Графо-аналитический метод решения уравнений с параметрами

Графо-аналитический метод решения уравнений с параметрами
Как показывает многолетний опыт работы в школе, уравнения и неравенства с
параметрами вызывают наибольшие затруднения. Малое количество часов в
неделю и большой объём программного материала - причины того, что в обычной
школе уравнения и неравенства с параметрами практически не решаются. Также
надо сказать, что выпускники обычной школы зачастую вообще плохо понимают,
что такое функция, не умеют анализировать функцию, строить её график. А ведь
именно изучение элементарных функций – основной раздел алгебры. Если
учащийся обладает навыками исследования функции, умеет изображать её
графически, то он сможет решать уравнения и графическим способом, и методом
оценки, а также решать и трансцендентные уравнения и уравнения с параметром.
Знакомство учащихся с параметрами необходимо начинать с седьмого класса, когда
только вводится понятие функции. В седьмом классе при изучении линейных
уравнений знакомим учащихся с уравнениями типа:
1. Х=2 является корнем уравнения ах –(0,5х-3)=(х-3)+5х. Найти значение а
2.При каких значениях параметра а и в уравнение (а-2)х=в+1 не имеет корней?
3.При каких значениях а и в любое число является решением уравнения (а+3)х=в+1?
4. При каких значениях а и в уравнение (а-1)(в+1)х=(а+1)(в+2) имеет множество
решений?
При решении уравнений с параметрами полезно повторять с ребятами такие
понятия, как
а) что значит решить уравнение?;
б) что называется корнем уравнения?
Рассмотрим простейшее линейное уравнение ах=в.
Выясним, когда уравнение имеет: а) один корень; б) не имеет корней; в)
имеет множество корней.
В седьмом классе уже можно показать графо-аналитический метод решения
уравнений с параметром.
Пример 1: при каких значениях параметра а уравнение Iх-2I=а имеет решение?
Слово учителю: построим график функции у=Iх-2I. Учащиеся видят, что прямая
у=а имеет общие точки с графиком функции тогда, когда а≥0.
Пример 2: При каких значениях а уравнение -Iх+3I=а не имеет решений? Ответ
а>0. С семиклассниками полезно рассмотреть графическое толкование уравнений:
5х=3; 0х=0; 0х=2.
В восьмом классе учащиеся знакомятся с квадратичной функцией. Здесь
рассматриваем решение квадратных уравнений с параметром графо-аналитическим
способом. Перед тем как знакомить учащихся с этим методом необходимо
повторить свойства квадратичной функции, её поведение в зависимости от
коэффициентов а, в, с.
Пример 1: При каких значениях параметра а уравнение -2х2 +3х =а не имеет
действительных корней?
Построим график функции у= 2х2 +3х. Функция имеет экстремум. Его
координаты (0,75; 1,125). При всех а > 1,125 уравнение не имеет корней.
Пример 2:Определить при каких значениях а корни уравнения
х2 -2(а-1)х +(а+5)=0
положительны?
Условие существования корней уравнения D>O. Определяем по графику
функции, что корни функции положительны или отрицательны, если свободный
член функции положителен. Чтобы корни уравнения были положительны
необходимо, чтобы абсцисса вершины х0 была положительна. Решаем систему
неравенств.
𝐷>0
{𝑋0 > 0
𝐶>0
4(𝑎 − 1)2 − 4(𝑎 + 5) > 0
2(𝑎 − 1)
{
>0
2
𝑎+5>0
Решая систему неравенств получаем ответ: -5<a<-1; a>4.
Пример 3: При каких значениях а оба корня уравнения х2 + 2(а-4)х+ а +16=0
больше -2?
Построим схематично график функции у =х2 + 2(а-4) х +16. Чтобы уравнение
имело корни больше -2, необходимо выполнение следующих условий:
𝐷>0
𝑏
> −2
{ 𝑋0 = −
2𝑎
𝑓(−2) > 0
Решая систему неравенств:
4(𝑎 − 4)2 − 4(𝑎 + 16) > 0
{
(𝑎 − 4) > −2
4(𝑎 − 4) + 𝑎 + 16 > 0
получаем ответ : а ≤ 0.
Графо-аналитическим методом удобно решать задачи, в которых надо
определить количество решений уравнения в зависимости от параметра а.
Пример 1: При каких значениях параметра а уравнение Iх2 -5IхI-6I =а имеет:
а) три корня; б) четыре корня; в)2 корня.
Построим график функции у=х2 -5IхI -6 . Прямая х=0 – ось симметрии графика
функции. Эта функция – чётная, поэтому строим график на интервале х≥0 и
отображаем симметрично относительно оси ОУ. Далее часть графика,
расположенная ниже оси ОХ, отображаем симметрично ОХ. По графику
определяем, что уравнение имеет: а)4 корня при 0<a<6; a=11,25; б)2 корня при а=0 и
а > 11,25; в)ни при каких а уравнение не может иметь 3 корня.
Y
11,25
6
X
-6
3
-3
-6
6
Пример 2: При каких значениях а уравнение Iх+1I- Iх – 1I =а имеет хотя бы одно
решение?
Построим график функции у=Iх+1I-Iх-1I.
𝑥 < 1, −𝑥 − 1 + 𝑥 − 1 = −2
𝑦 = {−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑥 + 1 + 𝑥 − 1 = 2𝑥
𝑥 > 1, −2
2
X
2
По графику определяем, что уравнение имеет хотя бы одно решение при -2≤ а≤ 2.
Пример 3: При каких значениях а уравнение Iх+4I-2х = ах-1 имеет:
а) единственное решение; б) не имеет решения?
Такие уравнения удобно решать следующим образом: Запишем это уравнение так:
Iх+4I -2х +1=ах и разделим уравнение на х (х ≠0)
Iх+4I - 2х +1 = а
Построим график функции:
Y
𝑦=
|𝑥+4|−2𝑥+1
𝑥
5
𝑥
𝑦={
3
𝑥 < 4, −3 −
𝑥
𝑥 ≥ −4, −1 +
-4
5
-1
9
4
-3
а) единственное решение уравнение имеет при 𝑎 = −
9
б) уравнение не имеет решение при − < 𝑎 < −1
4
9
4
X