Конспек - СОШ №4

Использование метода рационализации для решения
логарифмических и показательных неравенств
Подготовила: учитель математики МБОУ СОШ № 4 г. Скопина А.В. Болоненко
Цель урока: рассмотреть метод рационализации показательных и логарифмических
неравенств и научиться применять его.
Тип урока: комбинированный урок — лекция и урок-практикум
Оборудование: мультимедийный проектор, слайды с графиками, заданием для устного
счёта, таблицей, формулировками утверждений, упражнений для работы в классе и дома.
Ход урока
1.
Актуализация опорных знаний.
Учащиеся вспоминают свойство монотонности показательной
функции, отвечая на вопросы:

функций?
и логарифмической
От чего зависит характер монотонности показательной и логарифмической

Каким образом это свойство используется при решении неравенств, содержащих
логарифм или степень с постоянным основанием?

Каким образом это свойство используется при решении неравенств, содержащих
логарифм с переменным основанием?
Устный счёт:
определить знак числа:
1
7
3
8
2
log 3 5 , log 0,3 0,5, log 2 , log 0,25 6, log √2 √3, ln 7,
3
ln , lg , lg 3.
1
2.
Новый материал.
Каким ранее изученным утверждением вы пользовались для определения знака числа?
Ответ учащихся: Если a>0, a≠1, b>0, то знак числа 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 совпадает со знаком выражения
(a – 1)∙(b – 1).
Теперь давайте докажем более общение утверждение: Если a>0, a≠1, b>0, c>0, то знак
𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒃 − 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒄 совпадает со знаком выражения (a – 1)∙(b – c).
(Доказывает ученик) В самом деле, так как при выполнении указанных условий для
𝑏
𝑏
переменных 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 , то знак 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 , а, следовательно, и знак 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐,
𝑏
совпадает со знаком произведения (𝑎 − 1) ∙ ( 𝑐 − 1) = (𝑎 − 1) ∙
𝑏−𝑐
,
𝑐
а так как c>0, то знак
исходной разности 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 совпадает со знаком произведения (a – 1)∙(b – c). Что и
требовалось доказать.
2) Теперь обобщим эти утверждения для случаев, когда аргументы и основания
логарифмов, а также основания и показатели степеней являются функциями.
Тема нашего урока: Использование метода рационализации для решения
логарифмических и показательных неравенств.
Метод рационализации (метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены
функции, правило знаков — в математической литературе он называется по-разному) основан на
замене логарифмического или показательного неравенства более простым (рациональным)
равносильным неравенством.
Утверждение 1. Если a>0, a≠1, f(x) > 0, g(x) > 0, то знак разности 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒇(𝒙) − 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒈(𝒙)
совпадает со знаком произведения (a – 1)∙(f(x) – g(x)).
Доказательство. Пусть выполняются условия a>0, a≠1, f(x) > 0, g(x) > 0 и неравенство
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) > 0, то есть 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥). При этом:
а) если а > 1, то f(x) > g(x) , то есть f(x) – g(x) > 0. Но тогда выполнено и неравенство (а 1)∙(f(x) – g(x)) > 0;
б) если же 0 < а < 1, то f(x) < g(x) , то есть f(x) – g(x) < 0, и по-прежнему выполнено то же
самое неравенство (a – 1)∙(f(x) – g(x)) > 0.
Мы показали, что если 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) > 0, то (a – 1)∙(f(x) – g(x)) > 0 на ОДЗ.
2. Пусть теперь a>0, a≠1, f(x) > 0, g(x) > 0 и выполнено неравенство (a – 1)∙(f(x) – g(x)) > 0.
Тогда:
а) если а > 1, то f(x) > g(x), а тогда 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥);
б) если 0 < а < 1, то f(x) < g(x), а 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) > 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥).
Таким образом, мы показали, что если (a – 1)∙(f(x) – g(x))> 0, то и 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) > 0
ОДЗ
на ОДЗ. Из 1 и 2 следует, что 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥) > 0 ⇔ (a – 1)∙(f(x) – g(x)) > 0.
Очевидно, что все рассуждения будут справедливы, если знак неравенства будет <, ≤
или ≥.
Утверждение доказано.
Теперь рассмотрим случаи, когда основание логарифма является переменным.
2
Утверждение 2. Если h(x) > 0, h(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0, то знак разности 𝒍𝒐𝒈𝒉(𝒙) 𝒇(𝒙) −
𝒍𝒐𝒈𝒉(𝒙) 𝒈(𝒙) совпадает со знаком произведения (h(x) – 1)∙(f(x) – g(x)).
Доказательство:
Пусть некоторое число a > 0, a ≠ 1, тогда имеем:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔
𝑙𝑜𝑔ℎ 𝑓 − 𝑙𝑜𝑔ℎ 𝑔 =
−
=
.
𝑙𝑜𝑔𝑎 ℎ 𝑙𝑜𝑔𝑎 ℎ
𝑙𝑜𝑔𝑎 ℎ
Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения
(a−1)(f−g)
(a−1)(h−1)
или (h – 1)∙(f – g). Утверждение доказано.
Утверждение 3.
Если h(x) > 0, f(x) > 0, g(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) ≠ 1, то знак разности 𝒍𝒐𝒈𝒇(𝒙) 𝒉(𝒙) −
𝒍𝒐𝒈𝒈(𝒙) 𝒉(𝒙) совпадает со знаком произведения (f(x) – 1)∙ (g(x) – 1)∙ (h(x) – 1)∙(g(x) – f(x)).
Доказательство:
Так как
log 𝑓 ℎ − log 𝑔 ℎ =
log 𝑔 ℎ
− log 𝑔 ℎ = log 𝑔 ℎ ∙ log 𝑓 𝑔 − log 𝑔 ℎ = log 𝑔 ℎ ∙ (log 𝑓 𝑔 − 1).
log 𝑔 𝑓
Далее необходимо воспользоваться утверждением 2 и следствиями из него (о них будет
сказано ниже).
Рассуждая, как для неравенств, содержащих логарифм с постоянным основанием, можно
получить
Утверждение 4.
Знак разности 𝒂𝒇(𝒙) − 𝒂𝒈(𝒙) совпадает со знаком произведения (a – 1)∙(f(x) – g(x)) на
ОДЗ.
Утверждение 5.
Если h(x) > 0, то знак разности 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙) − 𝒉(𝒙)𝒈(𝒙) совпадает со знаком произведения
(h(x) – 1)∙(f(x) – g(x)) на ОДЗ.
Доказать это утверждение можно, заменив разность ℎ 𝑓 − ℎ 𝑔 на разность 𝑙𝑜𝑔𝑎 ℎ 𝑓 −
𝑙𝑜𝑔𝑎 ℎ 𝑔 того же знака (при этом a > 1).
Доказать утверждения 4, 5 и довести до конца доказательство утверждения 3
постарайтесь дома самостоятельно.
3
Все сформулированные утверждения и следствия из них соберём в таблицу:
Получить замены 1а, 1б, 2а, 2б, 4а можно из доказанных в утверждениях 1, 2 и 4, положив
в них g(x) ≡ 𝑎 или g(x) ≡ 1, или g(x) = h(x), или g(x) ≡ 0 — в зависимости от ситуации.
Конечно же, запоминать всю эту таблицу не надо. Следует помнить лишь об основной
идее решения подобных неравенств, заключающейся в замене разности логарифмов разностью
соответствующих функций при естественных ограничениях на каждую из них, и в появлении
множителя (a – 1) или (h – 1), где a или h(x) —постоянное или переменное основание.
3.
Практические упражнения.
Решим два неравенства изученным методом и, сравнив его с ранее изученными,
определим преимущества нового способа.
№ 1.
lg(3x2 −3x+7)− lg(6+x−x2 )
(10x−7)(10x−3)
≥ 0.
Решение:
3x 2 − 3x + 7 > 0,
⇔ 𝑥𝜖(−2; 3).
6 + x − x 2 > 0,
Для числителя воспользуемся утверждением 1:
Найдем сначала ОДЗ числителя: {
ОДЗ
lg(3x 2 − 3x + 7) − lg(6 + x − x 2 )
≥0⇔
(10x − 7)(10x − 3)
(2x − 1)2
ОДЗ 3x 2 − 3x + 7 + 𝑥 2 − x − 6
⇔
=
≥0⇔
(x − 0,7)(x − 0,3)
(x − 0,7)(x − 0,3)
⇔ 𝑥 ∈ (−∞; 0,3) ∪ {0,5} ∪ (0,7; +∞).
Учтем ОДЗ числителя и получим ответ.
Ответ: (−2; 0,3)
∪ {0,5} ∪ (0,7; 3).
4
Анализ решения: каким способом мы решали бы это неравенство раньше? Обобщённым
методом интервалов.
Какие трудности возникли бы при таком решении, но не возникли при использовании
метода рационализации? Во-первых, нам для нахождения нулей числителя пришлось бы решать
уравнение
3x2 −3x+7
= 1. В конечном итоге оно всё равно свелось бы к уравнению (2x − 1)2 =
6+x−x2
0, но запись такого решения была бы более громоздкой. Во-вторых, нам пришлось бы определять
знак числа 𝑙𝑔
№ 2.
3x2 −3x+7
6+x−x2
для какого-то значения переменной x.
log 2x+2 (10x 2 + x − 2) ≤ 0.
5x−1
Решение:
2x+2
Найдем ОДЗ:
{
5x−1
2x+2
5x−1
2
> 0,
⇔ 𝑥𝜖(−∞; −1) ∪ (0,4; 1) ∪ (1; +∞).
≠ 1,
10x + x − 2 > 0,
Воспользуемся методом рационализации (заменой 2б из нашей таблицы):
ОДЗ
2
log 2x+2 (10x + x − 2) ≤ 0 ⇔ (
5x−1
2x + 2
− 1) (10x 2 + 𝑥 − 3) ≤ 0 ⇔
5x − 1
⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −0,6] ∪ (0,2; 0,5] ∪ [1; +∞).
Учтем ОДЗ и получим ответ.
Ответ: ((−∞;
−1) ∪ (0,4; 0,5] ∪ (1; +∞).
Анализ решения: каким способом мы решали бы это неравенство раньше? Пришлось бы
2x+2
2x+2
рассматривать два случая: когда дробь
> 1 и когда 0 <
< 1.
5x−1
5x−1
4. Рефлексия.
Ответьте на следующие вопросы: в чём преимущества изученного нами сегодня метода решения
неравенств и понравился ли он вам?
5. Домашнее задание.
Решить неравенства:
2
2
1) log 3 x 1 (2 x  x  1)  log 3 x 1 (11x  6  3x ) Ответ: 
1  1,5;3
x2
x2
x
2) log x (log 9 (3  9)) < 1. Ответ: (log310; +  ).
log 2 (3x  2)
 0 . Ответ:
3)
log 3 (2 x  3)
 2 1
  ;  .
 3 3
По желанию: доказать утверждения 3, 4 и 5.
5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Список литературы
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»:
лекции 1–4. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2012.
Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»:
Лекции 5–8. – М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
Колесникова С. От логарифмических неравенств к рациональным! // Математика, 2011,
сентябрь.
Сергеев И.Н., Панферов В.С. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства /
Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2013.
______________
Дорофеев Г.В. Обобщение метода интервалов. — Математика в школе, 1969, №3.
Голубев В. Метод замены множителей. — Квант, 2006, №4.
6