Конспект лекций по математическому анализу для студентов 1

Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Э.Г. СОСНИНА
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Конспект лекций по математическому анализу
для студентов I курса факультета Бизнеса экономической специальности
НОВОСИБИРСК
2014
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
-------------------------------------1. Определение числового ряда. Сходимость ряда.
Свойства сходящихся рядов.
Пусть задана бесконечная последовательность чисел 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , ..
Определение 1. Числовым рядом называется сумма
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ = ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
а члены последовательности
𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , .. называются членами ряда.
Чтобы задать числовой ряд, необходимо задать члены ряда как функцию
номера 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛). В этом случае 𝑎𝑛 называется общим членом ряда.
Приведём примеры числовых рядов:
1
1
1
2
3
𝑛
1) Гармонический ряд: 1 + + + ⋯ + + ⋯ = ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
𝑛−1
2) Геометрическая прогрессия: 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞 2 + ⋯ + 𝑎𝑞 𝑛−1 + ⋯ = ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑞
3)
1
1∙2
+
1
2∙3
+
1
3∙4
+⋯+
1
𝑛(𝑛−1)
+ ⋯ = ∑∞
𝑛=1
1
𝑛(𝑛−1)
Определение 2. Сумма n первых членов ряда называется n—ой частичной
суммой ряда и обозначается символом 𝑆𝑁 :
𝑆1 = 𝑎1 , 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 , 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 , … , 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
Очевидно, частичные суммы ряда образуют бесконечную
последовательность {𝑆𝑛 } .
Определение 3. Числовой ряд называется сходящимся, если существует
конечный предел последовательности {𝑆𝑛 } частичных сумм ряда,
т.е.∃ lim 𝑆𝑛 = 𝑆 < ∞
𝑛→∞
Значение S этого предела называется суммой ряда.
Рассмотрим примеры сходящихся рядов.
Пример 1.∑∞
𝑛=1
1
𝑛(𝑛−1)
=
1
1∙2
+
1
2∙3
+
1
3∙4
+⋯+
1
𝑛(𝑛−1)
+⋯
𝑆𝑛 =
1
1
1
1
+
+
+ ⋯+
=
1∙2 2∙3 3∙4
𝑛(𝑛 − 1)
1
1 1
1 1
1
1
1
= (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( −
)=1−
2
2 3
3 4
𝑛 𝑛+1
𝑛+1
1
⇒ lim 𝑆𝑛 = lim (1 −
)=1
𝑛⟶∞
𝑛→∞
𝑛+1
Таким образом, ряд сходится и его сумма 𝑆 = 1 .
Пример 2. Исследуем на сходимость геометрическую прогрессию
∞
∑ 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞 2 + ⋯ + 𝑎𝑞 𝑛 + ⋯
𝑛=1
𝑎(1 − 𝑞 𝑛 )
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞 + ⋯ + 𝑎𝑞 =
1−𝑞
𝑛)
𝑎(1−𝑞
𝑎
1) |𝑞| < 1 ⇒ lim 𝑞 𝑛 = 0 ⇒ lim 𝑆𝑛 = lim
=
2
𝑛→∞
𝑛⟶∞
𝑛
𝑛
𝑛→∞
1−𝑞
1−𝑞
2) |𝑞| > 1 ⇒ lim 𝑞 = ∞ ⇒ lim 𝑆𝑛 = ∞
𝑛→∞
𝑛⟶∞
3) 𝑞 = 1 ⇒ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 ⇒ lim 𝑆𝑛 = ∞
4) 𝑞 = −1 ⇒ 𝑆𝑛 = 𝑎
𝑛⟶∞
1−(−1)𝑛−1
2
⇒ lim 𝑆𝑛 ∄.
𝑛⟶∞
Таким образом, геометрическая прогрессия сходится только в том случае,
если знаменатель прогрессии удовлетворяет условию |𝑞| < 1. При этом
𝑎
сумма прогрессии 𝑆 =
.
1−𝑞
Остаток числового ряда
===================
Пусть задан числовой ряд 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯
Определение 4.Остатком числового ряда называется ряд
𝑟𝑛 = 𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ = ∑∞
𝑘=𝑛+1 𝑎𝑘
Теорема 1. Если ряд сходится, то его остаток 𝑟𝑛 → 0 при 𝑛 → 0 .
Доказательство
Очевидно, что ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑆𝑛 + 𝑟𝑛 = 𝑆
Так как это равенство справедливо при любом n, то можно в нём перейти к
пределу при 𝑛 → ∞:
lim 𝑆 = lim (𝑆𝑛 + 𝑟𝑛 ) ⇒ 𝑆 = lim 𝑆𝑛 + lim⁡ 𝑟𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Но для сходящегося ряда lim 𝑆𝑛 = 𝑆, откуда следует, что
𝑛→∞
𝑆 = 𝑆 + lim⁡ 𝑟𝑛 ⟹ lim⁡ 𝑟𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑛→∞
( доказано).
Определение 5. Числовой ряд называется расходящимся, если предел
последовательности частичных сумм ряда равен бесконечности или не
существует.
Свойства сходящихся рядов
Свойство 1. Отбрасывание конечного числа первых членов ряда не
∞
сказывается на его сходимости, т.е. ряды ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=𝑘 𝑎𝑘
сходятся и расходятся одновременно.
Свойство 2. Общий множитель членов ряда можно выносить за знак
∞
суммы, т.е.⁡∑∞
𝑛=1 𝑐𝑎𝑛 = 𝑐 ∑𝑛=1 𝑎𝑛 .
Свойство 3.Сходящиеся ряды можно почленно складывать, т.е.,если
∞
= 𝑆1 и ∑∞
𝑛=1 𝑏𝑛 = 𝑆2 , то ∑𝑛=1(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 ) = 𝑆1 ± 𝑆2 .
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
Свойство 4. Если в сходящемся ряде объединить соседние члены в группы,
не изменяя порядка членов, и найти суммы этих групп, то ряд, составленный
из полученных сумм, будет также сходится, причём к той же сумме, что и
исходный ряд.
Это свойство называется ассоциативностью ряда.
Необходимый признак сходимости ряда
Теорема 2. Если ряд сходится, то его общий член стремиться к нулю.
Доказательство
Пусть ряд ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 сходится. Тогда lim 𝑆𝑛 = 𝑆. Очевидно,
𝑛→∞
что lim 𝑆𝑛−1 = 𝑆. Но 𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑎𝑛 . Следовательно
𝑛→∞
lim 𝑆𝑛 = lim 𝑆𝑛−1 + lim 𝑎𝑛 ⇒ 𝑆 = 𝑆 + lim 𝑎𝑛 .
𝑛→∞
𝑛→∞
Значит lim 𝑎𝑛 = 0.
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Теорема доказана.
Следствие ( достаточный признак расходимости ряда ) Если общий член ряда
не стремится к нулю, то ряд расходится.
2 .Ряды с положительными членами
В настоящем разделе будем рассматривать ряды ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 ,
∞
∞
∑𝑛=1 𝑏𝑛 ,...,⁡∑𝑛=1 𝑐𝑛 , члены которых удовлетворяют условию 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 , … , 𝑐𝑛 ≥ 0.
Признаки сравнения рядов
Теорема 3. ( Первый признак сравнения ) Пусть даны два положительны
∞
ряда ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=1 𝑏𝑛 , причём, начиная с некоторого места, члены первого
ряда не превосходят соответствующих членов второго:
𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 , 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, … , …
Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из
расходимости первого ряда следует расходимость второго.
Доказательство
Так как отбрасывание конечного числа первых членов ряда не влияет на
его сходимость, можно считать, что условие 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 выполняется для всех n,
начиная с n=1. Рассмотрим частичные суммы рядов 𝑆𝑛1 и 𝑆𝑛2 . Из
положительности рядов следует, что 𝑆𝑛1 и 𝑆𝑛2 монотонно возрастают при
возрастании n и для любых n выполняется неравенство 𝑆𝑛1 ≤ 𝑆𝑛2 .
Пусть второй ряд сходится. Это значит, что существует конечный
предел lim 𝑆𝑛2 = 𝑆2 , причём 𝑆𝑛2 ≤ 𝑆2 . Но тогда последовательность
𝑛→∞
частичных сумм первого ряда 𝑆𝑛1 ограничена сверху⁡ 𝑆𝑛1 ≤ 𝑆𝑛2 ≤ 𝑆2 . А так
как она монотонно возрастает с возрастанием n, то существует конечный
предел lim 𝑆𝑛1 = 𝑆1 , а следовательно первый ряд тоже сходится.
𝑛→∞
Пусть теперь первый ряд расходится. Из положительности ряда следует,
что lim 𝑆𝑛1 = ∞ .Так как 𝑆𝑛1 ≤ 𝑆𝑛2 , то lim 𝑆𝑛2 = ∞ . А это значит, что
𝑛→∞
𝑛→∞
второй ряд расходится. Теорема доказана.
Теорема 4.(Второй признак сравнения) Пусть для положительных
∞
рядов ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 и ∑𝑛=1 𝑏𝑛 , можно найти положительные числа k и K,
𝑎
такие ,что начиная с некоторого n, выполняются неравенства 𝑘 ≤ 𝑛 ≤ 𝐾.
Тогда заданные ряды сходятся и расходятся одновременно.
𝑏𝑛
Теорема 5. ( Третий признак сравнения) Если положительные ряды ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
𝑎
𝑛
и ∑∞
= 𝑐 > 0, то эти ряды сходятся и
𝑛=1 𝑏𝑛 таковы, что существует lim
расходятся одновременно.
𝑛→∞ 𝑏𝑛
Примеры применения теорем сравнения
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
Сравним заданный ряд с рядом
∑∞
𝑛=1
1
2𝑛
∑∞
𝑛=1
1
𝑛+2𝑛
.
. Этот ряд сходится, так как
1
является геометрической прогрессией со знаменателем 𝑞 = < 1.
2
Из неравенства
1
𝑛+2𝑛
≤
1
2𝑛
следует, что заданный ряд также сходится.
Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами .
Существует довольно много приёмов, позволяющих устанавливать
сходимость или расходимость рядов. Так, мы рассмотрели необходимый
признак сходимости, с помощью которого можно установить расходимость
ряда. К признакам сходимости можно отнести также теоремы сравнения, с
помощью которых можно установить как сходимость, так и расходимость
рядов.
В настоящем разделе мы сформулируем некоторые достаточные признаки
сходимости положительных рядов, наиболее часто применяемые на
практике, а именно: признак Даламбера, радикальный и интегральный
признаки Коши, причём дадим формулировки признаков в наиболее удобной
для применения так называемой предельной форме.
Признак Даламбера.
∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 с положительными членами существует
Пусть для ряда
𝑎𝑛+1
lim
=𝑙
𝑛→∞ 𝑎𝑛
Тогда ряд сходится при 𝑙 < 1 и расходится при 𝑙 > 1. Если 𝑙 = 1 , то
признак неприменим.
Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять, если общий член
ряда содержит множители вида 𝑛! или 𝑎𝑛 .
𝑛2
Пример1. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑∞
𝑛=1 (𝑛+1)3𝑛
𝑛2
(𝑛+1)2
Запишем 𝑎𝑛 = (𝑛+1)3𝑛 , 𝑎𝑛+1 = (𝑛+2)3𝑛+1
Вычислим lim
𝑎𝑛+1
𝑛→∞ 𝑎𝑛
= lim
𝑛→∞
(𝑛+1)2 (𝑛+1)3𝑛+1
(𝑛+2)3𝑛+1 𝑛2
=
1
lim
3 𝑛→∞
(𝑛+1)3
𝑛2 (𝑛+2)
=
1
3
Так как полученный предел меньше единицы, то делаем вывод: данный ряд
сходится.
Радикальный признак Коши
∑∞
Пусть для ряда
𝑛=1 𝑎𝑛 с положительными членами существует
𝑛
lim √𝑎𝑛 = 𝑙.
𝑛→∞
Тогда ряд сходится при 𝑙 < 1 и расходится при 𝑙 > 1. Если 𝑙 = 1 ,
то признак неприменим.
Пример 2.Исследовать на сходимость числовой ряд
𝑛
∑∞
𝑛=1 3
𝑛
(𝑛+1)
𝑛2
.
Для исследования ряда на сходимость применим радикальный признак
Коши. Вычислим
𝑛2
𝑛
𝑛 𝑛
3
3
𝑛
√
lim 3 (
=
>1
) = lim 3 (
) = lim
𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛 + 1
𝑛+1
𝑛+1
𝑒
( 𝑛 )
Так как полученный предел больше единицы, то делаем вывод: ряд
расходится.
𝑛
Интегральный признак сходимости Коши
Прежде чем формулировать сам признак, сделаем некоторые пояснения.
Пусть задан числовой ряд. Ранее уже было отмечено, что каждый член ряда
можно рассматривать, как значения некоторой функции f(n) от номера n
члена ряда 𝑓(1) = 𝑎1 , 𝑓(2) = 𝑎2 , … , 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 , …
Понятно, что можно ввести некоторую функцию f(x), которая была бы
определена при всех значениях аргумента x, больших единицы, а при
натуральных значениях аргумента совпадала бы со значениями членов ряда.
Например, для гармонического ряда ∑∞
𝑛=1
1
ln(𝑛+1)
𝑥
𝑛+1
быть 𝑓(𝑥) = ; для ряда ∑∞
𝑛=1 ⁡
1
𝑛
такой функцией может
⁡ ---- 𝑓(𝑥) = ⁡
ln(𝑥+1)
𝑥+1
и т.д.
А теперь сформулируем собственно интегральный признак Коши.
Пусть члены числового ряда ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 положительны и не возрастают
Пусть, далее, f(x) ---функция, которая определена для всех вещественных
𝑥 ≥ 1, непрерывна и удовлетворяет условию
𝑓(1) = 𝑎1 , 𝑓(2) = 𝑎2 , … , 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 , …
Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился
∞
несобственный интеграл ∫1 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥.
Применим интегральный признак Коши для исследования сходимости
∞ 𝑑𝑥
1
числового ряда ∑∞
1 ⁡𝑛𝜆 ⁡⁡ . Рассмотрим ∫1 𝑥 𝜆 ⁡⁡⁡. Ранее было показано, что этот
интеграл сходится для 𝜆 > 1 и расходится для 𝜆 ≤ 1 . Следовательно,
данный ряд также сходится для 𝜆 > 1 и расходится для 𝜆 ≤ 1.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Определение 1. Числовой ряд называется знакопеременным, если он
содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных
членов.
Например, знакопеременным является следующий числовой ряд
∞
sin 𝑛
sin 1 sin 2 sin 3 sin 4
=
+
+
+
+⋯
∑ 2
𝑛 +1
2
5
10
17
𝑛=1
Рассмотрим два ряда:
(1) ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛
------ знакочередующийся ряд и
(2) ∑∞
𝑛=1|𝑎𝑛 |
------ положительный ряд, составленный из модулей
знакопеременного ряда.
Определение 2. Знакопеременный ряд (1) называется абсолютно
сходящимся, если сходится ряд (2), составленный из модулей членов
знакопеременного ряда (1).
Определение 3. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся,
если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов,
расходится.
Теорема 1. Если сходится ряд, составленный из модулей знакопеременного
ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.
Доказательство.
Пусть дан знакопеременный ряд
(1) ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯,
который абсолютно сходится. Это значит, что сходится ряд (2)
∞
∑
𝑛=1
|𝑎𝑛 | = |𝑎1 | + |𝑎2 | + |𝑎3 | + ⋯ + |𝑎𝑛 | + ⋯
Тогда по свойству 2 об умножении сходящихся рядов сходится также ряд (3)
∞
∑
2|𝑎𝑛 | = 2|𝑎1 | + 2|𝑎2 | + 2|𝑎3 | + ⋯ + 2|𝑎𝑛 | + ⋯
𝑛=1
Очевидно, что для любого n выполняется неравенство 0 ≤ 𝑎𝑛 + |𝑎𝑛 | ≤ 2|𝑎𝑛 |
Следовательно, по первому признаку сравнения рядов сходится ряд
(4) ∑∞
𝑛=1(𝑎𝑛 + |𝑎𝑛 |) .Но тогда по свойству 3 о сложении и вычитании рядов
сходится ряд, членами которого являются разности членов рядов
(4) и (2), то есть заданный знакопеременный ряд (1).
Для исследования знакопеременных рядов на абсолютную сходимость
можно использовать все рассмотренные выше признаки сходимости
положительных рядов. Гораздо сложнее исследовать эти ряды на условную
сходимость.
Знакочередующиеся ряды
Определение 4. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся,
если соседние его члены имеют противоположные знаки.
Знакочередующийся ряд принято записывать в виде:
∞
𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑎𝑛 + ⋯ = ∑ (−1)𝑛−1 𝑎𝑛
𝑛=1
Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий и
практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.
Теорема 2 .(Признак сходимости Лейбница ) Знакочередующийся ряд
сходится, если модули его членов монотонно убывают с возрастанием n
и общий член стремится к нулю, т. е.
𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑛 ≥ ⋯ ⁡⁡⁡и⁡⁡ lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→∞
Доказательство
Рассмотрим чётные частичные суммы ряда и сгруппируем в них
члены двумя разными способами
𝑆2𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ + 𝑎2𝑛−1 − 𝑎2𝑛
= (𝑎1 − 𝑎2 ) + (𝑎3 − 𝑎4 ) + ⋯ + (𝑎2𝑛−1 − 𝑎2𝑛 )
= 𝑎1 − (𝑎2 − 𝑎3 ) − (𝑎4 − 𝑎5 ) − ⋯ − (𝑎2𝑛−2 − 𝑎2𝑛−1 ) − 𝑎2𝑛
Так как величины 𝑎𝑛 убывают с возрастанием n, то из полученных
выражений для 𝑆2𝑛 следует, что последовательность {𝑆2𝑛 } монотонно
возрастает с возрастанием n и ограничена сверху 𝑆2𝑛 ≤ 𝑎1 . Тогда по
теореме Вейерштрасса эта последовательность имеет конечный предел:
lim 𝑆2𝑛 = 𝑆
𝑛→∞
Рассмотрим теперь нечётные частичные суммы ряда. Имеем
𝑆2𝑛+1 = 𝑆2𝑛 + 𝑎𝑛+1 ⇒ lim 𝑆2𝑛+1 = lim 𝑆2𝑛 + lim 𝑎2𝑛+1 = 𝑆 + 0 = 𝑆
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Таким образом, существует конечный предел частичных сумм ряда, а значит
ряд сходится.
𝑛−1
Следствие 1. Сумма знакочередующегося ряда ∑∞
𝑎𝑛 не
𝑛=1(−1)
превышает первого члена ряда.
Следствие 2. Модуль остатка знакочередующегося ряда не превышает
модуля первого отброшенного члена.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
Сформулируем несколько теорем о свойстве коммутативности рядов.
Теорема 3. ( теорема Дирихле ) Если в сходящемся положительном ряде
произвольным образом переставить члены, то полученный ряд будет также
сходится, а сумма его будет равна сумме исходного ряда.
Это свойство ряда называется коммутативностью ряда.
Теорема 4. Если в абсолютно сходящемся ряде произвольным образом
переставить члены, то полученный ряд будет также абсолютно сходится, а
его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Это обозначает, что абсолютно сходящийся ряд также обладает свойством
коммутативности.
Теорема 5. ( Теорема Римана ) Условно сходящийся ряд не обладает
свойством коммутативности. Более того, каково бы ни было заданное число,
можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы его сумма
равнялась заданному числу.
Такое различие свойств обусловлено принципиальной разницей между
абсолютной и условной сходимостью рядов.
Абсолютная сходимость ряда основана на быстром убывании членов ряда
и потому не зависит от порядка членов.
Условная сходимость ряда основана на взаимном погашении
положительных и отрицательных членов и потому зависит от порядка
расположения членов.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Пусть задана последовательность функций 𝑢1 (𝑥), 𝑢2 (𝑥), … , 𝑢𝑛 (𝑥),
заданных на одном и том же множестве.
Определение 1. Функциональным рядом называется выражение вида:
∞
𝑢1 (𝑥) + 𝑢2 (𝑥) + ⋯ +𝑢𝑛 (𝑥) + ⋯ = ∑ 𝑢𝑛 (𝑥)
𝑛=1
Подставляя в функциональный ряд вместо переменной x некоторые её
значения 𝑥1 , 𝑥2 и т.д., мы получим различные числовые ряды ∑∞
𝑛=1 𝑢𝑛 (𝑥0 ),
∞
∑𝑛=1 𝑢𝑛 (𝑥1 ) и т.д.. В зависимости от значения переменной x числовые ряды
могут оказаться сходящимися или расходящимися.
Определение 2. Совокупность всех значений переменной x, для которых
соответствующие числовые ряды сходятся, называется областью сходимости
функционального ряда.
Сумма функционального ряда, таким образом, зависит от переменной
x и следовательно является функцией, определённой в области сходимости
ряда.
Поэтому можно ставить вопрос о её непрерывности, дифференцируемости,
интегрируемости и т.д.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Определение 2. Степенным рядом называется функциональный ряд,
членами которого являются степенные функции.
Таким образом, степенные ряды ---это ряды вида
𝑛
(1) 𝐶0 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ = ∑∞
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥
𝑛
(2)⁡𝐶0 + 𝐶1 (𝑥 − 𝑎) + 𝐶2 (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + 𝐶𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛 + ⋯ = ∑∞
𝑛=0 𝐶𝑛 (𝑥 − 𝑎)
числа 𝐶1 , 𝐶2 , … , 𝐶2 , … называются коэффициентами ряда.
Очевидно, ряд (2) можно привести к ряду (1), если сделать подстановку
𝑥 − 𝑎 = 𝑦. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (1).
Легко видеть, что степенной ряд сходится по крайней мере в одной точке
Область сходимости степенных рядов достаточно просто находится с
помощью теоремы Абеля. Мы приведем здесь формулировку этой теоремы в
сокращённом виде и без доказательства.
𝑛
Терема Абеля. Если степенной ряд ∑∞
сходится при некотором
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥
значении ⁡⁡𝑥 = 𝑥0 ⁡⁡⁡, то он сходится абсолютно при всех значениях, для
которых |𝑥| < |𝑥0 | .
Если этот ряд расходится при некотором значении 𝑥 = 𝑥1 , то он
расходится при всех значениях 𝑥, для которых |𝑥| > |𝑥1 | .
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда существует
число 𝑅 ≥ 0, удовлетворяющее условиям: 1) при всех значениях 𝑥
, для
которых|𝑥| < 𝑅, ряд сходится абсолютно ; 2) при всех значениях⁡⁡⁡𝑥 , для
которых |𝑥| > 𝑅 , ряд расходится.
Это число называется радиусом сходимости степенного ряда.
Если степенной ряд сходится только в одной точке 𝑥 = 0, то 𝑅 = 0 .
Если степенной ряд сходится для любого 𝑥 , то 𝑅 = ∞ .
Открытый промежуток (−𝑅; 𝑅) называется интервалом сходимости
степенного ряда.
Для нахождения радиуса и интервала сходимости степенного ряда можно
использовать признаки Коши и Даламбера. Но поскольку эти признаки
применимы только для положительных рядов, нужно рассматривать ряд,
составленный из модулей членов данного степенного ряда.
Получим фор мулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
с помощью признака Даламбера:
lim |
𝑛→∞
𝑈𝑛+1
𝑈𝑛
| = lim |
𝑛→∞
𝐶𝑛+1 𝑥 𝑛+1
𝐶𝑛 𝑥 𝑛
| = |𝑥| ∙ lim |
𝑛→∞
𝐶𝑛+1
𝑐𝑛
| = |𝑥| ∙ 𝑙.
Для сходимости ряда необходимо, чтобы выполнялось неравенство
1
1
𝐶𝑛
|𝑥| ∙ 𝑙 < 1 ⇒ |𝑥| < =
⟹ |𝑥| < lim |
|
𝐶𝑛+1
𝑛→∞ 𝐶𝑛+1
𝑙
lim |
|
𝑛→∞ 𝐶𝑛
Следовательно,
𝐶𝑛
𝑅 = lim |
|
𝑛→∞ 𝐶𝑛+1
Если использовать радикальный признак Коши, то для вычисления
радиуса сходимости степенного ряда получим формулу
𝑅=
1
𝑛
lim √|𝐶𝑛 |
𝑛→∞
Свойства степенных рядов
Сформулируем несколько свойств степенных рядов, которые в
дальнейшем будут полезны при использовании рядов в различных
приложениях.
Свойство 1. Сумма степенного ряда является непрерывной на интервале
сходимости ряда.
Свойство 2. Степенной ряд внутри промежутка сходимости можно
почленно интегрировать:
𝑛
Пусть ∑∞
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥 = 𝑆(𝑥)⁡⁡ .
𝑏
𝑏
𝑏 𝑛
∞
𝑛
Тогда∫𝑎 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 (∑∞
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥 )𝑑𝑥 = ∑𝑛=0 𝐶𝑛 ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑥 .
Свойство 3. Степенной ряд внутри промежутка сходимости можно
сколько угодно раз почленно дифференцировать:
∞
∞
𝑛
𝑛
𝑛−1
𝑆 ′ (𝑥) = (∑∞
.
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥 )′ = ∑𝑛=0(𝐶𝑛 𝑥 )′ = ∑𝑛=0 𝑛𝐶𝑛 𝑥
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Прежде чем вводить понятие ряда Тейлора, вспомним теорему,
относящуюся к дифференциальному исчислению.
Теорема 1. Пусть функция 𝑓(𝑥) в некоторой окрестности точки 𝑥0 и в
самой точке имеет непрерывные производные до (⁡⁡𝑛 + 1⁡⁡) – го порядка
включительно. Тогда для любого 𝑥 из этой окрестности имеет место
формула Тейлора
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
+𝑅𝑛 (𝑥),
𝑓′(𝑥0 )
1!
(𝑥 − 𝑥0 ) +
𝑓′′(𝑥0 )
2!
(𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯ +
𝑓(𝑛) (𝑥0 )
𝑛!
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 +
где остаточный член 𝑅𝑛 (𝑥) может быть записан в форме Лагранжа
𝑓 (𝑛+1) (𝑐)
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛+1 ; ⁡⁡𝑐 = 𝑥0 + 𝜃(𝑥 − 𝑥0 ), 0 ≤ 𝜃 ≤ 1.
𝑅𝑛 (𝑥) =
(𝑛 + 1)
Если функция 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 и в её окрестности имеет непрерывные
производные всех порядков, то для неё можно записать формулу Тейлора для
любого значения 𝑛 . При 𝑛 → ∞ мы приходим к понятию ряда Тейлора
∞
𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛
𝑓(𝑥) = ∑
𝑛!
𝑛=0
Этот ряд называется рядом Тейлора для функции 𝑓(𝑥). Но для того, чтобы
функция 𝑓(𝑥) была суммой этого ряда, он должен сходится именно к 𝑓(𝑥) .
1
Например, запишем формулу Тейлора для функции 𝑓(𝑥) =
при
1−𝑥
произвольном 𝑛 :
1
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 + ⋯
1−𝑥
Однако ряд справа – геометрическая прогрессия и сходится при |𝑥| < 1⁡
именно к данной функции. Если |𝑥| ⁡ > 1⁡⁡ , то ряд справа расходится и
функция не является суммой ряда, хотя для данных значений 𝑥 она
определена.
Ответ на вопрос, при каком условии ряд Тейлора для функции 𝑓(𝑥)
сходится к этой функции, даёт следующая
Теорема 2. Ряд Тейлора для функции 𝑓(𝑥) сходится к этой функции тогда
и только тогда, когда остаточный член 𝑅𝑛 (𝑥) в формуле Тейлора
для 𝑓(𝑥) стремится к нулю при⁡⁡⁡𝑛 → ∞.
Доказательство
Запишем формулу Тейлора для функции 𝑓(𝑥) в виде
𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛 (𝑥) + 𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑆𝑛 (𝑥) + 𝑅𝑛 (𝑥),
так как многочлен Тейлора ⁡𝑃𝑛 ⁡(𝑥)⁡ равен очевидно n – ой частичной сумме
⁡𝑆𝑛 (𝑥)⁡⁡ ряда Тейлора для 𝑓(𝑥) .
Перейдём в записанном равенстве к пределу при 𝑛 → ∞ :
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑆𝑛 (𝑥) + lim 𝑅𝑛 (𝑥)
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Пусть ряд Тейлора сходится к функции 𝑓(𝑥) . Это значит,
что⁡⁡⁡⁡⁡⁡ lim 𝑆𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥) и равенство принимает вид
𝑛→∞
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) + lim 𝑅𝑛 (𝑥) , откуда следует, что
𝑛→∞
lim 𝑅𝑛 (𝑥) = 0.
𝑛→∞
Пусть теперь lim 𝑅𝑛 (𝑥) = 0 . В этом случае приходим к равенству
𝑛→∞
𝑓(𝑥) = lim 𝑆𝑛 (𝑥). Следовательно, ряд Тейлора сходится к функции
𝑛→∞
𝑓(𝑥). Теорема доказана.
При исследовании поведения остаточного члена формулы Тейлора будет
полезна следующая
Теорема 3. Для того, чтобы остаточный член формулы Тейлора для
функции 𝑓(𝑥) стремился к нулю при 𝑛 → ∞ , достаточно, чтобы функция
𝑓(𝑥) в точке 𝑥⁡0 ⁡ имела производные всех порядков, ограниченные одним и
тем же числом.
Теорема 4.( Единственность разложения функции в ряд Тейлора)
Пусть функция 𝑓(𝑥) является суммой некоторого степенного ряда
∞
𝑓(𝑥) = 𝐶0 + 𝐶1 (𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ + 𝐶𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + ⋯ = ∑ 𝐶𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛
𝑛=0
Тогда этот ряд является рядом Тейлора для функции 𝑓(𝑥) , т.е.
𝐶𝑛 =
𝑓(𝑛) (𝑥0 )
𝑛!
.
Доказательство
𝑛
Применяя к равенству 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑛 раз теорему о почленном
𝑛=0 𝐶𝑛 𝑥
дифференцировании степенного ряда, Найдём
(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 2)!
𝐶𝑛+1 (𝑥 − 𝑥0 ) +
𝐶𝑛+2 (𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯
1!
2!
Если в этом равенстве положить 𝑥 = 𝑥0 , то получим
𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝑛! 𝐶𝑛 +
𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) = 𝑛! 𝐶𝑛 ⇒ 𝐶𝑛 =
𝑛!
что и требовалось доказать.
,
Разложение некоторых элементарных функций
в ряды Маклорена
Рядом Маклорена называют ряд Тейлора для случая 𝑥0 = 0
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥+
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 + ⋯ +
𝑓 (𝑛) (0)
𝑛!
𝑥𝑛 …
Используя полученные ранее формулы Маклорена , запишем ряды
Маклорена для функций 𝑒 𝑥 , sin 𝑥⁡и⁡ cos 𝑥.
∞
𝑥 𝑥2
𝑥𝑛
𝑥𝑛
𝑥
𝑒 = 1 + + + ⋯+
+⋯= ∑
1! 2!
𝑛!
𝑛!
3
5
2𝑛+1
𝑛=0
∞
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 2𝑛+1
𝑛
𝑛
sin 𝑥 = 𝑥 − + + ⋯ + (−1)
+ ⋯ = ∑ (−1)
(2𝑛 + 1)!
(2𝑛 + 1)!
3! 5!
2
4
2𝑛
𝑛=0
∞
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥 2𝑛
𝑛
𝑛
(−1)
(−1)
cos 𝑥 = 1 − + − ⋯ +
+⋯= ∑
(2𝑛)!
(2𝑛)!
2! 4!
𝑛=0
Можно показать, например с помощью признака Даламбера, что ряды
Маклорена для функций 𝑒 𝑥 , sin 𝑥⁡и⁡ cos 𝑥 сходятся для всех значений 𝑥,
поэтому их радиус сходимости 𝑅 = ∞ .
Биномиальный ряд
Биномиальным рядом называется ряд Маклорена для функции
⁡⁡⁡𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)𝑝 , где 𝑝⁡ −любое вещественное число.
𝑝
𝑝(𝑝 − 1) 2 𝑝(𝑝 − 1)(𝑝 − 2) 3
𝑥+
𝑥 +
𝑥 +⋯
1!
2!
3!
𝑝(𝑝 − 1)(𝑝 − 2) … [𝑝 − (𝑛 − 1)] 𝑛
+
𝑥 +⋯
𝑛!
(1 + 𝑥)𝑝 = 1 +
С помощью признака Даламбера можно показать, что биномиальный ряд
сходится для ⁡|𝑥| < 1 , т.е. радиус сходимости биномиального ряда 𝑅 = 1.
Частные случаи биномиального ряда
Найдём разложение в ряд Маклорена функции
1
1+𝑥
= (1 + 𝑥)−1
Для этого в биномиальный ряд подставим 𝑝 = −1. Получим
(−1)(−2) 2 (−1)(−2)(−3) 3
−1
(1 + 𝑥)−1 = 1 +
𝑥+
𝑥 +
𝑥 +⋯
1!
2!
3!
(−1)(−2)(−3) … [−1 − (𝑛 − 1)] 𝑛
+
𝑥 +⋯
𝑛!
= 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯
Таким образом, имеем
1
𝑛 𝑛
(1)⁡⁡
= ⁡1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ = ∑∞
𝑛=0(−1) 𝑥
1+𝑥
Заменив в данном разложении 𝑥⁡⁡⁡⁡на (−𝑥), найдём разложение в
1
ряд Маклорена для функции
:
1−𝑥
∞
1
(2)⁡⁡
= ⁡1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + ⋯ + 𝑥 𝑛 + ⋯ = ∑ 𝑥 𝑛
1−𝑥
𝑛=0
Если в первом разложении заменить 𝑥 на 𝑥 2 , то получим ряд Маклорена
1
для функции
:
2
1+𝑥
(3)⁡⁡⁡
1
1+𝑥 2
𝑛 2𝑛
= ⁡1 − 𝑥 2 + 𝑥 4 − 𝑥 6 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑥 2𝑛 + ⋯ = ∑∞
𝑛=0(−1) 𝑥
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить,
используя теорему о почленном интегрировании степенных рядов. Применим
этот метод, для разложения в ряды Маклорена функций ln(1 + 𝑥) и arctg 𝑥.
𝑥 𝑑𝑥
Имеем ln(1 + 𝑥) = ∫0
1+𝑥
.
Подставим в интеграл разложение функции
этот ряд почленно. Получим
𝑥 𝑑𝑥
∫0 1+𝑥
=
𝑥
𝑛 𝑛
∫0 (∑∞
𝑛=0(−1) 𝑥 )𝑑𝑥
𝑛+1
𝑛𝑥
∑∞
𝑛=0(−1)
𝑛+1
=
1
1+𝑥
𝑛 𝑥 𝑛
∑∞
𝑛=0(−1) ∫0 𝑥 𝑑𝑥
в рял и проинтегрируем
𝑥
𝑥 𝑛+1
∞
𝑛
= ∑𝑛=0(−1)
|
𝑛+1 0
.
Следовательно, разложение функции ln(1 + 𝑥)имеет вид
(4)⁡⁡ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+
𝑥3
3
− ⋯ + (−1)𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
𝑛
− ⋯ = ∑∞
𝑛=0(−1)
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
.⁡⁡
Для разложения в ряд Маклорена функции arctg 𝑥 воспользуемся
𝑥 𝑑𝑥
равенством arctg 𝑥 = ∫0
1+𝑥 2
.
=
Подставим в интеграл разложение в ряд функции
проинтегрируем этот ряд почленно. Получим
𝑥
∞
∞
𝑛=0
𝑛=0
1
и
1+𝑥 2
𝑥
∞
𝑥
𝑑𝑥
𝑥 2𝑛+1
𝑥 2𝑛+1
𝑛
2𝑛
𝑛
𝑛
(−1)
(−1)
(−1)
∫
=∑
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ∑
.
| =∑
2
2𝑛 + 1 0
2𝑛 + 1
0 1+𝑥
0
𝑛=0
Следовательно, ряд Маклорена для функции arctg 𝑥 имеет вид
∞
2𝑛+1
𝑥3 𝑥5
𝑥
𝑥 2𝑛+1
𝑛
𝑛
(5)⁡⁡⁡⁡arctg 𝑥 = 𝑥 − + − ⋯ + (−1)
+ ⋯ = ∑ (−1)
.
3
5
2𝑛 + 1
2𝑛 + 1
𝑛=0
Легко проверить, что ряды для функций ln(1 + 𝑥) и arctg 𝑥⁡сходятся,
если ⁡|𝑥| ⁡ < 1⁡.
Суммирование рядов
Полученные разложения в ряды Маклорена элементарных функций и
теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов в ряде
случаев позволяют находить суммы некоторых функциональных и числовых
рядов. Например, найдём сумму ⁡𝑆(𝑥)⁡⁡ следующего ряда
∞
𝑆(𝑥) = ∑
(−1)𝑛−1
𝑛=1
𝑥 2𝑛
2𝑛
Это степенной ряд, который сходится ( как легко проверить) для |𝑥| < 1.
Продифференцируем ряд почленно:
∞
2𝑛𝑥 2𝑛−1
′ (𝑥)
𝑛−1
(−1)
𝑆
=∑
2𝑛
𝑛=1
∞
= ∑ (−1)𝑛−1 𝑥 2𝑛−1 ⁡
𝑛=1
= 𝑥 − 𝑥 3 + 𝑥 5 − 𝑥 7 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑥 2𝑛−1 + ⋯
Мы получили геометрическую прогрессию, первый член которой 𝑎 = 𝑥
и знаменатель 𝑞 = −𝑥 2 . Так как |𝑞| < 1, то геометрическая прогрессия
сходится к сумме
𝑎
𝑥
𝑆′(𝑥) =
=
1 − 𝑞 1 + 𝑥2
Тогда
𝑥
𝑆(𝑥) = ∫0
𝑥
1+𝑥 2
𝑑𝑥 = ln(1 + 𝑥 2 )|0𝑥 = ln(1 + 𝑥 2 ).
Применение рядов в приближённых вычислениях
Пример 1. Вычислить приближённо
1
3
√𝑒
=𝑒
1
3
−
используя разложение в степенной ряд функции 𝑒 𝑥
и взяв четыре
первых члена разложения. Оценить погрешность вычисления.
1
Запишем ряд Маклорена для функции 𝑒 𝑥 и положим 𝑥 = − . Получим
3
абсолютно сходящийся знакочередующийся ряд
1
𝑒 −3
∞
1
1
1
1
1
=1−
+ 2
− 3
+ ⋯ + (−1)𝑛 𝑛
+ ⋯ = ∑ (−1)𝑛 𝑛
3 ∙ 1! 3 ∙ 2! 3 ∙ 3!
3 ∙ 𝑛!
3 ∙ 𝑛!
𝑛=0
1
По условию задачи 𝑒 −3 ≈ 𝑆4 , т.е.
1
1
1
1
𝑒 −3 ≈ 1 −
+ 2
− 3
≈ 0,7037
3 ∙ 1! 3 ∙ 2! 3 ∙ 3!
Оценим погрешность вычислений. Так как полученный ряд
знакочередующийся, то его остаток не превышает по модулю первого
отброшенного члена. Следовательно, абсолютная погрешность ∆
определяется неравенством
1
1
∆≤ |𝑎5 | = 4
=
≈ 0,0005
3 ∙ 4! 1944
1
Таким образом, в приближённом равенстве 𝑒 −3 ≈ 0,7037
погрешность имеет место в четвёртом знаке дробной части.
0,5 ln(1+𝑥)
Пример 2. Вычислить приближённо ∫0
𝑑𝑥 , разложив
𝑥
подынтегральную функцию в ряд и взяв три члена разложения. Оценить
погрешность вычисления.
Получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд,
использовав разложение функции ln(1 + 𝑥) :
ln(1 + 𝑥) 1
𝑥2 𝑥3 𝑥4
𝑥𝑛
𝑛−1
= {𝑥 − + − + ⋯ + (−1)
+ ⋯} =
𝑥
𝑥
2
3
4
𝑛
𝑥 𝑥2 𝑥3
𝑥𝑛
𝑛
(−1)
= 1− + − +⋯+
+⋯
2 3
4
𝑛+1
Проинтегрируем этот ряд почленно:
∞
0,5
∞
∞
𝑛=0
𝑛=0
∫
0
𝑛=0
∞
= ∑ (−1)𝑛
𝑛=0
1
2𝑛+1 (𝑛 + 1)2
В результате получим абсолютно сходящийся знакочередующийся ряд
0,5
∫
0
ln(1 + 𝑥)
1
1
1
1
𝑑𝑥 = − 2 2 + 3 2 + ⋯ + (−1)𝑛 𝑛+1
+⋯
𝑥
2 2 ∙2
2 ∙3
2 (𝑛 + 1)2
По условию
0,5
∫
0
ln(1 + 𝑥)
1
1
1
𝑑𝑥 ≈ 𝑆3 = − 2 2 + 3 2 ≈ 0,4514
𝑥
2 2 ∙2
2 ∙3
Оценим погрешность вычисления. Как и в примере 1, абсолютная
погрешность определяется неравенством
1
1
∆≤ |𝑎4 | = 4 3 =
≈ 0,0023
2 ∙3
432
Отсюда видно, что погрешность в приближённом значении интеграла
имеет место уже в третьем знаке дробной части, поэтому ответ запишем в
виде
0,5 ln(1+𝑥)
∫0
0,5
0,5
𝑥𝑛
𝑥𝑛
𝑥 𝑛+1
𝑛
𝑛
𝑛
(−1)
(−1)
(−1)
∫
𝑑𝑥 = ∑
(∑
) 𝑑𝑥 = ∑
|
(𝑛 + 1)2
𝑛+1
𝑛+1
0
0
𝑥
𝑑𝑥 ≈ 0,451.
-------------------------------------------------------------РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Н.С.Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления», ч II
2. Н.С.Воробьёв «Теория рядов»
3. Д.Т.Письменный «Конспект лекций по высшей математике», ч. II/
.