Сборник типовых задач

СБОРНИК ЗАДАЧ
для семинарских занятий по дисциплине «Обнаружение и
распознавание сигналов»
Москва, 2016 год
Содержание:
Введение
Примеры выполненных задач
Задача 1. Вычисление функции автосвертки частотным методом с применением
алгоритма БПФ.
Задача 2. Вычисление свертки частотным методом.
Задача 3. Корреляционный метод обнаружения сигналов
Задача 4. Вычисление корелляционной функции для двух сигналов, один из
которых зашумлен.
Задача 5. Вычисление функции взаимной корелляции для двух радиосигналов.
Задача 6. Филтрация одиночного импульса в частотной области.
Задача 7. Изучение функций автосвертки и автоковариации применительно
к задачам обнаружения и распознавания сигналов.
Задача 8. Сравнение функций автосвертки и автоковариации.
Задача 9. Изучение свойств пространственного сигнала с шумами.
Задача 10. Изучение свойств автосверткисвертки, автоковариации и
спектральных свойств финитного сигнала.
Задача 11. Изучение свойств косинусного преобразования Фурье.
Задача 12. Получение Фурье-голограммы
Задача 13. Спектральный анализ с использованием вейвлетов Дебеши.
Задача 14. Исследование сигнала с помощью вейвлет – преобразования.
Задача 15. Сопоставление методов фильтрации с использованием БПФ и вейвлетпреобразования.
Задача 16. Сопоставление методов фильтрации с использованием БПФ и вейвлетпреобразования.
Задача 17. Оконное преобразование Фурье.
Задача 18. Корреляционный метод обнаружения сигнала.
Задача 19. Сравнение возможностей Wavelet и БПФ преобразований для
фильтрации.
Задача 20. Рассмотрим Wavelet преобразование изнутри, преобразование Дебеши.
Задача 21. Поток излучения во времени от просмотра объекта щелью.
Задача 22. Модель антенны с фазированной решеткой.
Задача 23. Моделируем фильтрацию сигнала для фильтра, заданного своей
передаточной функцией
2
3
4
4
5
6
7
8
9
11
13
14
16
18
19
21
22
23
25
27
28
30
32
34
36
40
Введение.
Настоящий сборник содержит описания задач и примеры их возможных решений,
которые рассматривались на семинарских занятиях по дисциплине « Обнаружение и
распознавание сигналов» в 2010/2011 учебном году. Разумеется, в следующих учебных
годах будут рассматриваться задачи, несколько отличающиеся от опубликованных.
Однако хочется думать, что содержание настоящего сборника поможет студентам 4 курса
легче ориентироваться в материалах по дисциплине.
Примеры решения задач содержатся в файле формата Word. К сборнику
прилагаются тексты программ, выполненных в среде MathCad 14.
3
Примеры выполненных задач
Задача 1. Вычисление функции автосвертки частотным методом с
применением алгоритма БПФ.
k  4 1000
График функции rect(x)
N  256
a  5
1
b  10
f ( x) 
f ( x)
1 if a  x  b
0.5
0 otherwise
n  0 N  1
dt 
0
0
5
10
10
15
x
N
График спектра. Обратите внимание на проявление эффекта
"близнецов"
F  f ( n dt)
n
обращение к процедуре БПФ
C  CFFT( F)
0.4
Cn
0.2
0
0
100
произведение Фурье-образов
функции rect(x):
0.5
G  C  C
0.4
n
n
n
обратное БПФ:
200
n
In
0.3
0.2
I  ICFFT( G)
0.1
0
0
100
200
n
4
Задача 2. Вычисление свертки частотным методом.
S  1
вычисление гауссоиды
  (  ) 2


S

h (  )  e
dt 
1
S
h(  )
N
0.5
H  h( n dt)
n
БПФ от гауссоиды:
R  CFFT( H)
K  C  R
n
n
0
 10
5
0
5
10

n
D  ICFFT( K)
График свертки гауссоиды с функцией rect(x).
0.5
0.45
0.4
Dn
0.35
0.3
0.25
0
100
200
n
Обратите внимание на эффект "циклической" свертки - неверно выбрано окно.
5
Задача 3. Корреляционный метод обнаружения сигналов
M  500
K  500
i  0 M
m  0 K
a1  30
b1  80
a2  100
b2  200
первый импульсный сигнал:
S1 
1 if a1  i  b1
i
0 otherwise
S2i
второй импульсный сигнал
S2   1 if a2  i  b2

 0 otherwise
i
1
S1i
0.5



0
вычисление
функции
взаимной
0
100
200
300
400
500
i
корелляции в координатной области:
Km
 S1kS2k m
cor 
m
k 0
график функции взаимной корелляции
K 1
0.2
0.15
corm 0.1
0.05
0
0
100
200
300
400
500
m
Найдите функцию автокорелляци для первого сигнала и оцените возможности
обнаружения данным способом.
6
Задача 4. Вычисление корелляционной функции для двух сигналов, один из
которых
зашумлен.
M  500
K  500
i  0 M
m  0 K
a1  30
b1  80
a2  100
b2  200
1
сигнал с шумами
S1 
rnd ( 1) if a1  i  b1
i
S2i
S1i
rnd ( 0.1) otherwise
0.5
детерминированный сигнал
S2   1 if a2  i  b2

 0 otherwise
i



0
0
100
200
300
400
500
i
вычисление функции взаимной корелляции:
Km
 S1kS2k m
cor 
m
k 0
функция взаимной корелляции
K 1
0.2
0.15
corm 0.1
0.05
0
0
100
200
300
m
7
400
500
Задача 5. Вычисление функции взаимной корелляции для двух радиосигналов.
M  500
K  500
i  0 M
m  0 K
a1  30
b1  80
a2  100
1
b2  200
первый радиоимпульс:
S2i
S1 
S1i
sin( 0.5 i) if a1  i  b1
i
0
0 otherwise
второй радиоимпульс:
S2   sin ( 0.5 i) if a2  i  b2

 0 otherwise
i



1
0
100
200
300
400
500
i
вычисление корелляционной функции:
График корелляционной функции
Km
 S1kS2k m
cor 
m
k 0
0.1
K 1
corm
0
 0.1
0
100
200
m
8
300
Задача 6. Филтрация одиночного импульса в частотной области.
a  50
r  2
N  256
сигнал, подлежащий фильтрации
n  0 ( N  1)
m  0 ( N  1)
f ( xy) 
1 if ( a  x  2a)  ( a  y  2a)
0 otherwise
k  10
dt 
10
E
 f ( n dt m dt)
n m
k
E
импульсный отклик фильтра:
 ( xr)  ( y r)
2
H( xy )  e
2

2
r
H
Дискретное преобразование Фурье от Е:
EF  CFFT( E)
9
EF
ДПФ от Н
Hd
n m
 H( n dt m dt)
Шаг 4:
HF  CFFT( Hd)
HF
отфильтрованный сигнал
Шаг 5.
свертка в частотной области:
R
n m
 EF
 HF
n m
n m
EFk  ICFFT( R)
EFk
10
Задача 7. Изучение функций автосвертки и автоковариации применительно
к задачам обнаружения и распознавания сигналов.
сигнал подлежащий обнаружению распознаванию:
rect( x) 
1 if 1  x  1
2
0 otherwise
1.5
rect ( x) 1
f1( x) 
0.2 if x  8  x  5
0.5
0.5 if 10  x  15
0
2
1 if 8  x  10
1
0
1
2
x
0 otherwise
f2( x) 
1 if 20  x  25
0.5 if 25  x  30
0 otherwise
f3( x) 
последовательность импульсов, в которой
содержится искомый сигнал
1 if 40  x  46
1.5
0 otherwise
f4( x) 
0.5 if 60  x  65
1
1 if 65  x  70
f5( x)
0 otherwise
0.5
f5( x)  f1( x)  f2( x)  f3( x)  f4( x)

cov ( z)  

0
100
0
20
40
f5( a)  rect( a  z) d a
60
80
x
0
2
График функции взаимной
ковариации импульсной
последовательности
и искомого сигнала
cov( z )
1
0
0
20
40
60
80
z
11
100
100

sv ( z)  

100
f5( a)  rect( z  a) d a
0
график функций, описывающих свертку импульсной последовательности и искомого
импульса
2
sv( z )
1
0
0
50
100
z
fd ( x) 
1 if 0  x  20
0.5 if 20  x  40
0 otherwise
12
Задача 8. Сравнение функций автосвертки и автоковариации.
исходная функция

sv1( z)  

100
1.5
fd ( a)  fd ( z  a) d a
0

cov1( z)  

1
fd( x) 0.5
100
fd ( a)  fd ( a  z) d a
0
0
 0.5
0
20
40
x
график функции
автовариации
график функции автосвертки
30
20
20
cov1( z )
sv1( z )
10
10
0
0
0
50
100
z
 40
 20
0
z
13
20
40
Задача 9. Изучение свойств пространственного сигнала с шумами.
Исходный пространственный сигнал
a  10
N  128
r  2
i  0 ( N  1)
j  0 ( N  1)
k  100
S
N
N N
N
f ( ij)  1 if 
 a  i dt  a 

 a  j dt 
 a 

2  2
2
2

0 otherwise
Спектр БПФ исходного сигнала
S
i j
 f ( ij)
S1  cfft( S)
Занесение белого шума в исходный сигнал
S1
S2
i j
 S
i j
 rnd( 1)
Сигнал с белым шумом.
14
S2
Спектр сигнала с белым шумом
после ВПФ.
k1  1
k2  6
S3  cfft( S2)
Фильтрация высоких пространственых
Частот:
S4
i j

S3
i j
if k1  S3
i j
 k2
0 otherwise
S3
S5  icfft( S4)
отфильтрованный сигнал с шумом
S5
15
Задача 10. Изучение свойств автосверткисвертки, автоковариации и
спектральных свойств финитного сигнала.
f1( x) 
1 if ( x  4)  ( x  8)
Исходный
сигнал
0.2 if ( x  8)  ( x  4)  [ ( x  8)  ( x  14
)]
2
0 otherwise
f2( x) 
1 if ( x  5)  ( x  7)
1.5
0.5 if ( x  7)  ( x  10)
f2( x) 1
0 otherwise
f3( x) 
1 if ( x  38)  ( x  48)
0.5
0 otherwise
f4( x) 
0
 20
1 if ( x  50)  ( x  51)
0
20
40
60
( x)
0.5 if ( x  51)  ( x  52)
Функция автоковариации
0 otherwise
5
4
f5( x)  f1( x)  f2( x)  f3( x)  f4( x)

cov ( t)  

3
cov( t )
2
10
1
f2( u )  f2( u  t) d u
 10
0
4
2
0
2
4
( t)
Функция автосвертки
4
3

y ( t)  

20
y ( t) 2
f2( a)  f2( t  a) d a
1
 20
0
10
1.001
1.0005
1
0.9995
16
0.999
 10
5
14
16
t
Исходный сигнал
f1( x)
12
0
x
5
10
18
20
Преобразование Фурье от функции моделирующей исследуемый сигнал:
1
0.5
z1( v )
0
 0.5
1
 10
5
0
5
10
(v)
График вещественной частии спектра f3(x)
1.5
1
f3( x)
0.5
0
30
35
40
45
50
x

z( v )  


f1( x) e
 2   i v  x
dx
График функции описывающей
вещественную часть спектра f(3)


z2( v )  

50
f3( x) e
 2   i v  x
1
dx
 20
0.5
z1( v)  Re( z( v) )
z3( v )
0
 0.5
17
1
 10
5
0
(v)
5
10
Задача 11. Изучение свойств косинусного преобразования Фурье.
исходный сигнал
N  10
1
T  1
n 
0.5
N
2
f ( x) 

N
f ( x)
1
 0.5
0
2
0.5
 0.5
1 if x 
T
4
 x
1
T
4
x
0 otherwise
Спектр косинусного Фурье-преобразования
0.6
0.4
T
2
1 
x
C( n )   
f ( x)  cos  2 n   d x
T
T



T

C( n)
0.2
6 4 2
2
n
T  2
N
2
f ( x1) 
0
 0.2

n
N
 C( n)  cos  2   n x1  



T 


2
Восстановленный сигнал для конечного числа гармоник
1.5
1
f ( x1)
0.5
4
2
0
 0.5
x1
18
2
4
2
4
6
1
Задача 12. Получение Фурье-голограммы.
Шаг 3.
N  128
Исходный пространственный сигнал
m  1 N  1
n  1 N  1
Vx  0.2
Ha( x)  cos ( 2   Vx x)
dx  2
ArHa

N
mn
 if ( m  40  m  60  n  40  n  6010)
ArHa
j  1
fi  0.5
Camp
mn
 ArHa
 exp( 2   j fi)
mn
Возьмем преобразование Фурье от введенных массивов:
FArHa  cfft( ArHa)
Gol  cfft( Camp)
Устраним методические ошибки БПФ:
FarHa
n m
 Gol


mod m
N
2




N  mod n
N
2


N 
Gol
fi1  0.51
Gol1
n m
Gol2
n m
Изображение голограммы
 FarHa
n m

 Gol1
 exp( 2   j fi1)
 exp( 2   j fi)
n m
2  exp(2 jfi1)
Gol2
19
Gol2
Gol3  icfft( Gol2)
Gol4
n m
Gol5
 Gol3
n m


mod m

Gol5
N
2
 Gol4n m 
n m





N  mod n
N
2


N 
 Gol4n m 
Gol5
Gol5
Восстановленная голограмма. Обратите внимание на артефакты в левом нижнем
углу - это последствия ошибки при восстановлении.
20
Задача 13. Спектральный анализ с использованием вейвлетов Дебеши.
n  2
 
n dn
2
f ( t)  ( 1) 
exp  t 
n
1
dt
0.5
2 t
f ( t)  4 t  e
2
 2 e
t
2
 ( t 1 0)
K  1
a  1
0
 0.5
b  0
1
Вейвлет Дебеши:
2
0
2
t
2

 ( t  b) 2
( t  b)  



K 1  2 
   exp

a
a







 ( t a b ) 
a
фильтруемый сигнал:
 ( t  50) 2

 10 
0.8
S( t)  exp 
0.6
S( t )
0.4
Вейвлет – преобразование:

S1( a b )  

0.2

0
S( t)   ( t a b ) d t
0
20
T  100
da  0.5
j  1 200
i  0 T
График вейвлет - преобразоваения
WS
i j
60
t

db  1
40
 S1( j da i db)
WS
21
80
100
Задача 14. Исследование сигнала с помощью вейвлет – преобразования.
Исследуемый сигнал
T1  200
1
t  0 T1
0.5
 ( t)  sin0.001 ( t  10)
2

U( t )
0
 0.5
U( t)  if ( t  10  t  190 ( t) 0)
1
n  0 127
0
50
100
150
200
t

WS1( a b )  

T1
U( t)   ( t a b ) d t
0
N1  128
dt 
Результат Вейвлет - преобразования
T1
N1
j  1 60
WW
t j
 WS1( j t)
U1  U( dt n)
n
WW
1
Вейвлет - спектр исследуемого сигнала
0.5
SW1n
0
SW  wave ( U1)
 0.5
SW
SW1 
n
n
max( SW )
1
0
50
22
100
n
Задача 15. Сопоставление методов фильтрации с использованием БПФ и
вейвлет-преобразования.
N  128 - Число отсчетов сигнала
Tc  1
- Длительность импульса
dt  0.1
- Шаг дискретизации
Tpf  dt  N - Физический размер окна
n  0 127 - Дискретный интервал окна
 0 - Начальное значение амплитуды сигнала
S
n
S  if ( Tc  n  dt  6  Tc cos ( 2  dt  n) 0) - Вычисление вектора значений сигнала
n
1
Форма
анализируемого
сигнала
0.5
Sn
0
 0.5
1
0
50
100
n
SN  S  rnd( 1)
n
n
2
Сигнал с аддитивным шумом
1
SNn
0
1
0
50
100
n
Вейвлет-преобразование анализиремого сигнала
S1  wave ( ( SN) )
S1
SN1 
n
n
max( S1)
23
Модуль
вейвлет-спектра
0.8
0.6
Re SN1n 
0.4
0.2
0
0
50
S2  fft( SN) - Преобразование
100
анализируемого сигнала
n
k  0 64
S2
S3 
k
k
0.6
k2  20
S3n

0.4

S3  if n  k2S2 0
n
Модуль спектра
Фурье
0.8
max( S2)
n
0.2
S4  icfft( S3)
0
0
20
40
60
n
Фильтрация и обратное вейвлет-преобразование:


S5  if n  k2S1 0
n
n
S6  iwave( S5)
Отфильтрованный
сигнал
Отфильтрованный
сигнал
1
2
0.5
1
Re S4n 
0
S6n
0
 0.5
1
0
50
100
1
0
50
100
n
n
24
Фурье
Задача 16. Сопоставление методов фильтрации с использованием БПФ и
вейвлет-преобразования.
N  128 - Число отсчетов сигнала
Tc  1
- Длительность импульса
dt  0.1
- Шаг дискретизации
Tpf  dt  N - Физический размер окна
n  0 127 - Дискретный интервал окна
S
n
 0 - Начальное значение амплитуды сигнала
S  if ( Tc  n  dt  6  Tc cos ( 2  dt  n) 0) - Вычисление вектора значений сигнала
n
Вейвлет-преобразование анализиремого сигнала:
2
S1  wave ( ( S) )
Форма
анализируемого
сигнала
1.5
Преобразование
Фурье
Sn
1
анализируемого сигнала:
0.5
S2  fft( S)
0
k  0 64
0
50
100
n
S2
S3 
k
k
10
max( S2)
8
Интервал фильтрации сигнала
по высшим гармоникам:
4
k2  20


S3  if n  k2S2 0
n
n
Модуль
вейвлет-спектра
6
S1n
2
S4  icfft( S3)
0
0
50
100
n
М
0.8
Модуль спектра
Фурье
0.6
Отфильтрованный
сигнал
0.8
S3n
0.4
0.6
S4n
0.2
0.4
0
0
20
40
60
0.2
n
0
25
0
50
100
n
Фильтрация и обратное вейвлет-преобразование:


S5  if n  k2S1 0
n
n
S6  iwave( S5)
2
отфильтрованный
сигнал
1.5
S6n
1
0.5
0
0
50
100
n
26
Задача 17. Оконное преобразование Фурье.
N  300
M  50
n  0 N  2 M
исходный сигнал
m  M  N  M
2
m  M  N  M
1
qn
2
ff ( t)  cos 0.001 ( t  15) 
0
1
t  1
2
i  0 M
0
100
w  expa2  i  0.5 M
i
q  ff ( n t )  cos 
n
 100
n
n 
0.8
 16    cos 

n
 100
wi
 19  
0.6
0.4

0.2
Добавим помехи (аддитивный шум):
0
sq  q  rnd ( 2)  1
n
300
4


 100 
n
q1  sin
200
n
0
10
20
30
40
i
n
b  34
s1  sq
m
График Фурье-спектра
mM
k  0 25
  0.1
N  300  M
n  0 N
S1
M
1
S1
n k


m0
if ( n  m)  00s1nm  w m exp  1 k   m
b
27
График Фурье-спектра (изоклины)
S1
50
Задача 18. Корреляционный метод обнаружения сигнала.
rect( x) 
4 if x  0.5  x  0.5
0 otherwise
В качесте исходного сигнала рассмотрим два rect-а,
шириной 50 и 100 мс соответственно
a  100
b  50
S1( x)  rect
x  1.5a 
S2( x)  rect
x b 



a

 b 
T  500
k  0 T
5
Время наблюдения 500 мс
T  1
S1  S1 trunc
4
  T 



 T 

k 
S2  S2 trunc
 T 

k

 T 

K  200
k
k
S1k 3
S2k
2
1
m  0 K
Корреляционная функция:
0
100
200
300
k
5
Km
4
 S2kS1k m
cor 
m
k 0
3
K 1
corm
2
1
0
0
100
28
200
m
300
Обнаружили наличие сигнала, Аналогично для двух координат.
rect1( xy) 
1 if ( x  0.5  x  0.5)  ( y  0.5  y  0.5)
0 otherwise
a1  9
b1  25
r1  4
S3( xy)  rect1
x  r1 a1 y  r1 a1 


a1 
 a1
S4( xy)  rect1
x  b1 y  b1 


b1 
 b1
I  100
i  0 I
J  100
j  0 J
S3
 S3 trunc
i
S4
 S4 trunc
i
i j
i j
  T   trunc j

 
 T
 T 
 


  T 




  T   trunc j

 
 T
 T 
 


  T 




K1  100
m1  0 K1
u1  0 K1
K1m1 K1u1
  S3ijS4i m1 j u1
cor2
m1 u1

i 0
j 0
( K1  1)
cor2
29
S3 S4
Задача 19. Сравнение возможностей Wavelet и БПФ преобразований для
фильтрации.
a  20
b  35
rect( x) 
10
ab
1
if ( x  a)  ( x  b )
0.5
rect ( x)
0 otherwise
0
 0.5
1
sin( 12x)
7
func( x)  rect( x)  
 
8
 8
0
10
20
30
40
x
A  2
1
N  256
0.5
  0.1
n  0 N  1
i  0 
N
func( x)
iw  0 
2
N
2
1
0
 0.5
SS  trunc( func( n)  A)
1
n
0
10
x
U  fft( SS)- Фурье
W  wave ( SS)
- Wavelet
2
Re Wn 
1
Re Un 
0
1
0
20
50
100
n
30
30
40
2
P  30
UF 
U if i  P
i
i
0 otherwise
Re UFn 
1
Re Un 
0
1
0
20
40
60
n
2
P2  P
WF
iw

W
if iw  P2
iw
Re WFn 
1
Re Wn 
0 otherwise
0
1
0
50
100
n
Возьмем обратные преобразования:
2
UFnew  UF
i
i
1.5
SSu  ifft( UFnew)
WFnew
iw
 WF
iw
SSwiw
SSuiw
1
0.5
SSw  iwave( WFnew)
0
 0.5
0
50
100
iw
Сравним результаты.
31
150
Задача 20. Рассмотрим Wavelet преобразование изнутри, преобразование
Дебеши.
 ( t) 
d
2
dt
2
 2
exp t
2
2 t
 ( t)  4 t  e
2
 2 e
t
2
1
( t)
tb
1( t a b)   

 a 
0
1
2
3
 10
2
2



1  2  ( t  b)   exp t  b  

 a    a  
 ( t a b ) 
5
0
5
10
t
a
a1  1 b1  0
m1( t)  1( t a1b1)
2
m2( t)  ( t a1b1)
m1( t ) 1
( t)
 ( t  10)
K( t)  sin 

1000
0
1
m2( t )
2
2


3
 10
5
0
5
10
t
модель речевого сигнала с пост.ампл.:
U( t)  K( t)
T1  300
4

W ( a b )  

2
T1
U( t)   ( t a b ) d t
U( t ) 0
0
2
T1  300
4

W ( a b )  

T1
0
50
100
t
U( t )   ( t a b ) d t
0
N1  1
N2  200
M1  N1
M2  N2
n  N1  N2
m  M1 M2
dt 
T1
M2
32
150
200
S
n m
 W( n dt m dt)
S2
n m

S
n m
if S
n m
0 otherwise
S2
f ( x)  W( x dt 0 dt)
S
60
40
f ( x)
20
0
0
5
10
x
33
 2
Задача 21. Поток излучения во времени от просмотра объекта щелью.
Два вида объектов: квадратный и прямоугольный; щель выступает в роли сканирующей
апертуры.
N  512 n  0 N  1
M  512 m  0 M  1
Tx  15a  10b  20
rect1( xy) 
dx  0.1
10 if ( Tx  x  Tx  a)  ( Tx  y  Tx  a)
0 otherwise
Rect1
n m
 rect1( n dxm dx)
rect2( xy) 
10 if ( Tx  x  Tx  a)  ( Tx  y  Tx  b)
0 otherwise
Rect2
n m
 rect2( n dxm dx)
Rect1
h ( xy ) 
Rect2
1 if 1  x  2
0 otherwise
34
hh
Rect1f  CFFT( Rect1)
Hhf  CFFT( hh )
Resrect1f
n m
 Rect1f
Rect2f  CFFT( Rect2)
 Hhf
n m
Resrect2f
1 m
n m
 Rect2f
 Hhf
n m
1 m
Resrect1  ICFFT( Resrect1f )
Resrect2  ICFFT( Resrect2f )
Resrect1
Resrect2
35
Задача 22. Модель антенны с фазированной решеткой.
N  256
M  256
n  0 N  1
m  0 M  1
a  0.5
( xy) 
1 if cos ( 2  a x)  0
0 otherwise
dx  1
dy  1

f

n m
 n  

2
M
m 
 if [ ( n  20)  ( n  N  20)  ( m  20)  ( m  M  20) ]

M
2
0 otherwise
ff  cfft( f )
f
ff
Устраним эффект близнецов, 2 метода:
ff_res
n m
 ff


mod n
N
2




N  mod m
M
2


M 
36
ff_res
j  0 N  1
ul
n m

ff
n
N
i  0 N  1
m
2
0  n  N   0  m  N 

 

2 
2

if
N
2
0 otherwise
ur
n m

ff
n
N
m
2
N
if
0  n  N    N  m  2 N 

 

2  2
2

if
 N  n  2 N   0  m  N 
2
 

2 
2

if
 N  n  2 N   0  m  N 
2
 

2 
2

2
0 otherwise
bl
n m

ff
n
N
m
2
N
2
0 otherwise
bl
n m

ff
n
N
m
2
N
2
0 otherwise
br
n m

ff
n
N
2
m
N
2
0 otherwise
Cres
n m
 ul
n m
 ur
n m
 bl
n m
 br
n m
Re( Cres )
37
if
 N  n  2N   N  m 2N
2
 

2  2
2

i  0 N  1
j  0 M  1
dx  0.1
T  15
rect( xy ) 
1 if
 1  x 
 2

1
1
 
y

2  2
1

2
0 otherwise
axa  10
bxb  20
U1( xy)  rect
x
y 

  exp( 2   i 0.1)
 axa bxb 
U2( xy)  rect
x
y 

  exp( 2   i 0.05)
 axa bxb 
i  0 N
j  0 M
Ud1
i j
 U1( i 0.1j  0.1)
Udf1  cfft( Ud1)
Ud2
i j
 U2( i 0.1j  0.1)
Udf2  cfft( Ud2)
Udf1 Udf2
38
Udf11
i j
Udf22
i j
 Udf1


N


N
mod i
 Udf2
mod i
2
2




M




M
N  mod j 
N  mod j 
2
2


M 


M 
Диаграмма направленности
Udf11 Udf22
39
Задача 23. Моделируем фильтрацию сигнала для фильтра, заданного своей
передаточной функцией.
  0.0001
Hf (  ) 
1
1  2.  i   
f0  10
N1  512
dt 
- Фильтр.
f1  100000
m1  0.7
1
N1
S1( t)  ( 1  m1 cos ( 2   f0 t) )cos ( 2   f1 t)- Сигнал
n  0 N1  1
Sl  S1( n dt)
n
k  0 
N1
2
Рассматриваем половину отсчётов.
S2  S1( n dt)  ( S1( n dt)  0)
n
Fs  CFFT( S2)
dVt 
1
dt
2
1.5
S1( t ) 1
0.5
0
 10
5
0
t
40
2
детектированный
сигнал
1.5
1
0.8
S3k
S2k
1
0.6
Hf_1k 0.4
0.2
0.5
0
0
0
100
200
0
100
200
k
300
k
0.4
Hf_1  Hf ( k dVt)
0.3
k
Fs_newk 0.2
0.1
0
0
50
100
k
S3  Fs
Результат фильтрации.
k
k
Fs_new  Hf_1  S3
k
k
k
S4  ICFFT( Fs_new)
0.36
0.34
0.32
S4k
0.3
0.28
0.26
0
100
200
300
k
41
300