На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции

В.К. Кузнецова,
учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г. Москва,
кандидат педагогических наук
Готовимся к ЕГЭ
Пособие для учащихся
Исследование функций по графику производной
В данной статье рассматриваются задачи входящие в ЕГЭ по математике, в
которых дан график производной функции (задание 7). В этих задачах
ставятся следующие вопросы:
1. В какой точке заданного отрезка функция принимает наибольшее (или
наименьшее) значение.
2. Найти количество точек максимума (или минимума) функции,
принадлежащих заданному отрезку.
3. Найти количество точек экстремума функции, принадлежащих заданному
отрезку.
4. Найти точку экстремума функции, принадлежащую заданному отрезку.
5. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции и в ответе указать
сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
6. Найти промежутки возрастания (или убывания) функции. В ответе указать
длину наибольшего из этих промежутков.
7. Найти количество точек, в которых касательная к графику функции
параллельна прямой вида у = kx + b или совпадает с ней.
8. Найти абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Краткая теория
1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет
положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.
2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак.
Если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет
отрицательное значение, то график функции на этом интервале убывает.
3. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной,
проведённой к графику функции в этой же точке.
4. В точках экстремума (максимума-минимума) функции производная равна
нулю. Касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ох.
Многие путают график производной и график функции. Поэтому в таких
зданиях, где дан график, сразу же нужно обратить своё внимание в условии
на том, что дано: график функции или график производной функции?
Если это график производной функции, то рассматривать его нужно как бы
«отражение» самой функции, которое просто даёт нам информацию об этой
функции.
Рассмотрим алгоритм решения задания.
Задача
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–2;21).
Ответим на следующие вопросы:
1. В какой точке отрезка [7;15] функция f(х) принимает наибольшее
значение.
На заданном отрезке производная функции отрицательна, значит, функция на
этом отрезке убывает (она убывает от левой границы интервала к правой).
Таким образом, наибольшее значение функции достигается на левой границе
отрезка, т. е. в точке 7.
Ответ: 7.
2. В какой точке отрезка [3;6] функция f(х) принимает наименьшее
значение.
По данному графику производной можем сказать следующее. На заданном
отрезке производная функции положительна, значит, функция на этом
отрезке возрастает (она возрастает от левой границы интервала к правой).
Таким образом, наименьшее значение функции достигается на левой границе
отрезка, то есть в точке х = 3.
Ответ: 3.
3. Найдите количество точек максимума функции f(х), принадлежащих
отрезку [0;20].
Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с
положительного на отрицательный. Рассмотрим, где таким образом меняется
знак.
На отрезке (3;6) производная положительна, на отрезке (6;16) отрицательна.
На отрезке (16;18) производная положительна, на отрезке (18;20)
отрицательна.
Таким образом, на заданном отрезке [0;20] функция имеет две точки
максимума х = 6 и х = 18.
Ответ: 2.
4. Найдите количество точек минимума функции f(х), принадлежащих
отрезку [0;4].
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с
отрицательного на положительный. У нас на интервале (0;3)
производная отрицательна, на интервале (3;4) положительна.
Таким образом, на отрезке [0;4] функция имеет только одну точку минимума
х = 3.
!!! Будьте внимательны при записи ответа – записывается количество
точек, а не значение х, такую ошибку можно допустить из-за
невнимательности.
Ответ: 1.
5. Найдите количество точек экстремума функции f(х), принадлежащих
отрезку [0;20].
Обратите внимание, что необходимо найти количество точек экстремума
(это и точки максимума и точки минимума).
Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной (с
положительного на отрицательный или наоборот). На данном в условии
графике это нули функции. Производная обращается в нуль
в точках 3, 6, 16, 18.
Таким образом, на отрезке [0;20] функция имеет 4 точки экстремума.
Ответ: 4.
6. Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите сумму
целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки возрастания данной функции f(х) соответствуют промежуткам,
на которых ее производная положительна, то есть интервалам (3;6) и (16;18).
Обратите внимание, что границы интервала не входят в него (круглые скобки
– границы не включены в интервал, квадратные – включены). Данные
интервалы содержат целые точки 4, 5, 17. Их сумма равна: 4 + 5 + 17 = 26
Ответ: 26.
7. Найдите промежутки убывания функции f(х) на заданном интервале. В
ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых
производная функции отрицательна. В данной задаче это интервалы (–2;3),
(6;16), (18;21).
Данные интервалы содержат следующие целые точки: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Их сумма равна:
( –1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Ответ: 140.
!!! Необходимо обратить внимание в условии: включены ли границы в
интервал или нет. Если границы будут включены, то и в
рассматриваемых в процессе решения интервалах эти границы также
необходимо учитывать.
8. Найдите промежутки возрастания функции f(х). В ответе укажите длину
наибольшего из них.
Промежутки возрастания функции f(х) соответствуют промежуткам, на
которых производная функции положительна. Мы уже указывали их: (3;6) и
(16;18). Наибольшим из них является интервал (3;6), его длина равна 3.
Ответ: 3
9. Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите длину
наибольшего из них.
Промежутки убывания функции f(х) соответствуют промежуткам, на которых
производная функции отрицательна. Мы уже указывали их, это интервалы
(–2;3), (6;16), (18;21), их длины соответственно равны 5, 10, 3.
Длина наибольшего интервала равна 10.
Ответ: 10
10. Найдите количество точек, в которых касательная к графику
функции f(х) параллельна прямой у = 2х + 3 или совпадает с ней.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной. Так как касательная параллельна прямой у = 2х + 3 или
совпадает с ней, то их угловые коэффициенты равны 2. Значит, необходимо
найти количество точек, в которых у′(х0) = 2. Геометрически это
соответствует количеству точек пересечения графика производной с
прямой у = 2. На данном интервале таких точек 4.
Ответ: 4
11. Найдите точку экстремума функции f(х), принадлежащую отрезку [0;5].
Точка экстремума функции это такая точка, в которой её производная равна
нулю, при чём в окрестности этой точки производная меняет знак (с
положительного на отрицательный или наоборот). На отрезке [0;5] график
производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с
отрицательного на положительный. Следовательно, точка х = 3 является
точкой экстремума.
Ответ: 3
12. Найдите абсциссы точек, в которых касательные к графику у = f (x)
параллельны оси абсцисс или совпадают с ней. В ответе укажите
наибольшую из них.
Касательная к графику у = f (x) может быть параллельна оси абсцисс или
совпадать с ней, только в точках, где производная равна нулю (это могут
быть точки экстремума или стационарные точки, в окрестностях которых
производная свой знак не меняет). По данному графику видно, что
производная равна нулю в точках 3, 6, 16,18. Наибольшая равна 18.
Можно построить рассуждение таким образом:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту
касательной. Поскольку касательная параллельна оси абсцисс или совпадает
с ней, её угловой коэффициент равен 0 (действительно тангенс угла в ноль
градусов равен нулю). Следовательно, мы ищем точку, в которой угловой
коэффициент, равен нулю, а значит, и производная равна нулю. Производная
равна нулю в той точке, в которой её график пересекает ось абсцисс, а это
точки 3, 6, 16,18.
Ответ: 18
Решите самостоятельно
Задача № 1.
На рисунке изображен график у= f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–8;4). В какой точке отрезка [–7;–3]
функция f(х) принимает наименьшее значение.
Задача № 2.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–7;14). Найдите количество точек максимума
функции f(х), принадлежащих отрезку [–6;9].
Задача № 3.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–18;6). Найдите количество точек минимума
функции f(х), принадлежащих отрезку [–13;1].
Задача № 4.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–11; –11). Найдите количество точек экстремума
функции f(х), принадлежащих отрезку [–10; –10].
Задача № 5.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–7;4). Найдите промежутки возрастания
функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
Задача № 6.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–5;7). Найдите промежутки убывания
функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти
промежутки.
Задача № 7.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функцииf(х),
определенной на интервале (–11;3). Найдите промежутки возрастания
функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задача № 8.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–2;12). Найдите промежутки убывания
функции f(х). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Задача № 9.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–10;2). Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(х) параллельна прямой
у = –2х – 11 или
совпадает с ней.
Задача № 10.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х),
определенной на интервале (–4;8). Найдите точку экстремума функции f(х),
принадлежащую отрезку [–2;6].
Задача № 11.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х). Найдите
абсциссу точки, в которой касательная к графику у=f(х) параллельна прямой
у = 2х – 2 или совпадает с ней.
Задача № 12.
На рисунке изображен график у = f′(х) — производной функции f(х).
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику
у = f(х) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.
Ответы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-7
1
5
-3
18
6
6
5
4
5
-3
1