Секция математики Графическое решение уравнений содержащих модули и параметры,

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Ширинская средняя общеобразовательная школа №4
Секция математики
Графическое решение уравнений
содержащих модули и параметры,
или сказ о том как я С5 ЕГЭ решала.
Автор:
Гнетова Екатерина Александровна,
ученица 8 класса
Руководитель:
Миронова Ольга Юрьевна,
учитель математики
высшая квалификационная категория
Шира – 2015
1
Содержание
Введение
I.
II.
4
Основная часть
1.1 Понятие модуля в математике. Построение графика
функции содержащей модуль.
1.2 Понятие параметра. Графическое представление линейных
функций с параметром.
Основные этапы работы
2.1 Решение уравнений с модулем и параметром
2.2 Решение задания С5 ЕГЭ
Заключение
Литература
5
8
11
15
16
17
2
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Графическое решение уравнений» является одной из самых
трудных и значимых тем по алгебре. Она достаточно широко представлена в
заданиях ГИА и ЕГЭ. Например, решение уравнений содержащих модули или
параметры вызывает затруднения у большинства учеников.
Среди выпускников нашей школы был проведен мини опрос «Выберете
ли Вы на экзамене решение уравнения содержащего модуль или параметр?»
Результаты опроса представлены на диаграмме (рис.1) и согласуются с
данными по итогам ЕГЭ [1]
Задание С5 в 2014 году было выполнено на:
1 балл 1,4%
2 балла 0,2 %
3 балла 0,1 %
4 балла 0,2%
13%
12%
НЕТ
Да
НЕЙТРАЛЬНО
75%
Рис. 1 Диаграмма опроса «Выберете ли Вы на экзамене
решение уравнения содержащего модуль или параметр?»
Возник вопрос «Что можно сделать для увеличения числа выпускников
успешно решивших подобные задачи?» или проблема: «Какие дополнительные
условия нужно создать для повышения качества знаний по данной теме?»
Цель: разработка пособия для графического решения уравнений содержащих
модули или параметры.
Объект исследования: процесс изучения темы «Графическое решение
уравнений»
Предмет исследования: практические рекомендации и методы решения задач
для повышения качества знаний.
Пути решения:
 Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников
информации
3
 Изучить варианты решения уравнений с параметром
 Изучить варианты решения уравнений с модулями
 Разработать пособие для графического решения уравнений с модулями и
параметром
 Доказать результативность работы на примере решения С5 ЕГЭ
4
I.
1.1
Основная часть
Понятие модуля в математике. Построение графика функции
содержащей модуль.
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в
переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет
множество значений и применяется не только в математике, но и в
архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В
математике модуль имеет несколько значений, но в данной
исследовательской работе возьмем лишь одно.
Модуль - абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала
отсчета до точки на числовой прямой.
Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a, если a больше
или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:
|a|=
а, если а>0
0, если а=0
-а, если а<0
Свойства модуля:
1. а2 = | а |2.
2. | -а | = | а |.
3. | а – b | = | b – а |.
4. | аb | = |а|·|b|.
При построении графиков функций, содержащих знак модуля, “снятие
модуля” может быть заменено геометрическими преобразованиями графиков.
Задача: построить график функции y = x
Первый способ.
Раскроем знак модуля согласно его определению: y = x, при x ≥ 0 и
y = −x, при x < 0.
Таким образом, искомый график совпадает с графиком функции y = x при x ≥ 0
(в правой полуплоскости) и с графиком функции y = −x при x < 0 (в левой
полуплоскости).
Руководствуясь этим, строим график (Рисунок 1.1)
Рисунок 1.1 - График функции y= |x |
5
Второй способ. Модуль не меняет график в верхней полуплоскости и отражает
части графика, находящиеся в нижней полуплоскости, в верхнюю
полуплоскость симметрично координатной оси ОХ (Рисунок 1.2)
Рисунок 1.2 - График функции y= |x |
Эти два эквивалентных метода являются основными при построении графиков
функций, содержащих знак модуля [2].
Пример: построить график функции: y=│ -3- │x+2││.
1. Строим график функции y=x+2 (Рисунок 1.3)
2. График нижней полуплоскости отражаем верх симметрично относительно
оси ОХ и получаем график функции y= │x+2│(Рисунок 1.4)
Рисунок 1.3 - График функции y=x+2
Рисунок 1.4 - График функции y= │x+2│
3. График функции y= │x+2│ отражаем вниз симметрично относительно оси
ОХ и получаем график функции y= - │x+2│(Рисунок 1.5)
6
4. Смещаем график функции y= - │x+2│ на 3 единицы вниз и получаем график
y= -3- │x+2│(Рисунок 1.6).
Рисунок 1.5 - График функции y= -│x+2│
Рисунок 1.6 - График функции y=-3 -│x+2│
5. Отражаем график функции y= -3-│x+2│. относительно оси ОХ и получаем
график y=│ -3- │x+2││(Рисунок 1.7)
Рисунок 1.7 - График функции y=│-3 -│x+2││
7
1.2
Понятие параметра. Графическое представление линейной
функции с параметром.
Параметр (от греческого «parametron» - отмеривающий) в математике величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая своё
постоянное значение в условиях данной задачи [3].
Линейной называется функция, задаваемая уравнением вида y = kx + b,
где x — независимая переменная или аргумент,
k – параметр и b —
фиксированное число. Графиком линейной функции является прямая.
Множество функций, обладающих одинаковыми свойствами, называют
семейством функций, а множество их графиков — семейством графиков
(семейством прямых) [4].
Упражнение 1. Каким общим свойством будут обладать все графики функций,
задаваемых уравнениями вида y = kx?
Все графики функций, задаваемых уравнениями вида y = kx будут проходить
через одну общую точку О(0, 0) (Рисунок 1.8)
Рисунок 1.8- Семейством прямых y = kx проходящих через точку О(0, 0)
Упражнение 2. Из множества линейных функций выделите семейство
графиков, задаваемых уравнениями вида y = k x + b.
Из множества линейных функций выделим семейство графиков, задаваемых
уравнениями вида y = k x + b ( где k-параметр, b-фиксированное число) Все
графики функций, задаваемых уравнениями вида y = kx, проходят через точку
(0; b) (Рисунок 1.9)
8
Рисунок 1.9- Семейством прямых y = kx + b проходящих через точку (0, b)
Упражнение 3. При каких значениях параметра k графики функций y = k x + b
и y = kx пересекаются?
При различных значениях параметра k графики функций y = k x + b и y = kx
пересекаются (Рисунок 1.10)
Рисунок 1.10- Графики функций y = k x + b и y = kx
(при равных k-графики параллельны, при различных k-графики пересекаются)
9
Упражнение 4. При каких значениях параметра k графики данных функций
y = k x + b и y = kx параллельны?
При одинаковых значениях параметра k графики данных функций y = k x + b и
y = kx параллельны (Рисунок 1.10)
Упражнение 5. При каких условиях графики данных функций совпадают?
Графики данных функций совпадают при одинаковых значениях b и k
(Рисунок 1.11)
Рисунок 1.11- Графики функций y = k x + b совпадают (при равных k и при равных b)
10
II. Основные этапы работы
Что же такое параметр и почему подобные уравнения вызывают такие
трудности?
Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного
семейства уравнений. Каждое из уравнений семейства получается из данного
уравнения с параметром при конкретном значении параметра.
Найти значение переменной х по графику и проверить его правильность
не составляет особых затруднений. Труднее ответить на вопрос: «При каких
значениях параметра уравнение:
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений;
в) имеет одно, два, три, .., множество решений?»
Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства
уравнений невозможно, но тем не менее каждое уравнение из бесконечного
семейства должно быть решено.
Попробуем не бояться задач с параметрами. Прежде всего, при решении
уравнений с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого
уравнения и неравенства – привести заданные уравнения к более простому
виду. Пусть уравнение содержит в левой части модуль, а в правой – параметр.
Рассмотрим три случая:
│х - 6│+ │х - 2│= p
│х - 6│+ │х - 2│= ах
│х - 6│+ │х - 2│= ах+ b
2.1
Решение уравнений с модулем и параметром
Решить уравнение с параметром - значит, для каждого допустимого
значения параметра найти множество всех решений данного уравнения [5].
Пример 1. Найти все значения p, при которых уравнение
│х - 6│+ │х - 2│= p имеет хотя бы один корень.
Построим два графика функций: у = │х - 6│+ │х - 2│ и у = р (Рисунок 2.1)
Для построения графика функции у = │х - 6│+ │х - 2│ найдем нули
подмодульных выражений х = 6 и х = 2.
Рассмотрим, как поведет себя функция на промежутках:
-на промежутке (- ; 2): функция принимает вид у = 6-х+2-х = - 2х + 8;
-на промежутке [2;6]: у = 6-х+х-2 = 4,
-на промежутке (6; + ): у = х-6+х-2 = 2х – 8
11
Рисунок 2.1 - График функции у = │х - 6│+ │х - 2│и семейство прямых у = р.
Графики постоянной линейной функции у = р – семейство прямых
параллельных оси Ох.
При р<4 общих точек графики не имеют- корней нет.
При р=4 графики имеют множество общих точек -корни есть.
При р>4графики имеют две точки пересечения- два корня
Ответ: р 4.
Пример 2. При каких значениях а уравнение │х - 6│+ │х - 2│ = ах
один корень?
имеет
Графиками линейной функции у = ах, является семейство прямых
проходящих через О(0,0).
Прямая у = ах может иметь с графиком у = │х - 6│+ │х - 2│ одну, две
или множество точек (Рисунок 2.2)
12
Рисунок 2.2 - График функции у = │х - 6│+ │х - 2│и семейство прямых у = ах
Поскольку параметр а «равен в правах» с переменной х, то ему естественно,
можно «выделить» и свою координатную ось.
один корень
корней нет
-2
корней нет
два корня
4/6
один корень
2
один корень
1) пересечений нет на промежутке -2 ≤ а < 4/6
2) пересечение одно, если а < -2, а = 4/6, а ≥ 2
3) пересечений два , если 4/6 < а < 2
Ответ: а < -2, а = 4/6, а ≥ 2
13
один корень
а
Пример 3. При каких значениях а уравнение
имеет более 5 корней?
│х - 6│+ │х - 2│ = ах + b
Следовательно, нужно отыскать при каких значениях а и в данные графики
совпадут.
Построим графики функций: у = │х - 6│+ │х - 2│ и у = ах+ b (Рисунок 2.3)
По чертежу определим при каких значениях а и в график функции у= │х - 6│+
│х - 2│ и у =ах + b совпадают.
Если линейная функция задана формулой у =-2х + 8, формулой у = 2х – 8 и
формулой у=4
Рисунок 2.3 - Графики функции у = │х - 6│+ │х - 2│,
у =-2х + 8, у = 2х – 8 и у=4
Ответ: а =-2, b = 8; а = 2, b = -8; а = 0, b = 4
14
2.2 Решение задания С5 [6]
Рисунок 2.4 - График функции у =2 - ││х+2│-5│и семейство прямых у = │х- b │
нет корней
два корня
-9
множество корней
нет корней
-5
1
два корня
нет корней
5
множество корней множество корней множество корней
Ответ: -9 < b < -5, 1 < b < 5
15
b
Заключение
Данная работа посвящена разработке пособия по графическому решению
уравнений с модулями и параметром.
В первой части работы рассматриваются понятия модуля и параметра,
построение графика функции содержащей модуль и графическое представление
линейной функции с параметром.
В основной части работы рассмотрены задачи, которые можно разделить
на два больших класса:
- примеры, в которых надо решить уравнение при всех возможных
значениях параметра;
- примеры, в которых надо найти не все возможные решения уравнений, а
лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Решить уравнение с параметром - значит, для каждого допустимого
значения параметра найти множество всех решений данного уравнения, т.е.
решить бесконечное семейство уравнений.
В процессе работы сделано следующее заключение: при решении
уравнения важно записать уравнение в более простом виде. Пусть
уравнение содержит в левой части модуль, а в правой – параметр.
Подробно рассмотрены три случая решений уравнений:
 │х - 6│+ │х - 2│= p , где у=р – семейство прямых параллельных оси Ох ;
 │х - 6│+ │х - 2│= ах, где у= ах – семейство прямых проходящих через
начало координат ;
 │х - 6│+ │х - 2│= ах+ b , где у= ах+ b –семейство прямых проходящих
через точку (0, b).
Графически решено уравнение уровня С5 ЕГЭ, где правая часть уравнения
2 - ││х+2│-5│ = │х- b│, содержащая параметр b, представлена в виде модуля
│х- b│. Решение задачи С5 ЕГЭ, на базе данного пособия, является и средством,
и доказательством востребованности работы, дающим возможность увеличить
количество учащихся решающих задачи с модулями и параметрами.
Таким образом, практическое применение пособия с одной стороны и
перспектива повышения качества знаний с другой стороны, обеспечивают
условия для продуктивной самостоятельной работы.
16
Литература:
1. Сайт ФЕДЕРАЛЬНОГО ИНСТИТУТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ
ИЗМЕРЕНИЙ:http://fipi.ru/sites/default/files/document/1425993087/metod_rek_matemati
ka.pdf( последнее посещение 23.03.2015 в 11.50)
2. Сайт Института открытого образования Московского государственного университета
печати: http://hi-edu.ru/CentrDovusBooks/ItEasy/8.pdf ( последнее посещение
23.02.2015 в 22.30)
3. СайтАКАДЕМИК:http://dic.academic.ru/dic.nsf/dic_fwords/25936/%D0%9F%D0%90%
D0%A0%D0%90%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%A0
4. Сайт издательского дома «1сентября». Журнал «математика»:
http://mat.1september.ru/view_article.php?ID=201000206
5. Сайт Параметры: http://parametry.narod.ru/reshenie.html
( последнее посещение 23.03.2015 в 11.50)
6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
Учебно-методический комплекс «Математика. Подготовка к ЕГЭ» Издательство
«Легион» Ростов –на- Дону-2013г
17