Методические указания по дисциплине МОР (1)

Федеральное агентство по рыболовству
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение
высшего профессионального образования
«Астраханский государственный технический университет»
Институт экономики
Утверждаю:
Директор Института Экономики
проф.
к.э.н.____________А.А.Солоненко
« 30 » 09_2013 г.
Рассмотрено на учебно-методическом
совете, протокол № 4 от «30» 09 2013г.
Методические указания
«Методы оптимальных решений»
Направление подготовки
080100.62 «Экономика»
Профиль подготовки
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная /заочная
Автор: _________О.А. Прямухина
Программа рекомендована кафедрой
«Бухгалтерский учёт, АХД и аудит»
протокол
№ 12 от «30» 08 2013г.
Зав. кафедрой «Бухгалтерский учёт, АХД и
аудит»
к.э.н. проф. Молчанова О.В.______
Астрахань – 2013 г.
Приложение 1.
Содержание программы
Тема 1. Оптимальные решения в задачах планирования производства.
Математические методы и принятие рациональных управленческих решений.
Оптимизация как способ описания рационального поведения.
Взаимосвязь математической теории принятия решений, исследования операций и
системного анализа. Необходимость разработки и использования моделей. Моделирование,
его виды и этапы. Преимущества математического моделирования по сравнению с
натурными экспериментами. Основные этапы моделирования.
Классификация моделей по объекту исследования, уровню агрегирования,
применяемому математическому аппарату. Система экономико-математических моделей.
Тема 2. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.
Векторы и матрицы. Операции над векторами и матрицами. Свойства матриц.
Линейные пространства. Системы линейных алгебраических уравнений. Правила
прямоугольника.
Тема 3. Матричные экономические модели.
Модель поведения двух производителей на рынке одного товара. Стратегии
поведения дуополистов. Модели несовершенной и совершенной конкуренции. Модели
конкуренции на рынке информационных технологий.
Тема 4. Методы линейного программирования (МЛТ). Симплексный метод.
Задачи линейного программирования (ЛП), их особенности, место и роль в системе
оптимизационных математических моделей. Графический метод решения задачи ЛП.
Общая постановка и различные формы задачи ЛП. Примеры типичных постановок
задач ЛП: линейная модель производства, транспортная задача, задача о смесях. Переход
от описания проблемной ситуации к построению задач ЛП.
Тема 5. МЛП. Метод искусственного базиса
Максимизация линейной функции при линейных ограничениях. Критерий
неразрешимости исходной системы линейных уравнений.
Тема 6. Теория двойственности в линейном программировании
Взаимно двойственные задачи. Функция Лагранжа. Содержательная интерпретация
двойственных переменных. Анализ чувствительности оптимального решения к изменениям
параметров задачи.
Тема 7. МЛП. Двойственный симплекс метод.
Доказательство основной теоремы двойственности. Задачи двойственным
симплексным методом.
Тема 8. Линейная задача планирования производства
Задача оптимального планирования производства. Оценочные коэффициенты.
Вектор двойственных оценок. Теорема о дополняющей нежесткости.
Тема 9. Транспортная задача.
Открытая и закрытая транспортная задача. Методы решения транспортной задачи.
Метод потенциалов.
Тема 10. Динамическое программирование.
Постановка задачи динамического программирования. Задача оптимального
распределения инвестиций. Многошаговая задача управления производством и запасами.
Дискретные модели ценообразования опционов.
Тема 11. Теория игр.
Матричные игры. Принятие решений в условиях неопределенности. Биматричные
игры. Непрерывные игры. Позиционные игры.
Приложение 2.
Интерактивные формы обучения
Творческое задание
К теме 1.
Рассмотрите ситуацию установления цены в результате взаимодействия спроса и
предложения на совершенно конкурентном рынке. Из теоретической части следует, что
минимум средних затрат в условиях совершенной конкуренции определяет, до каких
пределов увеличиваются размеры фирм в ходе расширения масштабов производства,
поэтому, если этот минимум существует (кривая средних затрат как функция валового
выпуска имеет минимум), то при заданном отраслевом спросе число фирм,
функционирующих в отрасли, однозначно определено.
Для иллюстрации рассмотрите следующую микроэкономическую модель. Дана
функция отраслевого спроса Q D  130  4 P и функция общих затрат у фирм, оставшихся в
отрасли, TC  5  0,2Q 2 . Найти количество фирм, функционирующих в отрасли.
К теме 3.
Найти оптимальное решение (комбинацию благ, доставляющих максимальное
значение функции полезности) и построить графическую модель организации хозяйства
Робинзона, если его функция полезности задается выражением U  Q1  Q2 ,
производственные функции имеют вид:

Q1 ( L1 )  0,3 * p 2 L1

,


Q2 ( L2 )  0,4 p1 * L2  0,1 * p3 L2
свободное время равно 10 ч. (в сутки), а суточный бюджет рабочего времени
определяется следующим соотношением: L1  L2  14 .
В графической модели должны быть представлены следующие элементы: суточный
бюджет рабочего времени, обе производственные функции, линия производственных
возможностей, линия безразличия функции полезности, которая касается линии
производственных возможностей в оптимальной точке.
К теме 8.
Рассмотрите экономическую систему, которая состоит из двух потребителей и двух
фирм, каждая из которых производит по одному виду продукции. Предпочтения
потребителей представлены их функциями полезности:
 U 1  Q12,1 * Q1, 2
U i (Qi , j ) i  1, 2  
,
2
U 2  Q2,1 * Q2, 2
Доходы (бюджеты) потребителей формируются, во-первых, за счет продажи труда
(рассматривается только один фактор производства – количество труда) и, во-вторых, за
счет прибыли от деятельности фирм, собственниками капитала которых они являются.
Каждый индивид (потребитель) желает продать по равному числу единиц труда по одной и
той же цене r , так что L1S  LS2  10 p2 и L1S  LS2  5 p2 . Акции каждой фирмы распределены
между предприятиями поровну и вся прибыль распределяется на дивиденды.
Фирмы имеют фиксированный объем неизнашивающегося капитала и применяют
технологии, характеризующиеся следующими производственными функциями:
 Q1  p1 L1
. Требуется рассчитать для данной экономической системы модель

Q2  p 3 L2
общего экономического равновесия и вычислить суммарную ценность произведенной
продукции.
К теме 11.
Хорошенькая девушка Маша может прийти на дискотеку (которая продолжается
четыре часа) в момент времени t  0, 4 . Каждый из двух ее воздыхателей — Коля и Миша
— приходит на дискотеку только один раз в этот вечер. Если в момент прихода одного из
игроков Маша находится на дискотеке одна, то она весь вечер танцует с этим игроком (и
этот игрок выигрывает у своего противника единицу). Если же в момент прихода кого-либо
из воздыхателей Маши на дискотеке нет, или она уже танцует с «конкурентом», поклонник
уходит и больше в этот вечер на дискотеку не возвращается. Если ни один из игроков не
танцевал с Машей, то выигрыш каждого из них равен нулю. Каковы оптимальные стратегии
игроков?
Интерактивная лекция – «Оптимальные решения в задачах планирования
производства»:
- Что означают функции потребления и сбережения с точки зрения теории Дж. М.
Кейнса?
- Условия равновесия товарного рынка в краткосрочном периоде, «кейсианский
крест»?
- Каково соотношение между предельными и средними эффективностями
использования ресурсов в случае, если экономическая система описывается: а) линейной
производственной функцией; б) производственной функцией Леонтьева?
- Какова предельная норма замены труда капиталом в экономической системе,
которая описывается: а) мультипликативной производственной функцией; б) линейной
производственной функцией; в) производственной функцией Леонтьева.
- Примеры математических моделей экономических объектов.
Проблемная лекция – «Матричные экономические модели»:
- Основные элементы экономических моделей;
- Классификационные признаки для выделения различных типов математических
моделей экономических систем и их проблемы;
- Примеры теоретической и прикладной моделей экономической системы;
- Трудности, возникающие в процессе моделирования реальных экономических
систем и процессов.
Проблемная лекция – «Методы линейного программирования (МЛТ).
Симплексный метод»:
- Задачи линейного программирования (ЛП), их особенности, место и роль в системе
оптимизационных математических моделей;
- Графический метод решения задачи ЛП и его проблемы.
- Примеры типичных постановок задач ЛП и их проблемы: линейная модель
производства, транспортная задача, задача о смесях;
- Переход от описания проблемной ситуации к построению задач ЛП.
Лекция – пресс-конференция – «МЛП. Двойственный симплекс метод»:
- Какие задачи решаются симплекс-методом?
- Как строится исходная симплекс-таблица?
- Как осуществляется переход к следующему шагу и заполнение новой
симплекс-таблицы?
- Критерий оптимальности решения задачи ЛП?
- Что такое альтернативный оптимум?
- Признак неограниченности целевой функции?
- Доказательство основной теоремы двойственности.
Приложение 3.
Примеры контрольных работ.
Контрольная работа 1. (Темы 1,2.)
1. Даны векторы a = (15, –12, 2) и b = (8, 16, 24). Найдите ‹a + b, a - b› ,
‹2a + 3b, - a + 2b ›.
2. Даны матрицы
4 1  3 
 3 


 
2 8



 1 1 0  1
2 1 5

 1 

А= 
, В=  3  4  , С=   , d= 5 2 3 1 , E= 

3 0 2
5
2 0  2 1 





 
1 0

0 7

  2
1


 
Найдите матрицы AB, cd, dc, BE- AТ , если они существуют.
Контрольная работа 2. (Темы 3, 4.)
1. На производство поступила достаточно большая партия стержней длиной 250 и 190
см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см. и 450 заготовок длиной 80. Отходы
должны быть минимизированы. Построить математическую модель данной задачи.
2. Найти максимум функции F = x1+x2 при условиях: 2x1+4x2 ≤ 16, -4x1+2x2 ≤ 8, x1+3x2
≥ 9, x1,x2 ≥0. Обосновать.
3. Найти максимум функции F = 2x1+x2-x3+x4 -x5 при условиях x1+x2+x5=5, 2x1+x2+x4=
9, x1+2x2+x5=7, x1,x2,x3,x4 ,x5≥0. Указание: использовать симплекс метод.
4. Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три различных вида
сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не большем, чем 180, 210
и 236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 кг. продукции данного
вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице:
Вид сырья
Нормы затрат сырья на единицу продукции
Изделие A
Изделие B
Изделие C
I
4
2
1
II
3
1
3
III
1
2
5
14
12
Цена 1 кг. продукции 10
(т.р.)
Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы
затрат сырья на единицу которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг. равна
18 т.р. При этом функциональность старых линий производства не нарушается.
Определить, окупится ли открытие новой линии производства при таких предположениях.
5. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x›→max, c = (c1,...,cn), Ax=b,
b=(b1,...,bm). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const для любых
допустимых x.
Темы (4, 5, 6)
1. Решите данные задачи линейного программирования: а) графическим методом; б)
методом искусственного базиса:
2. Витамины А, В и С, которых требуется в день 6, 8 и 2 г соответственно, содержатся
в двух видах продуктов. Цена первого продукта равна 50 руб./кг, цена второго продукта
— 20 руб./кг., при этом в
1 кг первого продукта содержится 2 г витамина А, 4 г витамина В и
2 г витамина С; в 1 кг второго продукта содержится соответственно
2 и 3 г витаминов А и В (витамин С во втором продукте не содержится). Поставьте
задачу составления пищевого рациона минимальной стоимости и решите эту задачу:
а) графическим методом;
б) методом искусственного базиса; в) двойственным симплексным
методом.
3. Решите данные задачи линейного программирования симплексным методом:
4. Решите данные задачи линейного программирования методом искусственного базиса:
Контрольная работа №3 Темы (7, 8)
1. Для каждой из данных задач линейного программирования сформулируйте
двойственную задачу и решите ее графически, а затем с помощью теоремы о дополняющей
нежесткости найдите решение исходной задачи:
2. Для каждой из данных задач линейного программирования сформулируйте
двойственную задачу и найдите оптимальные решения обеих задач:
3. Решите данные задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ:
10
Контрольная работа №4. Темы 9, 10.
1. Фирма может выпускать два вида изделий, используя четыре вида
оборудования. По нормативам для изготовления одного изделия первого вида
оборудование первого, второго, третьего и четвертого вида придется занять соответственно
на 2, 3, 4 и 1 день. Аналогично, для изготовления одного изделия второго вида те же станки
придется занять в течение 6, 3, 0, 2 дней соответственно. Известен фонд времени
оборудования первого вида равен 18 дням, второго вида — 15 дням, третьего и четвертого
— соответственно 16 и 8 дням. Удельная прибыль от производства одного изделия первого
вида составляет 600 руб., а от производства одного изделия второго вида — 900 руб.
Составьте математическую модель поставленной задачи и решите эту задачу: а)
графическим методом; б) симплексным методом.
Найдите оптимальный план производства, обеспечивающий фирме
наибольшую прибыль, а также двойственные оценки каждого вида
оборудования и дайте им экономическую интерпретацию.
2. Фирма выпускает из железа и проволоки трансформаторы двух видов. На один
трансформатор первого вида тратится 5 кг железа и 3 кг
проволоки, изготовление одного трансформатора второго вида требует затрат 3 кг
железа и 2 кг проволоки. От реализации одного трансформатора фирма получает прибыль
600 и 500 руб. соответственно. Ежемесячно фирма закупает для 4,8 т железа и 3 т
проволоки.
Определите: а) сколько трансформаторов каждого вида необходимо выпускать для
получения максимальной прибыли; б) каковы двойственные оценки ресурсов; в) по каким
максимальным ценам имеет смысл закупать ресурсы; г) каковы остатки ресурсов после
выполнения месячного оптимального плана производства; д) какие ресурсы образуют узкие
места; е) какое оптимальное количество ресурсов, образующих узкие места, следует
заказать дополнительно.
Тема 11.
1. Докажите, что если первый игрок будет играть в соответствии со своей оптимальной
смешанной стратегией, а второй игрок выберет свою j-ю чистую стратегию (при условии,
что j-я компонента вектора оптимальной смешанной стратегии второго игрока строго
больше нуля), то математическое ожидание выигрыша первого игрока будет равным цене
игры.
2. Производитель премиальных кондитерских изделий ежедневно изготавливает и
продает от одного до трех эксклюзивных тортов. Срок годности торта ограничен: если торт
не продан за один день, его приходится утилизировать (стоимость утилизации — 500 руб.).
Если спрос на торты превышает их фактически произведенное количество, недостающие
торты обязательно нужно произвести, но это придется делать в сверхурочное время. При
нормальном производственном цикле себестоимость одного торта составляет 5000 руб.,
при сверхурочной работе — 7000 руб. Все торты реализуются по цене в 10 000 руб.
Вероятности того, что дневной спрос составит 1, 2 и 3 торта, равны соответственно 0,4, 0,5
и 0,1. Составьте матрицу последствий и матрицу сожалений, определите решения по
критериям Вальда, Сэвиджа, максимального ожидаемого дохода и минимальных
ожидаемых сожалений.
11
Приложение 4
Лабораторные работы
3 семестр
Тема 1. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений.
1. Вычислить определители третьего порядка:
2 3 4
5 6 7
1) 0 1 0 ;
2) 1 1 2 ;
2 2 4
3 1 1
1 2 8
3) 2 4 6 ;
1 0
1
1 2 3
4) 1 2 8 ;
1 6 14
5 10 15
5) 3 1 0 ;
1 0 1
1 1 0
6) 0 2 1 ;
1 0 3
8 9 10
7) 5 3 2 ;
1 6 7
1 2 6
8) 7 5 3 ;
5 9 15
0 1 2
9) 1 0 3 ;
2 3 0
6 3 7
10) 5 2 1 ;
4 1 5
2 3 2
11) 5 0 1 ;
1 6 4
2. Вычислить определители четвертого порядка
2 3 5 1
4 8 5 2
0
1

3
0
1)
; 2) 2 4 7 0 ;
4 2 3 1
1 1 2 0
0 1 2 0
3 5 4 1
5
11
4)
0
0
7 2
4 12
3 6
5 0
2
7;
7
2
1 0 2
12) 4 3 2 .
1 4 3
4 0 2 7
3) 1 1 1 2 ;
5 6 8 3
0 6 5 2
2 3 4 5

5) 8 7 6 5 ;
1 2 3 4
9 8 7 6
0 1 3 0
6) 3 0 1 0 ;
0 2 4 3
3 2 0 1
2 0 0 1
1 0 1 3
6 2 0 1
0
1
0
3
3
1
0
1
7)
;
8)
;
9) 0 13 0 5 .
0 2 3 0
1 0 3 1
6 1 1 0
0 1 2 0
0 1 0 3
3 5 0 1
3. Пользуясь свойствами определителей, вычислить следующие определители:
sin 2  1 cos 2 
1) sin 2  1 cos 2  ;
sin 2  1 cos 2 
4) cos x  sin x ; 5)
sin x cos x
ab c 1
2) b  c a 1 ;
ca b 1
a 3  b3
4. Вычислить определители:
0 0 1 0 1
1 2 3 4 5
1) 1 0 3 0 1 ; 2)
5 4 3 2 1
1 0 1 0 1
3
0
3) 0
1
2
2
3
0
0
1
1
2
3
0
0
0
1
2
3
0
0
0
1;
2
3
b
x a x  a
3) y b  y   b ;
z c  z  c
x2  a2
a
; 6) y 2  a 2
1
z 2  a2
a b
1 1 0 3
2 2 1 0
2 0 1 3
1 0 4 5
0 2 1 3
1
0
1
4)
3
0
2
ax 1
ay 1 ; 7) ctgx 1 .
2
tgx
az 1
2
1
1;
0
1
0 2 1 1 2
1 2 2 0 1
0 1 1 0 0
;
1 1 2 1 1
1 0 1 0 0
1 1 2 0 1
12
1 2 1 2 0
0 0 1 2 1
5) 1 0 2 1 0 ;
0 1 2 4 1
0 2 3 1 0
2 3 1 0 1
1 1 0 1 3
6) 2 1 1 0 0 ;
3 2 0 1 2
3 2 0 1 3
0 1 1 0 0
1 0 1 1 0
7) 1 1 0 1 1 ;
0 1 1 0 1
0 0 1 1 0
2 1 1 0 2
2 0 2 1 0
8) 1 1 2 1 1 .
1 1 1 0 1
1 0 2 1 0
ax 2 4
5. Определить, при каком значении параметра a уравнение 1 x 0  0 имеет ровно один корень.
1 0 1
6. Решить уравнения:
3x
1) 0
2x
2 3x 1
1 1  2 x 1 ;
1 2x
1 x
2) 1 0
2 2
1 1 2
x 0 2
3) x 2 x  1 2 1 ;
3 1 1  x 1 1
1
x 1  3;
x
x
x 2 x
1
x 2
4) x  1 1 0   x 1 0 ;
1 1
1
1 0 1
1
5) sin 2 x cos 2 x  .
sin 4 x cos 4 x 2
7. Найти среднее арифметическое корней уравнения
x 1
x 1
2
2  9 x  4,5 .
( x  1)3 ( x  2)3
8. Найти произведение корней уравнений:
x 1
x
2
x 1 1
0
0
x  0;
x  1 1  1 .
1) x  1
2) 1
2 2  x 1
0
1
x 1
1 x  1 3x
9. Найти наименьшее и наибольшее значения определителя 1
x
4 на отрезке x   1;4 .
1
2
1
10. Решить неравенства:
10 x  1 2
1 1 2
2 x 2
1) x  1 5
1  70 ; 2) 2 x x  1 2  x ;
2
0
1
x 3 3 1 1 x
1 x 0 1
3) 1 1 0 x  0 ;
1 0 1 0
x 2 1 1
2x
0
0
1

x
1
1
5)
0
0 x 1
x  2 1 1
x 1 0
1
4) 1   x 2
1
0
x  2 1
0 1
1 2  3 ;
1 1
1 0
x
2  0.
1
0
4 2 3
11. Вычислить определители и все алгебраические дополнения их элементов: 1) 0 1 2 ; 2)
3 1 2
3 2 1
7 1 0 .
4 1 5
Тема 2. Матричные экономические модели.
13
1.На основании данных, приведенных в нижеследующих таблицах, рассчитать
коэффициенты прямых и полных материальных затрат.
а)
Прямые межотраслевые потоки
Конечная
Отрасль
продукция
1
2
3
1
50
60
80
60
2
25
90
40
25
3
25
60
40
35
б)
Прямые межотраслевые потоки
Конечная
Отрасль
продукция
1
2
3
1
2
3
40
16
80
18
9
45
25
25
50
21
16
75
в)
Отрасль
1
2
3
Прямые межотраслевые потоки
Конечная
продукция
1
2
3
18
36
25
1
45
90
25
20
36
36
50
30
2.Втаблицах приведены коэффициенты прямых материальных затрат и объемы
конечной продукции в межотраслевом балансе для трех отраслей:
а)
Коэффициенты прямых затрат
Конечная
Отрасль
продукция
1
2
3
1
2
3
0,2
0,5
0,2
0,2
0,3
0,2
0,1
0,2
0,4
50
0
30
б)
Отрасль
1
2
3
Коэффициенты прямых затрат
Конечная
продукция
1
2
3
0,3
0,4
0,2
40
0,2
0,1
0,3
15
0,1
0,5
0,2
10
Требуется:
1) Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат;
2) Рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;
3) Найти объемы валовой продукции отраслей.
3. На основе данных таблиц в упр.2 восстановить схемы межотраслевых
материальных балансов.
Тема 3. Методы линейного программирования (МЛТ). Симплексный метод
14
Задание 1
Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования:
̅ ) =30x 1 + 60x 2 ,
а) mах L (𝑋
x 1+ 3x2 ≤ 21 ,
3x 1+2x2 ≤ 21 ,
3x 1+ x2 ≥ 18 ,
х1, x2≥ 0 .
̅ ) = x 1 + 3x 2 ,
б) mах L (𝑋
-x 1+ x2 ≤ 3 ,
x 1+ x2 ≤ 7 ,
3x 1+ x2 ≤ 15 ,
х1, x2 ≥ 0 .
Задание 2
Решить систему уравнений по правилу Крамера:
2x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 5
2x2 + x3
=-1
x1 + 3x2
=9
x2
- 2x4 = 0
Задание 3
Решить систему уравнений методом Гаусса:
х1 + 2 x2 + 3 x3 + 4x4 = 5
2x1 + x2 + 4x3 + x4 = 13
3x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = - 6
2x1 + 3x2 + 5x3 + 2x4 = 3
Задание 4
Решить систему уравнений методом Жордана - Гаусса:
а) 2x1 + 4x2+ 2x3 – 2x4 = 6
3x1 + 6x2+ 5x3 – 6x4 = 1
2x1 - x2 - 3x3 + x4 = 3
2x1 + x2 - 2 x3
=3
б) 4x1 - x2+ 2x3 – 3x4 = 2
2x1 + 3x2 - x3 + x4 = 5
x1 - 4x2 + 3 x3 - 4x4 = - 3
2x1 + x2 + x3 – 3x4 = 4
Задание 5
Решить симплекс-методом. Компания производит полки для ванных комнат двух
размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть
реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м2 материала, а для
полки типа В – 3 м2 материала. Компания может получить до 1200 м2 материала в
неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а
для изготовления одной полки типа В – 30 мин; машину можно использовать 160 час в
неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от
полок типа В – 4 ден. ед., то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю?
Задание 6
На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20 000 м3 каменных материалов.
В районе строительства имеются три карьера с запасами 8 000 м3, 9 000 м3 и 10 000 м3. Для
15
погрузки материалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м3 в
смену в карьерах 1 и 2 и 500 м3 в смену в карьере 3. Эти карьеры обеспечивают каменными
материалами так­же ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для
рассматриваемого участка выделен для экскаваторов общий лимит 60 машино-смен с
правом использования его по усмотрению строителей. Транспортные затраты на перевозку
материалов характеризуются показателями: для перевозки 10 000 м3 материалов из карьера
1 требуется 1 000 автомобиле-смен, из карьера 2 — 1 350 автомобиле-смен, из карьера 3 —
1 700 автомобиле-смен. Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий
минимальные транспортные затраты.
Задание 7
При изготовлении изделий И1 и И2 используются сталь и цветные металлы, а
также токарные и фрезерные станки. По технологическим нормам на производство
единицы изделия И1 требуется 300 и 200 станко-часов соответственно токарного и
фрезерного оборудования, а также 10 и 20 кг соответственно стали и цветных металлов.
Для производства единицы изделия И2 требуется 400, 100, 70 и 50 соответствующих единиц
тех же ресурсов.
Цех располагает 12400 и 6800 станко-часами соответственно токарного и
фрезерного оборудования и 640 и 840 кг соответственно стали и цветных металлов.
Прибыль от реализации единицы изделия И1 составляет 6 руб. и от единицы изделия И2 –
16 руб.
Постройте математическую модель задачи, используя в качестве показателя
эффективности прибыль и учитывая, что время работы фрезерных станков должно быть
использовано полностью.
Задание 8
В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фанерная фабрика.
Чтобы получить 2,5м3
коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов,
необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для
приготовления листов фанеры по 100м2 требуется 5 м3 еловых и 10м3 пихтовых
лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3еловых и 180 м пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо
произвести по крайней мере 10м3 пиломатериалов и 1200м2 фанеры. Доход с 1м3
пиломатериалов составляет 160 руб., а со 100м2 фанеры – 600 руб.
Постройте математическую модель для нахождения плана производства,
максимизирующего доход. При построении модели следует учесть тот факт, что
пиломатериалы могут быть реализованы только в виде неделимого комплекта размером
2,5м3 , а фанера – в виде неделимых листов по 100 м2 .
16
Тема 4. МЛТ. Метод искусственного базиса
Задание 1.
Целевая функция:
1X1+5X2+4X3-3X4→max
Условия:
2X1+7X2+1X3+0X4≤5
1X1+4X2+2X3+8X4=6
-1X1+0X2+2X3+5X4=9
Задание 2.
Целевая функция:
2x1-x2+7x3+11x4+5x5→min
Условия:
2x1+5x3+x4+8x5=12
-3x1+6x2+2x3-2x4≤5
Тема 5. Теория двойственности в линейном программировании
Задание 1.
Построить двойственную задачу к следующей задаче, заданной в общей форме:
F(x) = 3x1 + 2x2 (min) ;
x1 + x2 ≤ 5
2x1 - x2 ≤ 3
x1 + 0.5x2 ≥2
x1,2 ≥ 0
17
4 семестр
Тема 1.МЛП. Двойственный симплекс метод
Задание 1.
Предприятию необходимо выпустить по плану продукции А1 единиц, А2 единиц,
А3 единиц. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Как распределить
работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальны?
Дана матрица затрат и ресурс времени каждой машины. Записать модель исследуемой
операции в форме, допускающей использование P–метода. Известно, что содержание n
питательных веществ A, B и С в рационе должно быть не менее m1, m2, m3 единиц
соответственно. Указанные питательные вещества содержат три вида продуктов.
Содержание единиц питательных веществ в одном килограмме каждого из видов продукта
приведено в таблице. определите дневной рацион, обеспечивающий получение
необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах.
Задание: Решить задачу, используя алгоритм двойственного симплекс-метода.
Тема 2. Линейная задача планирования производства
Задание 1.
Для производства красок для наружных и внутренних работ используют два
исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов
составляют 6 и 8 тонн, соответственно.
Суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на
краску для наружных работ более чем на 1т.
Спрос на краску для внутренних работ не превышает 2т. в сутки.
Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски для наружных работ
и 2000 руб. для краски для внутренних работ.
Какое количество краски каждого вида следует производить, чтобы доход от
реализации был максимальным?
Расходы продуктов А и В на 1т. приведены в таблице:
исходный продукт
расход исходных продуктов на тонну
краски
для
максимально
возможный запас
внутренних
для
наружных
работ
работ
х1
х2
А
2
1
6
В
1
2
8
18
х1 - суточный объем производства краски для внутренних работ
х2 - суточный объем производства краски для наружных работ
f -суммарная суточная прибыль от производства обоих видов красок (целевая функция)
f = 3000х1+2000х2
Определить при каких допустимых значениях х1 и х2 значение f - максимальное
Ограничения:
2х1+ x2<= 6
х1+ 2x2 <= 8
x1 - х2 <= 1
x1 <= 2
x1 >= 0
x2 >= 0
Тема 3. Транспортная задача.
Задание 1.
Два торговых склада поставляют продукцию в четыре магазина. Издержки
транспортировки продукции с торговых складов в магазины, наличие продукции на складах
и потребности магазинов приведены в следующей таблице:
Торговый
Транспортные издержки, т. руб. за тонну
Предложение,
склад
до магазина №
т
1
2
Потребность,
1
4
8
50
2
3
2
100
3
5
4
75
4
6
7
75
100
200
т
Требуется найти распределение перевозок, позволяющее свести к минимуму общие
транспортные издержки(решить задачу распределительным методом).
Задание 2.
Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов.
Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения
стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.
Завод
Транспортные издержки, т. руб. за тонну
Предложение,
до торгового склада №
т
А
В
С
Потребность,
т
1
20
22
26
100
2
27
36
29
15
3
33
34
27
200
4
25
28
26
100
5
34
26
28
200
200
250
300
0
Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на декабрь(решить
задачу методом потенциалов).
19
Задание 3
Три пекарни осуществляют ежедневные поставки хлеба для четырех магазинов.
Ниже представлена информация о спросе на продукцию, ее наличии и транспортных
издержках.
Пекарня
Транспортные издержки, тыс.руб./т
Общее
до магазина №
предложение
1
2
3
4
X
1,5
2,5
1,0
2,0
700
Y
2,0
3,0
2,0
1,5
650
Z
1,0
1,5
2,5
3,0
800
Общая
потребность
400
500
350
900
Требуется найти распределение поставок из каждой пекарни, минимизирующее
общие транспортные издержки.
Задание 4
Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов.
Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения
стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.
Завод
Транспортные издержки, т. руб. за тонну
Предложение,
до торгового склада №
т
А
В
С
Потребность,
т
1
10
12
16
75
2
17
26
19
10
3
23
24
17
75
4
15
18
16
150
5
24
16
18
100
100
150
250
0
Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на январь.
Тема 4. Динамическое программирование
Задание 1.
Планируется распределение начальной суммы средств e0 = 40 млн руб., причем
средства выделяются кратно 10 млн руб. между тремя предприятиями П1, П2, П3.
Выделение предприятию Пk средств uk приносит доход fk(uk), который задан в табл.
Определить, какое количество средств нужно выделить каждому предприятию, чтобы
обеспечить максимальный суммарный доход.
20
Тема 5. Теория игр
Задание 1.
Найти стратегии игроков А, В и цену игры, заданной матрицей (с помощью
формул и графически)
Задание 2.
Швейное предприятие реализуется свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от
состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует 1000 костюмов и 2300
платьев, а при прохладной погоде - 1400 костюмов и 700 платьев. Затраты на изготовление
одного костюма равны 20, а платья - 5 рублям, цена реализации соответственно равна 40
рублей и 12 рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.
Задание 3.
Найти решение и цену игры, заданной следующей платежной матрицей:
21
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Основными видами аудиторной работы студентов при изучении дисциплины
«Методы оптимальных решений» являются лекции и лабораторные занятия. Студент не
имеет права пропускать занятия без уважительных причин, в противном случае он может
быть не допущен к экзамену.
На лекциях излагаются и разъясняются основные понятия темы, связанные с ней
теоретические и практические проблемы, даются рекомендации для самостоятельной
работы. В ходе лекции студент должен внимательно слушать и конспектировать
лекционный материал.
Завершают изучение наиболее важных тем или разделов учебной дисциплины
лабораторные занятия, которые обеспечивают: контроль преподавателем уровня
подготовленности студента; закрепление изученного материала; развитие умений и
навыков подготовки докладов, сообщений по изучаемым вопросам; приобретение опыта
устных публичных выступлений, ведения дискуссии, в том числе аргументации и защиты
выдвигаемых положений и тезисов.
Лабораторным занятиям предшествует самостоятельная работа студента, связанная
с освоением материала, полученного на лекциях, и материалов, изложенных в учебниках и
учебных пособиях, а также в литературе, рекомендованной преподавателем.
Качество учебной работы студентов преподаватель оценивает, выставляя в рабочий
журнал текущие оценки; студент имеет право ознакомиться с ними.
Важным видом работы студента при изучении данной дисциплины является
самостоятельная работа. Она должна носить творческий и планомерный характер. Нельзя
опираться только на тот материал, который был озвучен в ходе лекций или лабораторных
занятий, необходимо закрепить его и расширить в ходе самостоятельной работы.
Наибольший эффект достигается при использовании «системы опережающего чтения», то
есть предварительного самостоятельного изучения материала следующей лекции.
Ошибку совершают студенты, которые надеются освоить весь материал только за
время подготовки к экзамену. Опыт показывает, что уровень знаний у таких студентов, как
правило, невысок.
В процессе организации самостоятельной работы большое значение имеют
консультации преподавателя. Они могут быть как индивидуальными, так и в составе
учебной группы. С графиком консультаций можно ознакомиться на кафедре.
Для студентов, обучающихся по заочной форме обучения, самостоятельная работа
является основной. Она включает изучение материала установочных занятий и
рекомендованной литературы, выполнение заданий преподавателя (домашних
контрольных заданий).
Самостоятельную работу целесообразно начинать с изучения установленных
требований к знаниям, умениям и навыкам, ознакомления с разделами и темами
дисциплины в порядке, предусмотренном учебной программой. Получив представление об
основном содержании раздела, темы, необходимо изучить материал по учебнику,
придерживаясь рекомендаций преподавателя по методике работы над учебным
материалом.