Тема 5. Рациональные уравнения. Метод интервалов

Тема 5. «Рациональные уравнения и неравенства. Метод
интервалов»
Рациональные уравнения
Рациональными уравнениями называются уравнения, которые с
помощью равносильных преобразований могут быть приведены к
Pn ( x)
виду
 0, где в числителе и знаменателе дроби стоят
Qk ( x)
многочлены степеней n и k соответственно. Очевидно, что Qk ( x) не
равен тождественно нулю. Если Qk ( x)  1, то уравнение принимает
вид Pn ( x)  0 , и решение уравнения сводится к отысканию корней
многочлена. В противном случае уравнения называют еще дробнорациональными, и при их решении используют равносильность
 Pn ( x)  0,
Qn ( x)
0
Qk ( x)
Qk ( x)  0.
Рассмотрим некоторые специальные виды целых и дробных
рациональных уравнений и методы их решения.
1* Трехчленные уравнения вида ax2n  bxn  c  0, a  0
При n=2 такие уравнения называются биквадратными. Замена
t  xn позволяет понизить порядок уравнения в n раз, сведя его к
квадратному.
Пример. Решить уравнение x6  3x3  2  0.
Замена переменной t  x3 приводит уравнение к виду
t 2  3t  2  0  t1  1, t2  2.
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, имеем
 x3  1,
 x  1,
x  3x  2  0   3

3
 x  2.  x  2.
6
3
Ответ. x1  1, x2  3 2.
2* Замена переменной
В некоторых случаях понизить порядок уравнения можно,
обозначив за новую переменную более сложное выражение, чем x n .
Пример. Решить уравнение  x 2  x  1 x 2  x  2   12 .
Заметив, что выражения в скобках, отличаются на 1, обозначим
t  x2  x  1. Тогда уравнение становится квадратным
t (t  1)  12  t 2  t  12  0  t1  4, t2  3.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
 x 2  x  1  4,
 x 2  x  5  0,
 x  x  1 x  x  2   12   x2  x  1  3.   x 2  x  2  0.


2
2
Первое уравнение решений не имеет. Корни второго легко найти
по теореме Виета: -2 и 1.
Ответ. x1  2, x2  1.
3* Уравнения вида  x  a  x  a  d  x  a  2d  x  a  3d   c
Каждая последующая скобка отличается от предыдущей на одно
и то же число d. Такие величины образуют арифметическую
прогрессию. Если перемножать все скобки последовательно, то
получим уравнение четвертой степени, если же перемножить
отдельно крайние скобки, а отдельно – средние, то легко ввести
новую переменную и перейти к квадратному уравнению.
 x  a  x  a  d  x  a  2d  x  a  3d   c 
 x2  x(2a  3d )  a(a  3d )   x2  x(2a  3d )   a  d  (a  2d )   c.
Замена t  x2  x(2a  3d )  a(a  3d ) переводит его в квадратное
t (t  2d 2 )  c .
Пример. Решить уравнение  x  2  x  1 x  4  x  7   19.
Перемножив крайние и средние скобки, получим
( x 2  5 x  14)( x 2  5 x  4)  19, t  x 2  5x  14 
t (t  18)  19  t 2  18t  19  0  t1  19, t2  1.
Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
 x 2  5 x  14  19,
 x 2  5 x  5  0,
 2
 2
x

5
x

14

1.

 x  5 x  15  0.
Решая квадратные уравнения, находим четыре корня уравнения.
Ответ. x1,2 
5  5
5  85
, x3,4 
.
2
2
4* Уравнения с симметричными коэффициентами
Рассмотрим на примере, как решаются уравнения четной
степени с симметричными коэффициентами.
Пример. Решить уравнение x4  3x3  2 x2  3x  1  0  2  0.
Делим обе части уравнения на x2  0 (это степень центрального
одночлена, остальные, симметричные относительно него, имеют
равные коэффициенты). Заметим, что это не приведет к потере
3 1
корней. Получаем равносильное уравнение x 2  3 x  2   2  0.
x x
Попарно
группируем
слагаемые
с
симметричными
коэффициентами, и в первой скобке выделяем полный квадрат.
1
 2 1  
 x  2   3 x    2  0 
x  
x

1 1
1 
1
 2
 x  2  x   2  2  x    3 x    2  0 
x x
x 
x

2
2
1
1
1
1




x


3
x


2

2

0

x


3
x








  0.
x
x
x
x








1
Теперь замена переменной очевидна t  x  , она приводит к
x
уравнению t 2  3t  0  t1  3, t2  0 . Возвращаясь к переменной х,
получаем совокупность уравнений
1

x

 3,

 x 2  3x  1  0,
3  5
x
 2
 x1,2 
.

2
 x  1  0.
 x  1  0.

x
Ответ. x1,2 
3  5
.
2
Если многочлен с симметричными коэффициентами в левой
части уравнения имеет нечетную степень, то легко убедиться, что его
корнем всегда будет число -1. После деления многочлена на двучлен
 x  1 , получаем многочлен четной степени с симметричными
коэффициентами. Его корни находим с помощью замены, описанной
выше.
5* Метод выделения полного квадрата
Этот метод в некоторых случаях помогает разложить на
множители левую часть уравнения и понизить его степень.
25 x 2
 11.
Пример. Решить уравнение x 
( x  5) 2
2
Заметив, что в левой части стоит сумма квадратов двух
выражений, добавим и вычтем из нее их удвоенное произведение.
5x
25 x 2
5x
x  2 x


11

2

x


2
x  5 ( x  5)
x5
2
2
 x 2  10 x 2
5x 
10 x 2

x

 11  0.
 
  11 
x5
x5
x

5
x

5



2
x2
Замена переменной t 
приводит уравнение к виду
x5
t 2  10t  11  0  t1  11, t2  1. Теперь находим x.
 x2
 x 2  11x  55  0,


11,
x5

1  21
 2
  x 2  x  5  0,
 x1,2 
.
2
 x
 x  5.
 x  5  1.

Ответ. x1,2 
1  21
.
2
Рациональные неравенства
Неравенства одного из видов
Pn ( x)
P ( x)
P ( x)
P ( x)
 0, n
 0, n
 0, n
 0,
Qk ( x)
Qk ( x)
Qk ( x)
Qk ( x)
где в числителе и знаменателе дроби стоят многочлены степеней
n и k соответственно, называются рациональными неравенствами.
Очевидно, что Qk ( x) не равен тождественно нулю. Если Qk ( x)  1, то
неравенство принимает вид Pn ( x)  0 ( Pn ( x)  0) . При n  1 и n  2 это
линейные и квадратные неравенства. Квадратные неравенства
предпочтительнее решать графическим методом. Если степень
многочлена больше двух, или неравенство является дробнорациональным, то применяют метод интервалов.
Сформулируем два варианта применения этого метода:
стандартный и канонический. Опишем их в виде алгоритмов. Чтобы
решить неравенство одного из видов
Pn ( x)
P ( x)
P ( x)
P ( x)
 0, n
 0, n
 0, n
 0 "*"
Qk ( x)
Qk ( x)
Qk ( x)
Qk ( x)
необходимо применить
Стандартный метод интервалов
1. Перенести все слагаемые в левую часть неравенства и, если
неравенство дробное, то привести к общему знаменателю, т.е.
получить неравенство одного из видов «*».
2. Найти нули числителя и нули знаменателя, т.е. корни
уравнений Qk ( x)  0, Pn ( x)  0. Эти корни являются точками, в
которых возможно изменение знака соответствующего многочлена,
а, значит, и всей дроби.
3. Нанести эти точки на числовую прямую, учитывая знак
неравенства и область определения дроби. Нули знаменателя всегда
наносим проколотыми точками, а нули числителя, не являющиеся
нулями знаменателя в нестрогом неравенстве, наносим жирными
точками.
4. В каждом из получившихся промежутков выбрать число
(точку) и подставить его в левую часть неравенства. Знак числа,
получившего при этом, присвоить всему промежутку, из которого
взяли точку. Когда знаки всем промежуткам присвоены, выбрать из
них те, которые имеют знак, соответствующий знаку неравенства.
Ответ записать в виде объединения выбранных промежутков.
Этот вариант метода интервалов в некоторых случаях
является слишком громоздким (например, когда промежутков очень
много, или когда точки на прямой очень близки друг к другу и
являются иррациональными числами, т.е. трудно подобрать точку из
интервала между ними и трудно вычислить в ней значение дроби).
Тогда применяют
Канонический метод интервалов
1. Перенести все слагаемые в левую часть неравенства и, если
неравенство дробное, то привести к общему знаменателю, т.е.
получить неравенство одного из видов «*».
2. Разложить числитель и знаменатель на множители, причем
каждый их них должен иметь старший коэффициент 1. Тогда
каждый
x
2
множитель
будет
одного
из
видов:
 x  ai 
ni
или
 pk x  qk  , причем дискриминант квадратного трехчлена
mk
отрицателен.
3. Все числа ai отметить на числовой прямой, они являются
нулями числителя и знаменателя. При этом учитываем знак
неравенства (строгое или нестрогое) и область определения дроби.
4. Все множители вида
 x2  pk x  qk 
mk
положительны при
любых значениях x ,поэтому на них можно разделить обе части
неравенства, не меняя его знака.
5. В крайнем правом промежутке поставить знак +.
(Действительно, число из этого промежутка больше всех чисел ai ,
потому все множители
 x  ai 
ni
будут положительными, если
вместо x подставить число из этого промежутка).
6. Далее расставить знаки над промежутками по следующему
правилу: при переходе через каждую точку ai менять знак, если ni 
нечетное,
и
оставлять
знак
прежним,
если
ni  четное.
(Действительно, четная степень любого двучлена принимает
неотрицательные значения, потому такой множитель не меняет
знака всей дроби).
7. Когда знаки над промежутками расставлены, выбрать из
них те, которые имеют знак, соответствующий знаку неравенства.
Ответ записать в виде объединения полученных промежутков.
Пример. Решить неравенство
 5  10 x   x 2  2 x  1 x3  8 2 x 2  12 x  10   0.
Раскладываем на множители левую часть неравенства и
выносим старшие коэффициенты при x:
1
2

10  x    x  1  x  2   x 2  2 x  4   2  x  1)( x  5   0.
2

Делим неравенство на квадратный трехчлен (он всегда
1
3

больше 0) и на 20:  x    x  1  x  2  x  5  0.
2

Сразу замечаем, что все скобки имеют нечетную степень,
значит, знак будет меняться при переходе через каждую точку: 1, 2, 5,
1
. Неравенство нестрогое, значит, все эти точки принадлежат
2
множеству решений. Расставляем знаки и выписываем промежутки,
1 
над которыми стоит знак «-». Получим ответ  ;1   2;5.
2 
Рассмотрим в завершение рациональное неравенство с
параметром.
Пример. Решить неравенство при всех допустимых значениях
( x  a )( x  5)
 0.
x
параметра
Очевидно, что допустимыми значениями параметра являются
все действительные числа. Решать такое неравенство надо методом
интервалов, значит, вид решения будет зависеть от взаимного
расположения точки x=а относительно точек x=0 и x =-5. Рассмотрим
все возможные случаи.
1. a  5. Тогда x   a; 5   0;   .
2. a  5. Тогда x  5   0;   .
3.  5  a  0. Тогда x   5; a    0;   .
4. a  0. Тогда x   5;0    0;   .
5. a  0. Тогда x   5;0    a;   .
Задания для аудиторного занятия
1. Решить уравнения.
1) x4  1  0; 2) 2 x4  3x2  2  0; 3) x8  15x4  16  0;
4) 2 x4  x2  3  0; 5)  x 2  x  1  2 x 2  2 x  1  0;
2
6)  x 2  5 x  7    x  2    x  3  1;
2
7)  x 2  2 x  5   2  x 2  2 x  3  4  0;
2
3
x2  1
x
 3  x  x2 ;
8)
 2
 2,9; 9)
2
1 x  x
x
x 1
10) x  x  1 x  2  x  3  15;
11)  x  1 x  x  1 x  2   24;
1 
1


12) 2   x 2  2   7   x    9  0; 13) x4  4 x3  6 x2  4 x  1  0.
x 
x


25 x 2
2
14) x 
 11.
( x  5) 2
2. Решить неравенства.


1)  3 x  x 2   x  4  x  0; 2)  2  x  x3  1  x  1  0;
2
3x  5
1
x 4  2 x3  x  2
4)

;
3)

0;
2
2
3
x  4x  5 2
( x  1)   x  1
5)



20
9

 1  0; 6) x 2  x  1 x 2  x  7  5;
( x  3)( x  4) x  3
7)  x 2  3x   2 x  3  16 
2x  3
 0.
x 2  3x
3. Решить при всех допустимых значениях параметра a.
( x  1)( x  a)
( x3  1)( x  a)
1) ( x  3x)( x  a )  0; 2)
 0; 3)
 0.
2
2
( x  1)
( x  1)
2