Radicals

Алгоритм преобразования выражений
с квадратным корнем (радикалом)
Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни
(радикалы), можно разделить на следующие группы:
- преобразование корней из произведения, дроби, степени;
- умножение и деление корней;
- вынесение множителя за знак корня;
- внесение множителя под знак корня;
- приведение подобных слагаемых;
- применение формул сокращённого умножения.
- сокращение дробей на основе преобразований
Освоим шаги, необходимых для поэтапного преобразования выражений
1) Преобразование корней из произведения, дроби, степени. Умножение и деление
корней

«Корень из произведения равен произведению корней (и наоборот, произведение
корней равно корню из произведения)»
Пример: √2,25 ∙ 169 = √2,25 ∙ √169 = 1,5 ∙ 13 = 19,5

«Корень из дроби равен отношению корня из числителя к корню из знаменателя
(и наоборот)»
121
Пример: √ 81 =

√121
√81
=
11
9
2
= 19
«Корень из квадрата числа равен модулю числа»
Пример, √52 = |5| = 5 ; √(−7)2 = |−7| = 7
2) Вынесение множителя за знак корня

Вынесем множитель за знак корня, преобразуем √50:
√50 = √25 ∙ 2 = √52 ∙ 2 = 5√2
3) Внесение множителя под знак корня

1
Представим выражение −0,1√3 в виде арифметического корня
3
−0,3√3
1
3
10
9 10
9
3
=−
∙ √ = −√
∙
= −√
= −√ = −√0,3
3
10
3
100 3
10 ∙ 3
10
4) Приведение подобных слагаемых

Упростим выражение
3√5а − √20а + 4√45а
Сначала вынесем за знак корня в выражении √20а число 2, а выражении √45а число 3.
Получим:
3√5а − √20а + 4√45а = 3√5а − 2√5а + 12√5а = √5а(3 − 2 + 12) = 13√5а
Заменив сумму 3√5а − 2√5а + 12√5а выражением 13√5а, мы выполнили приведение
подобных слагаемых.
5) Применение формул сокращённого умножения
6) Сократим дробь
𝑥 2 −3
𝑥+√3
.
Так как 3 = (√3)2 , то числитель данной дроби можно представить в виде разности
квадратов двух выражений. Поэтому:
𝑥2 − 3
𝑥 + √3
=
𝑥 2 − (√3)2
𝑥 + √3
=
(𝑥 + √3)(𝑥 − √3)
𝑥 + √3
= 𝑥 − √3
7) Преобразуем двойной радикал

Избавимся от внешнего радикала в выражении √41 − 12√5:
Попытаемся представить выражение √41 − 12√5 в виде квадрата разности двух
выражений. Для этого 12√5 будем рассматривать как удвоенное произведение двух
выражений, а 41 как сумму их квадратов. Выражение 12√5 можно представить,
например, как 2 ∗ 5 ∗ √5. Прверка убеждает нас, что именно в этом случае сумма
квадратов множителей 6 и √5 равна 41. Значит,
√41 − 12√5 = √36 − 2 ∗ 6 ∗ √5 + 5 = √(6 − √5)2 = |6 − √5| = 6 − √5
Составитель Баранова Полина,
ученица 8 класса школы
при Посольстве РФ в Великобритании
учитель математики Щербакова В.Б.