Две задачки о катящемся колесе. По шероховатой

Две задачки о катящемся колесе.
1. По шероховатой горизонтальной поверхности катится колесо, приводимое в движение
внутренним механизмом, создающим заданный момент вращения 𝑀вр .
Масса, радиус, момент инерции колеса равны соответственно 𝑚, 𝑅, 𝐽. Коэффициент трения
скольжения - 𝜇, трение качения не учитывается.
Определить характер движения колеса.
Обойдусь без рисунка. Положительное направление оси ОХ – вправо, положительное
направление вращения – против часовой стрелки. Сила реакции поверхности 𝑁 =
𝑚𝑔, максимальное значение силы трения 𝐹тр 𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑚𝑔.
Уравнение поступательного движения:
𝑚𝑎 = 𝐹тр
Уравнения вращательного движения, записанные относительно центра колеса:
𝐽𝛽 = 𝑀вр − 𝐹тр 𝑅.
Обращает на себя внимание тот факт, что оба эти уравнения можно рассматривать и решать
совершенно независимо.
𝐹
𝑎 = тр⁄𝑚 ;
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡;
2
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 ⁄2.
Откуда автоматически получается:
2
𝑚𝑣02⁄
∆𝐸пост = 𝑚𝑣 ⁄2 −
2 = 𝐹тр (𝑥 − 𝑥0 )
закон сохранения энергии для поступательного движения или теорема Кёнига (с учетом того,
что силы 𝑁 и 𝑚𝑔 не работают).
Совершенно аналогично находим:
𝑀 − 𝐹тр 𝑅
⁄𝐽 ;
𝛽 = вр
𝜔 = 𝜔0 + 𝛽𝑡;
𝛽𝑡 2⁄
𝜑 = 𝜑0 + 𝜔0 𝑡 +
2.
Отсюда:
2
2
𝐽𝜔
∆𝐸вращ = 𝐽𝜔 ⁄2 − 0⁄2 = 𝑀вр (𝜑 − 𝜑0 ) − 𝐹тр 𝑅(𝜑 − 𝜑0 )
Закон сохранения энергии для тела, совершающего вращение.
Для того чтобы рассматривать оба эти пока совершенно независимые движения как движение
одного единого тела, нужно не только считать, что все параметры – это параметры единого
объекта, но и то, что движется этот объект вполне определенным образом. Вариантов
движения может быть много. Рассмотрим один – отсутствие проскальзывания в нижней точке
- НТ колеса.
𝑉НТ = 𝑣 − 𝜔𝑅 = 0
Интегрирование этого уравнения даёт:
(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑅(𝜑 − 𝜑0 ) = 0
Для единого объекта
∆𝐸кин = ∆𝐸пост + ∆𝐸вращ = 𝐹тр (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑀вр (𝜑 − 𝜑0 ) − 𝐹тр (𝜑 − 𝜑0 ) =
= 𝑀вр (𝜑 − 𝜑0 ) + 𝐹тр [(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑅(𝜑 − 𝜑0 )] = 𝑀вр (𝜑 − 𝜑0 )
1
Две задачки о катящемся колесе.
Действительно, для единого объекта сила трения работы не совершает, но лишь при
отсутствии проскальзывания. Это совершенно не исключает того, что нельзя говорить о работе
силы трения при отдельном рассмотрении поступательного движения и вращения.
2. По шероховатой поверхности клина, образующей угол 𝛼 с горизонтом, скатывается такое же
колесо. Определить характер движения колеса, если считать 𝑀вр = 0.
Снова без рисунка. Ось ОХ направлена вниз по наклонной плоскости.
Уравнение поступательного движения:
𝑚𝑎 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(𝛼) − 𝐹тр
Уравнения вращательного движения, записанные относительно центра колеса:
𝐽𝛽 = 𝐹тр 𝑅.
Не вдаваясь в подробности, запишем:
2
∆𝐸кин
2
𝑚𝑣0 ⁄
∆𝐸пост = 𝑚𝑣 ⁄2 −
2 = 𝑚𝑔𝐻 − 𝐹тр (𝑥 − 𝑥0 )
2
𝐽𝜔2
∆𝐸вращ = 𝐽𝜔 ⁄2 − 0⁄2 = 𝐹тр 𝑅(𝜑 − 𝜑0 )
= ∆𝐸пост + ∆𝐸вращ = 𝑚𝑔𝐻 − 𝐹тр (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐹тр (𝜑 − 𝜑0 ) =
= 𝑚𝑔𝐻 − 𝐹тр [(𝑥 − 𝑥0 ) − 𝑅(𝜑 − 𝜑0 )]
Снова для каждой составляющей движения сила трения совершает работу, а для системы в
целом – нет только при отсутствии проскальзывания.
Это и есть главный вывод. Утверждение о том, что сила трения не совершает работу,
поскольку точка её приложения неподвижна, нужно понимать развернуто:
точка приложения силы трения – нижняя контакта колеса с поверхностью неподвижна, потому
что одновременно участвует в двух движениях – поступательном со скоростью оси колеса и
вращательном с линейной скоростью точки на ободе. Относительно каждого движения
совершенно законно можно записать работу силы трения, которая не будет нулевой. Но при
отсутствии проскальзывания обе эти работы дают в сумме законный ноль.
2