Спецкурс 12 шагов к успеху

Вступление к Спецкурсу «12 шагов к успеху».
Никто не добивается успеха случайно. Успех требует составления особого плана,
которому обязательно нужно следовать. На первый взгляд, это просто, но замысел
требует усидчивости; добиться успеха несложно, но для этого придется немало
потрудиться. Благо, стоит только начать, как результаты немедленно дадут о себе
знать. Вся прелесть успешной жизни заключается в том, что, сделав один
маленький шаг по направлению к успеху, Вы обязательно его добьетесь!
Шаг 1 . Посмотрите в ближайшее зеркало. Человек, который пристально на Вас
оттуда смотрит - это единственный человек, который несет ответственность за Ваш
успех. Улыбнитесь! В случае неудачи обвинять можно будет только его и никого
другого. Успешные люди несут полную ответственность за свои действия.
Тема шага 1: «Сложение и вычитание натуральных чисел. Круги Эйлера»
I.
Задачи 1 и 2 предназначены для закрепления понимания взаимосвязи операций
сложения и вычитания. Здесь можно продемонстрировать учащимся способ
решения задач «с конца». Для задачи 1 (1) можно сделать такой рисунок.
К неизвестному числу прибавили 45 и получили 66 (рис. а), следовательно, для
нахождения первого числа надо из 66 вычесть 45 (рис б).
1. 1) Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. Каким действием можно
найти задуманное число? Найдите его.
2) Задумали число, уменьшили его на 45 и получили 66. Найдите задуманное число.
3) Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. Получили 200.
Найдите задуманное число.
2. 1) В автобусе было 25 пассажиров. На первой остановке вышло 8 и вошло 12
пассажиров, на второй — вышло 7 и вошло 5 пассажиров. Сколько пассажиров стало в
автобусе после второй остановки?
2) В автобусе было несколько пассажиров. На первой остановке вышло 7 и вошло 4, а
на второй вышло 6 и вошло 13 пассажиров. Сколько пассажиров было в автобусе до
первой остановки, если после второй остановки автобуса их стало 38?
Условия задач 3–5 заданы в так называемой «косвенной» форме. Здесь для нахождения
неизвестного числа требуется определить, оно больше или меньше известного. Эти
задачи требуют большего внимания к анализу условия задачи, к выяснению взаимосвязи
между известными и неизвестными величинами.
3. В трех классах 44 девочки — это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в
трех классах?
4. 1) Сын на 24 года моложе мамы, а папа на 3 года старше мамы. Сколько лет папе,
если сыну 10 лет?
2) Мама на 23 года старше сына, а папа на 2 года старше мамы. Сколько лет сыну, если
папе 34 года?
5. 1) Алеша прыгнул в длину на 3 м 12 см. Это на 9 см лучше результата Бори и на
13 см хуже результата Вовы. Какой результат в прыжках в длину показал Боря? Какой
Вова?
2) Доярки надоили за июль 300 000 л молока, это на 4 000 л больше, чем в июне и на
6 000 л меньше, чем в августе. Сколько литров молока они надоили за летние месяцы?
В задачах 6–7: предложить несколько способов решения, будем это всячески
поощрять, так как обсуждение различных способов решения одной и той же задачи,
кроме прочего, способствует развитию речи школьников. Для анализа условия и выбора
плана решения задачи 6 полезно использовать «круги Эйлера». Завершим работу с
такими задачами следующим заданием:
— Миша и Коля за лето прочитали 15 книг. Из них Миша прочитал 10 книг, а Коля —
12. Поставьте различные вопросы и ответьте на них.
По ходу решения получаемые ответы удобно отмечать на рисунке. Например:
1) Сколько книг прочитал Миша, но не прочитал Коля?
15 – 12 = 3 (книг);
2) Сколько книг прочитали оба мальчика?
10 – 3 = 7 (книг); 3) ...
6.*(часть задач разбирается на шаге 1,
часть – домашнее задание №1)
1) В нашем классе коллекционируют только марки и
монеты. Марки коллекционируют 8 человек, монеты —
5, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может
быть. Сколько человек коллекционируют только марки?
Сколько — только монеты?
2) Из 38 учащихся класса 24 занимаются в хоре и 15 в
лыжной секции. Сколько учащихся занимается и в хоре, и в лыжной секции, если в классе
нет учащихся, не посещающих занятий хора или лыжной секции?
3) 12 человек участвовали в конкурсе певцов, 3 человека — и в конкурсе певцов, и в
конкурсе чтецов. Хотя бы в одном из этих конкурсов участвовали 26 человек. Сколько
человек участвовало в конкурсе чтецов?
4) В соревнованиях по прыжкам в длину участвовало 18 человек, а по прыжкам в
высоту — 21. Причем и в тех, и других соревнованиях участвовали 16 человек. Сколько
человек участвовало в соревнованиях?
5) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино —
21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на
экскурсию, и в кино?
6) В нашем классе 8 человек коллекционируют марки, 6 человек коллекционируют
монеты, причем и марки, и монеты коллекционируют 3 человека, а ничего не
коллекционируют 19 человек. Сколько учащихся в нашем классе?
7) В нашем классе 32 человека. Из них 23 — любят кошек, 18 — собак. Причем 10
человек любят и кошек, и собак. Сколько человек из нашего класса не любят ни кошек, ни
собак?
8) В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в
музей — 6, а 2 человека не ходили ни в кино, ни на экскурсию. Сколько учащихся из
нашего класса ходило в кино?
7. а) Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила,
что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько
лет каждой из сестер?
б) На XXII Олимпийских Играх в Москве (1980 г.) спортсмены СССР получили 195
медалей, из них 126 золотых и бронзовых, 149 золотых и серебряных. Сколько золотых,
серебряных и бронзовых медалей в отдельности получили спортсмены СССР?
Один из способов решения задачи 7 (а) может быть таким. Обозначим количество
лет Веры, Нади и Любы соответственно В, Н и Л. Тогда по условию задачи верны 3
равенства:
В + Н + Л = 38,
В + Н = 28,
Н + Л = 23.
Вычитая из первого равенства второе, а потом третье, получим, что Л = 10, В = 15.
Теперь легко вычислить возраст Нади:
Н = 38 – 10 – 15 = 13.
Итак, Вере 15 лет, Наде 13 лет, Любе 10 лет.
II. Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств,
Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их
объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить
отношения между подмножествами, для наглядного представления.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает
рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно
проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу
легче.
8. Круги Эйлера на примере задачи
«Спортивный класс»
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами
спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом
и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое
не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни
футболом.
Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами
спорта?
Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов
спорта?
Решение. Воспользуемся кругами Эйлера.
Пусть большой круг изображает всех учащихся
класса,
а три меньших круга Б, Х и Ф изображают
соответственно баскетболистов, хоккеистов и
футболистов.
Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф,
изображает ребят, увлекающихся тремя видами
спорта.
Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что
одним лишь видом спорта баскетболом занимаются 16 - (4 + z + 3) = 9 - z;
одним лишь хоккеем 17 - (4 + z + 5) = 8 - z;
одним лишь футболом 18 - (3 + z + 5) = 10 - z.
Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят;
количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:
3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,
z = 2.
Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся
лишь одним видом спорта: 21 человек.
Ответ. Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.
Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
9. Круги Эйлера на примере задачи «Любимые мультфильмы»
Среди школьников 5 класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам.
Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка
Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и
семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок»,
шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма.
Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два
мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
Решение
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между
собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что
среди ребят, которые
назвали мультфильм
«Волк и теленок» пятеро
выбрали сразу два
мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят
выбрали только
«Белоснежку и семь
гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 –
ребят смотрят
только «Волк и
теленок».
Получаем:
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные
Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Домашнее задание №1 (использовать круги Эйлера):
10. «Гарри Поттер, Рон и Гермиона»:
На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4
прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри
Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал
11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
11. «Пионерский лагерь»:
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22
увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке
8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не
увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только
спортом?
12. «Экстрим»:
Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде
умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют
кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех
трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на
роликах?
Предложение:
Одному из слушателей спецкурса в качестве зачётной работы использовать тему,
связанную с Кругами Эйлера http://eileracrugi.narod2.ru/ .
Шаг 2 . Ответьте улыбкой своему отражению. Успешные люди всегда бодры,
оптимистичны и они всегда думают в положительном ключе. Если Вам кажется, что
нет повода улыбаться - все равно улыбнитесь. Позитивные мысли избавляют Вас от
негативных. Между прочим, очень трудно думать о плохом, когда Вы улыбаетесь!
Тема шага 2: «Задачи на умножение и деление натуральных чисел».
Цель: повторение учащимися связи отношений «больше в» и «меньше в» с умножением и
делением. В большинстве из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с
отношениями «больше на» и «меньше на».
I.Разбираем домашнее задание:
10. Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал
11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2
книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 –
книг прочитал только Гарри.
Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал
только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.
11. Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не
занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
12.
Всеми тремя спортивными
снарядами владеют три человека,
значит, в общей части кругов
вписываем число 3. На
скейтборде и на роликах умеют
кататься 10 человек, а 3 из них
катаются еще и на сноуборде.
Следовательно, кататься только
на скейтборде и на роликах
умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде
умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем
эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеет кататься
только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но
5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде
умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься
13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят.
20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде.
Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
II. 1. Дачник пришел от своей дачи на станцию через 12 мин после отхода электрички.
Если бы он на каждый километр тратил на 3 мин меньше, то пришел бы как раз к отходу
электрички. Далеко ли от станции живет дачник?
Тратя на каждый километр на 3 мин меньше, дачник мог бы сэкономить 12 мин на
расстоянии 12:3 = 4 км. Он живет в 4 км от станции.
С задачей 2 (1) связан поучительный диалог, рассказанный нашей коллегой и
отражающий трудности, с которыми сталкиваются некоторые учащиеся. Учительница
объясняет решение этой задачи отстающей ученице:
— Здесь надо 72 делить на 8.
— Нет, — возражает ученица, — когда «на сколько», надо вычитать.
В задачах 2 (2, 3) «во сколько» и «осталось» не требуют деления и вычитания; здесь
имеются лишние условия.
2.о 1) На каждую телегу грузили по 8 мешков картофеля. На сколько телег погрузили 72
мешка картофеля?
2) В некоторые из 40 пакетов насыпали по 2 кг сахарного песку. Осталось 10 пустых
пакетов. Во сколько пакетов насыпали сахарного песку?
3) В швейной мастерской за месяц израсходовали 350 м материи, осталось 2 куска по
60 м. Сколько метров материи осталось?
Задачи 3 (1–4) «с подвохом». При их решении учащиеся часто начинают вычислять до
того, как хорошо обдумают их условие.
3. 1) Тройка лошадей проскакала 90 км. Сколько километров проскакала каждая
лошадь?
2) Чтобы сварить яйцо всмятку, мама держит его в кипящей воде 2 мин. Сколько минут
потребуется, чтобы сварить всмятку 8 яиц?
3) У Алеши, Бори и Васи вместе 120 марок. У Алеши столько, сколько у Бори и Васи
вместе. Сколько марок у Алеши?
4) Коля и Миша вместе с папой поймали 24 карася. Папа поймал столько, сколько его
сыновья вместе, а они поймали карасей поровну. Сколько карасей поймал Коля?
4. Задача С.А. Рачинского. Родник в 24 мин дает бочку воды. Сколько бочек воды дает
родник в сутки?
5. 1) Первая машинистка печатает 10 страниц в час, а вторая за 5 ч печатает
столько же страниц, сколько первая за 4 ч. Сколько страниц отпечатают обе машинистки
за 3 ч совместной работы?
2) Первый рабочий за 1 ч делает 32 детали, а второй за 4 ч делает столько деталей,
сколько первый за 5 ч. За сколько часов они сделают 216 деталей при совместной работе?
6. На изготовление 2100 деталей первая бригада затрачивает на 2 ч меньше, чем вторая,
которая делает 420 деталей за 1 ч. Сколько деталей за час делает первая бригада?
Многошаговые задачи 5–6 сложны тем, что при их решении учащиеся не всегда умеют
определить, что требуется знать для ответа на вопрос задачи и как можно найти
требуемое. На примере таких задач можно обучать их поиску решения задачи.
Анализ условия и составление плана решения задачи 5 (1) проведём в таком диалоге:
— Сформулируйте главный вопрос задачи.
— Сколько страниц отпечатают обе машинистки за 3 ч совместной работы? (Iи II за
3 ч?)
— Что нужно знать, чтобы ответить на этот вопрос?
— Сколько страниц печатают 2 машинистки за 1 ч? (I и II за 1 ч?)
— Все ли мы знаем для этого? Что еще нужно узнать?
— Нет, не все. Нужно узнать, сколько страниц печатала вторая машинистка за 1 ч.
(II за 1 ч?)
— Что известно о работе второй машинистки?
— Она за 5 ч печатает столько же страниц, сколько первая за 4 ч.
— А мы знаем, сколько страниц печатает первая машинистка за 4 ч? (I за 4 ч?)
— Нет, но можем узнать, умножив 10 на 4.
В скобках мы привели записи, которые можно делать на доске\планшете по ходу
обсуждения. Стрелки, поставленные от последней записи к первой, дают план решения.
Для повышения эффективности обучения решению задач, а также для приучения
школьников к планированию своей деятельности, обучимся делать краткую запись
условия задачи и намечать по ней план решения. Разумеется, этот совет нельзя
превращать в обязательное требование. Учащиеся могут делать краткую запись условия
задачи в произвольной, удобной для них форме тогда, когда она действительно помогает
им в работе. Задачи 7-10 (часть –обсуждение и домашнее задание)
7. а) В магазине было 420 мужских и женских часов. Когда продали 150 мужских и 140
женских часов, то тех и других осталось поровну. Сколько мужских часов было в
магазине?
б) На заправочной станции было 540 т бензина и дизельного топлива. Когда того и
другого продали поровну, то осталось 120 т бензина и 130 т дизельного топлива.
Сколько тонн бензина было на станции?
8. а) В булочной было 654 кг черного и белого хлеба. После того, как продали
215кг черного и 287 кг белого хлеба, того и другого сорта хлеба осталось поровну.
Сколько килограммов черного и белого хлеба в отдельности было в булочной?
б) В двух магазинах было 452 холодильника. После того, как оба магазина продали
холодильников поровну, в одном осталось 72, а в другом — 84 холодильника. Сколько
холодильников было в каждом магазине первоначально?
9.* На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на
третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках книг
оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?
10. 1) За задание, выполненное двумя рабочими, заплатили 510 р. Сколько денег
получит каждый, если первый сделал 48 деталей, а второй 54 детали?
2) В понедельник магазин продал 5 коробок яиц, а во вторник 7. Известно, что от
продажи яиц во вторник магазин выручил на 396 р. больше, чем в понедельник. Сколько
стоит коробка яиц?
Повторение: круги Эйлера
11.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 –
троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и
троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами
транспорта?
Решение.
1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется
всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только
метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.
Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х
+ 4 – только троллейбусом, так как всего 30
человек,
составляем
уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х
–
6)
=
30,
отсюда х = 3.
2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом:
20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников,
которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли
количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3
раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.
Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
12.
В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в
хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в
драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор.
Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
Сколько ребят заняты только спортом?
Решение.
Пусть
Д
–
драмкружок,
Х
–
хор,
С – спорт.
Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.
Те 10 ребят из драмкружка,
которые поют в хоре,
окажутся в общей части
кругов Д и X. Трое из них
ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро
спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 =
3, не посещающих драмкружок.
Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,
22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;
70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не
увлекаются спортом.
Ответ: 10 человек и 11 человек.
Домашнее задание:1. задачи 7-10 оформить, посмотреть ролик
2.http://go.mail.ru/search_video?q=%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8%20%D1
%8D%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0#s=youtube&i=_ENr1slvg9Q&d=19191
82321&sig=bf0bf355e1
3.Повторить формулу периметра прямоугольника,
Шаг 3.
Чувство собственного достоинства - это основополагающая успеха. Думайте о себе,
своих достижениях и целях. Не зацикливайтесь на о ш и б к а х. Напоминайте себе и
хвалите себя за свои прошлые успехи. Поздравляйте себя с каждым успешным
шагом в сторону к успешному будущему.
Темы шага 3: «Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
Знакомство с комбинаторными задачами. Повторение: Факториал»
I. Разминка: Первые задачи шага 3 предполагают мысленные эксперименты с
величинами. Например, «Уменьшим число тетрадей в первой пачке на 10, тогда в обеих
пачках тетрадей станет поровну...». Или: «Если 4 мальчика выйдут из класса, то
девочек и мальчиков в классе станет поровну...». После решения задач 1-4 нужно
отметить то общее, что имеется в условии и в способе их решения: известна сумма и
разность двух неизвестных чисел; чтобы их найти, нужно из их суммы вычесть разность
— получится удвоенное меньшее число.
Возможно и иное решение. Для задачи 1 (2) оно выглядит так. Уравняем число
тетрадей в пачках, переложив половину разницы из большей пачки в меньшую. Тогда
тетрадей в пачках станет поровну — по 70:2 = 35. Вернем 5 тетрадей назад, получим
35 – 5 = 30 тетрадей во второй пачке.
К этому способу решения можно подготовить учащихся, решив задачи 10 (1–2). Но
делать это лучше не со всеми учащимися и только тогда, когда будет хорошо освоен
первый способ решения.
Исключим неверные решения. Например, задачу 1 (2) иногда решают так:
1) 70: 2 = 35 (тетр.); 2) 35 + 10 = 45 (тетр.).
Желая научить школьников проверять найденное решение, нужно обязательно учить
их определять, удовлетворяет ли оно условию задачи. Специально придумывать ситуации
для такого обучения не приходится, учащиеся создают их довольно часто. Ими
нужно только умело пользоваться. Чтобы научить их искать свои ошибки, нужно
дать им возможность сначала научиться искать ошибки в чужих решениях.
1. 1) В двух пачках было 40 тетрадей. Когда из первой пачки взяли 10 тетрадей, то
тетрадей в пачках стало поровну. Сколько тетрадей было во второй пачке первоначально?
2) В двух пачках 70 тетрадей — в первой на 10 тетрадей больше, чем во второй.
Сколько тетрадей во второй пачке (рис. 2)?
I
II
Рис. 2
2. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе — 30
карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?
3. а) Мама дала 16 р. сыну и дочери. Дочери она дала на 4 р. больше, чем сыну. Сколько
денег она дала каждому?
б) Саша собрал на 5 кг яблок больше, чем Коля, а вместе они собрали 43 кг яблок.
Сколько килограммов яблок собрал каждый?
4. а) Брат с сестрой нашли в лесу 25 белых грибов. Брат нашел на 7 грибов больше, чем
сестра. Сколько белых грибов нашел брат?
б) В классе 36 учащихся. Девочек на 4 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и
сколько девочек в классе?
5. 1) Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут
равными. Найдите эти числа.
2) Сумма двух чисел 350. Одно из них больше другого на 10. На сколько нужно
уменьшить большее число, чтобы получились равные числа? Найдите эти числа.
6. а) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.
б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.
7. а) Сумма двух чисел 96, разность 18. Найдите эти числа.
б) Сумма двух чисел 87, а разность 19. Найдите эти числа.
8. 1) Периметр прямоугольника равен 48 см, его длина на 4 см больше ширины.
Найдите стороны прямоугольника.
2) Периметр прямоугольника равен 54 см, его длина на 5 см больше ширины. Найдите
площадь прямоугольника.
9. Из «Арифметики» Л.Н. Толстого.
1) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у
каждого овец?
2) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько овец у
каждого?
10. 1) На двух полках было поровну книг. С первой полки сняли 10 книг и поставили на
вторую полку. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?
2) В первой пачке на 30 тетрадей больше, чем во второй. Сколько тетрадей надо
переложить из первой пачки во вторую, чтобы уравнять число тетрадей в пачках?
Домашнее задание: 1. Составить задачи по теме Шага 3. Оформить в виде
презентации (по желанию).
II.
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
Oпределение: Задачи о подсчете числа возможных комбинаций называются
комбинаторными.
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из
заданных объектов. С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой
древности. Несколько тысячелетий назад в Древнем Китае
занимались составлением магических квадратов.
Магический квадрат Ло
Shu
(слева)
Квадрат Альбрехта
Дюрера (cправа)
Фрагмент гравюры Дюрера
«Меланхолия»
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I»,
считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду
указывают дату создания гравюр.
Предложение:
Одному из слушателей спецкурса в качестве зачётной работы использовать тему,
связанную с Магическими квадратами.
1.Старинная задача.
Ребята, представьте, что мы с вами оказались в конце XIX в. на постоялом дворе.
Пассажир ходит, ожидая кучера. Затем появляется кучер и пассажир спрашивает:
- Не пора ли запрягать?
- Что вы! – ответил кучер. – Еще полчаса до отъезда. За это время я успею 20 раз и
запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой…
- А сколько в карету впрягается лошадей?
- Пять.
- Сколько времени полагается на запряжку лошадей?
- Да минуты 2, не более.
- Ой, ли? – усомнился пассажир. – Пять лошадей запрячь в две минуты… Что-то уж очень
скоро!
- И очень просто, - отвечал кучер. – Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в
вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двоих средних
лошадей к дышлу, взять вожжи в руки, сесть на козлы и готово… Поезжай!
- Ну, хорошо! – заметил пассажир. – Допустим, что таким образом можно запрячь и
отпрячь лошадей хоть 20 раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место
другой, да еще всех, то уж этого не сделать не только в полчаса, но и в два часа.
- Тоже пустячное дело! – расхвастался кучер. – Разве нам не приходится перепрягать! Да
какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше – одну лошадь на
место другой поставил, и готово! Минутное дело!
- Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, - сказал пассажир, - а
всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей, считая на перепряжку одну
минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.
- Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.
- Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! – сказал пассажир.
- А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, ответил кучер.
Так и условились.
Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу: «Сколькими способами можно
перепрячь пять лошадей?»
Решают сами. 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! = 120 (способов), значит, за один час кучер не успеет
справиться с заданием.
2. Решить по образцу. 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя
цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)?
2. Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 8 (цифры не
повторяются)?
3. Сколько 4-значных чисел можно составить из 4 цифр?
3. В природе, да и в обыденной жизни часто приходится иметь дело с
явлениями случайными, т.е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть.
Вы покупаете лотерейный билет – можете выиграть, а можете и не выиграть; на
выборах может победить один кандидат, а может и другой.
Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не
произойти.
События бывают: равновозможными (равновероятными); маловероятными; более
вероятными; достоверными; невозможными.
Определите вид следующих событий (5-8 события придумайте и запишите сами):
1.
Выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты.
2.
Зашли в темную комнату, включили свет, загорелась лампочка.
3.
Если опрокинуть стакан с водой, вода выльется.
4.
В жаркий летний день пошел снег.
5.
6.
7.
8.
Домашнее задание: 2. Составить 2 задачи по теме Шага 3.
Оформить в виде вопросов. Принести: 4 монеты, 4 игральных кубика (от 1 до 6),
1 кубик (от 1 до 3), 4 пустых спичечных коробка.
Итоги Шага 3:_____________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Ответы
2. 1. (Шесть: 14, 17, 41, 47, 71, 74).
2. (Тоже шесть: 378, 387, 738, 783, 873, 837).
3. «На 1-е место в 4-значном числе – 4 варианта, на 2-е – 3 варианта, на 3-е – 2
варианта, на 4-е – 1 вариант». 4•3•2•1=24. 4!=1•2•3•4. 3!=1•2•3.
Шаг 4.
Верьте в себя. У Вас есть особая цель в жизни. Найдите свою жизненную цель и
начинайте двигаться к ее достижению.
Темы шага 3: «Вероятностная шкала.. Повторение: Факториал»
I. Разминка:
5. Испытайте жажду успеха! Представьте себе, что сейчас Вы самый успешный человек на
планете. Приложите усилия и осуществите задуманное.
6. Равняйтесь на успешных людей. Делайте то, что делают они. Когда Вы стоите перед трудным
выбором, сделайте тот выбор, который бы сделал успешный человек.
7. Избегайте неуспешных людей. Не при каких обстоятельствах не стоит на них ориентироваться.
Они как радиация - уничтожают все, не создавая ничего взамен. Они - вампиры, которые живут
только за счет «высасывания» жизни из других. У Вас есть возможность держаться подальше от
негативных людей, так почему бы ее не воспользоваться? Избегайте всех этих «нытиков»,
«стукачей» и прочих гадов.
8. Делайте то, что у Вас получается лучше всего, и от чего Вы получаете наибольшее
удовольствие. Не вижу причин, чтобы заниматься скучными, неинтересными, вредными для
здоровья, непродуктивными и другими не нравящимися Вам вещами.
9. Запишите свое видение идеальной жизни. Будьте конкретным. Где Вы хотите жить, какой коврик
в гостиной Вы мечтаете иметь, кто Ваши друзья, имя домашней лошадки и т.п. Заведите себе
«Книгу Будущего», в которую Вы будете вставлять картинки, размышления, заметки по поводу
своей идеальной жизни. Составьте заголовки в газетном стиле о своих достижениях. Каждый день
пользуйтесь визуализацией, чтобы представить себя таким, каким Вы хотите быть, а затем
действуйте в этом ключе!
10. Запишите свою самую главную цель - ту, которую Вы больше всего хотите
осуществить. Пишите о ней в настоящем времени: «Я - …», «У меня есть…», «Я делаю…». Успех это результат собственного решения, поэтому начните свою цель со слова «Я». Читайте эту
запись ежедневно вслух утром и вечером. Говорите о ней людям. Составьте план ее достижение и
следуйте ему.
11. Изучайте науку быть успешным. Читайте книги, слушайте аудио-лекции, смотрите видео по
этой теме. Общайтесь с людьми, которые смогли добиться успеха и узнавайте у них, как им
удалось это сделать. Заполните свой мозг позитивными мыслями и постоянно самоутверждайтесь.
12. Каждый день делайте что-то, что приближает Вас к своей цели. Никогда не сдавайтесь. Вы
потерпите неудачу, если опустите руки. Продолжайте и еще раз продолжайте, и Вы достигните
успеха. Эта затея требует четкого следования установленной системе. Начните следовать этим
двенадцати принципам уже сегодня!
Каждый знает, что такое ошибки, неуверенность, небезопасность, низкая самооценка,
нерешительность, депрессия и нервозность. Успешные люди могут управлять этими временными
явлениями, начиная думать позитивно, следовать поставленному плану, вырисовывать картину
своего будущего, учиться на своих ошибках и направлять себя точно на достижение своих целей.
Следуя этим простым советам, Вы сможете стать по-настоящему успешным человеком и достичь
всех поставленных задач.