Избранные вопросы математики для старшей школы

Элективный курс по математике 10 класс
Избранные вопросы математики для старшей школы
Пояснительная записка
Программа элективного курса по математике составлена на основе авторской
программы «Избранные разделы математики для старшей школы» авторов-составителей:
И.Г. Малышева, доцента кафедры теории и методики обучения математике НИРО, канд.
техн. наук, доцента М.А. Мичасовой, доцента кафедры теории и методики обучения
математике НИРО, канд. пед. наук, рекомендованной Министерством образования РФ
( Программы
общеобразовательных
учреждений. Министерство
образования
Нижегородской области Государственное образовательное учреждение дополнительного
профессионального образования «Нижегородский институт развития образования» (ГОУ
ДПО НИРО) кафедра теории и методики обучения математике).
Данный элективный курс выполняет функцию поддержки основных курсов цикла
математического образования старшей школы и ориентирован на углубление и
расширение предметных знаний по математике и соответствующих компетентностей по
ним.
Данный курс рассчитан на 34 часа. Предлагаемые задачи различны по уровню
сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до заданий
повышенной сложности. Разнообразный дидактический материал даёт возможность
отбирать дополнительные задания для обучающихся разной степени подготовки: уровень
сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия
направлены на развитие интереса обучающихся к предмету, на расширение представлений
об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.
Цели и задачи рабочей программы:
При разработке данного курса учитывалось, что элективный курс как компонент
образования должен быть направлен на удовлетворение потребностей и интересов
десятиклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической
деятельности, которые не характерны для традиционных учебных курсов.
На протяжении веков геометрия служила источником развития не только
математики, но и других наук. Законы математического мышления формировались с
помощью геометрии. Многие геометрические задачи содействовали появлению новых
научных направлений, и наоборот, решение многих научных проблем было получено с
использованием геометрических методов. Современная наука и ее приложения
немыслимы без геометрии и ее новейших разделов: топологии, дифференциальной
геометрии, теории графов, компьютерной геометрии и др. Огромна роль геометрии в
математическом образовании обучающихся. Известен вклад, который она вносит в
развитие логического мышления и пространственного воображения обучающихся.
Курс геометрии обладает также чрезвычайно важным нравственным моментом,
поскольку именно геометрия дает представление о строго установленной истине,
воспитывает требование доказать то, что утверждается в качестве истины. Таким образом,
геометрическое образование является важнейшим элементом общей культуры.
Одной из самых важных целей преподавания геометрии является формирование и
развитие у обучающихся пространственных представлений, а также способности и умения
производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно
не только для тех обучающихся, которые в дальнейшем посвятят себя техническим
профессиям, но и для тех, кто выберет специальности художника, дизайнера, модельера,
хирурга, астронома и других. Слабое развитие пространственных представлений
затрудняет изучение ряда учебных дисциплин, а в деятельности взрослого человека может
стать причиной многих неудач. Например, конструктору этот недостаток может помешать
реализовать творческие планы. Систематическая работа над формированием и развитием
пространственных представлений приводит к их улучшению даже при наличии средних
природных данных.
Содержание курса представляет собой углубленный вариант базового курса
планиметрии, программа курса рассчитана на 34 часа. Технологии, используемые в
системе курса, ориентированы на то, чтобы обучающийся получил такую практику,
которая поможет ему успешно сдать экзамен по математике.
По данным статистической обработки результатов ЕГЭ, а также вступительных
испытаний в различные вузы, задачи по геометрии вызывают трудности не только у
слабых, но и у более подготовленных обучающихся. Как правило, это задачи, при
решении которых нужно применить небольшое число геометрических фактов из
школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок.
Решая такую задачу, обучающийся должен в первую очередь проанализировать
предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те свойства, которые необходимы при
решении. Программа данного элективного курса включает вопросы, которые достаточно
часто встречаются в заданиях экзаменов и вызывают затруднения.
В предлагаемом курсе отсутствует чрезмерная перегруженность новым
содержанием, основной акцент сделан на усиление линии не теоретического, а
практического содержания, что дает возможность обучающимся не только ознакомиться с
задачами, предлагаемыми на экзамене, но и сконцентрироваться на способах и методах
их решения.
Основное содержание курса соответствует современным тенденциям развития
школьного курса геометрии, идеям дифференциации, углубления и расширения знаний
обучающихся. Данный курс дает возможность обучающимся познакомиться также с
нестандартными способами решения планиметрических задач, способствует
формированию и развитию таких качеств, как интеллектуальная восприимчивость и
способность к усвоению новой информации, гибкость и независимость логического
мышления.
Прохождение курса даст возможность проявить свои способности обучающимся,
имеющим высокую математическую подготовку, и позволит им не только оценить свои
способности и возможности, но и сделать обоснованный выбор будущего профиля.
Цели курса:



углубить теоретическое и практическое содержание курса планиметрии;
развивать пространственные представления и логическое мышление;
развивать умение применять знания на практике, в новой ситуации, приводить
аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее
рациональный способ ее решения.
Задачи курса:







дополнить знания обучающихся теоремами прикладного характера, областью
применения которых являются задачи;
расширить и углубить представления обучающихся о приемах и методах решения
планиметрических задач;
помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне
свободного их использования;
обеспечить, исходя из высокого уровня абстрактности темы, наглядность,
логическую строгость рассуждений и обоснованность выводов;
создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и
доказательства верности или ложности этих гипотез;
способствовать практической направленности курса, реализуя это с помощью
аналитического метода достаточным количеством вычислительных задач;
развить интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создать
условия для подготовки обучающихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.
Предлагаемый курс освещает вопросы, оставшиеся за рамками школьного курса
математики. Он выполняет следующие основные функции:


развитие содержания базовых учебных предметов по математике, что позволяет
поддерживать их изучение на профильном уровне и получить дополнительную
подготовку для сдачи единого государственного экзамена;
удовлетворение познавательного интереса обучающихся, выбравших для себя те
области деятельности, в которых математика играет роль аппарата,
специфического средства для изучения закономерностей окружающего мира.
Поэтому одной из важных задач введения этого курса является не только
прагматическая составляющая по развитию интереса к математике как необходимому
средству поступления в вуз, но и развитие у обучающихся интереса собственно к
математике. Обучающийся должен чувствовать эстетическое удовлетворение от красиво
решенной задачи, от установленной им возможности приложения математики к другим
наукам. В математике эквивалентом эксперимента предметов естественно-научного цикла
является решение задач. Поэтому и курс строится на решении различных по степени
важности и трудности задач.
Направленность курса – развивающая. Прежде всего, он ориентирован на
удовлетворение и поощрение любознательности обучающихся, их аналитических и
синтетических способностей.
В процессе реализации элективного курса можно использовать разнообразные
подходы к организации занятий как академические лекции, семинары, уроки, так и
проектную и исследовательскую деятельность, практики, игровые технологии и т.д.
Предполагается, что в результате изучения курса обучающиеся овладеют:



элементами теории множеств, умением математического моделирования при
решении задач различной сложности, знаниями, связанными с равносильностью
уравнений и неравенств на множестве, что позволяет единообразно решать
большие классы задач;
нестандартными методами решений уравнений и неравенств с использованием
свойств функций;
геометрическими сведениями, которые не только помогут обучающимся углубить
свои знания по геометрии, проверить и закрепить практические навыки при



систематическом изучении геометрии, но и предоставляют хорошую возможность
для самостоятельной эффективной подготовки к вступительным экзаменам по
математике в ее геометрической части;
навыками решения нестандартных задач;
умениями, связанными с работой с научно-популярной и справочной литературой;
элементами исследовательских процедур, связанных с поиском, отбором,
анализом, обобщением собранных данных, представлением результатов
самостоятельного микроисследования.
В рамках данного элективного курса предполагается различный текущий и итоговый
контроль: тесты, самостоятельные работы, выполнение проектов и исследовательских
работ. Способ изложения материала в проектах побуждает обучающихся не просто
механически запоминать учебный материал, но и размышлять над ним в процессе
обучения.
Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует
развитию логического мышления обучающихся, намечает и использует целый ряд
межпредметных связей.
Требования к математической подготовке:
обучающийся должен уметь:

пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;
осуществлять преобразование фигур;
вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), в том числе:
определять значение тригонометрических функций по заданным значениям углов;
находить значения тригонометрических функций по значению одной из них;
находить стороны, углы и площади треугольников, дуг окружности, площадей
основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
решать геометрические задания, опираясь на изученные свойства фигур и
отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и
тригонометрический аппарат, соображения симметрии;
проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные
теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать
собственные рассуждения в ходе решения задач;
уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее
решения,
решать простейшие планиметрические задачи в пространстве,
•
решать задания, по типу приближенных к заданиям ЕГЭ;








иметь опыт (в терминах компетентностей):
• работы в группе, как на занятиях, так и вне,
• работы с информацией, в том числе и получаемой посредством Интернет
Тематическое планирование
№
Тема
Колво Тип занятия
часов
1
Лекция
1.
Из истории геометрии. Занимательные задачи по геометрии.
2.
Прямоугольный треугольник.
1
Лекция
3.
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
1
Лекция
4.
Вычисление медиан, биссектрис, высот треугольника.
1
Практикум
5.
Свойства касательных, хорд, секущих.
1
Лекция
6.
Вписанные и описанные треугольники.
1
7.
Вписанные и описанные четырёхугольники.
1
8.
Различные формулы площади.
1
Лекция
9.
Применение формул площади.
1
Практикум
10.
Теорема Стюарта и параметры треугольника.
1
Лекция
11.
Теорема Чевы.
1
Лекция
12.
Пересечение высот в треугольнике.
1
Семинарпрактикум
13.
Решение избранных задач.
1
Практикум
14.
1
Семинарпрактикум
15.
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружности
в треугольнике.
Теорема о прямой Эйлера.
1
Лекция
16.
Применение теоремы о прямой Эйлера для решения задач.
1
Практикум
17.
Теорема Эйлера для четырехугольника.
1
Лекция
18.
Теорема Птолемея.
1
Лекция
19.
Применение теоремы Птолемея для решения задач.
1
Практикум
20.
Свойства ортоцентра треугольника.
1
Семинарпрактикум
21.
Определение радиуса вневписанной окружности в треугольнике.
1
Практикум
22.
Сечения многогранников.
1
Лекция
Семинарпрктикум
Семинарпрактикум
23.
Построение сечений многогранников.
1
Практикум
24.
Практическая работа по построению сечений.
1
Практикум
25.
Многогранники и тела вращения.
1
Лекция
26.
Дополнительные формулы объема многогранников.
1
Лекция
27.
Применение формул объема многогранников.
1
Практикум
28.
Теорема Паппа-Гюльдена.
1
Лекция
29.
Задачи на теорему Паппа-Гюльдена.
1
Семинарпрактикум
30.
Формула Ньютона-Симпсона.
1
Лекция
31.
Методы решения заданий С2.
1
Практикум
32.
Углы между прямыми.
1
33.
Углы между прямыми и плоскостями.
1
Семинарпрактикум
СеминарПрактикум
34.
Итоговая проверочная работа.
1
Тестирование
Литература для обучающихся.
1. Сборники ФИПИ для ЕГЭ. 2012-2013.
2. Открытый банк задач ЕГЭ 2013
Литература для учителя.
1.
2.
Седракян Н.М., Авоян А.М. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.
Петров В.А.. Прикладные задачи на уроках математики. Смоленск: Изд-во СГПУ,
2001.