3 тур

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
3 тур, 27 февраля 2011 г., 6 класс, лига А
1. Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две дороги из шести открываются для движения и за это время автомобиль, если может, успевает переехать на соседний перекресток, где
еще не был. Известно, что никакая пара дорог не открывается более одного
раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое максимальное время он мог находиться в пути?
2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (школьников
больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а каждый учитель взял по две ручки, но зато по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей.
Сколько учителей пришло на олимпиаду?
3. Расставьте числа от 1 до 6 так, чтобы в каждой строчке и в каждом столбике находились встречались все числа от 1 до 6 ровно по одному разу и выполнялись все указанные неравенства.
Найдите все ответы и докажите, что других нет
4. Имеется аппарат, который за n2 рублей среди n монет умеет
находить самую тяжелую. За какое наименьшее число рублей
можно найти самую тяжелую из 100 различных по весу монет?
5. Вася задумал число A, большее 1, но меньшее 2. Потом он
умножил это число само на себя. Оказалось, что результат больше2, но меньше 3. Потом он умножил результат снова на А, оказалось, что полученной число больше 3, но меньше 4. И так далее, на
k-том шаге полученное число было больше k, но меньше k+1. Какое наибольшее количество таких ходов могло быть сделано?
6. В теннисном турнире участников-мужчин было в два раза больше, чем участников-женщин. Каждые два участника встретились один раз. Отношение числа
побед, одержанных женщинами, к числу побед, одержанных мужчинами, равно
7 : 5. Найти, сколько всего было участников.
7. Разрежьте квадрат 9×9 на прямоугольники 1×3 так, чтобы ни в каком узле не
сходились четыре прямоугольника.
8. На доске написано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, всегда можно выбрать ещё
одно, чтобы сумма этих четырёх чисел была положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.
9. Число от 1 до 2011 назовём прелестным, если какие-то два его натуральных делителя отличаются на 1, и назовём шикарным, если какие-то два его
натуральных делителя отличаются на 2. Каких чисел среди чисел от 1 до 2011
больше - прелестных или шикарных?
10. Два последовательных двузначных числа выписали друг за другом. Оказалось, что полученное четырехзначное число делится на 51. Какие двузначные числа выписали?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
3 тур, 27 февраля 2011 г., 6 класс, лига Б
1. Государство состоит из нескольких республик, имеющих территории в виде одинаковых квадратов. В какое
наименьшее количество цветов гарантированно можно
окрасить карту государства, чтобы республики с общим
участком границы были окрашены в разные цвета?
2. По словам хвастливого рыболова, он поймал рыбу, у которой
голова была длиной 60 мм, хвост
длиной с голову и половину туши, а туша с половину длины рыбины с головы до хвоста. Какой же длины чудо - рыба?
3. Некоторые буквы заменили цифрами, причем одинаковые –
одинаковыми, разные – разными. Даны четыре числа 1234, 5678,
9278, 0834 и имена ВАЛЯ, КОЛЯ, ДИМА, РОМА. Найдите, что чему
соответствует.
4. Имеется аппарат, который за n2 рублей среди n монет умеет находить самую тяжелую.
Как найти самую тяжелую из 8 различных по весу монет, потратив ровно 28 рублей?
5. Однажды рыбак поймал несколько окуней общим весом
100 кг. Оказалось, что вес трех самых больших окуней — 35
кг, а вес трех самых маленьких — 25 кг. Сколько окуней
поймал рыбак? (У всех рыб разный вес, кроме того, рыба
может весить и не целое число килограммов.)
6. Куб покрасили со всех сторон и распилили на равные кубики. Оказалось, что кубиков, у которых покрашена ровно одна грань, в два раза больше,
чем полностью непокрашенных кубиков. На сколько кубиков распилили куб?
7. Разрежьте квадрат 9×9 на прямоугольники 1×3 так, чтобы ни в каком узле не сходились
четыре прямоугольника.
8. Может ли пятизначное число равняться произведению своих цифр?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
3 тур, 27 февраля 2011 г., 7 класс, лига А
1. . Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной из вершин перекрестков
стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две дороги из шести открываются для движения и за это
время автомобиль, если может, успевает переехать на соседний перекресток, где еще не был. Известно,
что никакая пара дорог не открывается более одного раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое максимальное время он мог находиться в пути?
2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно,
школьников больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек
на столько же превосходит общее количество тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на
олимпиаду?
3. Расставьте числа от 1 до 6 так, чтобы в каждой строчке и в каждом
столбике находились встречались все числа от 1 до 6 ровно по одному
разу и выполнялись все указанные неравенства. Найдите все ответы и
докажите, что других нет
4. Пусть имеется 10 ящиков, из которых некоторые (но не все) содержат настоящие монеты (весом 10 г), а некоторые (но не все) - фальшивые (весом 9 г). У нас
есть весы со стрелкой, которые позволяют точно узнать вес одной или нескольких
монет. Как определить все фальшивые ящики за одно взвешивание?
5. Из данных пяти различных отрезков надо выбрать три и составить из них прямоугольный треугольник. Оказалось, что можно сделать это четырьмя различными способами. Найдите отношение длин наибольшего и наименьшего отрезков.
6. В теннисном турнире участников-мужчин было в 2 раза больше, чем участников-женщин. Каждые два
участника встретились один раз. Отношение числа побед, одержанных женщинами, к числу побед,
одержанных мужчинами, равно 7 : 5. Найти, сколько всего было участников.
7. В прямоугольнике ABCD сторона BC вдвое больше стороны AB. На стороне BC выбрана точка K таким образом, что AK = AD. Найдите KDC.
8. На доске написано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, всегда можно выбрать ещё одно, чтобы сумма этих четырёх чисел была положительна. Верно ли, что
сумма всех чисел положительна? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.
9. Число от 1 до 2011 назовём прелестным, если какие-то два его натуральных делителя
отличаются на 1, и назовём шикарным, если какие-то два его натуральных делителя отличаются на 2. Каких чисел среди чисел от 1 до 2011 больше - прелестных или шикарных?
10. Барон Мюнхгаузен утверждает, что знает два таких последовательных четырехзначных числа, что если одно из них приписать справа от другого, то восьмизначное числорезультат будет делиться на 137. Не хвастает ли барон?
.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
III Ижевский командный турнир математиков
3 тур, 27 февраля 2011 г., 7 класс, лига Б
1. Государство состоит из нескольких республик, имеющих территории в виде одинаковых квадратов. В какое наименьшее количество цветов гарантированно можно
окрасить карту государства, чтобы республики с общим участком границы были
окрашены в разные цвета?
2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников
больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а
каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество
тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?
3. Расставьте числа от 1 до 5 так, чтобы в каждой строчке и в
каждом столбике находились встречались все
числа от 1 до 5 ровно по одному разу и выполнялись указанные неравенства.
4. Имеется аппарат, который за n2 рублей среди n монет умеет находить самую тяжелую. За
какое наименьшее число рублей можно найти
самую тяжелую из 100 различных по весу монет?
5. Вася задумал число A, большее 1, но меньшее 2. Потом он умножил это число само на себя. Оказалось, что результат больше2, но меньше 3. Потом он умножил результат снова на А, оказалось, что полученной число больше 3, но меньше 4. И так
далее, на k-том шаге полученное число было больше k, но меньше k+1. Какое
наибольшее количество таких ходов могло быть сделано?
6. На плоскости n параллельных прямых пересекаются серией из m параллельных
прямых. Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке?
7. В прямоугольнике ABCD сторона BC вдвое больше стороны AB. На стороне BC выбрана точка K таким образом, что AK = AD. Найдите KDC.
8. Может ли пятизначное число равняться произведению
своих цифр?