Программа Теория вероятн., мат. статистика и случ. процессы+

Рабочая учебная программа дисциплины
3.1. Организационно – методический раздел
Цели и задачи дисциплины
Целями изучения дисциплины является изучение теоретических основ
и типовых приложений теории вероятностей и математической статистики,
ориентированных на обеспечение возможности статистического анализа
микро- и макроэкономических процессов и систем.
Основными задачами изучения дисциплины являются:
– изучение основных теоретических приложений теории вероятностей и
формул для нахождения вероятностей в условиях статистических
испытаний;
– изучение способов задания случайных величин различных типов,
описание их основных характеристик;
– изучение основных распределений непрерывных и дискретных
случайных величин и их основных характеристик;
– знакомство с основами теории случайных процессов;
– изучение методов статистической точечной и интервальной оценки
числовых характеристик случайных величин;
– изучение методов статистической оценки гипотез;
– изучение инструментальных методов решения статистических задач
В результате обучения студенты должны:
иметь представление:
о содержательных инженерных и научных задачах, использующих
статистические и вероятностные методы.
знать:
основные понятия и методы теории вероятностей, математической
статистики, вычислительные методы типа Монте-Карло.
уметь:
читать и использовать литературу по этим областям математики.
иметь навыки:
владения простейшими статистическими и вычислительными приемами,
используемыми в этих дисциплинах.
3.2. Формы текущего и промежуточного контроля
Очная форма обучения
Вид занятий (учебной работы)
4 сем ИТОГО:
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
32
32
16
16
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
48
48
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля-экзамен
52
52
100
52
52
100
Заочная форма обучения
Вид занятий (учебной работы)
5 сем ИТОГО:
Лекции
Лабораторные
Практические
КСР
Семинары
12
12
2
2
Итого аудиторных занятий:
РГЗ
Реферат
Курсовой проект (работа)
14
14
Другие виды самостоят. работы
Итого самостоятельных занятий:
ИТОГО:
Вид итогового контроля - экзамен
86
86
100
86
86
100
3.3. Объем и распределение часов дисциплины по модулям, разделам,
темам и видам занятий
ИТОГО
16
Случайные величины, векторы и их
3 распределения
6
4
10
7
17
4 Цепи Маркова
4
2
6
8
14
6
2
8
7
15
6
4
10
8
18
4
7
11
48
52 100
Задачи оценивания в
математической статистике
Проверка статистических
6
гипотез
5
7 Метод Монте-Карло
Итого
Форма контроля - экзамен
4
32
16
Реферат
8
4
РГЗ
8
Случайные события и их
2 вероятности
Семинары
4
2
КСР
9
1 Введение в теорию вероятностей
Практич.
7
Раздел дисциплины
Лаборат.
2
№
п/п
Лекции
Итого сам.работы
Другие виды сам.работы
Курсовой проект (работа)
Итгоо аудиторных
Очная форма обучения (4 семестр)
1 Введение в теорию вероятностей
1
Случайные события и их
2 вероятности
ИТОГО
Итого сам.работы
Другие виды сам.работы
Курсовой проект (работа)
Реферат
РГЗ
2
10 12
2
2
12 14
Случайные величины, векторы и их
3 распределения
2
2
12 14
2
14 16
2
2
14 16
2
2
12 14
2
2
12 14
14
86 100
4 Цепи Маркова
1
Задачи оценивания в
математической статистике
Проверка статистических
6
гипотез
5
7 Метод Монте-Карло
Итого
12
1
Итгоо аудиторных
Семинары
КСР
Практич.
Раздел дисциплины
Лаборат.
№
п/п
Лекции
Заочная форма обучения (5 семестр)
1
2
Форма контроля - экзамен
3.4
Содержание дисциплины
3.4.1. Основные вопросы разделов и тем модулей
1. Введение в теорию вероятностей.
Роль вероятностно-статистических методов в математических и
естественно-научных исследованиях. История развития теории вероятностей
и математической статистики. Доаксиоматические определения вероятности.
Парадоксы теории вероятностей.
2. Случайные события и их вероятности.
Аксиоматика Колмогорова. Действия над событиями. Теорема
сложения вероятностей. Условная вероятность. Формула полной
вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли. Предельные теоремы для
схемы Бернулли и для полиномиальной схемы.
3. Случайные величины, векторы и их распределения.
Случайные величины, векторы, их распределения, функции и плотности
распределения. Плотность преобразованного случайного вектора. Частные
случаи. Числовые характеристики случайных величин. .Коэффициент
корреляции. Двумерное нормальное распределение. Многомерное
нормальное распределение. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Центральная предельная теорема. Условные распределения и условные
математические
ожидания.
Экстремальное
свойство
условных
математических
ожиданий.
Примеры
вычисления
условных
математических
ожиданий.
Исследование
свойств
некоторых
распределений, часто встречающихся в задачах математической статистики.
4. Цепи Маркова.
Цепи Маркова. Матрица переходных вероятностей. Классификация
состояний цепи Маркова. Возвратность. Примеры (случайные блуждания в
евклидовом пространстве). Эргодическая теорема для цепей Маркова.
Финальные вероятности. Приложения цепей Маркова. Марковские цепи с
непрерывным
временем.
Простейшие
схемы
теории
массового
обслуживания.
5. Задачи оценивания в математической статистике.
Эмпирический подход к оцениванию. Несмещенные оценки.
Достаточные статистики. Эффективность. Способы построения эффективных
оценок. Неравенство Рао-Крамера. Метод максимального правдоподобия в
оценивании. Доверительные интервалы. Состоятельность. Асимптотическая
нормальность и эффективность оценок.
6. Проверка статистических гипотез.
Лемма Неймана-Пирсона и связанная с ней теория. Методы проверки
сложных гипотез. Построение критериев для конкретных задач проверки
гипотез.
Последовательный
анализ.
Байесовская
классификация.
Простейший дисперсионный анализ. Непараметрические методы проверки
гипотез.
Тема 6. Метод Монте-Карло.
Введение в метод статистических испытаний. Имитационные методы.
Методы вычисления интегралов большой размерности. Преимущества и
недостатки метода Монте-Карло. Методы уменьшения дисперсии. Примеры
решения конкретных задач методом Монте-Карло (решения систем
алгебраических уравнений, уравнений в частных производных и др.).
Простейшие методы моделирования случайных чисел с заданным
распределением.
Примерный перечень практических занятий
Задание 1. В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй
урне- с белых и d чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2
шара, а затем из второй извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот
шар белый.
вариант
a
b
c
d
1
12 8
3 5
2
17 3
4 4
3
16 4
5 2
4
15 5
6 1
5
14 6
5 2
Задание 2. На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из
прошлых данных известно, что a% деталей завода А и b% деталей завода В
оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказывается
бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
Вариант
a
b
m
n
1
15 25 80 20
2
30 10 90 10
3
20 5
85 15
4
5
30 70 30
5
5
15 60 40
Задание 3 Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле
равна р. Найти вероятность того, что при n выстрелах мишень будет
поражена к1 не менее к и не более к2 раз.
Вариант p к1 к2
n
1
0,2 1
3
6
2
0,3 600 660 2100
3
0,4 250 600 600
4
0,5 5
7
8
5
0,5 43 57 100
Задание 4. Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту
равно m. Найти вероятность того, что за время n минут прибудут а) s
самолётов; б) не менее s самолётов. Поток предполагается простейшим.
Вариант
m
n
s
1
4
2
2
2
5
3
3
3
4
5
6
7
8
6
7
8
4
2
3
Задание 6 Произведено n независимых испытаний. В каждом из них
вероятность появления события А равна p. Найти вероятность того, что
отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по
абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
вариант
n
p
ε
1
200 0,2 0,02
2
300 0,25 0,04
3
400 0,35 0,05
4
600 0,45 0,06
5
700 0,55 0,07
Задание 7 Дискретная случайная величина принимает значение xi с
вероятностями pi. Найти её математическое ожидание и дисперсию.
Вариант x1 x2 x3 p1 p2 p3
1
1
5
3
0,1 0,7 0,2
2
4
7
1
0,4 0,5 0,1
3
6
2
8
0,3 0,2 0,5
4
3
6
7
0,6 0,3 0,1
5
8
7
3
0,4 0,2 0,4
Задание 8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины Х имеет вид, показанный на графике. Найдите неизвестное число
m, функцию распределения F(x), математическое ожидание М(Х) и
дисперсию D(X).
Вариант
1
2
3
4
5
а
2
1
1
1
2
b
3
2
3
3
4
c
4
3
4
5
5
Задание 9 Плотность распределения вероятностей нормально
распределенной случайной величины X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти
неизвестное число γ, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х),
вероятность выполнения неравенства <X< β и |Х-М(Х)| <δ).
Вариант
а
b
c
β
δ

1
2
8
-2
1
4
0,1
2
3
4
5
2
2
2
2
6
4
10
12
-1
-3
-4
-5
2
3
4
5
5
6
7
8
0,2
0,15
0,25
0,05
Задание 10 Из текущей продукции произведён выбор распределённой
случайной величины Х валиков. Найти реализацию оценки математического
ожидания и стандартного отклонения распределённой случайной величины Х
– отклонения диаметра валика от номинала.
вариант от -20
до 15
1
7
2
6
3
5
4
4
5
3
от -15
до 10
11
12
13
14
15
от 10
до-5
14
13
15
16
17
от5
до 0
25
26
24
23
22
от 0
до
5
50
51
52
53
54
от 5
до
10
40
41
42
42
41
от 10
до
15
27
27
25
25
26
от 15
до
20
16
13
15
14
13
от 20
до
25
7
8
8
7
6
от 25
до
30
3
3
1
2
3
Задание 11 Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка
объёмом n пакетов. Средний вес пакета сахара в выборке Х̅ кг, выборочное
стандартное отклонение s кг. Найти доверительный интервал для среднего
веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной
вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины
доверительного интервала ±∆ . Проверить гипотезу о равенстве генеральной
средней 1 кг.
∆
Вариант Х̅ n σ
p
s
1
0,99 30 0,01 0,10 0,95 0,05
2
0,98 34 0,07 0,15 0,99 0,10
3
0,97 33 0,03 0,18 0,95 0,04
4
0,96 35 0,06 0,12 0,99 0,08
5
0,95 36 0,09 0,19 0,95 0,02
Задание 12 Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались
бракованными. Найти доверительный интервал доли бракованных изделий в
генеральной совокупности для доверительной вероятности p. Определить
необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного
интервала ±∆ . В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались
бракованными. Понизилась ли доля брака?
∆
Вариант n1
r1
p
n2
r2
1
1000 200 0,01 0,95 1100 190
2
3
4
5
1100
1200
1300
1400
190
180
170
160
0,02
0,09
0,08
0,07
0,99
0,95
0,99
0,95
1150
1250
1330
1430
185
170
165
155
3.4.2. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для
самостоятельной работы по разделам
Вариант №1 В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй
урне- с белых и d чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2
шара, а затем из второй извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот
шар белый.
вариант
a
b
c
d
1
13 7
2 5
2
11 9
6 2
3
10 10 1 6
4
9
11 3 5
5
8
12 2 6
Вариант №2 На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из
прошлых данных известно, что a% деталей завода А и b% деталей завода В
оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказывается
бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
Вариант
a
b
m
n
1
25 10 75 25
2
30 20 55 45
3
5
10 65 35
4
30 15 95 5
5
20 10 20 80
Вариант №3 Вероятность повреждения мишени стрелком при одном
выстреле равна р. Найти вероятность того, что при n выстрелах мишень
будет поражена к1 не менее к и не более к2 раз.
Вариант p к1
к2
n
1
0,7 1500 2700 2100
2
0,3 3
6
6
3
0,6 345 375 600
4
0,8 86
100 100
5
0,9 86
94
100
Вариант №4 Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1
минуту равно m. Найти вероятность того, что за время n минут прибудут а) s
самолётов; б) не менее s самолётов. Поток предполагается простейшим.
Вариант
1
2
3
4
5
m
4
5
6
7
8
n
8
7
6
3
2
s
4
2
3
4
2
Вариант №5 Произведено n независимых испытаний. В каждом из них
вероятность появления события А равна p. Найти вероятность того, что
отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по
абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
вариант
n
p
ε
1
800 0,6 0,08
2
900 0,65 0,09
3
1100 0,7 0,05
4
1200 0,75 0,04
5
300 0,8 0,02
Вариант №6 Дискретная случайная величина принимает значение xi с
вероятностями pi. Найти её математическое ожидание и дисперсию.
Вариант x1 x2 x3 p1 p2 p3
1
3
5
7
0,5 0,1 0,4
2
4
7
5
0,6 0,2 0,2
3
4
5
6
0,5 0,3 0,2
4
1
2
8
0,8 0,1 0,1
5
8
3
4
0,1 0,5 0,4
Вариант №7 Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины Х имеет вид, показанный на графике. Найдите
неизвестное число m, функцию распределения F(x), математическое
ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Вариант а b c
1
2 4 6
2
4 6 10
3
4 5 6
4
4 5 8
5
3 4 5
Вариант №8 Плотность распределения вероятностей нормально
распределенной случайной величины X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти
неизвестное число γ, математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х),
вероятность выполнения неравенства <X< β и |Х-М(Х)| <δ).
Вариант
а
b
c
β
δ

1
1
2
1
1
2
0,1
2
3
4
5
1
1
1
1
4
6
8
10
2
3
4
5
2
3
4
5
3
4
5
6
0,15
0,2
0,25
0,1
Вариант №9 Из текущей продукции произведён выбор распределённой
случайной величины Х валиков. Найти реализацию оценки математического
ожидания и стандартного отклонения распределённой случайной величины Х
– отклонения диаметра валика от номинала.
вариант от -20
до 15
1
7
2
6
3
5
4
4
5
3
от -15
до 10
12
13
13
14
11
от 10
до-5
15
16
17
18
19
от5
до 0
24
23
23
22
25
от 0
до
5
53
51
52
53
54
от 5
до
10
39
38
39
40
40
от 10
до
15
28
27
26
25
24
от 15
до
20
12
16
15
16
18
от 20
до
25
6
8
7
6
5
от 25
до
30
4
2
3
1
1
Вариант №10 Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная
выборка объёмом n пакетов. Средний вес пакета сахара в выборке Х̅ кг,
выборочное стандартное отклонение s кг. Найти доверительный интервал
для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной
вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины
доверительного интервала ±∆. Проверить гипотезу о равенстве генеральной
средней 1 кг.
∆
Вариант Х̅ n σ
p
s
1
1,01 32 0,02 0,11 0,99 0,09
2
1,02 37 0,08 0,13 0,95 0,06
3
1,03 38 0,04 0,16 0,99 0,03
5
1,04 39 0,10 0,14 0,95 0,17
100
1,05 31 0,05 0,17 0,99 0,01
Вариант №11 Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались
бракованными. Найти доверительный интервал доли бракованных изделий в
генеральной совокупности для доверительной вероятности p. Определить
необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного
интервала ±∆. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались
бракованными. Понизилась ли доля брака?
∆
Вариант n1
r1
p
n2
r2
1
1500 150 0,03 0,99 1570 140
2
3
4
5
1600
1700
1800
1900
140
130
120
110
0,04
0,06
0,12
0,05
0,95
0,99
0,95
0,99
1620
1780
1900
2000
135
120
115
108
Вариант №12 Для производства каждой из n1=53 деталей по первой
технологии было затрачено в среднем ̅Х1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для
производства каждой из n2=43 деталей по второй технологии было затрачено
в среднем ̅Х2 с (выборочная дисперсия s22 c2) Можно сделать вывод , что по
первой технологии требуется в среднем больше времени для производства
одной детали? Доверительная вероятность р.
Вариант ̅Х1 s12 ̅Х2 s22 p
1
37 5 36 4 0,99
2
37 7 35 7 0,95
3
38 8 33 8 0,99
4
42 3 40 5 0,95
5
40 2 34 4 0,99
Темы курсовых работ, рефератов
Не предусмотрены
3.4.3. Примерный перечень вопросов к зачету (экзамену) по разделам
учебной дисциплины
Вопросы для подготовки к экзамену
1. Случайные события. Алгебра событий.
2. Классическое определение вероятности.
3. Применение элементов комбинаторики к нахождению вероятностей.
4. Геометрические вероятности.
5. Статистическое определение вероятности.
6. Аксиоматическое определение вероятности.
7. Независимость событий. Условная вероятность.
8. Сложение и умножение вероятностей.
9. Формула полной вероятности.
10.Формулы Байеса.
11.Приложения вероятности в естествознании и кодировании.
12.Случайные величины.
13.Закон распределения случайных дискретных величин.
14.Математическое ожидание случайной дискретной величины и его
свойства.
15.Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства.
16.Моменты распределения.
17.Биномиальное распределение.
18.Распределение Пуассона.
19.Интегральные функции распределения и ее свойства.
20.Плотность вероятности.
21.Математическое ожидание и дисперсия случайной непрерывной
величины.
22.Равномерное распределение.
23.Нормальное распределение.
24.Понятие о методе Монте-Карло.
25.Неравенство Чебышева.
26.Закон больших чисел.
27.Теорема Бернулли - простейшая форма закона больших чисел.
28.Предельные теоремы Муавра-Лапласа.
29.Задачи математической статистики.
30.Статистический ряд. Гистограмма.
31.Оценка параметров распределения.
32.Доверительные интервалы.
33.Оценка неизвестной вероятности.
34.Критерий согласия Пирсона.
35.Понятие о простейших случайных процессах.
3.4.4. Рекомендуемые информационные источники
Основная литература
1. Красс М.С. , Чупрынов Б.П., Математика. – СПб.: Питер, 2010.
2. Кремер Н.Ш.. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Юнити-Дана, 2009
3. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Физматлит, 2009
Дополнительная литература
1. Н. Ш. Кремер Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
“Юнити”, 2000 – 542 с.
2. Гмурман В.Е.. Теория вероятностей и математическая статистика.
3. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач
по математике, т. 3,- М: Наука, 1990
4. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.- М.: Наука 1987
5. Боровков А.А.. Математическая статистика.- М: Наука, 1984
6. Егоров В.А., Малов С.В., Соколова И.В.. Специальные главы
теории
вероятностей (методические указания), СПбГЭТУ, 1997
7. Егоров В.А., Макшанов А.В. Методические указания к практическим
занятиям и индивидуальным домашним заданиям по математической
статистике, ЛЭТИ, 1983
8. Егоров В.А.. Оценивание. Методические указания к практическим
занятиям по математической статистике. СПбГЭТУ, 1994
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Перечень
программ
обучающих
и
контролирующих
компьютерных
1. http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт
Exponenta.ru».
2. http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и
производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные
учебники. Типовой расчет из задачника Кузнецова.
3. http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».
4. http://www. mathelp.spb.ru – «Высшая математика» (помощь студентам) –
Лекции, электронные учебники, решение контрольных работ.
5. http://www. mathelp.spb.ru – Лекции по высшей математике:
Математический анализ; Дифференциальные уравнения; Аналитическая
геометрия, Теория вероятностей и др.
6. http://www.fismat.ru – Высшая математика для студентов и абитуриентов
– интегралы и производные, ряды, ТФКП, дифференцирование, лекции,
задачи, учебники.
7. http://www.truba.nnov.ru – Сайт о математическом анализе.
8. http://www.aup.ru/books/i008.htm - Электронные книги по экономико-