5d5916a2-5c43-11e5-884b-f6d299da70eeалг.и геом.

Комплексные числа и собственные значения
1. Найти 2  i 2 2  i 2 
2. Найти 1  i 3 1  i 3 
3. Найти 3  i 2 3  i 2
4. Найти 7  i 7  i 


5. Найти ReZ, z 

3i
2i 3
3i
2i 3
7. Найти ReZ, z  1  i 1  3i 
8. Найти ImZ, z  1  i 1  3i 
1
i

9. Найти ReZ, z 
1  2i 2i
1
i

10.Найти ImZ, z 
1  2i 2i
11.Найти z , z  3  i
6. Найти ImZ, z 
12.Найти arg z, z  3  i
13.Найти z , z 
1
1 i
1
1 i
1 i
15.Найти z , z 
1 i
16.Найти ImZ, z  1  i 1  3i 
14.Найти arg z, z 
1 2
 :
17.Найти собственные значения матрицы А  
2
1


 5
2
 5
 3
:
3 
 :
18.Найти собственные значения матрицы А  
  2 5
19.Найти собственные значения матрицы А  
 5
1
1
 :
20.Найти собственные значения матрицы А  
 3  1
1 2  1 


21.Найти собственные значения матрицы A=  0 3 2  :
 0 0  1


 2 2  1


22.Найти собственные значения матрицы A=  0 7 2  :
0 0 1 


5 2
 :
23.Найти собственные значения матрицы А  
4 3
5 2
 :
24.Найти собственные значения матрицы А  
4 3
25.Вычислить (1  i ) 4
26.Вычислить (1  i)6
27.Вычислить (1+i)10
28.Вычислить (1-i)4
29.Вычислить (1-i)6
30.Вычислить (1-i)10
31.Вычислить ( 3  i)6
32.Вычислить ( 3  i)3
33.Вычислить (1+i 3 )3
34.Вычислить (1-i 3 )3
Геометрия (попроще)
1. Выберите среди точек А3; 1 , В1; 5 , С1; 3 , D8; 2 точки, лежащие на
прямой х  5 у  2  0 :
2. Какая из нижеследующих прямых проходит через точку А3; 1 и имеет

направляющий вектор а  5; 2?
3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М 0 1; 1 и

перпендикулярной к вектору n  3;  2
4. Найдите угол между прямыми x  y  1  0 и x  3  0
5. Вычислить расстояние между параллельными прямыми 7 х  5 у  3  0 и
7х  5у  2  0 :
6. Найдите расстояние от точки А5; 2 до прямой 3х  4 у  4  0
7. Найдите точку пересечения двух прямых 3х  4 у  1  0 и х  2 у  7  0
8. Заданы угловой коэффициент прямой
k
1
3
2
3
и отрезок b  ,
отсекаемый ею на оси Оу. Составить уравнение прямой:
9. Вычислить угловой коэффициент k прямой 2 y  3  0
10.Написать уравнение прямой, проходящей через точку А3;  1
параллельно прямой х  2 у  1  0 :
11.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А3;  1
перпендикулярно прямой х  2 у  1  0
12.Вычислить угол между двумя прямыми 5 х  у  1  0 и 3х  2 у  1  0 :
13.Определить,
при
каком
значении
k
прямая
2
k  2x  k  4y  3k  8k  5  0 проходит через начало координат:
14.Найдите площадь треугольника, отсекаемого прямой 3х  4 у  12  0 от
координатного угла:
15.Прямая проходит через начало координат и точку А2;  1 . Составить
уравнение прямой:
16.Написать общее уравнение прямой, отсекающей на оси ох отрезок a  3
и на оси оу отрезок b  2
17.Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точки
М1 3;  1; 2 , М 2 4;  1;  1 , М 3 2; 0; 2
18.Найти расстояние от точки M 1; 2;  3 до плоскости 5 x  3 y  z  4  0
19.Вычислить расстояние от точки
до плоскости
M 1;  1; 1
2 x  y  2 z  21  0
20.Найдите общее уравнение плоскости, проходящей через точку
А2; 0;  1 и параллельной плоскости 3 х  у  z  4  0
21.Определить общее уравнение плоскости, проходящей через точку
A5; 4; 3 и отсекающей равные отрезки на осях координат
22.Найдите длину перпендикуляра, опущенного из точки A1;  2; 0 на
плоскость 6 x  2 y  3z  17  0
23.У плоскости 2 x  y  z  5  0 определите координаты её нормального

вектора n :
24.Вычислите точку пересечения плоскости 2 х  y  3z  12  0 с осью Оz:
25.Вычислить отрезок, отсекаемый плоскостью 3x  4 y  24 z  12  0 от оси
Оz:
26.Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку

А3;  2; 1 параллельно вектору а  3;  2; 1
27.Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки
А3;  2; 1 и В4;  1; 0
28.Выберите правильный вид записи канонических уравнений прямой в
пространстве:
29.Прямая проходит через точку A2; 1; 3 перпендикулярно плоскости
3x  4 y  z  1  0 . Составить уравнение прямой:
30.Определите длину вектора a  1; 2; 2 :

31.Найти координаты вектора AB , если даны точки А(2;-1;3) и В(4;-2;3)
32.При заданных координатах концов А(3;-1;2),В (2;3;4) найти вектор BА
33.Заданы точки А (1;2;3) и В (4;5;6). Найдите AB :
34.Даны координаты точек А (4;2;1) и В (3;5;4). Найти BА
35.Заданы векторы a  10; 10; 12 и b   5; 2; 7. Найти a  b


 
36.Найдите a  b , если а  4; 2;  7 и b   3; 2; 7 :




37.Для векторов a  1; 2;  1, b   2; 1; 0 найти a  2b :




38.Даны векторы a  1; 2;  1 и b   2; 1; 0 . Найти 2a  3b

39.Вычислить орт вектора a   2; 1; 2.


 
40.Заданы векторы а  3;  5; 8 и b   1; 1;  4 . Найти a  b


скалярное
произведение


41.Для векторов а  3;  5; 8 и b   1; 1;  4 найти a  b
42.Вычислите

b  2;  5;  2:
векторов

a  3; 4;  7
и


43.Даны векторы a  2; 0; 3 и b   1; 3; 4. Найти скалярное произведение
a b 


44.Заданы угол между векторами a и b :  



, и их длины a  3 , b  4 ,
4
 
Найти скалярное произведение a b





45.Найдите угол между векторами a и b , если (ab )  2 , a  2 , b  2

46.Найдите модуль векторного произведения a b , если известно, что





а  4 , b  5 и угол между векторами a и b равен .
6



47.Известно, что а  3 , b  4 и угол между векторами   . Найти
6

модуль векторного произведения a b :
 
 
 
48.Заданы точки А3;  4;  1 и В5;  3; 1 . Найти координаты вектора АВ
49.Найти расстояние между точками А4;  1; 2 и В1; 3;  10


50.Угол между векторами a и b равен  

 
a b


3


. Если a  3 , b  4 , то найти
2


51.Найти косинус угла между векторами a  1; 2; 3 и b  6; 4;  2


52.Найти косинус угла между векторами a  2; 1; 3 и b  4; 2; 5




53.Заданы векторы а  3; 4; 0 и b  4;  3; 10 . Найти угол между a и b :
54.Найти длину вектора a  1;2;2
55.Найти длину вектора a  2;1;2
56.Даны точки А(2;1;3) и B (4;2;3) . Найти вектор AB
57.Даны точк А(3;1;2) и B(2;3;4) , найти вектор BA
58.Даны точки А(1;2;3) и B(4;5;6) , найти длину вектора AB
59.Даны точки А(4;2;1) и B(3;5;4) , найти длину BA
60.Даны векторы a  (10;10;12) и b  (5;2;7) , найти вектор a  b
61.Даны векторы а (4;2;-7) и b(3;2;7) , найти вектор a  b
62.Даны векторы a  (1;2;1) и b(2;1;0) , найти вектор a  2b
63.Даны векторы a  (1;2;1) и b(2;1;0) , найти вектор 2а+3b
64.Написать уравнение плоскости проходящей через точку M 2;3;5 и
имеющей нормаль N  4;3; 2:
65.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M 2;3;5 и с
нормалью N   4;3;2 :
66.Какие из точек A3;1, B1;5, C 1;3, Д 8;2лежат на прямой
x  5y  2  0
67.Написать уравнение прямой проходящей через точку M 0 1;1 и
перпендикулярно вектору n  3;  2
68.Написать уравнение прямой ,отсекающей по оси ОХ отрезой a  3, а
по оси ОУ отрезок b  2 :
69.Найти угол между прямыми x  y  1  0 и x  3  0
70.Найти расстояние от точки A5;2 до прямой 3x  4 y  4  0
71.Найти расстояние от точки M 1 1;2;3 до плоскости
5x  3 y  z  4  0
72.Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку
M1 2;1;3 и параллельно вектору a   1;2; 3
73.Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M 6;4;2 и параллельно прямой
x y z
 
3 2 4
74.Написать канонические уравнения прямой, проходящей через две
точки M1  1;2;1 и M 2  3;1;1
75.Составить уравнение окружности с центром в начале координат и
диаметром, равным 6
76.Составить уравнение эллипса с полуосями a  6 и b  4
77.Найти параметр параболы x 2  6 y
78.Какая из точек лежит на прямой 3x-y+2=0
79.Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3;-1) и
параллельно прямой x  2 y  1  0
80.Найти площадь треугольника, образованного прямой 3x  4 y  12  0 с
осями координат
81.Найти середину отрезка АВ, если А(3;-2;5) и В(-1;-4;3)
82.В каком октанте лежит точка А(-3;5;6)
83.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2;0;1) и
перпендикулярно вектору 2;3;1
84.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2;0;1) и
параллельно плоскости 3 x  y  z  4  0
85.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(5,4,3) и
отсекающей по координатным осям равные отрезки
86.Найти отрезок, который отсекает плоскость 3x  4 y  24 z  12  0 по оси
ОХ
87.Найти отрезок, который отсекает плоскость 3x  4 y  24 z  12  0 по оси ОУ
88.Найти пересечение плоскости 2 x  y  3z  12  0 с осью ОХ
89.Найти пересечение плоскости 2 x  y  3z  12  0 с осью ОУ
90.Найти площадь треугольника А (1,1), В(2,0), С (0, 0)
91.Найти площадь треугольника А (1,1), В(2,0), С (0, 0)
92.Найти площадь треугольника А (1,3), В(2,3), С (0, 0)
Геометрия (посложнее)
1. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от прямой
8 х  15 у  1  0 равно 1
2. Найдите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
А2;  1; 3 и перпендикулярной к плоскости 3х  у  2  0
3. Заданы прямая
x  2 y 1 z  3
и плоскость x  2 y  2 z  6  0 . Найти


2
3
2
координаты точки их пересечения
или дать другой ответ из
приведённых ниже:
4. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно
отрезку АВ, если А1;  3; 4 , В 1;  4; 3 :
х  2 у 1 z


4
3
2
x  2 y 1 z 1


4
1
1
5. Вычислить расстояние от точки Р7; 9; 7 до прямой
6. Найдите
расстояние
между
прямыми
x4 y2 z2


2
2
3
и
7. Определить, какая из следующих пар уравнений определяет
параллельные плоскости
A) 4 x  2 y  4 z  5  0 , 2 x  y  2 z  10  0
B) 2 x  3 y  5 z  7  0 ,. 5 x  6 y  8 z  10  0
C) x  2 y  4 z  6  0 , 3x  4 y  7 z  9  0
D) x  y  1  0 , x  z 1  0
E) 4 x  3 y  2 z  1  0 ,  4 x  3 y  2 z  0
 
 
8. Вычислите угол, образуемый вектором a  i  2 j  k с плоскостью
x  y  2z  3  0 :
9. Найдите уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
точки А4;  2; 1 и В2; 4;  3
10.Напишите уравнение окружности, если её центр совпадает с началом
координат, а диаметр равен 6.
11.Составить каноническое уравнение эллипса, если его большая и малая
оси равны 12 и 8 соответственно, а фокусы расположены на оси Ох:
12.Эллипс задан следующими величинами: 2в  12, 2с  16 .
13.Составить каноническое уравнение эллипса:
14.Найдите эксцентриситет гиперболы x 2  4 y 2  16
15.Найти параметр параболы x 2  6 y
16.Найти координаты фокуса параболы у 2  6 х :
17.Найдите уравнение директрисы параболы x 2  8 y :
х2 у2

 1?
18.Чему равен эксцентриситет гиперболы
25 9
19.При каких k и b прямая у=kх+b параллельна прямой 3х+2у+5=0
20.Найдите площадь треугольника, образованного прямой x 
y
1 и
6
осями координат:
21.При каком k прямая y  kx  b перпендикулярна прямой 2 x  6 y  1 ?
22.В какой координатной четверти пересекаются прямые x+2y=3 и
2x+5y+7=0 ?
23.Составить уравнение прямой, проходящей через точку  3; 4 и
образующей с осью ох угол arctg 5 .
24.Задано уравнение параболы х 2  4 у .Найти координаты фокуса и
уравнение директрисы параболы:


25.Известны координаты векторов a  3;  1;  2 и b  1; 2; 1. Найти

векторное произведение ab :



26.Найдите векторное произведение ab , если a  1; 2; 1 и b  3;  1;  2 :



27.Найти векторное произведение b a  , если a  3;  1;  2 и b  1; 2; 1:


28.Заданы координаты векторов a  1; 0; 4, b  3; 2; 0 . Найдите векторное

произведение ab :
29.Найти площадь
параллелограмма, построенного на векторах


а  3;  1;  2, b  1; 2;  1:


b  3; 0; 4 .
30.Заданы
векторы
Найти
площадь
а  1; 2; 2 ,


параллелограмма,
построенного на векторах a и b :

31.Сила f  3; 2;  4 приложена к точке A2;  1; 1. Определить момент
этой силы относительно начала координат



32.Даны векторы a   2; 2; 1, b  3;  2; 5, c  1;  1; 3 . Найти их
 
смешанное произведение a b c 



33.Даны векторы a  1; 1; 3 , b   2; 2; 1, c  3;  2; 5. Найти их
 
смешанное произведение a b c 
34.Найти внутренний угол А треугольника АВС, если заданы вершины
треугольника А 3; 5; 6, В1;  5; 7 , С7; 9; 6 .

 

35.Найдите скалярное произведение а b ,если а  3 , b  26 и модуль
векторного произведения a b   72 .



36.Заданы модули векторов а  3 , b  26 и их скалярное произведение
а b   30 . Найти модуль векторного произведения a b
37.Найдите внутренний угол В треугольника АВС, если заданы вершины
А 1;  2; 4 , В 4;  2; 0 , С3;  2; 1 :
38.При заданных вершинах А 1;  2; 4 , В 4;  2; 0 , С3;  2; 1 найти
внутренний угол С треугольника АВС
39.Даны вершины треугольника А 1;  2; 4 , В 4;  2; 0 и С3;  2; 1 . Найти
внутренний угол А треугольника АВС
40.Заданы вершины треугольника А3;  4; 7 , В 5; 3;  2 , С1; 2;  3 . Найти
внутренний угол В треугольника АВС

41.Заданы
векторы a  3;  1;  2, b  1; 2;  1. Найдите векторное
   
произведение 2a  b 2a  b :
42.Найдите векторное произведение АВ ВС , если А2;  1; 2 , В1; 2;  1,
С3; 2; 1 .
43.Даны точки А1; 2; 0 , В3; 0;  3 и С5; 2; 6 . Найти площадь треугольника
ABC
44.Заданы точки А 2; 1;  1, В 5;  5;  4, С 3; 2; 1 , D 4;  1;  3 .
45.Вычислить объем тетраэдра ABCD:
46.Найдите объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
О0; 0; 0 , А3; 4; 0 , В0;  3; 1 , С0; 2; 5
47.Заданы точки А2;  3; 5 , В0; 2; 1 , С 2;  2; 3 , D3; 2; 4 . Вычислить
объем тетраэдра ABCD:
48.Найти объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
А1; 2;  1 , В0; 1;  5 , С 1; 2; 1 , D2; 1; 3




49.Заданы векторы: а  4;  2; 4 , b  6;  3; 2 . Найти скалярное
   
произведение a  b a  b 


50.Для векторов а  4;  2;  4, b  6;  3; 2 найти скалярное произведение
a  b a  2b 
51.Заданы точки А 1; 3;  7 , В2;  1; 5 и С0; 1;  5 . Найти скалярное
произведение 2 АВ  СВ 2ВС  ВА
52.При заданных вершинах А 1;  2; 4 , В 4;  2; 0 , С3;  2; 1 найти
внутренний угол В треугольника АВС
53.Дан вектор a  (2;1;2) , найти единичный вектор вектора a
54.Дан вектор a  (6;2;3) , найти единичный вектор вектора a
55.Даны векторы a  3;5;8  , b   1;1;4  , найти a  b



56.Даны векторы a  3;5;8  и b   1;1;4 , найти a  b
57.Даны векторы a  3;4;7  и b  2;5;2 , найти a, в 
58.Даны векторы a  2;0;3  и b   1;3;4  , найти a, в 
59.Если a  3 и b  4 , угол между векторами  

4
, то найти a, b 
 b  6;4;  2
61.Найти косинус угла между векторами a  2;1;3  и b  4;2; 5
60.Найти косинус угла между векторами a  1;2;3


62.Найти угол между векторами a и b , если a , b  2, a 
63.Даны вектора a  1;2;1
64.Даны вектора a  1;0;4
 и b  3;1;2 , найти [a,b]
и b  3;2;0 . Найти [a,b]
2, b  2
65.Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
a  3;1;  2 и b  1;2;  1
66.Найти площадь треугольника, построенного на векторах a  1;2; 2 и
b  3;0; 4
67.Даны вектора a   2;2;1, b  3;2; 5 и c  1;1; 3, найти a b c
68.Даны векторы a  1;1;3 , b   2;2;1 и c  3;2; 5, найти a b c
69.Найти вектор перпендикулярный вектору a  1;2; 3
70.Составить уравнение медианы, опущенной из вершины А треугольника
с вершинами A3;2, B5;5, C 0;3
71.Привести уравнение прямой к нормальному виду x  y  3  0
72.Найти расстояние между параллельными прямыми 7 x  5 y  3  0 и
7x  5y  2  0
73.Найти пересечение прямой
x 1 y 1 z

 и плоскости 2 x  3 у  z  3  0
1
2 6
74.Составить уравнение окружности с центром в точке
С(2;6) и
проходящей через точку А(-1;2)
75.Составить уравнение эллипса, если 2b  12, 2c  16
76.Найти эксцентриситет эллипса 9 x 2  25 y 2  900
77.Найти расстояние между фокусами гиперболы 16 x 2  9 y 2  144
78.Найти эксцентриситет гиперболы x 2  4 y 2  16
79.Найти пересечение двух прямых 3x  4 y  1  0 и x  2 y  7  0
80.Найти угловой коэффициент прямой 2 y  3  0
81.Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки А(1;-2;0) на
плоскость 6 x  2 y  3z  12  0
82.Найти координаты вектора нормали плоскости 2 x  y  z  9  0
83.Установить, какие из следующих пар плоскостей будут параллельны
А. 4 x  2 y  4 z  5  0 ; 2 x  y  2 z  10  0
В. 2 x  3 y  5 z  7  0 ; 5 x  6 y  8 z  10  0
С. x  2 y  4 z  6  0 ; 3x  4 y  7 z  9  0.
D. 4 x  3 y  2 z  1  0 ;  4 x  3 y  2 z  0.
E. x  y  1  0 ; x  z  1  0.
84.Найти пересечение плоскости 2 x  y  3z  12  0 с осью ОZ
85.Найти отрезок, который отсекает плоскость 3x  4 y  24 z  12  0 по оси
ОZ
86.Найти отрезок, который отсекает плоскость 3x  4 y  24 z  12  0 по оси
ОУ
87.Найти
пересечение
x  2 y  2z  6  0
прямой
x  2 y 1 z  3


2
3
2
и
плоскости
88.Найти площадь треугольника А (1,2), В(2,0), С (-2, 0)
89.Найти центр окружности х2-4х+у2+2у+4=0
90.Найти центр окружности х2-6х+у2-6у+14=0
91.Найти центр окружности х2+х+у2+у=0
92.Найти радиус окружности х2-4х+у2+2у+4=0
93.Найти радиус окружности х2-6х+у2+4у+9=0