔1(𝑥,𝑦) равносильны.
{
= (𝑥,𝑦)
𝑓1 (𝑥, 𝑦)𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 𝑔1 (𝑥, 𝑦)𝑔2 (𝑥, 𝑦)
𝑓 (𝑥,𝑦)
𝑔
2
2
Решение систем уравнений методом подстановки
Метод подстановки состоит в следующем:
1. Из одного уравнения находится выражение одной переменной
(например, х) через известные величины и другую переменную у.
2. Найденное выражение х подставляется во второе уравнение.
3. Решая это уравнение, находится значение у.
4. Полученное значение у подставляется в выражение переменной х и
получается значение х.
𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 8𝑦 2 = 91;
Пример. Решить систему уравнений: {
𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0.
Решение. Из второго уравнения системы выражаем х через у и
подставляем в первое уравнение:
(10 − 3𝑦)2 + 6(10 − 3𝑦)𝑦 + 8𝑦 2 = 91;
𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 8𝑦 2 = 91;
 {

{
𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0
𝑥 = 10 − 3𝑦
100 − 60𝑦 + 9𝑦 2 + 60𝑦 − 18𝑦 2 + 8𝑦 2 = 91;
𝑦 2 = 9;
{
{

𝑥 = 10 − 3𝑦
𝑥 = 10 − 3𝑦
𝑦 = 3 или 𝑦 = −3;
{
 (y=3; x=1) или (у= - 3, х=19).
𝑥 = 10 − 3𝑦
Ответ: (19; - 3), (1; 3)
1. Решите систему уравнений способом подстановки:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 20,
1) {
𝑥𝑦 = −8
𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 19,
2) {
𝑥𝑦 = 15
𝑥 2 + 𝑦 2 = 100,
3) {
𝑥𝑦 = 48
4) {
𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝑥𝑦 = 44,
𝑥𝑦 = −24
5) {
2𝑥 − 3𝑦 + 7 = 0,
3𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0
6) {
3𝑥 + 4𝑦 = 5,
6𝑥 + 8𝑦 = −11
7) {
𝑥 − 5𝑦 + 1 = 0,
3𝑥 + 3 = 15𝑦
8) {
10𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0,
2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0
9) {
𝑥 + 3 = 5𝑦,
3𝑥 − 15𝑦 = −1
4𝑥 − 5𝑦 − 3 = 0,
10) {
7𝑥 − 𝑦 + 6 = 0
2. Решите систему уравнений способом подстановки:
1) {
𝑥 + 3𝑦 = −1,
𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 3
2) {
2𝑥 − 𝑦 = 1,
𝑥𝑦 − 𝑦 2 + 3𝑥 = −1
3) {
𝑥 + 𝑦 = 1,
𝑥 2 + 𝑦 2 + 5𝑦 = 0
4) {
2𝑥 2 − 3𝑦 2 − 5𝑥 − 2𝑦 = 26,
𝑥−𝑦 =4
5) {
2𝑥 + 𝑦 − 11 = 0,
2𝑥 + 5𝑦 − 𝑦 2 − 6 = 0
6) {
𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 12,
𝑥 + 3𝑦 = 4
2
4𝑥 2 − 9𝑦 2 + 𝑥 − 40𝑦 − 19 = 0,
7) {
2𝑥 − 3𝑦 = 5
9) {
8) {
𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 = 9,
3𝑥 + 2𝑦 = 9
𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 11,
𝑥 − 2𝑦 = 1
3𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 + 13𝑦 = 5,
10) {
𝑥−𝑦+2=0
3. Решите систему уравнений:
𝑥 + 𝑦 = 10,
5
1) { 1 1
+ =
𝑥
1
4)
{𝑥
𝑦
12
𝑥
𝑦
2
1
1
+ = ,
7) {𝑥 𝑦 6
𝑦𝑥 = 150
1
1
− =
1
,
10) { 𝑥 𝑦 15
2𝑥 − 𝑦 = 2
5) {
𝑦
𝑦
1
𝑦 − 2𝑥 = 3
1
𝑥
𝑦
− = 0,1,
𝑥 − 𝑦 = 6,
3
3) { 1 1
− =
2𝑥 + 𝑦 = 5,
2) { 1 1
+ = 1,2
𝑦
25
𝑥
17
+ =
,
𝑥
20
𝑦
5
6) {
𝑥 + 𝑦 2 = 25
𝑥
𝑦
+ =2
1
12
8) {𝑦 𝑥
𝑥 + 𝑦 = 14
,
𝑥
− = ,
9) {𝑦 𝑥 6
𝑥−𝑦 =2
Решение систем уравнений методом сложения
Метод сложения состоит в следующем:
1. Обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель, обе
части второго уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители
подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих
уравнениях стали противоположными числами.
2. Уравнения почленно складываются.
3. Решается полученное уравнение с одной переменной.
4. Находится вторая переменная подстановкой значения первой в одно из
уравнений.
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 74;
Пример 1. Решить систему уравнений { 2
2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 73.
Решение. Умножим обе части первого уравнения на – 2 и сложим его со
вторым уравнением:
𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 = 74;
−2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 4𝑦 2 = −148;
{

{ 2
2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 73
2𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 73
𝑦 = −5 или 𝑦 = 5;
3𝑦 2 = 75;
{ 2
{ 2

2
2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 73
2𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 73
𝑦 = −5;
𝑦 = −5;
{ 2
{
𝑥 = 8,5 или 𝑥 = −3,5
 [ 2𝑥 − 10𝑥 + 25 = 73  [
𝑦 = 5;
𝑦 = 5;
{
{ 2
𝑥 = −8,5 или 𝑥 = 3,5
2𝑥 + 10𝑥 + 25 = 73
Ответ: ( - 3,5; - 5), (8,5; - 5), ( - 8,5; 5), (3,5; 5)
3x  4 y 2  7,
6 x  5 y 2  1.
Пример 2. Решить систему 
Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы
2

 
умножим на  2 и прибавим ко второму: 3x  4 y 2  7,   2 откуда следует

6 x  5 y  1,
2

 6 x  8 y  14,
.

2

6 x  5 y  1.
Получаем
3 y 2  15,
т. е.
y 2  5.
Следовательно,
 y   5,
y  5  
 y  5.
Заданная система сводится к решению совокупности систем:
Ее решением являются пары чисел:
3 x  4 y 2  7,

 y   5 ,

2
3 x  4 y  7,
 y  5 .

 13
  13

 ; 5 ;  ;  5 .
 3
  3

Ответ:
 13
  13

 ; 5 ;  ;  5 .
3
3

 

1. Решите систему уравнений способом сложения:
1) {
2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0,
3𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
2) {
3𝑥 − 7𝑦 = −1,
6𝑥 − 14𝑦 = −3
3) {
2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0,
3𝑥 − 6𝑦 = −3
4) {
3𝑥 + 4𝑦 + 5 = 0,
2𝑥 + 3𝑦 = −1
5) {
4𝑥 − 2𝑦 = −2,
6𝑥 − 3𝑦 = −3
6) {
7𝑥 − 𝑦 + 1 = 0,
2𝑥 + 𝑦 = 3
7) {
3𝑥 − 4𝑦 = 2,
6𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0
8) {
9𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0,
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
9) {
𝑥 + 5𝑦 = 9,
3𝑦 − 2𝑥 = −5
3𝑥 + 𝑦 + 4 = 0,
10) {
4𝑦 + 8𝑥 − 4 = 0
Метод введения вспомогательного неизвестного
𝑥
𝑥 + 𝑦 + = 15;
𝑦
Пример 1. Решить систему уравнений: { (𝑥+𝑦)𝑥
.
= 56
𝑦
𝑥
Решение. Введем новые переменные х+y=u, = 𝑣.
𝑦
𝑢 + 𝑣 = 15;
𝑢𝑣 = 56
𝑢 = 15 − 𝑣;
𝑢 + 𝑣 = 15;
Решим ее методом подстановки: {
{

(15 − 𝑣)𝑣 = 56
𝑢𝑣 = 56
Система будет иметь следующий вид: {
𝑢 = 8;
{
𝑢 = 15 − 𝑣;
𝑢 = 15 − 𝑣;
𝑣 = 7;
{ 2
{
[
𝑢 = 7;
𝑣 = 7 или 𝑣 = 8
𝑣 − 15𝑣 − 56 = 0
{
𝑣 = 8.
𝑥 + 𝑦 = 8;
7𝑦 + 𝑦 = 8;
{ 𝑥 = 7;
{
𝑥 = 7𝑦;
𝑦
Вернемся к первоначальным переменным:
[
𝑥 + 𝑦 = 7;
8𝑦 + 𝑦 = 7;
{
{ 𝑥 = 8.
𝑥 = 8𝑦.
[
𝑦
56
7
9
9
 x=7; y=1 или x= ; y= .
56 7
Ответ: (7; 1), ( ; )
9
Пример 2. Решить систему
Решение. ОДЗ:
y 1

t  0.
x t
 x  0,
 y  0. .

y
 x
 1,
 
 2 y 2x
3 y  x  4.

Заменим в первом уравнении системы
Получим дробно-рациональное уравнение:
Решаем его
9
t 2  1  2t
 0; t 2  2t  1  0;
2t
t  12  0;
Возвращаемся к переменным х, у:
x
 t,
y
тогда
1
1
t   1.
2
2t
t  1.
x
  1,
y
3 y  x  4;

 x  y,
3x  x  4;

 x  2,
y  2

– подходит по
ОДЗ. Получили ответ 2; 2.
Ответ: (2; 2)
Решение систем уравнений при помощи определителей
С помощью определителей можно решать системы n линейных
уравнений с n неизвестными.
𝑎 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
Пусть дана система уравнений вида { 1
, где х и у –
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
переменные величины; a1, a2, b1, b2, c1, c2 – коэффициенты.
Умножим первое уравнение на b2, второе на - b1 и почленно их сложим.
Получим уравнение (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑥 = 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1 .
Умножим первое уравнение на - a2, второе на a1 и почленно их сложим.
Получим уравнение (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑦 = 𝑎1 𝑐𝑏2 − 𝑎2 𝑐1 .
(𝑎 𝑏 − 𝑎2 𝑏1 )𝑥 = 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1 ,
.
{ 1 2
(𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑦 = 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1
Коэффициенты при х и у равны. Коэффициент 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 называют главным
определителем системы, обозначают  и записывают в виде таблицы
𝑎 𝑏1
=| 1
|=𝑎 𝑏 − 𝑎2 𝑏1 .
𝑎2 𝑏2 1 2
Эти
уравнения
образуют
Разности 𝑐1 𝑏2 − 𝑐2 𝑏1
систему
и 𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1
называют вспомогательными
𝑐 𝑏1
определителями и обозначают соответственно х и у: х=| 1
|=𝑐 𝑏 −
𝑐2 𝑏2 1 2
𝑎1 𝑐1
𝑐2 𝑏1 , у=|𝑎 𝑐 |=𝑎1 𝑐2 − 𝑎2 𝑐1 .
2
2
∆ ∙ 𝑥 = ∆𝑥 ,
С введением определителей система принимает вид { ∆ ∙ 𝑦 = ∆ .
𝑦
Если главный определитель 0, то системы имеет единственное
решение, которое находится по формулам, называемым формулами Крамера:
∆𝑥
∆𝑦
𝑥= ;𝑦= .
∆
∆
Если главный определитель =0, то система имеет бесконечное
множество решений.
Если хотя бы один из вспомогательных определителей х или у не равен
нулю, то система не имеет решений.
Метод Гаусса
Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)
применяется при решении систем m линейных уравнений с n переменными.
Количество уравнений системы может быть больше, чем количество
переменных, равно ему или меньше, т.е. m>n; m=n; m<n.
Каждое уравнение, входящее в систему имеет вид 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + … +
𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏.
Если а1=а2=…=an=b=0, то любой набор чисел (х1, х2, …, xn) является его
решением.
Если а1=а2=…=an=0, b0, то уравнение не имеет решений.
1
1
7
𝑥+𝑦− 𝑧 = ,
2
2
2
Пример 1. Решить систему уравнений { 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2, .
3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −7
Решение. Умножим первое уравнение на 2 и получим уравнение 𝑥 +
2𝑦 − 𝑧 = 7. Это уравнение умножим на – 2 и сложим со вторым уравнением,
затем умножим его на – 3 и сложим с третьим уравнением системы.
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7,
Получим систему, равносильную данной { −5𝑦 + 3𝑧 = −12, . Разделим
−11𝑦 + 5𝑧 = −28
второе уравнение на – 5, затем умножим его на 11 и сложим с третьим
уравнением.
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7,
3
Получим систему { 𝑦 − 5 𝑧 =
8
12
5
8
, . Из третьего уравнения находим z=1.
− 𝑧=−
5
5
Подставим его во второе и найдем у=3. Подставляя значения z и у в первое
уравнение, находим х=2
Ответ: 2, 3, 1
Решите систему уравнений:
1) {
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2,
3𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧 = −7
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4,
4) {𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −4,
3𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 = 7.
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 4,
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 𝑡 = 3,
2) {
−𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 2𝑡 = 3,
4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 10
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2,
3) { 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0,
3𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = −2.
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1,
5) {3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = −2,
𝑥+𝑦+𝑧 =0
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1,
6) {3𝑥 − 4𝑦 − 𝑧 = −1,
𝑥−𝑦+𝑧 =0
2𝑥 − 3𝑦 − 6𝑧 = 10,
7) { 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0,
3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −2.
𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = 5,
10) {7𝑥 − 3𝑦 − 4𝑧 = −9,
5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 31.
𝑥 + 𝑦 − 1 = 0,
𝑥 + 𝑦 − 𝑢 − 1 = 0,
8) {
2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 3,
𝑥+𝑦−𝑧+𝑢 =4
5𝑥 − 7𝑦 = 0,
9) { 𝑥 + 𝑧 = 12,
3𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 6
Графический способ решения систем уравнений
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0,
Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными: { 1
.
𝑓2 (𝑥, 𝑦) = 0
Если графики этих функций пересекаются, то координаты точки
пересечения (a, b) будут удовлетворять обоим уравнениям. Значит, пара чисел а
и b является решением системы уравнений.
𝑥 2 + 𝑦 2 = 4,
Пример 1. Решить графически систему уравнений {
𝑦−𝑥 =0
Решение. Графиком первого уравнения 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 является окружность
с центром в начале координат и радиусом 2.
Графиком уравнения 𝑦 − 𝑥 = 0 или 𝑦 = 𝑥 является прямая, проходящая
через центр координат с угловым коэффициентом 1.
Графики пересекаются в двух точках с координатами (√2; √2) и
(−√2; −√2). Следовательно, решением системы уравнений являются пары
чисел (√2; √2) и (−√2; −√2).
Ответ: (√2; √2) и (−√2; −√2)
Примечание: графический метод решения систем уравнения удобно
использовать для определения количества решений, поскольку по графику
сложно определить точное значение корней.
Пример 2. Решить систему графически: 1)
 x 2   y  22  4,

 y  1;
2)
 xy  1,
 x   y.

Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, x2   y  22  4 – уравнение
окружности с центром O 0; 2 и радиусом R  2; y  1 – прямая, параллельная оси
Ох и проходящая через точку 0; 1.
Построим эти линии:
Графики имеют две точки пересечения, т.е. система имеет два решения:
 y  1,

 x  3,
 x   3.

Ответ
2) Уравнение ху=1 может быть записано в виде
y
1
x
 3; 1, 

3; 1 .
и является уравнением
гиперболы.
Уравнение х= - у может быть записано в виде у= - х – это биссектриса II и IV
координатных углов.
Выполним построение:
Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не
имеет.
Ответ: нет решения
1. Решите графически систему уравнений:
1) {
𝑥 − 𝑦 = 1,
𝑥𝑦 = −12
2) {
4) {
𝑥 − 5𝑦 = 3,
𝑥𝑦 = 1
5)
6)
8)
9)
7)
𝑥 + 𝑦 = 10,
𝑥𝑦 = −24
10)
2. Решите графически систему уравнений:
3)
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25,
1) {
𝑥−𝑦 =5
𝑥 2 + 𝑦 2 = 36,
2) {
𝑦 − 0,5𝑥 = 0
𝑥 2 + 𝑦 2 = 100,
3) {
1
𝑦 = 𝑥2
2
4) {
𝑦 = 𝑥 2,
𝑥𝑦 = 8
5) {
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 25,
(𝑦 − 2)2 + (𝑥 + 1)2 = 16
6) {
2𝑥 + 𝑦 = 11,
𝑥 2 + 𝑦 2 = 25
7) {
𝑥 2 + (𝑦 − 3)2 = 4,
𝑦=𝑥
8) {
𝑦 = 𝑥 2,
3𝑥 + 2𝑦 = 9
9) {
𝑥 2 + 𝑦 2 = 10,
𝑥𝑦 = 3
𝑥 2 + 𝑦 2 = 50,
10) {
𝑦 + 𝑥2 = 8
Решение задач при помощи систем уравнений
Пример 1. Сошлись два пастуха. Первый говорит второму: «Отдай мне
одну овцу, тогда у меня будет овец вдвое больше, чем у тебя!» Второй ему
отвечает: «Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!».
Сколько овец было у каждого пастуха?
Решение. Путь у первого пастуха было х овец, а у второго – у. если бы
второй пастух отдал одну овцу, то у него осталось бы (у - 1) овец, а у первого
стало (х+1) овец. Но тогда бы у первого пастуха было бы вдвое больше овец,
чем у второго, т.е. х+1=2(у - 1).
Если бы первый пастух отдал одну овцу, то у второго осталось бы (х – 1)
овца, а у первого стало бы (у+1).
Но тогда бы они имели овец поровну, т.е. х – 1=у+1.
Получили систему
𝑥 + 1 = 2(𝑦 − 1),
.
{
𝑥−1=𝑦+1
двух
уравнений
с
двумя
неизвестными
Решая эту систему, получаем у=5, х=7. Следовательно, у первого пастуха
было 7 овец, а у второго – 5.
Ответ: 5 и 7
Пример 2. Школьник затратил 28 руб. на покупку портфеля, авторучки и
книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка – в 2 раза дешевле,
книга – в 2,5 раза дешевле, то та же покупка стоила бы 8 руб. Если бы по
сравнению с действительной стоимостью портфель стоил в 3 раза дешевле,
авторучка – в 4 раза дешевле, а книга – в 2 раза дешевле, то за ту же покупку
школьник уплатил бы 10 руб. Сколько стоили портфель, авторучка и книга?
Решение. Пусть портфель стоит х руб., авторучка у руб., а книга z руб.
Тогда по условию x+y+z=28.
Второе уравнение составляется из условия: если бы портфель стоил
руб., авторучка
𝑦
2
руб., книга -
𝑧
2,5
𝑥
𝑦
𝑧
5
2
2,5
руб. то покупка стоила бы 8 руб.: + +
𝑥
5
=
8.
𝑥
Третье уравнение составляется из условия: если бы портфель стоил руб.,
𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
𝑧
4
2
3
4
2
3
авторучка руб., книга - руб. то покупка стоила бы 10 руб.: + + = 10.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 28,
𝑥
𝑦
𝑧
+
+
= 8, .
Получилась система трех уравнений: {
5
𝑥
3
2
𝑦
2,5
𝑧
4
2
+ + = 10
Решая эту систему, получаем х=18, у=4, z=6. Т.е. портфель стоил 18 руб.,
авторучка – 4 руб., книга – 6 руб.
Ответ: 18 руб., 4 руб., 6 руб.
Решите задачу:
1) Периметр прямоугольника равен 82 м, а длина его диагонали – 29 м. Найдите
площадь этого прямоугольника.
2) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 26 см, а его площадь
– 120 см2. Найдите периметр этого треугольника.
3) Сумма двух числе равна 18, а их произведение 65. Найдите эти числа.
4) Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее геометрическое
12. Найдите эти числа.
5) Разность двух чисел равна 6, а их произведение равно 216. Найдите эти
числа.
6) Длина диагонали прямоугольника равна 17 дм, а его площадь – 120 дм2.
Найдите длины сторон прямоугольника.
7) Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1км.
Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?
8) Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а длина его гипотенузы
равна 37 см. Найдите длины катетов этого треугольника.
9) Сумма лет возраста брата и сестры равна 15, а разность – 3. Сколько лет
брату и сколько лет сестре?
10) Сумма двух чисел равна 20, а их произведение равно 96. Найдите эти числа.
Метод неопределённых коэффициентов
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 13,
Пример 1. Пусть известно, что {
. Найти 5x+y – 2z.
7𝑥 + 3𝑦 = 9.
Решение. Поскольку по условию задачи требуется найти выражение
5x+y – 2z , то искать его мы будем через выражение 5x+y –
2z=L(x+y+z)+K(7x+3y), где L и K - произвольные постоянные.
Раскроем скобки при L и K и приравняем коэффициенты при х, у и z:
5 = 𝐿 + 7𝐾,
5x+y – 2z=(L+7K)x+(L+3K)y+Lz или {1 = 𝐿 + 3𝐾,
−2 = 𝐿
Отсюда получим: L= - 2, K=1.
Таким образом, 5x+y – 2z= - 2(x+y+z)+1(7x+3y)= - 2·13+1( - 9)= - 35.
Ответ: - 35
(x − y )(x + y) = z 2 ,
Пример 2. Известно, что {
Найти 2𝑥 2 +10𝑦 2 - 23𝑧 2 .
4y 2 = 5 + 7z 2 .
x 2 − y 2 − z 2 = 0,
Решение. Перепишем исходную систему в виде {
и
4y 2 − 7z 2 = 5.
применим метод неопределённых коэффициентов: L(x 2 − y 2 − z 2 ) + 𝐾(4y 2 −
7z 2 )=Lx 2 +(4K – L)y 2 - (L+7K)z 2 =2x 2 +10y 2 - 23z 2 .
L=2
Выпишем теперь систему для коэффициентов: { 4K − L = 10
L + 7K = 23.
Отсюда L=2, K=3. Таким образом, 2x 2 +10y 2 -23z 2 =2x 2 − y 2 −
z 2 )+3(4y 2 − 7z 2 )=2∙0+3 ∙ 5=15.
Ответ: 15
Методы, основанные на использовании ограниченности функции
Эти методы являются одним из наиболее эффективных при решении
систем алгебраических уравнений.
x 2 y 2 − 2x + y 2 = 0,
Пример 1. Решить систему уравнений { 2
2 x − 4x + 3 + y 3 = 0.
Решение. Запишем первое уравнение системы в виде y 2 =
(x –1)2 ≥0, то х2 +1≥2x,
2x
1+x
2x
1+ x2
. Так как
<1 и, следовательно, y2<1. Отсюда - 1<у<1.
Второе уравнение системы запишем в виде 2(x – 1)2+y3+1=0.
В силу того, что - 1<y<1, имеем y3 +1>0. Это значит, что второе уравнение
имеет решение только в том случае, когда (x - 12)=0 и y3+1=0, т.е. при х=1 и
у= - 1.
Непосредственно проверкой убеждаемся, что пара чисел (1; - 1) является
решением исходной системы.
Ответ: (1; - 1)
√х + у + 1 = 1,
Пример 2. Решите систему уравнений {
√х + 1 + у = 1.
Решение. Отметим, что областью допустимых значений исходной
системы являются х≥ 0, у ≥ 0.
Поскольку у ≥ 0, то у + 1 ≥ 1 и √у + 1 ≥ 1. С учетом того √х ≥
0, получается неравенство √х + √у + 1 ≥ 1. Сравнивая
его
с
первым
х=0
х = 0,
уравнением системы, приходим к выводу, что {√
⇒ {
.
у=0
√х + 1
Непосредственной подстановкой во второе уравнение системы,
убеждаемся в том, что пара чисел (0; 0) являются искомым решением.
Ответ (0; 0)
Методы решения симметричных систем
К симметричным системам будут относить системы уравнений вида:
𝑓(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑎,
𝑓(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑎,
{𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑏, или {𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑏,
𝑞(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑐.
𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑐.
𝑓(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 𝑎,
Принцип решения систем вида {𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑏, заключается в
𝑞(𝑥) + ℎ(𝑥) = 𝑐.
почленном сложении левых и правых частей, что приводит к равенству 𝑓(𝑥) +
𝑎+𝑏+𝑐
𝑞(𝑥) + ℎ(𝑥) =
.
2
Далее, поочередно вычитая из соотношения уравнения исходной
𝑎+𝑏−𝑐
𝑓 (𝑥 ) =
системы, получим систему
𝑞(𝑥) =
{ℎ(𝑥) =
2
𝑎−𝑏+𝑐
2
−𝑎+𝑏+𝑐
.
2
𝑓(𝑥)𝑞(𝑥) = 𝑎,
При решении систем вида {𝑓(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑏, необходимо перемножить
𝑔(𝑥)ℎ(𝑥) = 𝑐.
левые и правые части уравнений, что приводит к равенству
f(x)q(x)h(x)=±√𝑎𝑏𝑐, где abc0.
Далее, разделив поочередно соотношение на уравнения исходной
𝑓(𝑥) = √
𝑎𝑏
системы, приходим к двум системам уравнений: 𝑞(𝑥) = √
{
𝑐
𝑎𝑐
ℎ(𝑥) = √
𝑏
𝑓(𝑥) = −√
𝑐
𝑎𝑐
и 𝑞(𝑥) = −√ .
𝑏
𝑏𝑐
𝑎
𝑎𝑏
{
ℎ(𝑥) = −√
𝑏𝑐
𝑎
Полученные системы решаются существенно проще, чем исходные
системы уравнений.
𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = −5,
Пример 1. Решить систему уравнений { 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 = 8,
𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 9.
Решение. Сложим почленно левые и правые части уравнений системы:
xy+xz+yz=11. Поочередно вычитая из этого соотношения уравнения исходной
𝑥𝑦 = 2,
системы, получим { 𝑥𝑧 = 3, Отсюда следует, что x2y2z2=36 или xyz=6. При
𝑦𝑧 = 6.
xyz=6 имеем х=1, y=2, z=3; при xyz= - 6: х= - 1, y= - 2, z= - 3.
Ответ: (1; 2; 3), ( - 1; - 2; - 3)
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 = 1,
Пример 2. Решить систему уравнений { 𝑥𝑧 + 𝑥 + 𝑧 = 2,
𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = 5.
Решение. Добавим единицу к обеим частям каждого из уравнений
(𝑥 + 1)(𝑦 + 1) = 2,
𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 + 1 = 2,
системы: { 𝑥𝑧 + 𝑥 + 𝑧 + 1 = 3,  { (𝑥 + 1)(𝑧 + 1) = 3,
𝑦𝑧 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 6
(𝑦 + 1)(𝑧 + 1) = 6
Из последней системы после перемножения уравнений следует, что
(х+1) (у+1)2(z+1)2=36. Тогда (х+1)(у+1)(z+1)=6.
2
𝑥+1=
6
(𝑦+1)(𝑧+1)
6
= 1,
𝑥 = 0,
В случае (х+1)(у+1)(z+1)=6 имеем: 𝑦 + 1 = (𝑥+1)(𝑧+1) = 2,  {𝑦 = 1,
𝑧 = 2.
6
𝑧
+
1
=
=
3
{
(𝑥+1)(𝑦+1)
В случае (х+1)(у+1)(z+1)= - 6, получим x= - 2, y= - 3, z= - 4.
Ответ: (0; 1; 2), (- 2; - 3; - 4)
Системы уравнений с избыточным числом неизвестных
Во многих случаях (например, при решении текстовых задач) довольно
типичной является ситуация, когда число неизвестных превышает число
уравнений. В этом случае отыскать все неизвестные не представляет
возможным. Обычно требуется найти какую-либо их комбинацию, например,
сумму некоторых неизвестных, их отношение и т.п.
Если в процессе решения возникло уравнение вида ax2=bxy+cy2=0, то
можно легко выразить x через y или наоборот.
Решая, например, это уравнение как квадратное относительно, х, при
−by±√b2 y−4acy2
D=b2 - 4aс>0 находим: х1,2=
−b+√b2 −4ac
x1=
2a
y, x2=
2a
−b−√b2 −4ac
2a
−b±y√b2 −4ac −b±√b2 −4ac
=
=
2a
2a
y;
y.
Кроме того, когда ax2+bxy+cy2=a(x- x1)(x - x2)=0.
Если же в уравнении ax2=bxy+cy2=0 дискриминант D≤0, то, очевидно,
решением является пара чисел (0; 0).
Пример 1. Известно, что х >0, у>0 и 7х2 – 13ху – 2у2=0 . Найти
2х−6
7х+4у
.
Решение. Имеем: 7х2 – 13ху - 2у2=(7х+у)(х - 2у)=0. Отсюда следует, что
7х+у=0 либо х - 2у=0. Первое из этих равенств невозможно в силу условий х>0,
2х−6 2∙2у−6у −2у
1
у>0. Следовательно, х=2у. Таким образом,
=
= =− .
7х+4у 7∙2у+4у 18у
9
1
Ответ: -
9
tx = (t − 2)y
Пример 2. Найти - , если известно, что {tx = (t − 2,5)z, и x > 0 , у >
x y
s⁄x − 3,5 = s⁄z
0, z>0, t>0, s > 0.
s
s
Решение. Из первых двух уравнений системы получим, что y=
=
tx
t−2,5
s
. Третье уравнение перепишем в виде
s
выраженное через x и t: x
s
7
s 7
tx
t−2
и z
- = и подставим в него z ,
x z 2
t−2,5
s(1−t−2.5
s(2,5
s s( t )
2,5s 7
t )
t )
=
=
=
=
=
= .
tx
(t−2.5) x
x
t
ч
tx 2
s
Отсюда
следует, что = .
tx 5
s
Окончательно имеем: x
s
y
=
s
x
-
s
tx
t−2
=
s(1−
t−2
)
x
x
=
2s
tx
7
14
5
5
= 2 =
.
Ответ:
Пример 3. Вычислить
𝑥
𝑥+𝑦+𝑧
, если известно, что x+y+z=3y=2z.
14
5
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3𝑦,
Решение. Выполним цепочку преобразований: {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2𝑧
𝑥 = 2𝑦 − 𝑧,
𝑥
0,5𝑦 1
 2x=y  x=0,5y. Тогда
= = .
{
𝑥+𝑦+𝑧 3𝑦 6
𝑥 = −𝑦+𝑧
Ответ:
Решите систему уравнений:
𝑥𝑦
3𝑥−2𝑦
2𝑥𝑧
1)
𝑥+𝑧
3𝑦𝑧
{ 4𝑦−𝑧
𝑥𝑦
= 1,
= 1,
2)
= 1.
𝑥+𝑦
𝑥𝑧
1
= ,
2𝑥−𝑧
𝑦𝑧
{3𝑦−2𝑧
2
3)
= 1,
= 1.
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Найти все значения а, при которых система…
1) {
3𝑥 + (𝑎 − 3)𝑦 = 4,
имеет бесконечно много решений
6𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 = 𝑎 + 3
2) {
7𝑥 − 2𝑎𝑦 = 5,
не имеет решений
(4 − 5𝑎)𝑥 − 4𝑎𝑦 = 7
3) {
𝑥 − (𝑎 + 1)𝑦 = 𝑎 + 2,
имеет единственное решение
𝑎𝑥 + 𝑦 = 𝑎 − 3
4) {
(𝑎 + 1)𝑥 + 8𝑦 = 4𝑎,
имеет бесконечно много решений
𝑎𝑥 + (𝑎 + 3)𝑦 = 3𝑎 − 1
5) {
𝑥 + 2𝑎𝑦 = 1,
имеет бесконечно много решений
(𝑎 − 1)𝑥 + 4𝑦 = 2𝑎 − 3
6) {
−4𝑥 + 𝑎𝑦 = 1 + 𝑎,
не имеет решений
(6 + 𝑎)𝑥 + 2𝑦 = 3 + 𝑎
7) {
2𝑥 + (9𝑎2 − 2)𝑦 = 3𝑎,
не имеет решений
𝑥+𝑦 =1
𝑎2 𝑥 + (2 − 𝑎)𝑦 = 4 + 𝑎2 ,
8) {
не имеет решений
𝑎𝑥 + (2𝑎 − 1)𝑦 = 𝑎5 − 2
9) {
3|𝑥| + 𝑦 = 2,
имеет единственное решение
|𝑥| + 2𝑦 = 𝑎
1
6
𝑥 + |𝑦| = 3,
10) {
имеет единственное решение
2𝑥 − |𝑦| = 𝑎