6 класс с решениями

Задачи 6 класса
1. Королевская гвардия состоит из трех отрядов. Заработная плата каждого гвардейца
одинакова и составляет 100 золотых в месяц. В начале года король за отличную службу
повысил зарплату 1-му отряду на 10% , а второму отряду за нарушения дисциплины понизил на 10%. Зарплата третьего отряда не менялась. Через год король решил, что
первый отряд зазнался, а второй исправился и понизил зарплату 1-му отряду на 10%, а
второму повысил на 10%. Гвардейцы какого отряды стали в конце концов получать
больше всех? Меньше всех?
Решение
После первого изменения зарплат в 1-м отряде стали получать 100·(1+10/100)=110 золотых, а во
втором - 100·(1-10/100)=90 золотых. После второго изменения в 1-м отряде стали получать
110·(1-10/100)=99 золотых, а во втором отряде: 90·(1+10/100)=99 золотых.
В третьем отряде все осталось по-старому – 100 золотых в месяц.
Ответ : больше всех – в третьем отряде – 100 золотых, меньше всего в первом и втором –
по 99 золотых.
2. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами
одинаковой ширины, если имеется материя десяти различных цветов?
Решение.
Цвет для верхней полоски флага можно выбрать 10 разными способами. После этого для средней
полоски флага остается 9 возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – 8 различных
цвета. Таким образом, флаг можно сделать 10·9·8=720 способами.
3. В комнате находится три мальчика: Олег, Дмитрий и Трофим. Известно, что каждый из них
либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. На вопрос: «Сколько лжецов среди вас
троих в этой комнате?» Олег ответил, что один, Дмитрий, что два, а Трофим, что три.
Сколько лжецов среди этих мальчиков? Кто из них является лжецом?
Ответ: Двое. Олег и Трофим – лжецы.
Решение.
Так как высказывания мальчиков противоречивы, то среди приведенных высказываний не
более одного правдивого, и, следовательно, среди этих трех мальчиков не менее двух
лгут. Но трое лгать не могут, так как тогда высказывание Трофима - правдивое, то есть он
говорит правду. Противоречие. Итак, лжецов двое. Найдем их. Так как лжецов двое, то
высказывание Дмитрия – правдивое, следовательно, он говорит правду, а Олег и Трофим
лгут.
4. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника. Площади трех из них
известны: 3, 4, 5 (см. рисунок) Найдите площадь четвертого прямоугольника.
3
4
?
5
3
4
Ответ: 3 .
Решение.
Обозначим через П прямоугольник, площадь которого неизвестна, а через Ч –
прямоугольник, площадь которого равна 4. Длина прямоугольника П равна
прямоугольника Ч, а ширина прямоугольника П составляет
3
П
5
ширины прямоугольника Ч.
4
4 (Ч)
5
Поэтому площадь прямоугольника П составляет
следовательно, равна
3
длины
4
3 5 15
· =
площади прямоугольника Ч, и,
4 4 16
15
3
·4 = 3 .
16
4
5. На доске написаны числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Какое наименьшее количество чисел (и
какие именно числа) нужно стереть с доски так, чтобы оставшиеся числа можно было
разбить на две группы так, чтобы произведения всех чисел в группах были равны?
Ответ: Одно: 7.
Решение
Из разложения чисел на простые множители следует, что нужно стереть 7, а остальные
числа распределить так: 1-я группа: (1, 2, 3, 4, 5,6), 2-я группа: (8, 9, 10).
В самом деле: 1·2·3·4·5·6 = 8·9·10 = 720.