Метод замены множителей – эффективный путь решения

Метод замены множителей – эффективный путь решения неравенств.
Мухина Г.Г.
Многие школьные учебники и большинство пособий по
математике не содержат информацию по анализу эффективности решения
конкретных задач тем или иным способом. Поэтому основная масса
школьников,
доверяясь
источниках,
выбирает
рекомендациям,
зачастую
изложенным
единственный
в
указанных
путь
решения
предложенной задачи. Естественным следствием подобной ситуации
является игнорирования школьником задач, сопряженных с большим
объемом (по мнению школьника) работы по преодолению технических
трудностей.
Многое, вероятно, объясняется отсутствием навыков, но не
исключено, что школьник и не предполагает о наличии тех или иных
эффектных ходов, тактических тонкостей при реализации выбранной
схемы решения, которые давно практикуются многими учителями.
Речь идет об очень эффективном методе решения неравенств –
методе замены множителей, который я применяю при решении различных
видов неравенств в 9 – 11 классах. Он позволяет быстро и эффективно
решать целый класс неравенств повышенной сложности, переводя их тем
самым в разряд «стандартных задач».
Удивительно, что этот метод оказался вне поля зрения многих
авторов учебников по математике для средних школ, и многие учителя
просто не знают о его существовании. Последнее время я широко
пропагандирую этот метод. По этому поводу
выступала на секции
учителей математики городской августовской конференции учителей 2008
года.
Для
большинства
откровением мгновенное
присутствующих
учителей
было
полным
преобразование сложного неравенства
((х2 + х + 1)х+1 − (х2 + х + 1)3 )(х2 − 7|х| + 10)
<0
1 − 𝑙𝑜𝑔х2 (х2 + 3х − 18)
в простейшую систему рациональных неравенств
х(х − 2)2 (х + 2)(х − 5)(х + 5)
>0
(х
−
6)(х
−
1)
{
(х − 6)(х − 3) > 0.
Также для учителей математики я давала в ноябре этого года «Мастер –
класс», где было показано, каким образом можно эффективно решать
трудные неравенства.
Целью настоящей публикации является также пропаганда
этого метода, изложение основных методических рекомендаций в
овладении этим методом.
Основная идея метода.
Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду
𝑈1 ∙ 𝑈2 ∙ … ∙ 𝑈𝑛
∨ 0 (1)
𝑉1 ∙ 𝑉 ∙ … ∙ 𝑉𝑚
Где символ « ∨ » обозначает один из четырех возможных знаков
неравенства:<, >, ≤, ≥.
При решении неравенства (1) нас интересует только знак
любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его
величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с
данным
множителем,
мы
можем
заменить
его
на
другой
знакосовпадающий с ним в области определения неравенства ( и имеющий
в этой области те же корни).
Это и определяет основную идею метода замены множителей.
Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется
только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда
требуется сравнить произведение с нулем.
Основная часть замены обусловлена двумя следующими
равносильными утверждениями.
Утверждение 1. Функция 𝑓(х) есть строго возрастающая тогда и только
тогда, когда для любых значений 𝑡1 и 𝑡2 из области определения функции
разность ( 𝑡1 − 𝑡2 )совпадает по знаку с разностью (𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡2 )), то есть
ОДЗ
𝑓 ↗ ⟺ ( 𝑡1 − 𝑡2 ) ↔ (𝑓(𝑡1 ) − 𝑓(𝑡2 )),
Утверждение 2. Функция 𝑓(х)
(↔означает знакосовпадение)
есть строго убывающая тогда и только
тогда, когда для любых значений 𝑡1 и 𝑡2 из области определения функции
разность( 𝑡1 − 𝑡2 ) совпадает по знаку с разностью(𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡1 )) , то есть
ОДЗ
𝑓 ↘ ⟺ ( 𝑡1 − 𝑡2 ) ↔ (𝑓(𝑡2 ) − 𝑓(𝑡1 ))
Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения
строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно
установить, что
1) Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку
совпадает с произведением разности показателей этих степеней на
отклонение основания от единицы, то есть
ОДЗ
(𝑎 𝑓 − 𝑎 𝑔 ) ↔ (𝑓 − 𝑔)(𝑎 − 1).
2) Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по
знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов
на отклонение основания от единицы, то есть
ОДЗ
log 𝑎 𝑓 − log 𝑎 𝑔 ↔ (𝑓 − 𝑔)(𝑎 − 1).
Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по
знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить
следующие замены:
(|𝑓| − |𝑔|) ⟷ 𝑓 2 − 𝑔2 = (𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔),
ОДЗ
|𝑓| ⟷ 𝑓 2 ,
ОДЗ
(√𝑓 − √𝑔) ↔ (𝑓 − 𝑔),
√𝑓 ↔ 𝑓.
Замена знакопостоянных множителей – это есть один из
случаев
замены
не
вытекающих
из
утверждений
1
и
2.Всюду
положительные множители заменяем на 1 или просто убираем, всюду
отрицательные
множитель
заменяем
квадратный
на
( − 1).Популярный
знакопостоянный
трехчлен a х2 + b x + c с отрицательным
дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на
свободный член, то есть a х2 + b x + c ⟷ 𝑎 ⟷ 𝑐 (𝐷 < 0).
Так как область значений показательной функции y = 𝑎 𝑥
представляет собой все положительные числа, то любая сумма значений
показательных
функций
является
знокопостоянной
положительной
ОДЗ
ОДЗ
величиной, поэтому 𝑎 𝑥 ⟷ 1, 𝑎 𝑓(𝑥) ↔ 1, (𝑎 𝑓 + 𝑎 𝑔 + 𝑎ℎ + ⋯ ) ↔ 1.
Положительной величиной является сумма неотрицательных
слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все
слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном
ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной
величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и
неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие
замены:
ОДЗ
ОДЗ
(√𝑓 + √𝑔) ↔ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ),
(√𝑓 + |𝑔|) ↔ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ).
(|𝑓| + |𝑔|) ⟷ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ),
(|𝑓| + 𝑔) ⟷ 1, (𝑔 > 0).
Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).
а) Замена знакопостоянных множителей.
1) (aх2 + bx + c ) ⟷ 1,
(𝑎 > 0, 𝐷 < 0).
2) (aх2 + bx + c ) ⟷ −1,
(𝑎 < 0, 𝐷 < 0).
3) (|𝑓| + |𝑔|) ⟷ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ).
4) (√𝑓 + √𝑔) ⟷ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ).
5) (√𝑓 + |𝑔|) ⟷ 1, (|𝑓| + |𝑔| ≠ 0 ).
6) (|𝑓| + 𝑔) ⟷ 1, (𝑔 > 0).
7) (√𝑓 + 𝑔) ⟷ 1, (𝑔 > 0).
8) 𝑎 𝑓 ⟷ 1.
9) (𝑎 𝑓 + |𝑔|) ⟷ 1.
10) (𝑎 𝑓 + √𝑔) ⟷ 1, (𝑔 ≥ 0).
11) (𝑎 𝑓 + 𝑎 𝑔 + 𝑎ℎ + ⋯ ) ⟷ 1.
б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.
12) (|𝑓| − |𝑔|) ⟷ 𝑓 2 − 𝑔2 = (𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔).
13) (|𝑓| − 𝑔) ⟷ (𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔),
(𝑔 ≥ 0).
(𝑎>0,𝐷<0)
14) (|𝑓| − (aх2 + bx + c )) ↔
(f + aх2 + bx + c )(f − aх2 − bx − c )
15) (|𝑓| − √𝑔) ⟷ 𝑓 2 − 𝑔.
16) (√𝑓 − 𝑔) ⟷ 𝑓 − 𝑔2 ,
(𝑔 ≥ 0)
17) (√𝑓 − √𝑔) ⟷ (𝑓 − 𝑔).
18) (√𝑓 − √|𝑔|) ⟷ (𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔).
19) (√|𝑓| − 𝑔) ⟷ (𝑓 − 𝑔2 )(𝑓 + 𝑔2 ) , (𝑔 ≥ 0).
20) (|𝑓| − √|𝑔|) ⟷ (𝑓 2 − 𝑔)(𝑓 2 + 𝑔).
21) (√|𝑓| − √|𝑔|) ⟷ (𝑓 − 𝑔)(𝑓 + 𝑔).
22) |𝑓| ⟷ 𝑓 2 .
23) √𝑓 ⟷ 𝑓.
24) √|𝑓| ⟷ 𝑓 2 .
в)
Замена незнакопостоянных
множителей с показательными и
логарифмическими выражениями.
25) (𝑎 𝑓 − 𝑎 𝑔 ) ⟷ (𝑓 − 𝑔)(𝑎 − 1).
26) (𝑎 𝑓 − 𝑔) ⟷ (𝑓 − log 𝑎 𝑔)(𝑎 − 1), (𝑔 ≥ 0).
27) (𝑎 𝑓 − 1) ⟷ 𝑓(𝑎 − 1).
28) ( log 𝑎 𝑓 − log 𝑎 𝑔) ⟷ (𝑓 − 𝑔)(𝑎 − 1).
29) ( log 𝑎 𝑓 + log 𝑎 𝑔) ⟷ (𝑓 ∙ 𝑔 − 1)(𝑎 − 1).
30) ( log 𝑎 𝑓 − 𝑔) ⟷ (𝑓 − 𝑎 𝑔 )(𝑎 − 1).
31) ( log 𝑎 𝑓 + 𝑔) ⟷ (𝑓 ∙ 𝑎 𝑔 − 1)(𝑎 − 1).
32) ( log 𝑎 𝑓 − 1) ⟷ (𝑓 − 𝑎)(𝑎 − 1).
33) log 𝑎 𝑓 ⟷ (𝑓 − 1)(𝑎 − 1).
Решение неравенств.
Привожу относительно подробные решения двух сложных
неравенств методом замены множителей.
((х2 + х + 1)х+1 − (х2 + х + 1)3 )(х2 − 7|х| + 10)
1.
<0
1 − log х2 (х2 + 3х − 18)
х2 + х + 1 > 0 ,
Решение. ОДЗ:{х2 + 3х − 18 > 0, ⟺ (х + 6)(х − 3) > 0 ⟺
х ≠ ∓1, х ≠ 0,
⟺ х ∈ (−∞; −6) ∪ (3; ∞).
Замена множителей: 1) ((х2 + х + 1)х+1 − (х2 + х + 1)3 ) ⟷
⟷ (х + 1 − 3)(х2 + х + 1 − 1) = (х − 2)(х2 + х) = х(х − 2)(х + 1) .
2) х2 + 7|х| + 10 = (|х| − 2)(|х| − 5) ⟷ (х2 − 4)(х2 − 5) =
(х − 2)(х + 2)(х − 5)(х + 5).
3) 1 − log х2 (х2 + 3х − 18) =log х2 х2 − log х2 (х2 + 3х − 18) ⟷
⟷ (х2 − х2 − 3х + 18)(х2 − 1) = −3(х − 6)(х − 1)(х + 1).
Имеем систему:
х(х − 2)2 (х + 1)(х + 2)(х − 5)(х + 5)
>0
⟺
{
(х − 6)(х − 1)(х + 1)
(х + 6)(х − 3) > 0
⟺ х ∈ (−∞; −6) ∪ (3; 5) ∪ (6; ∞).
2.
|х2 − 2х| + 2х − 1
> 0.
х2 − х + |х2 + 3х|
Решение.
|х2 − 2х| − (1 − 2х)
> 0.
|х2 + 3х| − (х − х2 )
В этом неравенстве уже нельзя множители (|х2 − 2х| − (1 − 2х))
и (|х2 + 3х| − (х − х2 )) рассматривать
как разности неотрицательных
величин, так как выражения 1−2х и х − х2 в ОДЗ могут принимать как
положительные так и отрицательные значения.
1 − 2х > 0 при х < 0,5, а (х − х2 ) > 0 при 0 < х < 1
При х ∈ (−∞; 0) (1 − 2х) > 0, а (х − х2 ) < 0.
Замена множителей:
1)|х2 − 2х| − (1 − 2х) ⟷ (х2 − 2х)2 − (1 − 2х)2 = (х2 − 2х − 1 + 2х) ⋅
⋅ (х2 − 2х + 1 − 2х) = (х2 − 1)(х2 − 4х + 1) = (х − 1)(х + 1) ⋅
⋅ (х − (2 − √3)) (х + (2 − √3)).
2) (|х2 + 3х| − (х − х2 )) ⟷ 1, х ≠ 0, т. к. 0 ∉ ОДЗ
Имеем систему:
{(х + 1)(х − 1)(х − (2 − √3))(х − (2 + √3)) > 0 ⟺ х ∈ (−∞; −1).
х < 0.
При х ∈ (0; 0,5] (1 − 2х) > 0, а (х − х2 ) > 0.
Замена множителей:
1)|х2 − 2х| − (1 − 2х) ⟷ (х − 1)(х + 1) (х − (2 − √3)) (х + (2 − √3)).
2) (|х2 + 3х| − (х − х2 )) ⟷ (х2 + 3х)2 − (х − х2 )2 =
(х2 + 3х − х + х2 )(х2 + 3х + х − х2 ) = 4х(2х2 + 2х) = 8х2 (х + 1).
Имеем систему:
(х − 1)(х + 1) (х − (2 − √3)) (х + (2 − √3))
> 0 ⟺ х ∈ (2 − √3; 0,5].
{
х2 (х + 1)
0 < х ≤ 0,5
Прих ∈ (0,5; 1]
(1 − 2х) < 0, а (х − х2 ) > 0.
Замена множителей:
1)|х2 − 2х| − (1 − 2х) ⟷ 1.
2) (|х2 + 3х| − (х − х2 )) ⟷ х2 (х + 1).
Имеем систему:
1
>0
⟺ х ∈ (0,5; 1].
{х2 (х + 1)
0,5 < х ≤ 1
При х ∈ (1 + ∞)
(1 − 2х) < 0, а (х − х2 ) < 0.
Замена множителей:
1)|х2 − 2х| − (1 − 2х) ⟷ 1.
2) (|х2 + 3х| − (х − х2 )) ⟷ х2 (х + 1).
1>0
Имеем систему: {
⟺ х ∈ (1 + ∞) .
х>1
В итоге имеем: х ∈ (−∞; −1) ∪ (2 − √3; +∞].
Литература.
1. Голубев В.И., Тарасов В.А. Эффективные пути решения неравенств.−
Львов, Квантор,1992. №10.
2. Голубев В.И. Школа решения нестандартных задач, газета
« Математика», 2005, №7.