Document 4564260

Лабораторная работа №1
Задача распределения средств между предприятиями
Для увеличения объёмов выпуска пользующейся повышенным спросом
продукции, изготавливаемой 4 предприятиями города, выделены средства в
размере 100 млн. руб. Использование i-ым предприятием x млн. руб. из
указанных средств обеспечивает прирост выпуска продукции, определяемый
значением fi(x).
Найти распределение средств между предприятиями, обеспечивающее
максимальное увеличение выпуска продукции.
x
0
20
40
60
80
100
f1(x)
0
16
28
36
39
44
f2(x)
0
7
16
25
39
51
f3(x)
0
10
15
27
42
59
f4(x)
0
10
19
27
34
61
n
Целевая функция Z k   c kj  x kj  max при ограничениях:
j 1
 a k  x k  b 0 k  b k , i  1, m
ij
j
i
i

j 1
m
 yik  bik  Q k
 i 1
 k
k
k
d j  x j  D j , j  1, n
b k  0
 i
n
Рассмотрим обратную схему Беллмана. Рекуррентные соотношения
имеют вид:
Z n* ( S n1 )  max  f n ( sn1 , X n )
X n 


Z k* ( S k 1 )  max f k ( sk 1 , X k )  Z k*1 ( S k ) , k  n  1, n  2,...,1
X k 
Распределение ресурсов будем производить с точностью 20 единиц.
Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности :
*
Z 4 (Q)  f 4 (Q) ;
Z 4* (Q)  max  f 4 (Q) - показатель эффективности деятельности 1 предприятия.
xQ
Z (Q)  max f 3 ( X )  Z 4* (Q  x)
*
3
xQ
Q0, 20,..., 100
деятельности 2 предприятий.
-
объединённый
показатель
эффективности
Произведем вычисления значений функции Z 3* (Q) и представим их в
таблице.
Z 3* (20)  max 0  10;10  0  10;
Z 3* (40)  max 0  19;10  10;15  0  20;
Z 3* (60)  max 0  27;10  19;10  15;27  0  29;
Z 3* (80)  max 0  34;10  27;15  19;27  10; 42  0  42;
Z 3* (100)  max 0  61;10  34;15  27;27  19;42  10;59  0  61.
Произведем
вычисления
значений
*
Z (Q)  max f 2 ( X )  Z 3 (Q  x) и представим их в таблице.
*
2
x  Q 
функции
Q 0 , 20,..., 100
Z 2* (20)  max 0  10;7  0  10;
Z 2* (40)  max 0  20;7  10;19  0  20;
Z 2* (60)  max 0  29;7  20;19  10;25  0  29;
Z 2* (80)  max 0  42;7  29;19  20;25  10;39  0  42;
Z 2* (100)  max 0  61;7  42;19  29;25  20;39  10;51  0  61.
Объединённый показатель эффективности деятельности 4 предприятий
- Z (Q)  max f1 ( X )  Z 2* (Q  x). Произведем вычисления значений функции
*
1
x  Q 
Q 0 , 20,..., 100
Z ( x) и представим их в таблице.
*
2
*
1
Z (20)  max 0  10;16  0  16;
Z1* (40)  max 0  20;16  10; 28  0  28;
Z1* (60)  max 0  29;16  20; 28  10;36  0  38;
Z1* (80)  max 0  42;16  29; 28  20;36  10;39  0  48;
Z1* (100)  max 0  61;16  42;28  25;36  19;39  7;44  0  61.
x
0
20
40
60
80
100
f1(x)
0
16
28
36
39
44
Z1
0
16
28
38
48
61
f2(x)
0
7
19
25
39
51
Z2
0
10
20
29
42
61
f3(x)
0
10
15
27
42
59
Z3
0
10
20
29
42
61
f4(x)
0
10
19
27
34
61
Z4
0
10
19
27
34
61
Из таблицы находим оптимальный план распределения выделенных
средств. В результате вычислений получили, что максимальное значение
функции цели составляет Z max  Z1* (100)  61 .
Z1* (0)  f1 (0)  Z 2* (100)  x1*  0;
Z 2* (0)  f 2 (0)  Z 3* (100)  x2*  0;
Z 3* (0)  f 3 (0)  Z 4* (100)  x3*  0;
Z 4* (100)  f 4 (100)  x4*  100.
Таким образом, в результате решения задачи распределения средств
между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной
эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 61 млн.
руб., первому, второму и третьему предприятиям согласно оптимальному
распределению не следует выделять деньги, четвертому предприятию
необходимо выделить 100 млн. руб.