ЕН.Ф.4 Теория вероятностей и математическая статистика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Специальность 080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
Шифр и название специальности (направления) подготовки
Форма обучения очная
Филиал ДВФУ в г. Арсеньеве
Курс 2, семестр 3
Лекции 36 часов.
Практические занятия 36 часов.
Лабораторные работы _0_ часа.
Консультации
Всего часов аудиторной нагрузки 72 часа.
Самостоятельная работа 36 часов.
Реферативные работы не предусмотрены
Контрольные работы не предусмотрены
Зачет - семестр
Экзамен 3 семестр
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования, утвержденного «14»
марта 2000 г, рег. № 52 мжд/сп.
Учебно-методический комплекс обсужден на заседании учебно-методической комиссии
филиала, протокол от «23» июня 2011 № 2.
Составитель: ст. преподаватель Н.Ю. Симбирцева
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Специальность080801.65 «Прикладная информатика (в экономике)»
Шифр и название специальности (направления) подготовки
Форма обучения очная
Филиал ДВФУ в г. Арсеньеве
Курс 2, семестр 3
Лекции 36 часов.
Практические занятия 36 часов.
Лабораторные работы _0_ часа.
Консультации
Всего часов аудиторной нагрузки 72 часа.
Самостоятельная работа 36 часов.
Реферативные работы не предусмотрены
Контрольные работы не предусмотрены
Зачет - семестр
Экзамен 3 семестр
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования, утвержденного «14»
марта 2000 г, рег. № 52 мжд/сп.
Рабочая программа обсуждена на заседании учебно-методической комиссии филиала, протокол
от «23» июня 2011 № 2.
Составитель: ст. преподаватель Н.Ю. Симбирцева
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании учебно-методической комиссии
филиала:
Протокол от «_____» _________________ 20 г. № ______
Директор филиала ___________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании учебно-методической комиссии
филиала:
Протокол от «_____» _________________ 20 г. № ______
Директор филиала ____________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ МИНИМУМ СОДЕРЖАНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ
Теория вероятностей и математическая статистика: вероятности, случайные процессы,
статистическое
оценивание
и
проверка
гипотез,
статистические
методы
обработки
экспериментальных данных.
Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей.
Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Проблема размерности в
многомерных методах исследования. Многомерные методы оценивания и статистического
сравнения.
Многомерный статистический анализ. Множественный корреляционно-регрессионный
анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ. Классификация без
обучения. Дискриминантный анализ. Классификация с обучением. Канонические корреляции.
Множественный ковариационный анализ.
Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.
Применение многомерных статистических методов в социально-экономических исследованиях.
ВВЕДЕНИЕ
Рабочая программа учебной дисциплины "Теория вероятности и математическая
статистика" предназначена для подготовки студентов по специальности 080801"Прикладная
информатика (в экономике)".
Рабочая
программа
содержит
основные
положения
теории
вероятностей
и
математической статистики, а также описание основных методов и идей, используемых в
теоретико-вероятностных рассуждениях.
Для успешного усвоения данного курса необходимы знания традиционного курса
математического анализа.
Данная рабочая программа соответствует также современному состоянию и перспективам
развития науки и практики в области средств вычисления, обеспечивает междисциплинарные
связи данной учебной дисциплины с другими, соответствует ГОС специальности 080801
"Прикладная информатика (в экономике) ".
1 . ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Настоящий курс содержит основные положения теории вероятностей и математической
статистики, а также описание основных методов и идей, используемых в теоретиковероятностных рассуждениях. Представленные методы иллюстрируются простыми приемами,
что помогает в дальнейшем самостоятельно решать задания практического характера, сводя их
к известной схеме.
Цель изучения курса состоит в том, чтобы вооружить будущего специалиста мощным
инструментом, который он может использовать при решении как фундаментальных научных,
так и прикладных технических, социальных и педагогических задач и укрепить его
материалистическое мировоззрение.
Задачи изучения настоящего курса состоят в следующем:

закрепить и развить знания, полученные при изучении разделов математики, на
которые опирается данный курс;

ознакомление студентов с основными понятиями разделов, изучаемых в курсе теории
вероятностей и математическими методами, применяемыми для решения практических
задач;

привитие студентам практических навыков в употреблении методов статистического
анализа данных;

подготовить необходимый уровень знаний для успешного освоения курсов, которые
опираются на знание основ теории вероятности и математической статистики.
2. НАЧАЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Для успешного усвоения данного курса необходимы: знания традиционного курса
математического анализа, в частности, умение интегрировать, дифференцировать. Слушатель
должен быть знаком с элементами теории меры, с понятием интеграла и его простейшими
свойствами.
3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате изучения курса студент должен научиться:

видеть в конкретных научных, экономических, житейских проблемах вопросы, задачи,
допускающие решения методами теории вероятностей, уметь формулировать и решать такие
задачи;

при постановке любого рода эксперимента уметь формулировать цель эксперимента,
планировать эксперимент, обрабатывать данные и интерпретировать результаты.

специалист долженпонимать объективный и непреложный характер вероятностных
законов, учитывать их в своей повседневной деятельности и руководствоваться ими при
принятии управленческих решений.

группа
прочно усвоить и научиться применять при решении задач понятия: событие; полная
событий;
вероятность;
случайная
величина,
функция
распределения;
закон
распределения, плотность распределения, параметры закона распределения; математическое
ожидание; дисперсия; оценка: эффективная, несмещенная, состоятельная; доверительный
интервал для оценки; критерий проверки гипотезы; коэффициент корреляции, коэффициент
ковариации.

твердо знать, когда (при каких условиях) случайные величины распределены по
перечисленным выше законам, как вычисляется вероятность конкретных значений этих
величин или вероятность попадания в интервал;

уметь пользоваться соответствующими формулами или табличным представлением
законов распределения;

иметь представление о вероятностно-статистическом моделировании социально-
экономических процессов;о современных пакетах прикладных программ статистической
обработки данных.

иметь навыки построения вероятностных моделей и вычисления ее
параметров;обработки статистических данных;

уметь ориентироваться в учебной, справочной, научной литературе и нормативных
документах по вопросам курса.
4. ОБЪЁМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ НАГРУЗКИ
Распределение по
Вид учебной работы
Всего часов
семестрам
3 семестр
Общая трудоёмкость дисциплины
108
108
Лекции
36
36
Лабораторные занятия
_
_
Практические занятия
36
36
Всего самостоятельная работа
36
36
Вид итогового контроля (экзамен)
экзамен
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО ВИДАМ ЗАНЯТИЙ
№ пп
1.1.
1.2.
1.3.
Наименование раздела дисциплины
Раздел 1.Теория вероятностей
Введение в предмет теории вероятностей.
 Предмет и метод теории вероятностей. История
развития
теории
вероятностей
как
математической
дисциплины.
Задачи,
решаемые
с
использованием
теории
вероятностей.
 Случайные события и их классификация.
Классическое определение вероятности.
Вычисление вероятностей событий с
использованием формул комбинаторики.
Статистическое определение вероятности.
 Сумма и произведение событий. Формула
сложения вероятностей для несовместных
событий. Зависимые и независимые события.
Условная вероятность. Формулы умножения
вероятностей. Теорема сложения вероятностей
для совместных событий.
 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания.
 Формула Бернулли.
 Формула Пуассона.
 Локальная и интегральная формулы МуавраЛапласа.
 Вероятность отклонения частоты от
постоянной вероятности в независимых
испытаниях.
Случайные величины
 Понятие случайной величины. Дискретные и
непрерывные
случайные
величины.
Математические операции над случайными
величинами.
Закон
распределения
вероятностей случайной величины и способы
его задания.
 Интегральная
функция
распределения
вероятностей случайной величины, ее свойства
и график.
 Плотность
распределения
вероятностей
случайной величины, ее свойства и график.
 Числовые
характеристики
распределения
случайной величины, их смысл.
 Законы распределения дискретных случайных
величин:
биномиальное
распределение,
распределение
Пуассона,
геометрическое
распределение,
гипергеометрическое
Распределение по видам (в час)
Лекции
Практика
СРС
2
4
4
2
4
2
6
6
6
распределение. Вывод, логическое толкование,
числовые характеристики этих распределений.
 Законы
распределения
непрерывных
случайных величин: нормальный закон
распределения
вероятностей,
его
свойства;гамма - распределение, его свойства;
показательное распределение; равномерное
распределение;
логарифмически-нормальное
распределение.
 Мода и медиана. Квантили. Моменты
случайных величин. Асимметрия и эксцесс.
1.4.
1.5.
1.6.
2.1.
Система случайных величин
 Интегральная функция распределения.
Системы двух случайных величин, ее смысл и
свойства.
 Плотность распределения вероятностей двух
случайных величин. Зависимые и независимые
случайные величины.
 Условные плотности распределения
вероятностей.
 Числовые характеристики распределения
системы двух и более случайных величин и
некоторые их свойства.
Предельные теоремы теории вероятностей
 Значение предельных теорем в практике.
 Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
 Неравенство Чебышева.
 Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
 Центральные предельные теоремы
Элементы теории случайных процессов и
теории массового обслуживания.
 Определение случайного процесса и его
характеристика. Основные понятия теории
массового обслуживания.
 Понятие Марковского случайного процесса.
 Потоки событий.
 Уравнения Колмогорова. Предельные
вероятности состояний.
 Процессы гибели и размножения. СМО с
отказами.
 Цепи Маркова и их использование в
моделировании
социально-экономических
процессов.
Раздел 2. Математическая статистика
Введение в математическую статистику
 История развития математической статистики
как математической дисциплины.
 Предмет и метод математической статистики.
4
2
2
2
2
4
4
4
6
2
2
Задачи математической статистики.
 Выборка. Среднее выборочное значение
случайной величины.
 Эмпирические моменты.
 Способы отбора и группировки выборочных
данных.
2.2.
2.3.
2.4.
Теория оценивания параметров
 Точечные оценки параметров распределения,
требования, предъявляемые к ним.
 Выборочные среднее и дисперсия как оценки
среднего и дисперсии случайной величины.
 Методы нахождения точечных оценок.
Интервальные оценки. Доверительные
интервалы для оценки средних и дисперсии
нормально распределенной случайной
величины.
 Элементы теории корреляции.
 Сглаживание экспериментальных кривых
методом наименьших квадратов.
Статистические гипотезы
 Статистическая проверка статистических
гипотез.
 Основная и конкурирующая гипотезы.
 Критерий, критические области.
 Ошибки первого и второго рода.
 Мощность критерия.
 Критерий Пирсона, критерий Фишера.
 Некоторые примеры на проверку
статистических гипотез.
Многомерный статистический анализ
 Первичный статистический анализ
многомерных выборок: оценки векторов
средних значений и ковариационных матриц,
основные выборочные характеристики степени
тесноты множественных статистических связей;
ранговые корреляции и таблицы
сопряженности.
 Классификация многомерных наблюдений и
статистические методы распознавания образов:
классификация при наличии обучающих
выборок (дискриминантный анализ) и методы
кластер-анализа.
 Снижение размерности и отбор наиболее
информативных переменных: метод главных
компонент, построение интегральных
показателей.
 Множественный корреляционно-регрессионный
анализ.
4
2
4
2
2
2
8
8
6









Компонентный анализ.
Факторный анализ.
Кластер-анализ.
Классификация без обучения.
Дискриминантный анализ.
Классификация с обучением.
Канонические корреляции.
Множественный ковариационный анализ.
Современные пакеты прикладных программ
многомерного статистического анализа.
 Применение многомерных статистических
методов в социально-экономических
исследованиях.
2.5.
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Итого
36
5.2. СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Тема лекционного занятия
Введение в предмет теории вероятностей.
Предмет и метод теории вероятностей. История развития
теории вероятностей как математической дисциплины.
Задачи, решаемые с использованием теории вероятностей.
Случайные события и их классификация. Классическое
определение
вероятности.
Вычисление
вероятностей
событий с использованием формул комбинаторики.
Статистическое определение вероятности.
Сумма и произведение событий. Формула сложения
вероятностей для несовместных событий. Зависимые и
независимые события. Условная вероятность. Формулы
умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей
для совместных событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли.
Формула Пуассона.
Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
Случайные величины: Дискретные и непрерывные
случайные
величины.Математические
операции
над
случайными величинами. Закон распределения вероятностей
случайной величины и способы его задания.Числовые
характеристики распределения случайной величины, их
смысл.
Случайные
величины:
Интегральная
функция
распределения вероятностей случайной величины, ее свойства
и график.Плотность распределения вероятностей случайной
величины, ее свойства и график.
Случайные величины:
Законы распределения дискретных случайных величин:
36
36
№
раздела
Кол-во
часов
1.1
2
1.2
2
1.3
2
1.3
2
1.3
4
биномиальное распределение, распределение Пуассона,
геометрическое
распределение,
гипергеометрическое
распределение. Вывод, логическое толкование, числовые
характеристики этих распределений.
Законы распределения непрерывных случайных величин:
нормальный закон распределения вероятностей, его
свойства;гамма - распределение, его свойства; показательное
распределение; равномерное распределение; логарифмическинормальное распределение.
Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин.
Асимметрия и эксцесс.
6. Система случайных величин
Интегральная функция распределения. Системы двух
случайных величин, ее смысл и свойства.
Плотность распределения вероятностей двух случайных
величин. Зависимые и независимые случайные величины.
Условные плотности распределения вероятностей.
Числовые характеристики распределения системы двух и
более случайных величин и некоторые их свойства.
7. Предельные теоремы теории вероятностей
Значение предельных теорем в практике.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Центральные предельные теоремы
8. Элементы теории случайных процессов и теории
массового обслуживания: Определение случайного процесса
и его характеристика. Основные понятия теории массового
обслуживания.
Понятие Марковского случайного процесса.
Потоки событий.
Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний.
9. Элементы теории случайных процессов и теории
массового обслуживания:
Процессы гибели и размножения. СМО с отказами.
Цепи Маркова и их использование в моделировании
социально-экономических процессов.
10. Введение в математическую статистику
История развития математической статистики как
математической дисциплины.
Предмет и метод математической статистики. Задачи
математической статистики.
Выборка. Среднее выборочное значение случайной величины.
Эмпирические моменты.
Способы отбора и группировки выборочных данных.
11. Теория оценивания параметров
Точечные оценки параметров распределения, требования,
предъявляемые к ним.
Выборочные среднее и дисперсия как оценки среднего и
дисперсии случайной величины.
Методы нахождения точечных оценок. Интервальные оценки.
Доверительные интервалы для оценки средних и дисперсии
1.4
2
1.5
2
1.6
2
1.6
2
2.1
2
2.2
2
нормально распределенной случайной величины
12. Теория оценивания параметров
Элементы теории корреляции.
Сглаживание экспериментальных кривых методом
наименьших квадратов.
13. Статистические гипотезы
Статистическая проверка статистических гипотез.
Основная и конкурирующая гипотезы.
Критерий, критические области.
Ошибки первого и второго рода.
Мощность критерия.
Критерий Пирсона, критерий Фишера.
Некоторые примеры на проверку статистических гипотез.
14. Многомерный статистический анализ
Первичный статистический анализ многомерных выборок:
оценки векторов средних значений и ковариационных матриц,
основные выборочные характеристики степени тесноты
множественных статистических связей; ранговые корреляции
и таблицы сопряженности.
Классификация многомерных наблюдений и статистические
методы распознавания образов: классификация при наличии
обучающих выборок (дискриминантный анализ) и методы
кластер-анализа.
Снижение размерности и отбор наиболее информативных
переменных: метод главных компонент, построение
интегральных показателей.
15. Многомерный статистический анализ
Множественный корреляционно-регрессионный анализ.
Компонентный анализ.
Факторный анализ.
Кластер-анализ.
Классификация без обучения.
Дискриминантный анализ.
Классификация с обучением.
16. Многомерный статистический анализ
Канонические корреляции.
Множественный ковариационный анализ.
17. Многомерный статистический анализ
Современные пакеты прикладных программ многомерного
статистического анализа.
Применение многомерных статистических методов в
социально-экономических исследованиях.
2.2
2
2.3
2
2.4
2
2.4
2
2.4
2
2.4
2
5.1.СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема практического занятия
Классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности. Вычисление
вероятностей событий с использованием формул
комбинаторики.
Статистическое
определение
вероятности.
Основные теоремы теории вероятностей.
Сумма и произведение событий. Формула сложения
вероятностей для несовместных событий. Зависимые и
независимые события. Условная вероятность. Формулы
умножения
вероятностей.
Теорема
сложения
вероятностей для совместных событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли.
Формула Пуассона.
Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа.
Вероятность отклонения частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Случайные величины.
Дискретные
случайные
величины.Математические
операции над случайными величинами. Закон
распределения вероятностей случайной величины и
способы
его
задания.Числовые
характеристики
распределения дискретной случайной величины.
Случайные величины.
Непрерывные случайные величины. Интегральная
функция распределения вероятностей случайной
величины,
ее
свойства
и
график.Плотность
распределения вероятностей случайной величины, ее
свойства
и
график.
Числовые
характеристики
распределения непрерывной случайной величины.
Случайные величины:
Законы распределения дискретных случайных величин:
биномиальное распределение, распределение Пуассона,
геометрическое распределение, гипергеометрическое
распределение.
Законы
распределения
непрерывных
случайных
величин:
нормальный
закон
распределения
вероятностей,
показательное
распределение;
равномерное
распределение;
логарифмическинормальное распределение.
Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных
величин. Асимметрия и эксцесс.
Система случайных величин
Интегральная функция распределения. Плотность
распределения вероятностей двух случайных величин.
Условные плотности распределения вероятностей.
Числовые характеристики распределения системы двух
№
раздела
Кол-во
часов
1.1
2
1.1
2
1.2
4
1.3
2
1.3
2
1.3
2
1.4
2
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
и более случайных величин и некоторые их свойства.
Предельные теоремы теории вероятностей
Значение предельных теорем в практике.
Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Центральные предельные теоремы
Элементы теории случайных процессов и теории
массового обслуживания.
Понятие Марковского случайного процесса.
Потоки событий.
Элементы теории случайных процессов и теории
массового обслуживания:
Процессы гибели и размножения. СМО с отказами.
Цепи Маркова и их использование в моделировании
социально-экономических процессов.
Введение в математическую статистику
Выборка. Среднее выборочное значение случайной
величины.
Эмпирические моменты. Выборочные среднее и
дисперсия как оценки среднего и дисперсии случайной
величины.
Методы нахождения точечных оценок. Интервальные
оценки. Доверительные интервалы для оценки средних и
дисперсии нормально распределенной случайной
величины
Теория оценивания параметров
Элементы теории корреляции.
Сглаживание экспериментальных кривых методом
наименьших квадратов.
Статистические гипотезы
Критерий Пирсона, критерий Фишера.
Некоторые примеры на проверку статистических
гипотез.
Многомерный статистический анализ
Оценки векторов средних значений и ковариационных
матриц, основные выборочные характеристики степени
тесноты множественных статистических связей;
ранговые корреляции и таблицы сопряженности.
Множественный корреляционно-регрессионный анализ.
Многомерный статистический анализ
Компонентный анализ.
Факторный анализ.
Многомерный статистический анализ
Кластер-анализ.
Классификация без обучения.
Дискриминантный анализ.
Многомерный статистический анализ
Канонические корреляции.
Множественный ковариационный анализ.
1.5
2
1.6
2
1.6
2
2.1
2
2.2
2
2.3
2
2.4
2
2.4
2
2.4
2
2.4
2
Замечание: При проведении практических занятий 12-17 необходимо использовать
ЭВМ.Так как студентам необходимо продемонстрировать использование современных пакетов
прикладных программ многомерного статистического анализа.
Перечень тем, рекомендуемых студентам для самостоятельного изучения.
1. Многомерное нормальное распределение.
2. Общие понятия о случайных процессах, пуассоновский процесс,
3. Марковский процесс.
4. Распределения Стьюдента, Фишера-Снедекора.
5. Метод моментов и метод максимального правдоподобия для точечныхоценок.
6. Статистический анализ количественных и качественных признаков.
7. Методы шкал при обработке качественных признаков.
8. Проблема размерности в многомерных методах исследования.
9. Многомерные методы оценивания и статистического сравнения.
10.Функции статистической обработки в пакетах прикладных программ.
11.Применение статистических методов в социально-экономических методах.
6. ГРАФИК ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Вид учебных
занятий
№ недели
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Лекции
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ПЗ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ИДЗ
№
1
№
2
Аттестация
(промежуточная)
А
А
А
7.Программное обеспечение
При выполнении индивидуальных работ по дисциплине используются персональные
ЭВМ типа Pentium-III, операционная система WINDOWS 98, приложения Word и Excel пакета
MicrosoftOffice 2000, математический
Пакет MathCad, математический Mathstatistica.
Методическое обеспечение практических занятий включает задачник по курсу [4], а
также методические указания к практическим занятиям. Имеются комплекты контролирующих
материалов по различным темам курса.
8.
№ п/п
1.
2.
3.
4.
5.
РЕЙТИНГОВАЯ ОЦЕНКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Наименование работ
Распределение
баллов
15
30
20
5
30
100
Теоретический материал
Лабораторные работы
Контрольные работы
Посещаемость
Экзамен/Зачет
Итого
Перевод баллов в пятибалльную шкалу
Отлично
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
85-100
71-84
60-70
Менее 60
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Специальность 080801.65 Прикладная информатика ( в экономике)
г. Арсеньев
2011
Вариант задания текущего контроля
по теме «Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула Бернулли»
ВАРИАНТ 1
1.
Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится
2.
В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта
герб.
наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
3.
В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны
9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.
4.
Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность
того, что изделие стандартное, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных
изделий только одно стандартное.
5.
В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4
детали. Найти вероятность того, что все извлеченные детали являются окрашенными.
6.
Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет не менее
двух раз.
Вариант индивидуального домашнего задания
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ №1
1.
Производится три выстрела из орудия по цели. Событие А(k) - попадание в цель
при k - выстреле (k = 1, 2, 3). Записать в алгебре событий : А - ровно одно попадание; В - хотя
бы одно попадание; С - хотя бы один промах.
2.
На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 м записано сообщение
длиной 20 м, на второй – записано аналогичное сообщение. Определить вероятность того, что в
интервале от 60 до 85 м не будет промежутка ленты, не содержащего записи, если начало обоих
сообщений равно возможно в любой точке от 0 до 180 м.
3.
Бросаются одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность событий: А -
сумма выпавших очков равна 8; В - произведение выпавших очков равно 8; С - сумма
выпавших очков больше, чем их произведение?
4.
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых кубиков,
которые затем перемешиваются. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный кубик
будет иметь окрашенных граней: а) одну, б) две, в) три ?
5.
В ящике находится а новых теннисных мячей и б игранных. Из ящика наугад
вынимают 2 мяча, играют и возвращают в коробку. Через некоторое время из ящика снова
берут 2 мяча. Какова вероятность того, что они будут новыми (а > 2, б >2)?
6.
Для участия в соревнованиях выделены студенты: 4 первокурсника, 6 -
второкурсников, 5 - третьекурсников. Вероятность того, что студент 1, 2 или 3 курса попадет в
сборную, равна 0.9, 0.7 и 0.8 соответственно. Наудачу выбранный студент попал в сборную. На
каком курсе вероятнее всего учится студент?
7.
Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность
следующих событий: А ={Сумма очков, равная 7, выпадет дважды}; D = {Ни разу не выпадет
сумма очков, равная 12}?
8.
Среди семян ржи 0.4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном
отборе 5 000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
9.
Случайная дискретная величина Х имеет только 2 возможных значения х1 и х2,
причем равновероятных. Доказать, что D[x] равна квадрату полу разности возможных
значений.
x  0,
0,

f ( x)  C sin 3x, 0  x   / 6,
0,
x   / 6.

10.
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией:
Найти: 1) функцию распределения F(x);
2) вероятность попадания на интервал [π/6, π/4];
3) M[x], D[x].
Тестовые задания
Тест №1.События и вероятность
1.
Возникновение или преднамеренное создание определенного комплекса условий S,
результатом которого является тот или иной исход, называется …
1) Испытанием
4)
Опытом
2) Событием
5)
Сочетанием
3) Вероятностью
6)
Экспериментом
1)
2)
3)
4)
5)
2.
Испытанием являются…
Подбрасывание игральной кости
Выпадение орла при подбрасывании монеты
Вытаскивание шара из урны, в которой три черных и семь белых шаров
Выстрел по мишени
Увеличение курса доллара в следующем месяце
1)
2)
3)
4)
5)
3.
Событием являются…
Выигрыш по лотерейному билету
Вытаскивание игральной карты из колоды в 36 карт
Подбрасывание монеты
Выпадение двух очков при подбрасывании игральной кости
Промах при выстреле по мишени
4.
Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость. Установите
соответствие:
А) Достоверное событие
1)
Выпало 3 очка
В) Невозможное событие
2)
Выпало больше 6 очков
3)
Выпало меньше 6 очков
4)
Выпало четное число очков
5.
Рассмотрим испытание: подбрасывается игральная кость.
События: А – выпало 3 очка иВ – выпало нечетное число очков являются:
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
6.
Рассмотрим испытание: из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, достают
наугад один шар.
События: А – достали белый шар иВ – достали черный шар являются:
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
7.
Несколько событий называются ____________, если в результате испытания
обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
8.
События называются ____________, если в результате испытания по условиям
симметрии ни одно из них не является объективно более возможным.
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
9.
События называются ____________, если наступление одного из них исключает
появление любого другого.
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
10.
Несколько событий образуют полную группу событий, если они являются
_____________ и __________________ исходами испытания.
1) Несовместными
4)
Равновозможными
2) Совместными
5)
Единственно возможными
3) Противоположными
6)
Достоверными
11.
Элементарными исходами (случаями, шансами) называются исходы некоторого
испытания, если они ______ и ______.
1) Несовместны
4)
Равновозможны
2) Совместны
5)
Единственно возможны
3) Образуют полную группу событий
6)
Достоверны
12.
Укажите вероятность достоверного события …
13.
Укажите вероятность невозможного события …
14.
Укажите вероятность практически невозможного события
1) 1
2) 0,99
3) 0
15. Укажите вероятность практически достоверного события
1) 1
2) 0,99
3) 0
4) 0,01
4) 0,01
16.
Известно, что Р(А) = 0,65. Укажите вероятность противоположного события Р(А)
1) 0,65
2) 0,35
3) 0,5
4) -0,65
А)
В)
С)
D)
E)
17.
Расположите события в порядке возрастания их вероятностей:
При подбрасывании двух монет два раза выпал герб
При подбрасывании игральной кости выпало число очков, большее четырех
Из колоды в 36 карт наугад достали туза
Из урны, содержащей пять белых шаров, наугад достали черный шар
При подбрасывании игральной кости выпало четное число очков
18.
Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти
события произойдут
А) При подбрасывании игральной кости выпадет число очков,
1) 0,5
большее 4
В) При подбрасывании монеты выпадет герб
2) 1
С) Из колоды карт (36 штук) достали туза
3) 1/9
4) 1/3
19.
Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти
события произойдут
А) При подбрасывании игральной кости выпадет число очков,
1) 0,6
меньшее 4
В) Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад
2) 0,4
достали белый шар
С) Из колоды карт (36 штук) достали карту бубновой масти
3) 0,25
4) 0,5
20.
Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти
события произойдут
А) При подбрасывании игральной кости выпадет число очков,
1) 1/36
кратное 3
В) Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара, наугад достали
2) 0,4
черный шар
С) Из колоды карт (36 штук) достали пиковую даму
3) 1/3
4) 0,6
21.
Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти
события произойдут
А) При подбрасывании игральной кости выпадет число очков,
1) 0,5
равное 3
В) Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров,
2) 0,25
наугад достали красный шар
С) При подбрасывании двух монет два раза выпал герб
3) 1/6
4) 1/3
22.
Установите соответствие между событиями и вероятностями, с которыми эти
события произойдут
А) При подбрасывании игральной кости выпадет число очков,
1) 1/6
большее 1
В) Из урны, в которой 6 белых, 4 черных и 10 красных шаров,
2) 0,3
наугад достали белый шар
С) При подбрасывании двух монет выпал герб и решка
3) 0,5
4) 5/6
23.
В урне 12 белых и 8 черных шаров. Вероятность того, что наудачу вынутый шар
будет белым равна…
24.
Вероятность того, что в наудачу написанном трехзначном числе все цифры
одинаковые, равна…
25.
На отрезке Lдлины 20 см помещен меньший отрезок l длины 5 см. Вероятность
того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадет также и на меньший
отрезок, равна …
26.
На отрезок [0; 1] наудачу брошена точка с координатой x. Вероятность того, что
координата х окажется больше 0,6, равна …
27.
В квадрат со стороной 𝑎 = 2наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта
точка попадет в круг, вписанный в квадрат, равна …
28.
В квадрат со стороной 𝑎 = 1 наудачу брошена точка. Вероятность того, что эта
точка попадет в треугольник, образованный точкой пересечения диагоналей и двумя
соседними вершинами квадрата, равна …
29.
В круг радиуса R = 1 вписан квадрат. Вероятность того, что точка, наугад
брошенная в круг, попадет в квадрат, равна …
30.
Упорядочить события по возрастанию относительной частоты:
А) Инфаркт миокарда возникает у 41 курящего 20 сигарет в сутки из 500 человек
В) Хорошо успевают 585 курящих из 3500 студентов
С) Часто болеют дети в 195 семьях, в которых курит один человек, из 300 семей
D) Курильщиками являются 508 человек старше 15 лет из 1500 человек
Е) Инфаркт миокарда возникает у 10 некурящих из 250 человек
31.
Установите соответствие…
А) Число размещений из n по т
В) Число перестановок
1)
2)
𝑛!
𝑛!
𝑚! (𝑛 − 𝑚)!
С) Число сочетаний из n по т
3)
4)
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)!
𝑚!
32.
Количество способов, которыми читатель может выбрать 4 книги из 11, равно
1) 353
2) 330
3) 341
4) 326
33.
Количество способов, которыми можно выбрать 5 экзаменационных билетов из 9,
равно
1) 135
2) 126
3) 121
4) 150
34.
Количество способов, которыми можно сформировать экзаменационный билет из
трех вопросов, если всего 25 вопросов, равно
1) 2500
2) 75
3) 575
4) 2300
35.
Количество способов, которыми можно выбрать двух дежурных из группы
студентов в 20 человек, равно
1) 200
2) 190
3) 20!
4) 18!
36.
Количество способов, которыми могут 3 раза поразить мишень 10 стрелков, равно
(каждый делает 1 выстрел)
1) 10
2) 30
3) 120
4) 720
37.
Количество способов, которыми можно выбрать 2 карты из колоды в 36 карт,
равно…
38.
Количество различных трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3,
равно…
1)
2)
3)
39.
Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Событие 𝐴𝑖 – попадание в
мишень i-м стрелком. Событие 𝐴̅𝑖 – промах i-м стрелком. СобытиеА – в мишень попали
два раза представляется в виде операций над событиями как…
̅̅̅1 + ̅̅̅
̅̅̅
4)
𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3 − (𝐴
𝐴2 + ̅̅̅
𝐴3 )
𝐴1 ∙ ̅̅̅
𝐴2 ∙ 𝐴3 + ̅̅̅
𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ ̅̅̅
𝐴3 + 𝐴1 ∙ ̅̅̅
𝐴2 ∙ ̅̅̅
𝐴3
̅̅̅
̅̅̅
5)
𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3 + 𝐴1 ∙ ̅̅̅
𝐴2 ∙ 𝐴3 + 𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ ̅̅̅
𝐴3
𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3
̅̅̅
6)
𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3 − ̅̅̅
𝐴1 ∙ ̅̅̅
𝐴2 ∙ ̅̅̅
𝐴3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
40.
1)
2)
3)
Укажите верные равенства ( - невозможное событие,  - достоверное событие):
4)
𝐴∙∅=𝐴
𝐴+=
5)
𝐴+∅ =∅
𝐴 + 𝐴̅ = 
6)
𝐴∙=𝐴
𝐴 ∙ 𝐴̅ = 
41.
Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Фирме полезно оценить
вероятность того, что: лицо является держателем акций (событие А); лицо является
держателем облигаций (событие В). Установите соответствие …
А) А+В
1)
Лицо является держателем только акций
В) АВ
2)
Лицо является держателем акций или облигаций
С) А – АВ
3)
Лицо является держателем только облигаций
4)
Лицо является держателем акций и облигаций
42.
Из появления событияВ с достоверностью вытекает появление события А.
Укажите верные равенства
1) А+В=А
3)
АВ=А
2)
А+В=В
4)
АВ=В
ТЕСТ №2. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.
Равенство 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) имеет место для ________ событий
1) Произвольных
4)
Противоположных
2) Несовместных
5)
Равновозможных
3) Совместных
6)
Единственно возможных
1)
2)
3)
2.
Равенство𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)имеет место для __________ событий
Произвольных
4)
Независимых
Несовместных
5)
Зависимых
Совместных
6)
Равновозможных
3.
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна …
4.
Сумма вероятностей противоположных событий равна …
5.
Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятности попадания в цель для
первого и второго стрелков равны 0,9 и 0,4 соответственно. Вероятность того, что в цель
попадут оба стрелка, равна …
1) 0,5
2) 0,4
3) 0,45
4) 0,36
6.
Урна содержит 6 белых и 9 черных шаров. Вероятность достать первым белый
шар, а вторым черный, равна (шар в урну не возвращается)
1) 6/25
2) 3/5
3) 9/35
4) 2/5
7.
В урне находится 1 белый и 2 черных шара. Из урны поочередно вынимают два
шара, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне
перемешиваются. Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна …
1) 2/9
2) 1/6
3) 2/3
4) 1/9
8.
По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при
первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1. Тогда
вероятность того, что мишень не будет поражена ни разу, равна …
1) 1,1
2) 0,03
3) 0,275
4) 0,003
9.
В группе 15 девушек и 5 юношей. Случайно выбраны двое дежурных.
Вероятность того, что оба дежурных – юноши, равна …
1) 5 4
2) 5 5
3) 5 5
4)



20 20
20 19
20 19
А)
В)
С)
5 4

20 20
10.
В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно достали два шара.
Упорядочить по возрастанию вероятности событий
Первый шар белый, а второй шар черный
Оба шара черные
Хотя бы один шар белый
11.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны достали три шара, не возвращая шары
обратно в урну. Вероятность того, что все шары белые равна…
12.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны достали последовательно два шара,
возвращая их обратно в урну. Вероятность того, что хотя бы один шар белый равна…
13.
В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны достали последовательно два шара,
возвращая их обратно в урну. Вероятность того, что все шары белые равна…
14.
В урне 1 белый и 9 черных шаров. Из урны достали три шара, не возвращая шары
обратно в урну. Вероятность того, что хотя бы один шар белый равна…
1) 0,7
2) 0,3
3) 0,9
4) 0,1
5) 0,6
6) 0,4
7) 0,2
8) 0,8
15.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,7. Стрелок делает два
выстрела по мишени. Вероятность того, что он попадет в мишень только один раз, равна
…
1) 0,21
2) 0,42
3) 0,63
4) 0,84
5) 0
6) 0,7
7) 1
8) 1,4
16.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0,9. Производится 5
выстрелов. Вероятность того, что будет хотя бы одно попадание в мишень, равна …
1) 1-0,95
3) 0,95
5) 1-50,9
5
5
2) 1-0,1
4) 0,1
6) 1-50,1
17.
В урне 2 белых и 8 черных шаров. Достают по очереди два шара. Вероятность
того, что оба шара белые равна … Установите соответствие
А) Первый шар вернули в урну
1) 1/25
В) Первый шар не вернули в урну
2) 1/35
3) 1/45
18.
Монета подбрасывается два раза. СобытиеА – первый раз выпал герб, событие В –
хотя бы 1 раз выпала решка. Условная вероятность𝑃𝐴 (𝐵)равна …
19.
Монета подбрасывается два раза. СобытиеА – второй раз выпал герб, событие В –
хотя бы 1 раз выпал герб. Условная вероятность𝑃𝐴 (𝐵)равна …
20.
Монета подбрасывается два раза. СобытиеА – хотя бы 1 раз выпал герб, событие
В – хотя бы 1 раз выпала решка. Условная вероятность𝑃𝐴 (𝐵)равна …
21.
Опыт состоит в последовательном подбрасывании двух монет. СобытиеА – герб
выпал на первой монете; событие В – хотя бы 1 раз выпала решка. СобытияА и В
являются …
1) Зависимыми
4) Несовместными
2) Независимыми
5) Равновозможными
3) Совместными
6) Противоположными
22.
Бросают две монеты. СобытиеА– герб выпал на первой монете; событие В – герб
выпал на второй монете. Вероятность событияА+В равна…
23.
Два событияА и В называются _________, если появление одного из них не
меняет вероятности появления другого
1) Зависимыми
4) Несовместными
2) Независимыми
5) Равновозможными
3) Совместными
6) Противоположными
ТЕСТ №3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА
1.
В первом ящике 7 красных и 9 синих шаров, во втором – 4 красных и 11 синих. Из
произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный равна …
1) 7 4
3) 1  7 4 
4) 1 7  4
1 7 4 


  
  
2)
9 11
2 9  11
2  16 15 
2  9 11 
2.
В первой урне 4 черных и 6 белых шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар
окажется белым, равна…
1) 0,45
2) 0,15
3) 0,4
4) 0,9
3.
СобытиеА может наступить лишь при условии появления одного из двух
несовместных событий H1 и H 2 , образующих полную группу событий. Известны
1
1
1
вероятность P ( H1 ) 
и условные вероятности PH ( A)  , PH ( A)  . Тогда
3
2
4
вероятность P(A) равна …
1) 3/4
2) 1/2
3) 1/3
4) 2/3
1
2
Формула полной вероятности имеет вид …
n
2) P( A)  Cnm p m q nm
P ( A)   P ( H i )  PHi ( A)
4.
1)
i 1
3)
P( A)  P( A1 )  PA1 ( A2 )
n
4)
P( A)   P( Ai )
i 1
5.
В первой урне 3 белых и 7 черных шаров. Во второй урне 1 белый и 9 черных
шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар
окажется черным, равна…
1) 0,8
2) 0,2
3) 0,4
4) 1,6
6.
В каждой из двух урн содержится 6 белых и 4 черных шара. Из первой урны во
вторую переложили один шар. Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны
после перекладывания, окажется белым, равна…
1) 0,2
3) 0,3
5) 0,4
7) 0,5
2) 0,6
4) 0,7
6) 0,8
8) 0,9
7.
Формула Байеса имеет вид …
n
1)
P ( A)   P ( H i )  PHi ( A)
2)
P( A)  Cnm p m q nm
P( A)  P( H )  PH ( A)
4)
PA ( H j ) 
i 1
3)
PH j ( A)  P( H j )
P( A)
8.
В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй урне 8 белых и 2 черных
шара. Из наугад выбранной урны достали белый шар. Вероятность того, что белый шар
достали из первой урны равна …
1) 0,4
3) 0,6
5) 0,8
2) 1/3
4) 2/3
9.
Если произошло событиеА, которое может появиться только с одной из гипотез
Н1, Н2, …, Hn образующих полную группу событий, то произвести количественную
переоценку априорных (известных до испытания) вероятностей гипотез можно по …
1) Формуле полной вероятности
4) Формуле Пуассона
2) Формуле Байеса
5) Формуле Муавра-Лапласа
3) Формуле Бернулли
10.
СобытиеА может наступить лишь при условии появления одного из трех
несовместных событий H1 , H 2 , H 3 , образующих полную группу событий. Известны
1
1
1
3
1
вероятности: P ( H1 )  , P ( H 2 )  , PH ( A)  , PH ( A) 
и PH ( A)  . Установите
4
2
2
4
4
соответствие
А) P(A)
1) 2/9
В) PA ( H1 )
2) 1/9
C) PA ( H 2 )
3) 9/16
D) PA ( H 3 )
4) 7/16
1
2
3
5) 2/3
6) 1/3
ТЕСТ №4. ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
1.
Установите соответствие
А) Формула Бернулли
1)
𝑃𝑛 (𝑚) ≈
В) Формула Пуассона
2)
𝑃𝑛 (𝑚) ≈
C) Локальная теорема Муавра-Лапласа
3)
4)
 𝑚 𝑒 −
𝑚!
𝜑(𝑥)
√𝑛𝑝𝑞
1 −𝑥 2
𝑃𝑛 (𝑚) ≈
𝑒 2
√2𝜋
𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛−𝑚
2.
Установите соответствие между формулой и условием ее использования
А) Формула Бернулли
1) 𝑛 ≥ 50 и 𝑛𝑝 =  ≤ 10
В) Формула Пуассона
2)
𝑝 ≥ 0,5
C) Локальная теорема Муавра-Лапласа
3)
𝑛 ≤ 50
4) 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝑝 ≠ 0, 𝑝 ≠ 1, 𝑛𝑝𝑞 ≥ 20
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.
Укажите все условия, предъявляемые к последовательности независимых
испытаний, называемой схемой Бернулли
В каждом испытании может появиться только два исхода
Количество испытаний должно быть небольшим: n ≤ 50
Вероятность успеха во всех испытаниях постоянна
В некоторых испытаниях может появиться больше двух исходов
Испытания являются независимыми
Вероятность успеха в каждом испытании зависит только от исхода
предшествующего испытания
4.
Укажите значение суммы
n
 P ( m) …
m 0
n
5.
Монета подбрасывается 10 раз. Установите соответствие между событиями и
вероятностями этих событий
А) Герб появился точно 5 раз
1) 1/1024
В) Герб появился точно 8 раз
2) 45/1024
C) Герб появился точно 10 раз
3) 120/1024
4) 252/1024
А)
В)
С)
D)
6.
Два равносильных противника сыграли 10 партий в шашки. Упорядочить события
по возрастанию их вероятностей (ничьи во внимание не принимаются)
Игрок А выиграл 8 партий
Игрок А выиграл 7 партий
Игрок А выиграл 6 партий
Игрок А выиграл 5 партий
7.
Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность попадания в мишень при каждом
выстреле постоянна. Вероятность того, что стрелок попадет по мишени не менее двух
раз, равна…
1) P5 (2)  P5 (3)  P5 (4)  P5 (5)
4) 1  P5 (0)  P5 (1)
2) P5 (2)
5) P5 (3)  P5 (4)  P5 (5)
3) 1  P5 (2)
6) 1  P5 (0)  P5 (1)  P5 (2)
8.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В семье 5 детей. Вероятность того,
что среди них точно 2 мальчика равна…
1) 5  0,513  0,492
4) 5  0,512  0,493
2) С52  0,513  0,492
5) С52  0,512  0,493
3)
6)
0,512
(1  0,51) 2
9.
Сделано 10 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле
0,7. Наивероятнейшее число попаданий равно …
10.
Всхожесть семян данного растения имеет вероятность 0,83. Наиболее вероятное
число проросших семян из 100 посеянных равно …
11.
Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность позвонить
любому абоненту в течение часа равна 0,001. Вероятность того, что в течение часа
позвонят точно 3 абонента, приближенно равна…
1) 0,0013
3) 3e 3
5) e3
2)
1
6e
4)
3e 3
3!
6)
1
e
12.
В ходе проверки аудитор случайным образом отбирает 60 счетов. В среднем 3%
счетов содержат ошибки. Параметр  формулы Пуассона для вычисления вероятности
того, что аудитор обнаружит два счета с ошибкой, равен …
13.
Формулой Пуассона целесообразно пользоваться, если …
1) n = 500, p = 0,4
3) n = 100, p = 0,02
5) n = 3, p = 0,5
2) n = 500, p = 0,003
4) n = 100, p = 0,5
6) n = 3, p = 0,05
14.
Теоремами Муавра-Лапласа целесообразно пользоваться, если …
1) n = 500, p = 0,4
3) n = 100, p = 0,02
5) n = 3, p = 0,5
2) n = 500, p = 0,003
4) n = 100, p = 0,5
6) n = 3, p = 0,05
А)
В)
С)
D)
Е)
15.
Монету подбросили 100 раз. Для определения вероятности того, что событиеА –
появление герба – наступит ровно 60 раз, целесообразно воспользоваться…
Формулой полной вероятности
Формулой Байеса
Формулой Пуассона
Локальной теоремой Муавра-Лапласа
Интегральной теоремой Муавра-Лапласа
А)
В)
С)
D)
Е)
16.
Монету подбросили 100 раз. Для определения вероятности того, что событиеА–
появление герба – наступит не менее 60 раз и не более 80 раз, целесообразно
воспользоваться…
Формулой полной вероятности
Формулой Байеса
Формулой Пуассона
Локальной теоремой Муавра-Лапласа
Интегральной теоремой Муавра-Лапласа
17.
Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
постоянна и равна 0,8. Вероятность того, что событие появится не менее 60 раз и не
более 88 раз, равна
1) P100 (60  m  88)  (88)  (60)
4) P100 (60  m  88)  (2)  (5)
2)
3)
P100 (60  m  88)  (88)  (60)
P100 (60  m  88)  (8)  (20)
5)
6)
P100 (60  m  88)  (2)  (5)
P100 (60  m  88)  (8)  (20)
18.
Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний
постоянна и равна 0,8. Вероятность того, что событие появится точно 88 раза, равна
1)
1 8
1 2
e
e
4)
2
2
2) (2)
5) (8)
8
3)
t2

1
e 2 dt

2 0
2
t2
x
t2
6)

1
e 2 dt

2 0
1)

1
e 2 dt

2 0
19.
Установите соответствие
А) Функция Гаусса (x)
В) Функция Лапласа (x)
x2
2)
3)
1 2
e
2
m e  
m!
20.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Вероятность того, что среди 100
новорожденных окажется 50 мальчиков, равна …
50
1) С100
 0,5150  0,4950
(100  0,51)50 e 51
3)
50!
 50  100  0,51 

2)  

100

0
,
51

0
,
49


4)
 50  100  0,49 



100

0
,
51

0
,
49


ТЕСТ №5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
А)
В)
С)
D)
Е)
G)
1.
Укажите дискретные случайные величины
Число очков, выпавшее при подбрасывании игральной кости
Дальность полета артиллерийского снаряда
Количество произведенных выстрелов до первого попадания
Расход электроэнергии на предприятии за месяц
Рост студента
Оценка, полученная студентом на экзамене по теории вероятностей
А)
В)
С)
D)
Е)
G)
2.
Укажите непрерывные случайные величины
Число детей, родившихся в течение суток
Температура воздуха
Количество произведенных выстрелов до первого попадания
Расход электроэнергии на предприятии за месяц
Рост студента
Оценка, полученная студентом на экзамене по теории вероятностей
3.
В денежной лотерее выпущено 1000 билетов. Разыгрывается пять выигрышей по
500 рублей, пять выигрышей по 400 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Если Х –
сумма выигрыша владельца одного лотерейного билета, то вероятность события (𝑋 = 0)
равна …
Задан ряд распределения случайной величины Х:
Х
-1
0
1
P
0,1
?
0,3
Значение 𝑝2 равно …
4.
А)
В)
С)
D)
E)
5. Установите соответствие между случайными величинами и
возможных значений
Число очков, выпавшее при подбрасывании игральной кости
1)
Оценка, полученная на экзамене
2)
Рост студента, см
3)
Количество появлений герба при 6 подбрасываниях монеты
4)
Процент завершенного строительства объекта спустя 1 год
5)
6. Если𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ), i = 1,..,n, то сумма
n
p
i 1
i
множествами их
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5, 6
2, 3, 4, 5
[48;272]
[0;100]
равна…
7. Из урны достают два шара. Случайная величина Х – количество белых шаров,
которые достали из урны. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
Х
0
1
2
P
28/45 16/45 1/45
Укажите условия, соответствующие ряду распределения случайной величины
А) В урне 5 белых и 5 черных шаров, шары доставали без возвращений
В) В урне 5 белых и 5 черных шаров, шары доставали с возвращением
С)
D)
E)
G)
В урне 1 белый и 9 черных шаров, шары доставали без возвращений
В урне 1 белый и 9 черных шаров, шары доставали с возвращением
В урне 2 белых и 8 черных шаров, шары доставали без возвращений
В урне 2 белых и 8 черных шаров, шары доставали с возвращением
8. Из урны достают два шара. Случайная величина Х – количество черных шаров,
которые достали из урны. Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:
Х
0
1
2
P
2/9
5/9
2/9
Укажите условия, соответствующие ряду распределения случайной величины
А) В урне 5 белых и 5 черных шаров, шары доставали без возвращений
В) В урне 5 белых и 5 черных шаров, шары доставали с возвращением
С) В урне 1 белый и 9 черных шаров, шары доставали без возвращений
D) В урне 1 белый и 9 черных шаров, шары доставали с возвращением
E) В урне 2 белых и 8 черных шаров, шары доставали без возвращений
G) В урне 2 белых и 8 черных шаров, шары доставали с возвращением
9. В урне 1 белый и 9 черных шаров. Из урны достают два шара. Случайная величина Х
– количество черных шаров, которые достали из урны. Установите соответствие между
условиями испытания и рядом распределения случайной величины
А) Шары в урну возвращаются
Х
0
1
2
1)
P
0,81 0,18 0,01
В) Шары в урну не возвращаются
2)
Х
P
0
4/5
1
1/5
2
0
3)
Х
P
0
0,9
1
0,1
2
0
Случайная величина Х задана законом распределения
x3
x1
x2
Х
10.
P
p1
p2
p3
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
x3
x1
x2
Х
Х
x12
x22
1)
3)
p3
p2
p1
P
p2
p1
P
2
Х
2)
P
x12
x22
x32
p12
p22
p32
4)
x32
p3
Х
x1
x2
x3
P
p12
p22
p32
11.
В результате испытания событиеА может произойти или не произойти. Случайная
величина Х –количество появлений событияА в одном испытании, Y–количество
появлений события А в двух независимых испытаниях. Случайная величина Yможет
быть представлена, как
1) X + X
3) 2  X
2) X
4) X2
Случайные величины Х и Yзаданы законами распределения
Х
1
2
3
Y
-1
0
1
P
0,2
0,3
0,5
P
0,6
0,1
0,3
Установите соответствие между случайными величинами и их возможными значениями
12.
A)
B)
C)
D)
Х+Y
XY
Y2
2X
1)
2)
3)
4)
5)
0, 1
1, 4, 9
2, 4, 6
0, 1, 2, 3, 4
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
Случайные величины Х и Yзаданы законами распределения
Х
-2
2
Y
-1
0
1
P
0,6
0,4
P
0,6
0,1
0,3
Случайная величина (ХY) примет значение 2 с вероятностью, равной …
13.
Случайные величины Х и Yзаданы законами распределения
Х
1
2
3
Y
-1
0
1
P
0,2
0,3
0,5
P
0,6
0,1
0,3
Случайная величина (Х – Y) примет значение 1 с вероятностью, равной …
14.
Случайные величины Х и Yзаданы законами распределения
Х
1
2
3
Y
0
1
P
0,4
0,1
0,5
P
0,7
0,3
Случайная величина (Х + Y) примет значение 3 с вероятностью, равной …
15.
Случайная величина Х задана законом распределения
Х
-2
1
2
P
0,5
0,3
0,2
Установите соответствие между случайными величинами и их законами распределения
А) 2Х
Х
1
4
1)
P
0,3
0,7
16.
В) Х2
2)
Х
P
-4
0,5
2
0,3
3)
Х
P
1
0,6
4
0,4
4
0,2
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
0
9
x2
Р
0,1
0,5
0,4
Если математическое ожидание M(X) = 5,6, то значение x2 равно …
1) 4
2) 6
3) 5
4) 3
17.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
3
4
7
Р
0,4
0,1
0,5
Математическое ожидание M(X) равно…
1) 4,67
2) 3
3) 7
4) 5,1
18.
1)
19.
Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по
формуле …
n
n
1 n
1 n
2
M ( X )   xi2
2) M ( X )   xi pi
3) M ( X )   xi pi
4) M ( X )   xi
n i1
n i 1
i 1
i 1
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
-2
0
5
Р
0,2
0,3
0,5
Математическое ожидание M(X) равно…
20.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
0
5
x3
Р
0,6
0,1
0,3
Если математическое ожидание M(X) = 3,5, то значение x3 равно …
1) 10
2) 6
3) 8
4) 12
21.
22.
A)
B)
C)
D)
Е)
23.
Известно, что M(X) = 2, M(Y) = 3 и Х, Y – независимы. Установите соответствие
M(3)
1) -1
M(2X)
2) 0
M(X+Y)
3) 3
M(X–Y)
4) 4
5) 5
M(XY)
6) 6
Выражение 𝑀(𝑋 − 𝑀(𝑋)) равно …
24.
Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения
вероятностей:
Х
-1
5
Р
0,4
0,6
Тогда дисперсия этой случайной величины равна …
1) 15,4
2) 8,64
3) 2,6
4) 2,93
25.
Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения
вероятностей:
Х
-1
5
Р
0,4
0,6
Тогда среднее квадратическое отклонение этой случайной величины примерно равно …
1) 15,4
2) 8,64
3) 2,6
4) 2,93
26.
Укажите все формулы, по которым можно рассчитать дисперсию дискретной
случайной величины
n
n
1)
D( X )   ( xi  M ( X )) 2  pi
2)
i 1
i 1
3)
D( X )  M ( X )  M ( X )
5)
D( X )  M ( X )  M ( X )
2
D ( X )   xi pi
2
n
4)
D ( X )   ( xi  M ( X ))  pi
i 1
27.
2
2
Известно M ( X ) и M ( X 2 ) . Установите соответствие между данными M ( X ) ,
M ( X 2 ) и соответствующим значением или  (X ) :
А) M ( X )  0,4 ; M ( X 2 )  4
1) 4,2
В)
2) 3,84
M ( X )  2,1 ; M ( X 2 )  6,3
3) 1,89
4) 4,4
28.
Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная законом распределения
вероятностей:
Х
-1
0
1
Р
0,3
0,1
0,6
Тогда дисперсия этой случайной величины равна …
1) 0,3
2) 0,09
3) 0,6
4) 0,81
29.
A)
B)
C)
D)
Известно, что D(X) = 2, D(Y) = 3 и Х, Y – независимы. Установите соответствие
D(3)
1) -1
D(2X)
2) 0
D(X+Y)
3) 3
D(X–Y)
4) 5
5) 8
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
-5
0
5
Р
0,1
0,4
0,5
Установите соответствие
A) Математическое ожидание
1) -5
B) Мода
2) 0
C) Медиана
3) 2
4) 5
30.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
-1
0
1
Р
0,2
0,1
0,7
2
Значение M ( X ) равно …
31.
32.
В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается пять выигрышей по
500 рублей, пять выигрышей по 400 рублей и десять выигрышей по 100 рублей.
Математическое ожидание выигрыша по одному лотерейному билету равно…
Тест №6. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной
величины
1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
0
2
4
Р
0,3
0,1
0,6
Значение F(2) равно …
2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Х
0
2
4
Р
0,1
0,5
0,4
На промежутке (2; 4] функция распределения случайной величины равна…
1) 0
3) 0,4
5) 0,6
7) 1
2) 0,1
4) 0,5
6) 0,9
3. Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Случайная величина Х – количество попаданий в
мишень. Значение F(6) равно …
4. Укажите справедливые утверждения для функции распределения случайной
величины
1) 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 3) lim 𝐹(𝑥) = 0 5)
lim 𝐹(𝑥) = 0
7) 𝐹(1) ≥ 𝐹(2)
𝑥→+∞
𝑥→−∞
𝐹(𝑥) ≥ 0
lim 𝐹(𝑥) = 1
2)
4) lim 𝐹(𝑥) = 1 6)
8) 𝐹(1) ≤ 𝐹(2)
𝑥→+∞
𝑥→−∞
5. Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид
0,
𝑥≤1
0,3,
1<𝑥≤2
𝐹(𝑥) = {
0,5,
2<𝑥≤3
1,
𝑥>3
Значение 𝑃(1,3 ≤ 𝑋 < 2,3)равно …
6. Случайная величина Х – рост человека, случайно отобранного из группы людей, см.
Значение вероятности 𝑃(𝑋 = 176)равно …
7. Х – непрерывная случайная величина, принимающая значения из промежутка [0; 100].
Значение вероятности 𝑃(𝑋 = 50)равно …
8. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид
0,
𝑥≤0
𝑥
𝐹(𝑥) = { ,
1<𝑥≤2
2
1,
𝑥>2
Плотность вероятности этой случайной величины на промежутке 1 < х ≤ 2 равна …
9. Укажите справедливые утверждениядля непрерывной случайной величины (F(x) –
интегральная функция распределения, (x) –дифференциальная функция распределения)
1) 0 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 1 3) 𝜑(1) ≥ 𝜑(2)
5)
𝜑(𝑥) = 𝐹 ′ (𝑥)
2)
4) 𝜑(1) ≤ 𝜑(2)
6)
𝜑(𝑥) ≥ 0
𝐹(𝑥) = 𝜑 ′ (𝑥)
10.
Укажите справедливые утверждениядля непрерывной случайной величины (F(x) –
интегральная функция распределения, (x) –дифференциальная функция распределения)
2
3)
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2) = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
1
5)
4)
∫
𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
1
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2) = 1
2)
+∞
2
𝑃(1 ≤ 𝑋 ≤ 2) = ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥
1)
𝑃(−∞ ≤ 𝑋 ≤ +∞) = 1
6)
0 ≤ 𝜑(𝑥) ≤ 1
11.
Укажите справедливые утверждениядля непрерывной случайной величины (F(x) –
интегральная функция распределения, (x) –дифференциальная функция распределения)
𝑥
1)
𝐹(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥
+∞
4)
−∞
𝑥
2)
𝐹(𝑥) = ∫ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥
𝐹(𝑥) = ∫
𝜑(𝑥)𝑑𝑥
−∞
5)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝜑(𝑏) − 𝜑(𝑎)
6)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
0
3)
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
12.
Укажите функцию, которая может быть плотностью вероятности некоторой
непрерывной случайной величины
0, x  1
0, x  1


1)  ( x)   x  1 / 2, 1  x  2
3)  ( x)   x  1 / 2, 1  x  2
0, x  2
1, x  2


0, x  1

 ( x)   x  1 / 2, 1  x  4
0, x  4

2)
0, x  1

4)  ( x)  1 / 2, 1  x  2
1, x  2

13.
Укажите функцию, которая может быть интегральной функцией распределения
некоторой случайной величины
0, x  1
0, x  1


1) F ( x)   x  1 / 2, 1  x  2
3) F ( x)  2  x, 1  x  2
0, x  2
1, x  2


0, x  1

F ( x)  1 / 2, 1  x  4
0, x  4

2)
0, x  1

F ( x)  1 / 2, 1  x  2
1, x  2

4)
14.
Случайная величина задана плотностью распределения  ( x)  2 x в интервале
(0; 1); вне этого интервала  ( x )  0 . Вероятность P(0  X  1 / 2) равна …
15.
Случайная величина задана плотностью распределения  ( x)  2 x в интервале
(0; 1); вне этого интервала  ( x )  0 . Математическое ожидание величины X равно …
1) 1/2
2) 1
3) 4/3
4) 2/3
16.
Случайная величина задана плотностью распределения  ( x)  x / 2 в интервале
(0; 2); вне этого интервала  ( x )  0 . Математическое ожидание величины X равно …
1) 1/2
2) 1
3) 4/3
4) 2/3
17.
Случайная величина задана плотностью распределения  (x ) в интервале (0; 1);
вне этого интервала  ( x )  0 . Математическое ожидание величины X равно …

1)

 x ( x)dx
2)

18.
 x ( x)dx

3)

1
 x ( x)dx
4)
0
  ( x)dx
0
Дисперсия непрерывной случайной величины может быть рассчитана по формуле

1)
  ( x)dx
1


2)
2
 ( x  M ( X ))  ( x)dx

3)
 ( x  M ( X ))
i 0
i
2
1
pi
4)
 x ( x)dx
0
19.
Непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке [11; 20] .
Вероятность P( X  0) равна …
1) 11/32
2) 5/16
3) 10/31
4) 11/31
20.
Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [1; 3] . Тогда
случайная величина Y  3X  1 имеет …
1)
нормальное распределение на отрезке [3; 9]
2)
нормальное распределение на отрезке [4;10]
3)
другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения
4)
равномерное распределение на отрезке [4;10]
21.
Непрерывная случайная величина равномерно распределена на отрезке [11; 26] .
Вероятность P ( X  4) равна …
1) 29/38
2) 29/37
3) 30/37
4) 15/19
22.
Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [2;1] . Тогда
случайная величина Y  2 X  2 имеет …
1)
нормальное распределение на отрезке [4; 2]
2)
равномерное распределение на отрезке [2; 4]
3)
нормальное распределение на отрезке [2; 4]
4)
другой (кроме равномерного и нормального) вид распределения
23.
Плотность вероятности равномерно распределенной непрерывной случайной
величины имеет вид …
1
, a xb
1)  ( x)  x  x , x  0
2)  ( x) 
ba

1
3)  ( x) 
e
 2
( x a ) 2
2 2

1
4)  ( x) 
e
 2 x
(ln xln a )2
2 2
24.
Случайная величина Х – равномерно распределена на отрезке [0; 15].
Математическое ожидание𝑀(𝑋)равно …
25.
Случайная величина Х – равномерно распределена на отрезке [0; 3].
Дисперсия𝐷(𝑋)равна …
1) 0,75
2) 1,5
3) 3
4) 6
26.
Плотность вероятностинормально распределенной случайной величины имеет
вид …
1
, a xb
1)  ( x)  x  x , x  0
2)  ( x) 
ba

1
3)  ( x) 
e
 2
( x a ) 2
2 2
27.
Плотность вероятностистандартной
величины имеет вид …
1)  ( x)  x  x , x  0

1
3)  ( x) 
e
 2
( x a ) 2
2 2

1
4)  ( x) 
e
 2 x
нормально
(ln xln a )2
2 2
распределенной
2)  ( x) 
случайной
1
, a xb
ba
x2
1 2
4)  ( x) 
e
2
28.
Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х при
𝑀(𝑋) = 2, 𝐷(𝑋) = 9, имеет вид:

1
1)  ( x) 
e
9 2
( x 2 )2
18

1
3)  ( x) 
e
 2
( x a ) 2
2 2

1
2)  ( x) 
e
2 2

1
4)  ( x) 
e
3 2
( x 9 )2
8
( x 2 )2
18
29.
 ( x) 
30.
 ( x) 
Нормально
1
e
2
x2

2
1
e
2
случайная
величина
Х
задана
плотностью
величина
Х
задана
плотностью
. Дисперсия 𝐷(𝑋) равна …
Нормально
x2

2
распределенная
распределенная
случайная
. Математическое ожидание𝑀(𝑋) равно …
1
𝑥
𝑡2
−
Функция Лапласа имеет вид (𝑥) =
∫ 𝑒 2 𝑑𝑡. Укажите верные соотношения
√2𝜋 0
1) (x) = – (x) 2) (–x) = – (x) 3) (–x) = (x)
4) (–x) = 0,5+(x)
31.
32.
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально
распределенной случайной величины Х соответственно равны 15 и 5. Вероятность того,
что в результате испытания Х примет значение из интервала (5; 20), равна
1) (20) – (5)
4) (2) – (1)
2) (20) + (5)
5) (1) – (0)
3) (1) + (2)
6) (5) + (10)
33.
Значение интеграла от плотности распределения стандартной нормально
распределенной величины
34.
1
2

e

x2
2
dx равно…

Значение интеграла от плотности распределения стандартной нормально
распределенной величины
1
2

e

x2
2
dx равно…
0
ТЕСТ №7. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
1. Совокупность наблюдений, отобранных
совокупности, называется
1) Репрезентативной
2)
3) Выборкой
4)
5) Сплошным обследованием
6)
случайным образом
из
генеральной
Вариантой
Частотой
Частостью
2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n  70 , полигон частот
которой имеет вид
Тогда число вариант xi  1 в выборке равно …
1) 8
2) 7
3. Объем выборки 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6 равен …
3) 70
4) 6
4. Мода вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равна …
5. Размах вариационного ряда, полученного по выборке 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6 равен …
6. Для выборки 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 установите соответствие между вариантой и ее
весом
А) 2
1) Частота равна 2
В) 3
2) Частость равна 0,1
С) 4
3) Накопленная частота равна 5
4) Накопленная частость равна 0,8
7. Объем выборки n = 50, частота варианты 𝑛2 = 5, частость этойже варианты равна …
8. Дан вариационный ряд
варианта 1
частота
4
5
7
9
7
3
1
Накопленнаячастость варианты 𝑥3 = 7равна …
9. Дан вариационный ряд
варианта 1
5
частота
5
7
Медиана этого ряда равна …
10.
7
10
9
3
Значение величины ̅̅̅̅̅̅̅
𝑥 − 𝑥̅ равно …
11.
Укажите абсолютные показатели вариации для вариационного ряда
1) Выборочное среднее
2) Среднее линейное отклонение
3) Размах
4) Коэффициент вариации
5) Выборочная дисперсия
6) Медиана
1)
3)
5)
7)
12.
Укажите относительные показатели вариации для вариационного ряда
Выборочное среднее
2) Среднее линейное отклонение
Размах
4) Коэффициент вариации
Выборочная дисперсия
6) Медиана
Относительное линейное отклонение
8) Исправленная выборочная дисперсия
13.
Математическое ожидание оценки 𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 равнооцениваемому параметру.
Оценка 𝜃̃𝑛 является
1) Смещенной
2) Состоятельной
3) Несмещенной
4) Эффективной
14.
Оценка𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 сходится по вероятности к оцениваемому параметру.
Оценка 𝜃̃𝑛 является
1) Смещенной
2) Состоятельной
3) Несмещенной
4) Эффективной
15.
Оценка𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 имеет наименьшую дисперсию из всех несмещенных
оценок параметра 𝜃, вычисленных по выборкам одного объема n. Оценка 𝜃̃𝑛 является
1) Смещенной
2) Состоятельной
3) Несмещенной
4) Эффективной
16.
Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 2, 3, 8, 8. Тогда несмещенная оценка математического
ожидания равна …
1) 5
2) 6
3) 5,5
4) 5,25
17.
Выборочная дисперсия вариационного ряда равна 3,5. Объем выборки равен 50.
Исправленная выборочная дисперсия равна …
1) 3,43
2) 3,57
3) 0,07
4) 3,5
18.
Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна
11. Тогда его интервальная оценка может иметь вид…
1) (10,5; 11,5)
2) (11; 11,5)
3) (10,5; 10,9)
4) (10,5; 11)
19.
Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 5, 6, 9, 12. Тогда несмещенная оценка математического
ожидания равна …
1) 8,25
2) 8,5
3) 8
4) 7
20.
Дана выборка объема n. Если каждый элемент выборки увеличить в 5 раз, то
выборочное среднее x …
1) Не изменится
2) Увеличится в 25 раз
3) Уменьшится в 5 раз
4) Увеличится в 5 раз
21.
А)
Установите соответствие между числовыми характеристиками и формулами
x
1) k
 xi ni
i 1
В)
Dx
2)
С)  x
3)
x2  x 2
4)
1 k
 xi ni
n i1
22.
1)
3)
x2  x 2
Выборочное среднее вариационного ряда вычисляется по формуле
𝑘
𝑘
2)
∑ 𝑥𝑖 𝑤𝑖
∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |𝑤𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑖=1
4)
)2
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ 𝑤𝑖
𝑛 ̅̅̅2
(𝑥 − 𝑥̅ 2 )
𝑛−1
√
𝑖=1
23.
1)
3)
Среднее линейное отклонение вариационного ряда вычисляется по формуле
𝑘
𝑘
2)
∑ 𝑥𝑖 𝑤𝑖
∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |𝑤𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑖=1
4)
)2
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ 𝑤𝑖
𝑖=1
𝑛 ̅̅̅2
(𝑥 − 𝑥̅ 2 )
𝑛−1
√
24.
1)
3)
Выборочная дисперсия вариационного ряда вычисляется по формуле
𝑘
𝑘
2)
∑ 𝑥𝑖 𝑤𝑖
∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |𝑤𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑖=1
4)
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑤𝑖
𝑛 ̅̅̅2
(𝑥 − 𝑥̅ 2 )
𝑛−1
√
𝑖=1
25.
Исправленное среднее
вычисляется по формуле
𝑘
1)
∑ 𝑥𝑖 𝑤𝑖
3)
𝑘
квадратическое
отклонение
вариационного
ряда
𝑘
2)
∑|𝑥𝑖 − 𝑥̅ |𝑤𝑖
𝑖=1
𝑖=1
4)
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 𝑤𝑖
𝑛 ̅̅̅2
(𝑥 − 𝑥̅ 2 )
𝑛−1
√
𝑖=1
Дан вариационный ряд
варианта 1
3
5
частота
7
3 10
Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями
А) x
1) 3,31
В) Dx
2) 3,3
26.
3) 3
4) 3,39
Дан вариационный ряд
варианта 1
2
частота
4
2
Величина ̅̅̅
𝑥 2 равна …
3
3
Дан вариационный ряд
варианта 1
2
частота
5
2
Выборочная дисперсияравна …
1) 4
2) 1,8
3
3
27.
28.
Дан вариационный ряд
варианта 1
2
3
частота
5
2
3
Исправленная выборочная дисперсия равна …
1) 4
2) 1,8
3) 0,84
4) 0,76
3) 0,84
4) 0,76
29.
30.
Дана выборка 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 4. Упорядочить по возрастанию числовые
характеристики
А) Выборочное среднее
В) Мода
С) Медиана
D) Размах
Дан вариационный ряд
варианта 2
5
7 10
частота
16 12 8 14
Установите соответствие между числовыми характеристиками и их значениями
А) x
1) 2
В) Mo
2) 5,76
C) Me
3) 6
4) 7
5) 10
31.
Дан вариационный ряд
варианта 1
3
6
частота
10 8 12
Значение эмпирической функции распределения𝐹 ∗ (𝑥)в точке 𝑥 = 5равно
1) 0
2) 8
3) 0,6
4) 0,8
5) 18
6) 30
7) 5
8) 12
32.
33.
Для некоторого количественного признака известно, что 𝑥̅ = 2,5и 𝜎 = 1,5.
Коэффициент вариации количественного признака равен
1) 60%
2) 167%
3) 250%
4) 150%
5) 10%
6) 2,5%
7) 1,5%
Дан интервальный вариационный ряд
варианта 166-170 170-174 174-178 178-182
частота
8
12
14
16
Установите соответствие
А) Интервал моды
1) 166-170
В) Интервал медианы
2) 170-174
C)
3) 174-178
4) 178-182
34.
Дан интервальный вариационный ряд
варианта
1-3
3-5
частота
2
3
Выборочная средняя равна…
35.
5-7
4
7-9
1
36.
Любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения
называется
1) Статистическим критерием
2) Нулевой гипотезой
3) Статистической гипотезой
4) Альтернативной гипотезой
37.
Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается называется
1) Статистическим критерием
2) Нулевой гипотезой
3) Статистической гипотезой
4) Альтернативной гипотезой
38.
Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a  20 , то конкурирующей гипотезой
может быть гипотеза …
1) H1 : a  30
2) H1 : a  20
3) H1 : a  20
4) H1 : a  20
39.
Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a  20 , то конкурирующей гипотезой
может быть гипотеза …
1) H1 : a  20
2) H1 : a  20
3) H1 : a  20
4) H1 : a  20
Шкала оценивания тестов и ИДЗ:
Процент правильных заданий
80%-100%
60%-80%
50%-60%
Менее 50%
Оценка
5 (отлично)
4 (хорошо)
3 (удовлетворительно)
2 (неудовлетворительно)
Вопросы к экзамену
1. Теория вероятностей. Основные понятия.
2. Классическое определение вероятности.
3. Элементы комбинаторики.
4. Сумма событий, произведение событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Примеры.
5. Относительная частота и частотный смысл вероятности случайного события.
6. Достоверное, невозможное, противоположное и несовместное события. Свойства их
вероятностей.
7. Геометрическое определение вероятностей. Задача о встрече. Задача Бюффона.
8. Понятие условной вероятности.
9. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых случайных событий.
10. Понятие гипотез. Формула полной вероятности.
11. Формула Байеса.
12. Независимые случайные события. Условие независимости 3-х случайных событий.
13. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение.
14. Предельная теорема Пуассона о редких событиях. Закон Пуассона.
15. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
16. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
17. Закон больших чисел (теорема Бернулли).
18. Виды случайных величин. Понятие закона распределение.
19. Задание дискретной случайной величины. Обзор стандартных законов распределения
дискретных случайных величин. Числовые характеристики дискретной случайной
величины. Начальные и центральные моменты.
20. Понятие интегральной функции распределения случайной величины.
21. Общие свойства интегральной функции распределения.
22. Непрерывная случайная величина, свойства плотности вероятностей.
23. Плотность вероятностей гауссовой (нормальной) случайной величины.
24. Системы случайных величин, их совместная функция распределения.
25. Совместная плотность вероятностей 2-х случайных величин. Ее свойства.
26. Независимые случайные величины.
27. Условные функция распределения и плотность вероятностей.
28. Гауссова плотность вероятностей.
29. Плотность вероятностей функции от случайной величины.
30. Плотность вероятностей суммы случайных величин.
31. Определение и основные свойства математического ожидания.
32. Дисперсия и стандарт отклонения случайной величины. Свойства дисперсии.
33. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.
34. Корреляционная матрица и коэффициенты корреляции.
35. Моменты и центральные моменты случайной величины.
36. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.
37. Центральная предельная теорема.
38. Основные понятия математической статистики.
39. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценки параметров.
40. Оценка математического ожидания.
41. Оценка дисперсии.
42. Доверительный интервал и доверительная вероятность.
43. Методы расчета сводных характеристик выборки. Метод произведений. Построение
нормальной кривой.
44. Произвольные корреляционные связи. Простейшие случаи криволинейной корреляции.
45. Статистическая проверка статистических гипотез. Основные понятия. Проверка
гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий согласия
Пирсона.
46. Распределение Стьюдента и его применение в математической статистике.
47. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Стирлинга и проверка гипотезы о его
значимости. Примеры.
48. Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его
значимости. Примеры.
49. Однофакторный дисперсионный анализ. Метод Монте-Карло. Цепи Маркова (основные
понятия).
Образец экзаменационного билета
1. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график.
2. Проверка гипотезы о законе распределения экспериментальных данных.
3. Студент разыскивает необходимую ему формулу в трех справочниках. Вероятность того,
что нужная формула окажется в первом, втором или третьем справочниках равна
соответственно 0.6; 0.7 и 0.8. Какова вероятность того, что формула содержится только в
одном справочнике?
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ФИЛИАЛ В г. АРСЕНЬЕВЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
Специальность 080801.65 Прикладная информатика (в экономике)
г. Арсеньев
2011
Основная литература
1.
Бородин,
А.Н.
Элементарный
курс
теории
вероятностей
и
математической статистики : учеб.пособие / А.Н. Бородин. – 8-е изд., стер. – СПб. :
Изд-во «Лань», 2011. – 256 с.
2.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика :
учеб. пособие / В.Е. Гмурман. – 12-е изд., перераб. – М. : Высш. образование,
2008. – 479 с. : ил.
3.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика :
учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : ЮНИТИДАНА, 2009. – 551 с.
4.
Теория вероятностей : учеб. пособие / И.Л. Елисеенко и др. –
Владивосток : Изд-во ДВГУ, 2005. – 116 с.
5.
Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.пособие / под
ред. В.И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 2011. – 287 с.
Дополнительная литература
1.
Боровков, А.А. Теория вероятностей / А.А. Боровков. – М. :Наука,
2.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные
2008.
приложения: учеб.пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 2-е изд.,
стереотип. – М.: Высшая школа, 2000. – 480 с.
3.
Вентцель, Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М. :Наука,
4.
Вентцель, Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
2003.
вероятностей: учеб.пособие для втузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 3-е изд.,
стереотип. – М.: Высшая школа, 2000. – 366 с.
5.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике /В.Е.Гмурман. – М., 2003.
6.
Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:
учеб.пособие для вузов /В.Е.Гмурман. – 6-е изд., стереотип – М.: Высшая школа,
2007. – 479 с.
7.
Гнеденко, В.В. Курс теории вероятностей / В.В. Гнеденко.– М. :Наука,
8.
Гусак,
2007.
А.А.
Справочное
пособие
к
решению
задач:
теория
вероятностей/ А.А.Гусак,Е.А. Бричикова. – Минск: ТетраСистемс, 2009. – 228 с.
9.
Данко,
П.Е.
Высшая
математика в
упражнениях
и
задачах/
П.Е.Данко,А.Г. Попов, Г.Я.Кожевникова. – М., 2001.
10.
Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика
/Н.Ш.Кремер. – М. :Наука, 2002.
11.
Лазарева, Л.И. Теория вероятностей, математическая статистика :
учеб.пособие / Л.И.Лазарева, А.А. Михальчук. – Томск: Изд-во ТПУ, 2000. – 137
с.
12.
Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций / под ред. А.А. Свешникова. –М.: Изд-во «Лань»,
2008, 448 с.
13.
Севастьянов, Б.А. Курс теории вероятностей и математической
статистики. – М. :Наука, 2002.
14.
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.-Наука, 1982.
Интернет-ресурсы
1.
Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – М. : Дашков и К, 2010. –
473 с. http://www.iprbookshop.ru/4444.html
2.
Бородин,
А.Н.
Элементарный
курс
теории
вероятностей
и
математической статистики : учеб.пособие / А.Н. Бородин. – 8-е изд., стер. – СПб. :
Изд-во «Лань», 2011. – 256 с. – http://e.lanbook.com/view/book/2026/
3.
Теория вероятностей и математическая статистика : учеб.пособие / под
ред. В.И. Ермакова. – М. : ИНФРА-М, 2011. – 287 с.
http://znanium.com/bookread.php?book=76845