1.6. Комплексные числа Рассмотрим элементы вида x + iy, где x и y – действительные числа, а i – некоторый элемент, называемый мнимой единицей, определяемый равенством i = √−1 или i2 = – 1. Элемент z = x + iy называют комплексным числом, представленным в алгебраической форме, где х – его действительная, a y – мнимая часть и пишут x = Re z, y = Im z. Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда x = 0 и y = 0. Если x = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; если y = 0, то получается действительное число: x + i 0 = x. Два комплексных числа z = х + iy и z = х – iy, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопряженными. Следуя Гауссу, поставим в соответствие комплексному числу z = х + iy точку M (х, у) на плоскости с декартовой ортогональной системой координат, очевидно, единственную. Обратно: точке M (х, у) поставим в соответствие комплексное число z = х + iy, также единственное. В такой интерпретации плоскость Оху принимают за C и называют комплексной плоскостью, а z – точка этой плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного z (на плоскости ставиться символ z в кружке). Действительным числам соответствует ось абсцисс, именуемая действительной осью, а мнимым – ось ординат, называемая мнимой осью. Интерпретация комплексных чисел как точек плоскости позволяет говорить о геометрической форме представления комплексного числа. Соединив точку M (х, у) с началом координат, получим вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀. В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z =х + iy вектор ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀. На плоскости C комплексно сопряженным числам соответствуют точки, расположенные симметрично относительно действительной оси. Сложение (вычитание) двух комплексных чисел z1 и z2 легко выполнить, обращаясь к алгебраической форме записи этих чисел: z1 z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) = (x1 x2) + i (y1 y2), и производя действия как над обычными двучленами. Видим, что действительная часть суммы двух комплексных чисел равна сумме их действительных частей, а мнимая часть равна сумме их мнимых частей. Это свойство распространяется на конечное число слагаемых. Наряду с декартовой системой координат для записи комплексного числа z = х + iy удобно пользоваться полярной системой координат с полюсом полярной системы в точке О и с направлением полярной оси, совпадающим с положительным направлением оси Оx. Обозначим полярные 1 координаты точки M (х, у) через r и . Тогда, если M 0, М (х, у) = М (r, ), где x = r cos , y = r sin . Полярные координаты r и точки, изображающей комплексное число z на комплексной плоскости, называют соответственно модулем и аргументом комплексного числа и обозначают z и Arg z. Нетрудно увидеть, что y z r x 2 y 2 , tg ( A rg z ) tg . x Модуль комплексного числа определен однозначно, а аргумент – с точностью до слагаемого, кратного 2. Угол отсчитывают так же, как в тригонометрии: положительным направлением изменения угла считают направление против часовой стрелки. Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен. Это комплексное число определяют единственным условием r = z = 0. Главное значение аргумента комплексного числа, обозначаемое arg z, есть значение аргумента комплексного числа, удовлетворяющее условию arg z . С учетом этих ограничений, налагаемых на главное значение аргумента комплексного числа z = х + i y, получаем y при x 0, arctg x y arg z arctg при x 0, y 0, x y arctg при x 0, y 0. x Кроме того arg z 2 2 Очевидно, что при x 0, y 0, при x 0, y 0. Arg z = arg z +2k, 2 k Z. Иногда под главным значение аргумента понимают то, которое попадает в промежуток [0, 2). В этом случае главное значение аргумента также определено однозначно. Комплексное число можно представить в форме z z (cos i sin ) , называемой тригонометрической. Она удобна для умножения (деления) комплексных чисел, а также для возведения в степень комплексного числа и извлечения корня из комплексного числа. Тригонометрические и показательные функции связаны формулой Эйлера cos i sin ei . Отсюда получаем показательную форму комплексного числа z z (cos i sin ) z ei . Согласно определению произведения комплексных чисел и используя формулы для косинуса и синуса суммы углов, получаем z1 z2 rr 1 2 cos(1 2 ) i sin(1 2 ) . Видим, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Это свойство распространяется на конечное число сомножителей. При нахождении произведения комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 можно выполнить действия над выражением в правой части равенства z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ) по обычным правилам алгебры, учитывая только, что i2 = – 1, i3 = – i, i4 = (–i) (–i) = 1 и т.д. Произведение сопряженных комплексных чисел z = х + iy и z = х – iy выражается так: z z = х2 + y2 или z z = |z|2 = | z |2. Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них. По определению, частное, полученное от деления комплексного числа z2 = x2 + i y2 на комплексное число z1 = x1 + i y1, x12 y12 0 , дается формулой z2 x1 x2 y1 y2 x y x y 2 i 1 22 22 1 , 2 z1 x1 y1 x1 y1 и определяется как действие, обратное умножению. Практически деление комплексных чисел выполняется следующим образом: чтобы разделить z2 = x2 + i y2 на z1 = x1 + i y1 умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю (т.е. на x1 – i y1). Тогда делителем будет действительное число; разделив на него действительную и мнимую части делимого, получим частное: x2 iy2 ( x2 iy2 )( x1 iy1 ) x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 2 i . x1 iy1 ( x1 iy1 )( x1 iy1 ) x1 y12 x12 y12 Если комплексные числа даны в тригонометрической форме 3 z2 = r2(cos 2 + i sin 2), z1 = r1(cos 1 + i sin 1), то z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2 cos(2 1 ) i sin(2 1 ) . z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) r1 Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя. Аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Замечание. Из этих правил над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число. Рассматривая возведение комплексного числа z = r(cos + i sin ) в натуральную степень как умножение z на себя п раз, находим z n (r (cos i sin ))n r n (cos n i sin n ). Это соотношение называют формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень. Отметим, что при вычислении zn можно считать, что = arg z, поскольку в силу периодичности тригонометрических функций cos x и sin x, слагаемое, кратное 2, можно не писать. Извлечение корня – это операция, обратная возведению в степень, т.е. 1 w m z z m , если wm z. Однако, в то время как все рассматриваемые до сих пор вычислительные операции имели однозначные результаты, операция извлечения корня степени m дает m различных результатов (корней): 2k 2k m m i sin wk z r cos m m k 0,1,..., m 1. , Из этого соотношения, называемого формулой Муавра извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа, следует, что среди возможных значений m z различными будут m значений, соответствующих значениям k 0,1,2,..., m 1. Все m различных значений имеют один и тот же модуль, а их аргументы отличны на углы, кратные 2 / m. Значениям m z отвечают точки комплексной плоскости, расположенные в вершинах правильного mугольника, вписанного в окружность радиуса m r с центром в начале координат. При этом радиус-вектор одной из вершин образует с осью Оx угол arg z/m. Пример. Найти все значения 5 1 . Решение. Так как 1 = 1(cos 0 + i sin 0), то 0 2 k 0 2 k 5 1(cos0 i sin 0) 1 cos i sin . 5 5 4 Тогда получим 1) k = 0, z0 = 1. 2) k = 1, z1 = cos (2/5) + i sin (2/5). 3) k = 2, z2 = cos (4/5) + i sin (4/5). 4) k = 3, z3 = cos (6/5) + i sin (6/5). 5) k = 4, z4 = cos (8/5) + i sin (8/5). Дадим геометрическую интерпретацию полученных значений. Модули всех найденных значений 5 1 равны единице. Следовательно, точки z0, z1, z2, z3, z4 лежат на окружности, радиус которой = 1. Углы 0, 2/5, 4/5, 6/5, 8/5 определяют аргументы соответствующих точек. Построим точки z0, z1, z2, z3, z4 и проведем радиус-векторы этих точек y z1 z2 z0 0 x z3 z4 Если соединить точки z0, z1, z2, z3, z4 прямыми, то получиться правильный пятиугольник с вершинами в точках z0, z1, z2, z3, z4. Рассмотрим уравнение ax2 + bx + c = 0, a, b, c R, и воспользуемся правилом решения квадратных уравнений в R. 1. Запишем коэффициенты уравнения a, b, c и найдем его дискриминант D = b2 – 4ac. 2. Сравним дискриминант D с нулем. Если D 0, уравнение имеет действительные корни; если D < 0, уравнение имеет комплексные корни. 3. Определим действительные корни уравнения (D 0) по формулам b D x1,2 , 2a а комплексные корни (D < 0) по формулам 5 x1,2 b i D . 2a Таким образом, любое квадратное уравнение разрешимо в C. Пример. Найти корни уравнения x2 + 2x + 5 = 0. Решение. Коэффициенты уравнения a = 1, b = 2, c = 5, тогда D = b2 – 4ac = 4 – 20 = –16. Дискриминант отрицательный, уравнение имеет комплексные корни. Находим корни уравнения: b i D 2 i 16 x1,2 1 2i . 2a 2 Рассмотрим алгебраическое уравнение степени n: a0 zn + a1 zn-1 + a2 zn-2 +… + an-1 z + an = 0, (3) где a0 0, ai R (C), i = 0, 1, 2, …, n, n N. Решение данного уравнения при n > 2 является сложной задачей. Вопрос о существовании корней этого уравнения решается с помощью следующей теоремы. Теорема (Гаусса). Каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел хотя бы один корень. Эту теорему принято называть основной теоремой алгебры. Опираясь на нее, можно доказать, что левая часть уравнения (3) допускает представления в виде произведения: a0 (z – z1) (z + z2) … (z + zk), где z1, z2, …, zk – корни уравнения (3); , , …, N, причем + + …+ = n. Тогда говорят, что число z1 является корнем кратности , z2 является корнем кратности и т.д. Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его кратность, то можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней. Указанная теорема является теоремой существования, т.е. отвечает на вопрос о существовании корней у произвольного алгебраического уравнения, но не дает метода их нахождения. Существуют формулы для решения уравнений второй, а также третьей и четвертой степени [6, стр. 146-147], однако они для n = 3 и 4 настолько громоздки, что ими предпочитают не пользоваться. Для уравнений степени выше четвертой подобных формул в общем случае нет. 6