ЕН.Ф.1. Математика (новое окно)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ
Согласовано
«УТВЕРЖДАЮ»
(название школы ДВФУ)
Школа экономики и менеджмента
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
Руководитель ОП
А.И. Разгонов
(подпись)
«
(Ф.И.О. рук. ОП)
»
20
(подпись)
г.
«
30
(Ф.И.О)
»
мая
20 12 г.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ
МАТЕМАТИКА
080105.65 Финансы и кредит
(Финансовый менеджмент)
Очная/заочная форма подготовки
Филиал ДВФУ в г. Находке
курс
1,2/1-3 семестр
1-4
лекции 158/46
(час.)
практические занятия
(час.)
158/44
семинарские занятия
(час.)
лабораторные работы
(час.)
консультации
(час.)
всего часов аудиторной нагрузки 316/90 (час.)
самостоятельная работа
284/510 (час.)
реферативные работы (количество)
(час.)
контрольные работы (количество) - /5
курсовые работы (семестр)
зачет
семестр/курс
1,3/экзамен
2,4/1-3 семестр/курс
Учебно-методический комплекс составлен в соответствии с требованиями государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования № 180 эк/сп от 17
марта 2000 г.
УМКД обсужден на заседании Совета филиала
« 30 » мая
20 12
г.
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
« 30 » мая
20 12
г.
Составитель (ли):
Ралин А.Ю. к.ф-м.н., доцент
АННОТАЦИЯ
Учебно-методический
комплекс
дисциплины
«МАТЕМАТИКА»
разработан для студентов 1-2 курса по специальности 080105.65 Финансы и
кредит в соответствие с требованиями ГОС ВПО по данному направлению и
положением
об
образовательных
учебно-методических
программ
высшего
комплексах
дисциплин
профессионального
образования
(утверждено приказом и.о. ректора ДВФУ от 17.04.2012 № 12-13-87).
Дисциплина «МАТЕМАТИКА» входит в федеральный компонент
цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин и является
обязательной для изучения.
Структура УМКД и его компонентов направлена на формирование
умений и навыков, необходимых для экономиста.
Учебно-методический
комплекс
предусматривает
проведение
аудиторных занятий (в соответствии с учебным планом) и самостоятельную
работу студентов.
Автор-составитель учебно-методического комплекса
к.ф-м.н., доцент филиала ДВФУ в г. Находке
(ученая степень, должность, наименование кафедры, наименование школы
ДВФУ)
Ралин А.Ю.
Ф.И.О.
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
подпись
А.И. Разгонов
Ф.И.О.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ
Согласовано
«УТВЕРЖДАЮ»
(название школы ДВФУ)
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
Руководитель ОП
А.И. Разгонов
(подпись)
«
(Ф.И.О. рук. ОП)
»
20
(подпись)
г.
«
30
(Ф.И.О)
»
мая
20 12 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
МАТЕМАТИКА
080105.65 Финансы и кредит
(Финансовый менеджмент)
Очная/заочная форма подготовки
Филиал ДВФУ в г. Находке
курс
1,2/1-3 семестр
1-4
лекции 158/46
(час.)
практические занятия
(час.)
158/44
семинарские занятия
(час.)
лабораторные работы
(час.)
консультации
(час.)
всего часов аудиторной нагрузки 316/90 (час.)
самостоятельная работа
284/510 (час.)
реферативные работы (количество)
(час.)
контрольные работы (количество) - /5
курсовые работы (семестр)
зачет
семестр/курс
1,3/экзамен
2,4/1-3 семестр/курс
Рабочая программа составлена на основании требований государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования № 180 эк/сп от 17
марта 2000 г.
Рабочая программа обсуждена на заседании Совета
« 30 » мая
20 12
г.
филиала
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
« 30 » мая
20 12
г.
Составитель (ли):
Ралин А.Ю. к.ф-м.н., доцент
АННОТАЦИЯ
Дисциплина «Математика» входит в цикл общих математических и
естественнонаучных дисциплин учебного плана специальности «Финансы и
кредит». Рабочая программа курса составлена в соответствии с требованиями
государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования.
Программа включает в себя лекционную и практическую части и
рассчитана на четыре семестра. Основные цели курса – дать студентам
фундаментальную
подготовку в
области
важнейших
математических
понятий и методов, продемонстрировать их применение в экономических
приложениях, снабдить студентов знаниями и навыками вероятностного
моделирования
социально-экономических
систем,
прикладного
статистического анализа социально-экономической информации, выработать
навыки применения количественных методов принятия решений в разных
экономических ситуациях на различных уровнях народного хозяйства.
Особенностью развития современного общества является сложный
характер рыночной экономики, характеризуемый быстрой сменяемостью
условий экономической деятельности, предъявлением высоких требований к
методам планирования и ведения хозяйственной деятельности. В этих
условиях
использование
в
экономических
исследованиях
серьезных,
основанных на математическом моделировании методов анализа приобретает
первостепенное значение.
Курс «Математика» является базовым в математическом образовании
студентов-экономистов. Математика является не только мощным средством
решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также
элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует
рассматривать как важнейшую составляющую в системе подготовки
современного экономиста.
В соответствии с государственным стандартом курс «Математика»
включает в себя элементы таких разделов математики, как «Линейная
алгебра»,
«Аналитическая
«Дифференциальные
геометрия»,
уравнения»,
«Ряды»,
«Математический
«Теория
анализ»,
вероятностей»,
«Математическая
статистика»,
«Экономико-математические
методы»,
«Экономико-математические модели». Курс опирается на школьные знания
алгебры и начал математического анализа. В свою очередь, успешное
освоение этого курса необходимо для изучения таких дисциплин, как
«Экономическая
теория»,
«Экономический
анализ»,
«Эконометрика»,
«Статистика» и ряда других экономико-математических дисциплин.
Преподавание курса имеет цели:
 ознакомить студентов с основами математического аппарата,
необходимого для решения теоретических и практических задач экономики;
 выработать у студентов навыки математического исследования
прикладных вопросов;
 сформировать
навыки
построения
экономико-математических
моделей и экономической интерпретации полученных результатов.
 развить у студентов логическое и алгоритмическое мышление,
умение строго излагать свои мысли;
 развить у студентов абстрактное мышление;
 привить студентам умение самостоятельно изучать математическую
литературу.
По завершению обучения по дисциплине студент должен:
 знать понятия множества, числового множества, комплексного
числа; уметь выполнять операции над множествами и комплексными
числами;
 знать
уравнений;
понятия
уметь
матрицы,
выполнять
определителя,
операции
над
системы
линейных
матрицами,
находить
определитель матрицы, обратную матрицу, решать системы линейных
уравнений;
уметь
использовать
матричную
алгебру
для
решения
экономических задач;
 знать понятия вектора, базиса векторного пространства; уметь
выполнять операции над векторами, раскладывать вектора по базису;
 знать уравнения основных плоских линий, уравнения прямой и
плоскости в пространстве; уметь изображать плоские фигуры, составлять
уравнения прямой и плоскости, рассчитывать различные соотношения между
прямыми и плоскостями;
 знать понятия функции, предела функции; уметь находить пределы
последовательностей и функций; знать наиболее часто используемые в
экономике функциональные зависимости;
 знать понятия производной и дифференциала функции; уметь
дифференцировать функции, применять производные для исследования
функций и построения их графиков; владеть аппаратом дифференциального
исчисления для решения экономических задач;
 знать понятия неопределенного и определенного интегралов;
владеть
основными
методами
интегрирования,
уметь
использовать
определенный интеграл для геометрических расчетов; владеть аппаратом
интегрального исчисления для решения экономических задач;
 знать понятие дифференциального уравнения; уметь решать
простейшие дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков; уметь
использовать
дифференциальные
уравнения
для
решения
задач
экономической динамики;
 знать основные понятия и положения теории функций нескольких
переменных; уметь находить частные производные, исследовать функции на
экстремум;
 знать понятия числового ряда, степенного ряда; уметь находить
сумму ряда, исследовать ряд на сходимость, использовать ряды для
приближенных вычислений.
 знать понятия случайного события, вероятности случайного
события, основные теоремы теории вероятностей; уметь вычислять
вероятности случайных событий по определению и с использованием
алгебры событий;
 знать понятие дискретной случайной величины, основные законы
распределения вероятностей дискретных случайных величин (биномиальное,
Пуассона, геометрическое); знать понятия математического ожидания,
дисперсии, среднего квадратического отклонения дискретной случайной
величины и уметь их рассчитывать;
 знать понятие непрерывной случайной величины, функции и
плотности
распределения
случайной
величины,
основные
законы
распределения вероятностей непрерывных случайных величин (равномерное,
нормальное, показательное распределения); уметь рассчитывать числовые
характеристики непрерывных случайных величин;
 знать закон нормального распределения вероятностей, смысл
параметров
нормального
распределения,
нормальной
кривой;
уметь
рассчитывать вероятности для нормального распределения;
 знать основные принципы и методы сбора статистических данных;
уметь находить статистические оценки параметров распределения (в том
числе нормального) по выборочным данным;
 знать основы теории корреляции; уметь рассчитывать выборочный
коэффициент линейной корреляции и находить уравнение линейной
регрессии;
 знать основные принципы статистической проверки статистических
гипотез; уметь проверять гипотезу о нормальности распределения.
 сформировать
представление
об
экономике
как
сложной
вероятностной динамической системе производственных и социальных
отношений;
 ознакомиться
моделирования
с
современным
экономических
уровнем
систем,
математического
процессов
планирования
и
управления;
 приобрести
построения
навыки
формализации
экономико-математических
экономических
моделей
и
задач,
интерпретации
результатов расчетов;
 знать
типовые
оптимизационные
экономико-математические
модели, в первую очередь модели линейного программирования;
 овладеть основными методами линейного программирования;
 получить представление о методах принятия решений в условиях
неопределенности.
Курс ведется в форме лекционных и практических занятий. Текущий
промежуточный контроль теоретических знаний осуществляется в форме
зачетов по лекционным модулям, практических навыков – в форме домашних
и контрольных работ.
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лекционный курс (158/46 часов)
Тема 1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА (4/1 час)
1. Множества. Операции над множествами. Числовые множества.
2. Комплексные
числа.
Алгебраическая,
тригонометрическая
и
показательная формы комплексного числа. Комплексная плоскость. Действия
над комплексными числами. Решение алгебраических уравнений на
множестве комплексных чисел.
Тема 2. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ (6/2 часа)
1. Матрица, виды матриц. Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц.
2. Определитель матрицы. Определители 2-го и 3-го порядков.
Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
(столбцу).
Свойства
определителей.
Приведение
определителя
к
треугольному виду.
3. Обратная матрица. Ранг матрицы. Собственные значения матриц.
Использование матричной алгебры для решения экономических задач.
Тема 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (6/2 часа)
1. Системы n линейных уравнений с n переменными. Теорема
Кронекера-Капелли. Матричный метод решения. Формулы Крамера. Метод
Гаусса.
2. Неопределенные системы уравнений. Общее, частные и базисные
решения. Системы однородных уравнений. Фундаментальная система
решений.
3. Модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева). Линейная
модель обмена (модель международной торговли).
Тема 4. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (4/2 часа)
1. Вектор. Координаты вектора. Линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.
2. n-мерный вектор. Линейная зависимость и независимость векторов.
Векторное пространство, размерность и базис пространства. Разложение
вектора по базису.
Тема 5. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (6/2
часа)
1. Уравнение линии на плоскости. Уравнения прямой на плоскости.
Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Полярная система
координат.
2. Плоские линии 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола,
парабола.
3. Анализ спроса и предложения. Условие равновесия. Модель
конкурентного рынка.
Тема 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (6/2
часа)
1. Уравнение поверхности в пространстве. Уравнения плоскости в
пространстве. Угол между плоскостями.
2. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых
и плоскостей.
Тема 7. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ (6/2 часа)
1. Функция, график функции. Основные свойства функций. Основные
элементарные функции. Преобразования графиков функций.
2. Применение функций в экономике. Функции полезности, спроса,
предложения, производственные, выпуска. Кривые «доход-потребление»,
«цена-потребление».
3. Предел последовательности. Предел функции. Односторонние
пределы. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы.
4. Непрерывность функций. Характеристика точек разрыва.
Тема 8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ (6/2 часа)
1. Производная
Производные
функции.
основных
Геометрический
элементарных
смысл
функций.
производной.
Основные
правила
дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Производные
высших порядков.
2. Экономический смысл производной. Предельные показатели в
экономике. Эластичность функции.
3. Дифференциал
функции.
Применение
в
приближенных
вычислениях.
Тема 9. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ (6/2 часа)
1. Основные
теоремы
дифференциального
исчисления
(Ферма,
Лагранжа, Ролля). Правило Лопиталя.
2. Возрастание
и
убывание
функции.
Экстремумы
функции,
необходимое и достаточное условия экстремума. Выпуклость функции и
точки перегиба. Асимптоты. Исследование функций и построение их
графиков.
3. Задача
максимизации
прибыли
предприятия.
Задача
об
эффективности капиталовложений.
Тема 10. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (8/2 часа)
1. Первообразная
неопределенного
и
неопределенный
интеграла.
Таблица
интеграл.
основных
Свойства
интегралов.
Непосредственное интегрирование.
2. Основные методы интегрирования: замена переменной, внесение
выражения под дифференциал, по частям.
3. Интегрирование
рациональных
дробей.
Интегрирование
иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций.
Тема 11. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (6/2 часа)
1. Определенный
интеграл.
Основные
свойства
определенного
интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Основные
формулы интегрирования.
2. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление
площадей плоских фигур. Вычисление объема тела вращения. Вычисление
длины дуги кривой.
3. Несобственные интегралы. Применение определенного интеграла в
экономике.
Тема 12. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (8/2 часа)
1. Обыкновенное дифференциальное уравнение, основные понятия.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка (неполные, с разделяющимися
переменными, однородные, линейные), методы их решения.
2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными
коэффициентами.
3. Использование
дифференциальных
уравнений
в
задачах
экономической динамики. Модели естественного роста выпуска и в условиях
конкуренции.
Тема 13. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (6/2 часа)
1. Понятие функции нескольких переменных. График функции, линии
уровня. Частные производные. Градиент функции.
2. Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее
значения функции в области. Понятие об условном экстремуме, метод
множителей Лагранжа.
3. Функции нескольких переменных в экономической теории. Анализ
потребительского спроса, кривые безразличия. Производственная функция
Кобба-Дугласа. Задача оптимизации производства.
4. Метод наименьших квадратов.
Тема 14. РЯДЫ (8/2 часа)
1. Числовые ряды, основные понятия. Сходимость ряда. Сумма ряда.
Геометрический ряд. Гармонический ряд.
2. Признаки
сходимости
положительных
рядов
(сравнения,
Даламбера, Коши, интегральный). Знакопеременные и знакочередующиеся
ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
3. Степенные ряды. Область и радиус сходимости. Разложение
функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Приближенные
вычисления с помощью рядов.
ТЕМА 15. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (8/2 часа)
1. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Вероятность
события. Относительная частота события. Элементы комбинаторики.
2. Алгебра событий. Теорема сложения вероятностей. Условная
вероятность.
Теорема
умножения
вероятностей.
Формула
полной
вероятности. Формула Байеса.
3. Повторные
испытания.
Формула
Бернулли.
Локальная
и
интегральная теоремы Лапласа.
ТЕМА 16. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (12/2 часа)
1. Понятие
случайной
величины.
Дискретные
случайные величины. Закон распределения
случайной
величины.
Биномиальное
и
непрерывные
вероятностей дискретной
распределение.
Распределение
Пуассона.
2. Числовые
характеристики
дискретных
случайных
величин:
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение;
их свойства.
3. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
4. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной
величины.
Плотность
распределения
вероятностей.
Числовые
характеристики непрерывных случайных величин.
5. Закон
равномерного
распределения
вероятностей.
Закон
нормального распределения, нормальная кривая, расчет вероятностей для
нормального распределения. Показательное распределение, показательный
закон надежности.
ТЕМА 17. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ (8/2
часа)
1. Предмет математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Способы отбора. Статистическое распределение выборки.
Интервальное распределение. Полигон и гистограмма.
2. Статистические оценки параметров распределения по данным
выборки;
состоятельность,
эффективность,
несмещенность
оценок.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Интервальные оценки,
доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
3. Статистическая проверка статистических гипотез. Статистические
критерии.
Критерий
согласия
Пирсона
для
проверки
нормальности
распределения.
4. Элементы
теории
корреляции.
Нахождение
линейной корреляции и уравнения линейной регрессии
коэффициента
по выборочным
данным.
Тема
18.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ (6/2 часа)
1. Понятие системы, классификация систем. Структура систем, связи.
Экономические системы, их свойства и особенности.
2. Моделирование систем, понятие модели. Этапы экономикоматематического моделирования. Классификация экономико-математических
моделей.
3. Простейшие оптимизационные экономико-математические модели
(задача планирования производства, задача о рационе, задача о загрузке
оборудования).
Тема 19. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (8/2 часа)
1. Общая
задача
математического
программирования,
линейного программирования (ЛП). Каноническая форма задачи ЛП.
задача
2. Выпуклые множества и их свойства. Графический метод решения
задачи ЛП.
3. Основные теоремы линейного программирования.
4. Симплекс-метод
решения
задачи
ЛП.
Использование
искусственного базиса.
5. Двойственная задача ЛП, основные теоремы двойственности.
Экономический смысл двойственной задачи.
Тема 20. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА (6/2 часа)
1. Транспортная задача (ТЗ) как частный случай задачи ЛП.
Сбалансированная ТЗ.
2. Двойственность ТЗ. Метод потенциалов для решения ТЗ.
3. Несбалансированная (открытая) ТЗ.
Тема 21. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ (6/2 часа)
1. Понятие о целочисленном (дискретном) программировании. Метод
ветвей и границ.
2. Нелинейное программирование (условная оптимизация). Метод
множителей Лагранжа.
3. Динамическое
программирование.
Рекуррентное
соотношение
Беллмана. Задача о распределении ресурсов. Задача о нахождении
кратчайшего пути в сети.
Тема 22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР (6/2 часа)
1. Основные понятия теории игр. Классификация игр. Различные
формы представления игр.
2. Антагонистические матричные игры. Максиминная и минимаксная
стратегии. Решение игр в чистых и смешанных стратегиях.
3. Бескоалиционные неантагонистические парные игры. Игры с
природой.
Тема 23. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
(6/1 час)
Классификация систем массового обслуживания (СМО). Замкнутые и
разомкнутые системы. Системы с простейшим (пуассоновским) входящим
потоком требований. Расчет основных характеристик работы различных
СМО (с ожиданием, с отказами, с очередью).
Тема 24. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
(6/2 часа)
Назначение и области применения моделей. Основы теории графов.
Сетевой график, правила построения сетевых графиков. Критический путь.
Временные параметры сетевых графиков. Анализ и оптимизация сетевых
моделей.
Практические занятия (158/44 часа)
1. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.
Перевод комплексных чисел из одной формы в другую. Изображение
комплексных чисел и их множеств на комплексной плоскости. Решение
алгебраических уравнений.
2. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.
3. Определитель матрицы. Вычисление определителей 2-го и 3-го
порядков. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу) и
приведением к треугольному виду.
4. Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы.
5. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и
матричным методом.
6. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Решение
неопределенных систем.
7. Решение
однородных
систем
уравнений.
Экономические
приложения.
8. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов.
9. Линейная зависимость и независимость векторов. Разложение
вектора по базису.
10. Уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, условия
параллельности и перпендикулярности. Расстояние от точки до прямой.
11. Уравнения
плоскости
в
пространстве.
Угол
между
двумя
плоскостями.
12. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение
плоскостей и прямых.
13. Функции. Свойства функций. Графики функций. Преобразования
графиков.
14. Пределы
функций.
Вычисление
пределов.
Раскрытие
неопределенностей.
15. Использование замечательных пределов. Исследование функции на
непрерывность.
16. Производные.
Основные
правила
дифференцирования.
Производная сложной функции.
17. Логарифмическая производная. Производные высших порядков.
Эластичность функции. Дифференциал функции.
18. Исследование функций с помощью производных и построение
графиков.
19. Исследование функций с помощью производных и построение
графиков.
20. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
Интегрирование методом замены переменной.
21. Интегрирование
методом
внесения
под
дифференциал.
Интегрирование по частям.
22. Интегрирование рациональных дробей.
23. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.
24. Определенный интеграл. Вычисление определенных интегралов.
Вычисление несобственных интегралов.
25. Вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения и
длины дуги кривой с помощью определенного интеграла.
26. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка (неполные, с
разделяющимися переменными).
27. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка (однородные,
линейные).
28. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с
постоянными коэффициентами.
29. Функции нескольких переменных. Графики, линии уровня. Частные
производные.
30. Поиск экстремума функции нескольких переменных.
31. Наибольшее и наименьшее значения функции в области. Поиск
условного экстремума.
32. Использование признаков сходимости положительных рядов.
33. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
34. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и
Маклорена.
35. Основные понятия и правила комбинаторики. Расчет числа
комбинаций.
36. Основные понятия теории вероятностей. Классическое определение
вероятности. Вычисление вероятности случайных событий по определению.
37. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Алгебра событий.
Вычисление вероятности случайных событий с использованием теорем
сложения и умножения.
38. Формула полной вероятности, формулы
Байеса. Повторные
испытания: формула Бернулли, дифференциальная и интегральная теоремы
Лапласа.
39. Дискретные
случайные
величины:
закон
распределения
вероятностей; вычисление числовых характеристик случайной величины
(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
40. Непрерывные
плотность
случайные
распределения,
величины:
числовые
функция
характеристики.
распределения,
Нормальное
распределение. Расчет вероятностей.
41. Статистическое распределение выборки, гистограмма. Выборочная
средняя и выборочная дисперсия. Нахождение точечных и интервальных
оценок параметров нормального распределения по выборочным данным.
42. Критерий согласия Пирсона. Проверка гипотезы о нормальности
распределения по выборочным данным.
43. Основы теории корреляции. Нахождение коэффициента линейной
корреляции и уравнения линейной регрессии.
44. Математическая формализация экономических задач на примере
простейших оптимизационных моделей (задача планирования производства,
задача о смеси, задача о раскрое, задача о загрузке оборудования).
45. Решение задач ЛП графическим методом.
46. Нахождение общих и базисных решений системы линейных
уравнений методом Жордана-Гаусса.
47. Решение задач ЛП симплекс-методом.
48. Решение задач ЛП с использованием искусственного базиса.
49. Двойственная задача ЛП, поиск решения двойственной задачи.
50. Решение
задачи
планирования
производства,
экономическая
интерпретация и анализ полученных результатов.
51. Решение транспортных задач методом потенциалов.
52. Решение несбалансированных (открытых) транспортных задач.
53. Решение задачи целочисленного программирования методом ветвей
и границ.
54. Решение задач нелинейной оптимизации методом множителей
Лагранжа.
55. Решение задачи о распределении ресурсов на основе рекуррентного
соотношения Беллмана. Решение задачи о нахождении кратчайшего пути в
сети.
56. Решение антагонистических матричных игр в чистых и смешанных
стратегиях. Игры с природой.
57. Расчет
основных
характеристик
работы
систем
массового
обслуживания.
58. Построение сетевых графиков и поиск критических путей.
59. Расчет временных параметров сетевых графиков.
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТАМ
n
1. Линейное пространство R . Его размерность и стандартный базис.
2. Матрицы,
типы
матриц
(определения, примеры).
Линейные
операции над матрицами, операция транспонирования и операция умножения
матриц (определения операций и примеры их выполнения) и их свойства
(формулировки без доказательств).
3. Ранг матрицы и системы элементов линейного пространства
(определения и примеры).
4. Элементарные
преобразования
матрицы.
Нахождение
ранга
матрицы путем приведения ее к ступенчатому виду (на примере конкретной
матрицы).
5. Определители квадратных матриц произвольного порядка; миноры
и
алгебраические
определителей
дополнения
(формулировки,
(определения,
примеры
примеры).
Свойства
использования
свойств
определителей).
6. Вычисление определителей путем приведения к ступенчатому виду
(на примере конкретного определителя 3-го порядка).
7. Обратная
матрица
(определение)
и
метод
ее
нахождения
(формулировка алгоритма).
8. Системы линейных уравнений и их классификация по числу
решений
(определения
совместной,
несовместной,
определенной,
неопределенной систем; примеры). Необходимое и достаточное условие
совместности системы линейных уравнений (без доказательства).
9. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
10. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение
линейных матричных уравнений. Решение определенной системы линейных
уравнений матричным способом
11. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (показать
идею метода на конкретном примере, сформулировать условия совместности,
несовместности, определенности, неопределенности системы).
12. Операция
треугольника
и
сложения
правило
геометрических
параллелограмма.
векторов,
правило
Коллинеарность
и
компланарность
векторов.
Операция
умножения
вектора
на
скаляр.
Алгебраические свойства линейных операций над векторами.
13. Линейные
комбинации
векторов.
Определения
линейной
зависимости и линейной независимости векторов. Геометрический смысл
линейной зависимости и линейной независимости систем, состоящих из трех,
двух и одного вектора.
14. Определение базиса для геометрических векторов в трехмерном
пространстве. Теорема о разложении произвольного геометрического вектора
по любой заданной тройке ненулевых некомпланарных векторов.
15. Теорема о единственности разложения геометрического вектора по
данному базису (формулировка, доказательство). Координатная строка
(столбец) вектора.
16. Линейные
операции
над
векторами,
заданными
своими
координатами. Координаты точки, декартова система координат. Связь
между координатами точек и координатами векторов.
17. Определение операции скалярного умножения векторов. Свойства
скалярного
произведения
векторов
(без
доказательства).
Выражение
скалярного произведения векторов через их координаты в произвольном
базисе (показать на конкретном примере). Выражение длины (модуля)
вектора и угла между векторами через скалярное произведение векторов
(формулы без доказательства).
18. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения
через
координаты
векторов-сомножителей
относительно
ортонормированного (стандартного) базиса.
19. Геометрические приложения скалярного произведений векторов
(формулы для вычисления длин, проекций, углов, площадей, объемов).
20. Уравнения плоскости (вывод уравнения, геометрический смысл
коэффициентов).
21. Уравнение прямой в канонической и параметрической формах
(вывод уравнений, геометрический смысл коэффициентов, примеры).
22. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
23. Угол между прямыми.
24. Параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости.
25. Уравнения
плоскости
в
пространстве
(вывод
уравнения,
(вывод
уравнения,
геометрический смысл коэффициентов).
26. Уравнения
прямой
в
пространстве
геометрический смысл коэффициентов).
27. Угол между прямыми в пространстве.
28. Угол между плоскостями.
29. Угол между прямой и плоскостью.
30. Параллельность и перпендикулярность прямых в пространстве.
31. Параллельность и перпендикулярность плоскостей.
32. Параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей в
пространстве.
33. Понятие о кривых 2-го порядка на плоскости.
34. Линейные операторы (определения, примеры). Задание линейного
оператора в конечномерном пространстве с помощью матрицы. Собственные
векторы и собственные значения линейных операторов (определения,
примеры).
35. Нахождение собственных значений и собственных векторов
линейного оператора.
36. Комплексная
плоскость.
Задание
комплексного
числа
в
алгебраической форме. Алгебраические операции над комплексными
числами.
37. Примеры составления математических моделей экономических
задач.
38. Приведение общей задачи линейного программирования (ЛП) к
канонической форме.
39. Алгоритм графического метода решения задач ЛП с двумя
переменными.
40. Алгоритм
графического
метода
решения
задач
ЛП
переменными.
41. Алгоритм симплексного метода. Опорное решение задачи ЛП.
с
n
42. Составление математических моделей двойственных задач. Первая
и вторая теоремы двойственности.
43. Целочисленное программирование. Графический метод. Метод
Гомори.
44. Нелинейное программирование. Дробно-линейное
программирование. Метод множителей Лагранжа.
45. Динамическое программирование. Оптимальная стратегия замены
оборудования. Оптимальное распределение ресурсов.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ
1. Oпределение вектора. Примеры векторов в геометрии и физике:
связанные и свободные геометрические векторы, радиус-векторы, векторсила. Операция сложения геометрических векторов и операция умножения
геометрического вектора на вещественное число. Правило треугольника и
правило параллелограмма.
2. Компланарность и коллинеарность векторов, орт и модуль вектора.
3. Алгебраические свойства линейных операций над векторами.
4. Линейные комбинации векторов. Линейная зависимость и линейная
независимость системы векторов.
5. Базис системы векторов. Единственность разложения вектора по
данному базису.
6. Определение операции скалярного умножения векторов. Свойства
скалярного произведения векторов.
7. Выражение длины вектора и угла между векторами через скалярное
произведение векторов.
8. Выражение скалярного произведения через координаты векторовсомножителей относительно ортонормированного (стандартного) базиса.
9. Линейное пространство R n . Его размерность и стандартный базис.
10. Евклидово пространство R n .
11. Матрицы, типы матриц (определения, примеры).
12. Линейные операции над матрицами: операция сложения матриц и
операция умножения матрицы на число. Их свойства (формулировки без
доказательств).
13. Определения операции транспонирования и операции умножения
матриц и их свойства (формулировки без доказательств).
14. Ранг матрицы.
15. Элементарные преобразования матрицы.
16. Нахождение ранга матрицы путем приведения ее к ступенчатому
виду (на примере конкретной матрицы).
17. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядка.
18. Определители квадратных матриц произвольного порядка.
19. Определения минора и алгебраического дополнения элемента
матрицы.
20. Свойства определителей (формулировки, примеры использования
свойств определителей).
21. Обратная матрица
и метод ее нахождения (формулировка
алгоритма).
22. Системы линейных уравнений и их классификация по числу
решений
a. (совместные,
несовместные,
определенные,
неопределенные),
примеры
23. Необходимое и достаточное условие совместности системы
линейных уравнений (без доказательства).
24. Общая теория решения систем линейных уравнений .
25. Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Примеры.
26. Матричная форма записи системы линейных уравнений. Решение
линейных матричных уравнений. Решение определенной системы линейных
уравнений матричным способом.
27. Решение систем линейных уравнений с квадратными матрицами
коэффициентов методом Гаусса. Примеры.
28. Решение
систем
линейных
уравнений
матрицами коэффициентов методом Гаусса. Примеры.
с
прямоугольными
29. Координатная
параметрической
плоскость. Уравнение прямой в канонической и
формах
(вывод
уравнений,
геометрический
смысл
коэффициентов, примеры).
30. Уравнение прямой, заданной двумя точками. Примеры.
31. Угол между прямыми на плоскости.
32. Параллельность и перпендикулярность прямых на плоскости.
33. Уравнения
плоскости
в
пространстве
(вывод
уравнения,
(вывод
уравнения,
геометрический смысл коэффициентов).
34. Уравнения
прямой
в
пространстве
геометрический смысл коэффициентов).
35. Угол между прямыми в пространстве.
36. Угол между плоскостями.
37. Угол между прямой и плоскостью.
38. Параллельность и перпендикулярность прямых в пространстве.
39. Параллельность и перпендикулярность плоскостей.
40. Параллельность и перпендикулярность прямых и
плоскостей в
пространстве.
41. Понятие о кривых 2-го порядка на плоскости.
42. Элементы теории множеств. Основные операции над множествами:
объединение, пересечение и взятие дополнения.
43. Свойства основных операций над множествами. Булева алгебра.
44. Универсальное множество и его свойства. Диаграммы ВиеннаЭйлера.
45. Прямые произведения множеств. Бинарные отношения.
46. Отношения эквивалентности и разбиение множества на классы.
47. Числовая ось.
48. Понятие функции одной переменной. Область определения и
множество значений функции.
49. Способы задания функций. График функции.
50. Основные
свойства
функций:
четность
(нечетность),
ограниченность, периодичность, монотонность.
51. Классификация функций: алгебраические и трансцендентные.
52. Основные элементарные функции (примеры). Их
свойства и
графики.
53. Суперпозиция функций.
54. Обратная функция.
55. Числовая последовательность. Предел последовательности.
56. Предел функции в точке. Односторонние пределы функции в точке
(определения). Примеры.
57. Бесконечно малые величины и их свойства.
58. Теорема о связи между пределом функции и бесконечно малой
величиной.
59. Бесконечно большие величины и их свойства.
Связь между
бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.
60. Предел суммы и произведения функций, предел частного.
61. Примеры использования теорем для вычисления конкретных
пределов.
62. Приращение функции в точке (определение, примеры). Теорема о
непрерывности элементарных функций в точке.
63. Непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных
функций.
64. Примеры вычисления пределов непрерывных функций.
65. Первый замечательный предел.
66. Второй замечательные предел.
67. Точки разрыва функции и их классификация (определения,
примеры).
68. Непрерывность функций на промежутке.
69. Производная
функции
в
точке.
Геометрический
смысл
производной.
70. Уравнения касательной и нормали.
71. Формулы для производных суммы, произведения и
частного
функций. Примеры.
72. Таблица
(выписать).
производных
основных
элементарных
функций
73. Производная второго порядка (определение, примеры).
74. Формула для производной сложной функции. Примеры.
75. Возрастание
(убывание)
функции.
Точки
экстремумов
и
экстремумы функции одной переменной (определения, примеры).
76. Выпуклость и вогнутость кривой (определения). Точки перегиба
(определение, примеры).
77. Функция двух переменных. Область определения и множество
значений. График функции двух переменных.
78. Полное и частные приращения функции двух переменных. Частные
производные (определение, примеры.).
79. Частные производные высших порядков функции двух переменных
(определения). Примеры вычисления частных производных второго порядка
функции двух переменных.
80. Точки экстремумов и экстремумы функции двух переменных.
81. Первообразная. Теорема о разности двух первообразных.
82. Неопределенный интеграл. Определение и основные свойства.
83. Таблица основных неопределенных интегралов.
84. Интегрирование
с помощью
тождественных
преобразований
подынтегрального выражения.
85. Интегрирование методом разложения в алгебраическую сумму (на
конкретных примерах).
86. Интегрирование
подведением
под
знак
дифференциала
(на
конкретных примерах).
87. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.
88. Замена переменной в неопределенном интеграле (на конкретных
примерах).
89. Неопределенный интеграл от простейших дробей 1-го и 2-ого типа.
90. Понятие определенного интеграла.
91. Формула Ньютона — Лейбница.
92. Замена
примеры).
переменной
в
определенном
интеграле
(формула,
93. Интегрирование по частям в определенном интеграле (формула,
примеры).
94. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.
95. Вычисление длин кривых с помощью определенного интеграла.
96. Понятие дифференциального уравнения.
Порядок
уравнения.
Общее решение уравнения.
97. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
98. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными.
99. Линейные
дифференциальные
уравнения
1-го
порядка
примеры).
Задание
(однородные и неоднородные). Метод Лагранжа.
100. Линейные
операторы
(определения,
линейного оператора в конечномерном пространстве с помощью матрицы.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов
(определения, примеры).
101.
Нахождение собственных значений и собственных векторов
линейного оператора.
102.
Примеры составления математических моделей экономических
задач.
103.
Приведение общей задачи линейного программирования (ЛП) к
канонической форме.
104.
Алгоритм графического метода решения задач ЛП с двумя
переменными.
105.
Алгоритм графического метода решения задач ЛП с
n
переменными.
106.
Алгоритм симплексного метода. Опорное решение задачи ЛП.
107.
Составление математических моделей двойственных задач.
Первая и вторая теоремы двойственности.
108.
Целочисленное программирование. Графический метод. Метод
Гомори.
109.
Нелинейное
программирование.
программирование. Метод множителей Лагранжа.
Дробно-линейное
110. Динамическое
программирование.
Оптимальная
стратегия
замены оборудования. Оптимальное распределение ресурсов.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Индивидуальные задания по высшей математике/ Под ред.
А.П.Рябушко. Ч.1,2,3.: учеб. пособие. – СПб.: Лань, 2009
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для
экономистов. – М.: Юрайт, 2011.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. –
М.: Юнити-Дана, 2010.
4. Малыхин В.И. Высшая математика: учеб. пособие.- М.: ИНФРА-М,
2009.
5. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Т. 1.,2:
учеб. пособие. – М.: Айрис Пресс, 2011.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебное
пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2009.- 575 с.
7. Самаров, К.Л. Сборник задач по высшей математике с решениями /
Самаров К.Л., Шапкин М.С. - М.: Высшая школа, 2008.- 548 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Малыхин, В.И. Математика в экономике: Учебное пособие /
Малыхин В.И.- М.: ИНФРА-М, 2006. – 365 с.
2. Колемаев, В.А., Математическая экономика / Колемаев В.А. – М.:
ИНФРА-М, 2005. – 470 с.
3. Колемаев, В.А., Математические методы принятия решения в
экономике / Колемаев В.А. – М.: Финстатинформ, 2005. –379 с.
4. Бабайцев, В.А. и др. Сборник задач по курсу математики / Под ред.
Солодовникова А.С., Браилова А.В. – М.: ВИНИТИ, 2005.- 496 с.
5. Колесников, А.Н. Краткий курс математики для экономистов /
Колесников А.Н. – М.: ИНФРА-М, 2004.- 253 с.
6. Высшая математика для экономистов / Под ред. Кремера Н.Ш., М.: ЮНИТИ, 2009.- 479 с.
7. Кузин–Алексинский С.А. Курс высшей математики. Владивосток:
Изд-во ДВГУ, 2005.
8. Дорофеева, А.В. Высшая математика. Гуманитарные
специальности: Учебное пособие / Дорофеева А.В. - М.: МГУ «Дрофа», 2004
г. – 400 с.
3. Подольский, В.А., Сборник задач по математике: Учебн. пособие /
Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С.– М.: Высш. шк., 2005.407 с.
9.
Клюшин, В.Л. Высшая математика для экономистов: Учеб.
Пособие / Клюшин В.Л. – М.: ИНФРА-М, 2007.- 448 с.
10. 4. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под
ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007.- 656 с.
11. Солодовников, А.С. Математика в экономике: Учебник \
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В – М.: Финансы и статистика,
2006.-428с.
12. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для
вузов / Шипачев В.С. – М.: Высш. шк., 2005.- 600 с.
Электронные ресурсы
1. Математика в примерах и задачах: Учеб. пособие / Л.Н. Журбенко,
Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, О.М. Дегтярева. - М.: ИНФРА-М, 2010. - 372
с. - http://znanium.com/bookread.php?book=209484
2. Высшая математика: Учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В.
Рукосуев; Российская академия образования (РАО). - М.: Флинта: МПСИ,
2010 - 360 с.: - http://znanium.com/bookread.php?book=217321
3. Математика.: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. 544 с. - http://znanium.com/bookread.php?book=242366
4. Высшая математика: Учебник / Л.Т. Ячменёв. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ
Инфра-М, 2012. - 752 с. - http://znanium.com/bookread.php?book=344777
5. Финансовая математика: сборник задач с решениями: Учебное
пособие / К.Л. Самаров. - М.: Альфа-М: ИНФРА-М, 2009. - 80 с. http://znanium.com/bookread.php?book=175929
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
МАТЕМАТИКА
080105.65 Финансы и кредит
(Финансовый менеджмент)
Очная/заочная форма подготовки
г. Находка
2012
Очная форма обучения
Контрольные работы для студентов очной формы обучения проводятся в
аудитории; подготовка к работе состоит в самостоятельном решении
типовых задач по теме работы (для самоконтроля задачи даются с ответами).
Домашние работы включают в себя более сложные задания; после проверки
преподавателем студент должен защитить работу (т.е. дать пояснения по
ходу решения, показать теоретические знания по теме), оценка выставляется
по итогам защиты.
1 семестр
1. Самостоятельное изучение тем:
 кривые 2-го порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола);
 основные элементарные функции, их свойства и графики.
2. Подготовка к контрольным работам по темам:
 комплексные числа;
 матрицы и определители;
 системы линейных уравнений;
 векторная алгебра;
 предел функции.
3. Выполнение домашних работ по темам:
 матрицы и определители;
 системы линейных уравнений;
 аналитическая геометрия на плоскости;
 аналитическая геометрия в пространстве.
2 семестр
1. Подготовка к контрольным работам по темам:
 производная функции;
 неопределенный интеграл;
 дифференциальные уравнения.
2. Выполнение домашних работ по темам:
 применение производных;
 неопределенный интеграл;
 определенный интеграл;
 дифференциальные уравнения;
 функции нескольких переменных;
 ряды.
3 семестр
1. Самостоятельное изучение тем:
 теоретические моменты случайных величин;
 закон больших чисел;
 двумерные случайные величины.
2. Подготовка к контрольным работам по теме «Случайные события».
3. Выполнение домашних работ по темам:
 случайные величины;
 математическая статистика.
4 семестр
1. Подготовка к контрольным работам по темам:
 моделирование, графический метод решения задач ЛП;
 симплекс-метод решения задач ЛП;
 транспортная задача;
 теория игр.
2. Выполнение домашних работ по темам:
 графический метод решения задач ЛП;
 симплекс-метод решения задач ЛП, двойственная задача;
 нелинейная оптимизация;
 теория массового обслуживания, сетевое планирование и управление.
Контрольная работа. Тема 1. Числовые множества. Комплексные числа
1. Найти объединение, пересечение и разность двух множеств: X = {2; 9; 11; 13; 19; 25;
30} и Y = {9; 11; 15; 19; 21; 30}.
2. Для данного комплексного числа найти действительную и мнимую части, модуль и
аргумент числа, сопряженное число; записать в тригонометрической и показательной
формах; изобразить число вектором на комплексной плоскости:
а) z  3  3i ;
б) z  5i ;
в) z  2 .
3. Представить комплексное число в алгебраической форме:



а) z  4 cos  i sin  ;
6
6

б) z  2 e i .
4. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел: z1  2  3i ,
z2  3  4i .
5. Найти
произведение
и
частное
комплексных
чисел



z1  3 cos  i sin 
3
3




z 2  2 cos  i sin  .
2
2




6. Возвести комплексное число z  2 cos  i sin  в третью степень.
12
12 

7. Извлечь квадратный корень из комплексного числа z  9i .
8. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:
а) z 2  6 z  13  0 ;
б) 2 z 2  2 z  5  0 .
Контрольная работа. Тема 2. Матрицы и определители
 3 1
  2 3 5




1. Найти произведение матриц A   1 2  1 и B   2  2  .
 4 3
 0  4 3




  2 1
 в третью степень.
2. Возвести матрицу A  
  1 3
3. Проверить, являются ли матрицы A и B перестановочными:
 1 4
3  2
 , B  
 ;
а) A  
 2  2
 1 0
 1  2
  5 6
 , B  
 .
б) A  
3  4
  9 10 
4. Найти значение матричного выражения 3 A  B T  C , где
и
 1  5
 2 0  1




  4 2  3
A  
 , B    2 1 , C    3 4 2  .
 0 3  5
 4 3
 1  2 5




5. Вычислить определитель и найти алгебраические дополнения элементов а13 и а32
определителя:
3 2 4
1 4 5
а) A  3 2 1 ;
2
б) A 
1 3
1
3
2 1 .
1 5
6. Вычислить определитель, разложив его по любой удобной строке или столбцу:
3
а) A 
2 1
2 0
1 5
2 3
1 5
1
3 0
;
4 2
0 3
б) A 
2
3
2
2
1
4 1  2
.
2 1 0
1 3 4
Контрольная работа. Тема 3. Системы линейных уравнений
Задание. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а) по формулам
Крамера, б) методом Гаусса, в) матричным методом (для нахождения обратной
матрицы можно использовать любой метод). Проверить найденное решение
подстановкой.
 3x1  2 x2  x3  11

1.  x1  2 x2  x3  5
 4 x  3x  2 x  1
1
2
3

 2 x1  5 x2  x3  15

2.  5 x1  2 x2  6 x3  6
  x  x  2 x  1
1
2
3

Контрольная работа. Тема 4. Векторная алгебра
1.
2.
3.
4.
5.
Даны точки А(-2; 3; 5) и В(1; 4; -1). Найти вектор AB и его длину.



Даны векторы a = (4; -1; 2), b = (3; 5; -2) и c = (-1; 2; 1). Найти вектор

 

d  3a  2b  c .


Найти косинус угла между векторами a = (3; 2) и b = (4; -2).
 


 


Найти косинус угла между векторами c  a  2b и d  3a  4b , где a = (-3, 2, -1), b =
(-1, 1, 2).


Проверить коллинеарность векторов a и b :


а) a = (-3; 1; 5), b = (9; -3; -15);
6.


б) a = (4; -2; 1), b = (2; -1; 2).
Даны точки А(1; 3; -2), В(4; -1; -1), С(2, 3, -5) и D(-1, 2, 0). Проверить
перпендикулярность векторов AB и CD .
7.
8.
9.


Найти скалярное и векторное произведения векторов a = (4; 5; -1) и b = (-1; 3; 6).



 



Найти скалярное произведение векторов a  p  5q и b  2 p  3q , если p  4 , q  2


, а угол между p и q равен /6.
 

 

Найти площадь треугольника, построенного на векторах a  3 p  q и b  p  2 q , если




p  2 , q  3 , а угол между p и q равен /6.



10. Найти смешанное произведение векторов a = (4; -1; 2), b = (3; 5; 2) и c = (-1; 2; 1).
Являются ли эти векторы компланарными?



11. Разложить вектор a = (-7; -1) по базису p = (1; 3), q = (-2; 4).




12. Разложить вектор a = (-1; 10; -2) по базису p = (2; 3; 1), q = (1; -1; 2), r = (2; -1; -2).
Контрольная работа. Тема 7. Предел функции
Найти пределы функций:
1.
а) lim
x 2  3x  18
;
3x  9
б) lim
2.
а) lim
9 x
;
2 x5
б) lim
3.
а) lim
x2  2x  3
;
3x 2  x
б) lim
4.
а) lim
3x
;
tg 6 x
5.
4 

а) lim1 
 ;
x 
x 1

6.
а) lim
x3
x9
x
x0
x 2
x2
x  7  4x  1
;
x2
2 x
;
x 3 x 3  2 x 2  1
б) lim
x 0
tg 3 x
;
sin 4 x
x
x0
x2  4
;
x2  4x  4
arctg x 3  sin 2 x 2
;
1  cos x
в) lim
x0
 2x  1 
б) lim

x  2 x  3


б) lim
x0
sin 2 3x
;
x2
3 x2
;
e 2 x  e 5 x
;
3 sin x  tg 4 x
3x 2  x  2
.
x 1 x 2  6 x  7
в) lim
в) lim
2  x 1
.
5 x 2
в) lim
x4  2x2  1
.
x 3  3x  1
г) lim
arctg 2 x
x
x1
x
x 0
 x 2
в) lim

x  x  5


в) lim
x0
x 1
.
sin 2 4 x  x  ln( 1  2 x)
.
2 x 2  arc sin x 2
Контрольная работа. Тема 8. Производные
I. Найти производные следующих функций:
1) y  3x 5  x 3  2 x  1 ;
2) y 
1 4
 ;
x3 x
10) y 
sin 5 x
;
ln( x  1)
11) y  (2 x 3  3x  1) 4 ;
19) y  sin x cos x ;
20) y  e 2 x cos x ;
3) y  4 x 3  5
4) y 
2
x 1 
x
;
2
 x 5;
x 1
12) y  arccos x ;
21) y  cos
13) y  2 cos(3x 2  5x ) ;
22) y 
x 1
;
x 1
x 2 tg 2 x
;
3 x
5) y  2 ln 5 x  3 cos 4 x  arcsin 3x ;
14) y  sin ln( 3  2 x ) ;
x3
23) y 
;
sin 3x ln x
6) y  ( x 2  1) arcctg x ;
15) y  arcsin 2 (1  3x ) ;
24) y  ( x  1) sin x ;
7) y  e 35 x arctg x 2 ;
16) y  ctg 3 4 x ;
25) y  (ctg x ) 32 x .
8) y 
tg x
;
x4
17) y 
9) y 
x2  3
;
4 x
18) y 
2
sin x
;
3
 4 ln 3 x ;
2
sin 2 x
II. Найти производные неявных функций:
1) cos 3x  y 2  4 x ;
2) 1  sin y  arcsin 2 x ;
y tg x  ln 3x .
3)
III. Найти производные 3-го порядка следующих функций:
1) y  2 x 4  x 3  x 2  5 ;
3
2) y  x 
1
;
x3
3) y  cos 3 x ;
4) y  x sin x .
Контрольная работа. Тема 10. Неопределенный интеграл
dx
1)  (6 x 2  3x  2)dx
10)

2 

2)   3 x  3 dx
x 

11)
x
12)

13)

14)
 5  2 x dx
2
1

3)   x 3   dx
x

x2
dx
x2  4
4)

5)
 2  x dx
x
6)  (6 x  1) 4 dx
7)

dx
4x  5
1 

8)   sin 3x 
dx
3  2x 

9)
dx
 4  16 x
2
25  9 x
2
2
dx
 6x  5
sin 4  x
4x
dx
dx
x 3
4x  1
19)
x
20)

21)

22)
 x cos 3x dx
3
cos x 4 dx
dx
1  x 2  arccos x
arctg 2 x dx
1  4x 2
23)  (3  2 x ) sin x dx
15)  ctg x dx
24)  ( x  1) e 4 x dx
16)  cos 2 x sin x dx
25)  ( x 2  x  3) cos 2 x dx
dx
17)
 x(ln x  1)
18)
x
xdx
2
3
26)  arcsin x dx
Контрольная работа. Тема 12. Дифференциальные уравнения
1. Найти общее решение дифференциального уравнения. Решение проверить
подстановкой:
а) y  ( x  1) y   1 ;
б) xyy   x  1 ;
в) xy  y  x ;
г) y  
y ex

;
x
x
д)
y   2 xy  xe x .
2
2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному
условию:
а) xy   y  3 , y (1)  2 ;
y (1) 

;
2
г) y  
y

 x cos x , y     ;
x
2
б) xy   ( x  1) y  0 , y (1) 
д) y  
1
;
e
в) xy   x tg
y
 y,
x
2x
y  3x 2 (1  x 2 ) , y (0)  0 .
2
1 x
Контрольная работа. 3 семестр. Модуль 1. Случайные события
Сколькими способами можно разложить 5 неразличимых предметов по 12 ящикам,
если в каждом ящике может быть не более одного предмета? (792)
2. В газете 8 страниц, на которых необходимо поместить 5 фотографий. Сколькими
способами это можно сделать, если на каждой странице не должно быть больше
одной фотографии? (6720)
3. Сколькими способами можно рассадить 6 человек на шести стульях? (720)
4. У преподавателя есть 6 задач на одну тему и 8 задач на другую тему. Ему нужно
составить варианты контрольной работы, включив в каждый из них одну задачу из
первой темы и одну из второй. Сколько различных вариантов может составить
преподаватель? (48)
5. В группе из 20 человек поровну юношей и девушек. Необходимо выбрать из группы 4
человека, так чтобы среди них было 3 юноши. Сколькими способами это можно
сделать? (1200)
6. Сколько четырехзначных чисел можно составить из карточек с цифрами 1, 2, 5, 7, 8 и
9? (360)
7. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что: а) на каждом кубике
выпадет четное число очков; б) выпадет не менее 10 очков . (1/4; 1/6)
8. Название предмета «теория вероятностей» написано на карточках, причем на каждой
карточке по одной букве. Наугад берут одну карточку. Найти вероятность того, что на
ней буква «т». (1/6)
9. Из колоды 36 карт наугад извлечена одна карта. Найти вероятность того, что
извлеченная карта: а) бубновой масти; б) туз. (1/4; 1/9)
10. При игре в рулетку равновозможно появление чисел от 0 до 36. Какова вероятность
того, что выпадет «нечет»? (18/37)
11. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наугад выбраны 9
студентов. Найти вероятность того, что среди них пять отличников. (14/55)
12. В группе 7 отстающих студентов, преподаватель попросил старосту вызвать на
консультацию четырех из них. Староста забыл фамилии вызванных и послал наугад
1.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
четырех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста послал именно
тех студентов, которых вызвал преподаватель? (1/35)
Семь различных книг, среди которых 3 по математике, расставлены на полке
случайным образом. Какова вероятность того, что все книги по математике окажутся
рядом? (1/7)
Числа от 1 до 9 расставлены случайно. Какова вероятность того, что числа 3 и 4 стоят
рядом в порядке возрастания? (1/9)
Пять девушек и трое юношей для игры разбились случайным образом на две команды
по четыре человека. Какова вероятность того, что одна из команд будет состоять
только из девушек? (1/14)
Человек забыл три последние цифры телефонного номера и, помня лишь, что эти
цифры различные, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что он позвонит по
верному номеру? (1/720)
В ящике находятся 5 красных, 2 синих и 3 зеленых шарика. В ящике есть отверстие,
через которое один за другим выкатываются три шарика. Найти вероятность того, что
первый и третий шарики красные, а второй – зеленый. (1/12)
Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле из первого орудия равна 0,5; для второго и третьего орудия эти вероятности
равны 0,7 и 0,8 соответственно. Найти вероятности того, что: а) все три снаряда
попадут в цель; б) все три орудия промажут. (0,28; 0,03)
Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок
потребует внимания рабочего, равна 0,3; второй – 0,4 и третий – 0,7. Найти
вероятность того, что в течение часа рабочему придется обслужить хотя бы один
станок. (0,874)
Производится пуск трех ракет по одной цели. Вероятности попадания при первом,
втором и третьем пусках равны 0,3; 0,4 и 0,5. Найти вероятность того, что попадет
только одна ракета. (0,44)
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих устройства.
Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,8, а второе –
0,9. Найти вероятность того, что при аварии: а) сработают оба устройства; б)
сработает хотя бы одно устройство. (0,72; 0,98)
Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,6. найти
вероятность того, что он попадет в цель: а) только с третьего выстрела; б) не позднее
третьего выстрела. (0,096; 0,936)
Мастер и его ученик изготавливают партию деталей, причем мастер делает 3/5
партии. Вероятность допустить брак равна 0,02 для мастера и 0,05 для ученика. Из
партии наугад берется одна деталь. Найти вероятность, что она бракованная. (0,032)
В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике находится 10 радиоламп, из
них одна нестандартная, а во втором – 9 радиоламп, из которых две нестандартные.
Из первого ящика взята наугад радиолампа и переложена во второй. Найти
вероятность того, что извлеченная после этого наугад из второго ящика радиолампа
будет нестандартной. (0,21)
Имеются три ящика. В первом находится 2 белых шара и 3 черных; во втором – 3
белых и 1 черный; в третьем – 4 белых. Наугад выбирается один из ящиков, затем из
него наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар
окажется черным. (17/60)
В первой группе 5 юношей и 4 девушки, во второй группе 2 юноши и 8 девушек. Из
второй группы в первую перевели одного человека, после этого из первой группы
наугад выбрали одного человека. Найти вероятность того, что выбранный человек –
девушка. (0,48)
Из 10 пистолетов, среди которых два не пристреляны, берут наугад пистолет и
производят один выстрел по мишени. Вероятность попадания в мишень для
пристрелянного пистолета равна 0,7, а для непристрелянного – 0,2. Известно, что
стрелок попал. Какова вероятность того, что он стрелял из непристрелянного
пистолета? (1/15)
28. Имеются два ящика. В первом находится 3 белых шара и 1 черный; во втором – 2
белых и 3 черных. Наугад выбирается один из ящиков, затем из него наугад
извлекается один шар. Известно, что извлеченный шар оказался белым. Какова
вероятность, что это шар из первого ящика? (0,652)
29. Вероятность того, что абонент правильно наберет номер телефона, равна 0,98. Найти
вероятность того, что три звонка из четырех абонент сделает правильно. (0,075)
30. Вероятность брака при работе копировальной машины составляет 0,02. Найти
вероятность того, что из 400 скопированных листов не менее 385 листов
получатся без брака. (0,992)
31. Вероятность производства бракованной детали равна 0,004. Найти вероятность того,
что среди 500 деталей будет ровно 5 бракованных (считать, что e 2  0,13534 ). (0,036)
32. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100
новорожденных будет ровно 50 мальчиков. (0,078)
33. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того,
что при 100 выстрелах будет не более 85 попаданий. (0,0475)
34. Игральный кубик бросают 4 раза. Найти вероятность того, что 2 раза выпадет шесть
очков. (25/216)
Контрольная работа. 4 семестр. Модуль 1. Моделирование. Основы
линейного программирования
1. Составить математическую модель экономической задачи (решать не нужно!!!)
а) Предприятие изготавливает три вида колбасы – молочную, полукопченую и
копченую, используя для этого свинину, говядину и сало. Запасы сырья,
технологическая информация и план (т.е. минимальное количество, которое нужно
произвести) приведены в таблице. Сколько колбасы каждого вида нужно выпускать,
чтобы получаемая предприятием прибыль была максимальна?
Вид сырья
Запасы
сырья, кг
Количество сырья (кг), идущее на
изготовление 1 тонны колбасы
Молочная
Полукопченая
Копченая
Свинина
2000
300
600
700
Говядина
1800
600
200
100
Сало
900
100
200
200
План, т
–
1,6
1,2
Прибыль от реализации 1 т
колбасы, тыс. руб.
50
70
100
б) Предприятие изготавливает три вида пива – светлое, темное и крепкое, используя
для этого солод, хмель и ячмень. Запасы сырья, технологическая информация и
ограничения на выпуск (т.е. максимальное количество, которое можно произвести)
приведены в таблице. Сколько пива каждого вида нужно выпускать, чтобы получаемая
предприятием прибыль была максимальна?
Вид сырья
Запасы сырья,
кг
Количество сырья (кг), идущее на
изготовление 1 тонны пива
Светлое
Темное
Крепкое
Солод
2300
30
70
90
Хмель
4500
40
90
160
Ячмень
8000
140
170
100
Максимальное количество, т
2,1
3,7
–
Прибыль от реализации 1 т
пива, тыс. руб.
5
7
8
в) Для нормального развития растений им необходимо получать определенные
количества азота, калия и фосфора, причем эти вещества есть в удобрениях трех видов.
Минимальные необходимые количества веществ и их содержание в разных
удобрениях приведены в таблице. Сколько удобрений каждого вида необходимо,
чтобы их суммарная стоимость была минимальной, а общий вес не превосходил 1 т?
Вещество
Минимальное
количество
вещества, кг
Удобрение 1
Удобрение 2
Удобрение 3
Азот
250
0,2
0,3
0,4
Калий
50
0,05
0
0,06
Фосфор
130
0,1
0,2
0,15
50
40
60
Стоимость 1 кг удобрения, руб.
Количество веществ в 1 кг удобрения
г) Для обеспечения предприятия металлами (железо, никель и кобальт) имеются запасы
руды трех видов (содержание металлов в рудах указано в таблице). Предприятию
необходимо выпустить 5 т сплава, содержащего эти металлы в количествах, не ниже
заданного. Сколько руды каждого вида потребуется предприятию, чтобы суммарная
стоимость руды была минимальной?
Количество металла в 1 т руды
Металл
Мин. количество
металла в 1 т сплава
Руда 1
Руда 2
Руда 3
Железо
0,8
0,9
0,75
0,6
Никель
0,06
0,03
0,05
0,1
Кобальт
0,02
0
0,02
0,05
900
1200
1400
Стоимость 1 т руды, руб.
2. Решить графическим методом задачу линейного программирования
а) f ( x)  5x1  2 x2  extr
б) f ( x)  6 x1  6x2  extr
в) f ( x)  2x1  2x2  extr
x1  x2  8
2x1  3x2  18
2 x1  x2  6
2 x1  x2  4
2 x1  x2  6
 x1  3x2  6
 x1  3x2  3
2 x1  x2  4
x1  2 x2  8
x1  0, x2  0
x1  0, x2  0
x1  0, x2  0
Контрольная работа. 4 семестр. Модуль 2. Симплекс-метод
Задача. Предприятие выпускает два вида продукции, используя для этого три вида
ресурсов. Запасы ресурсов, их расход на производство и прибыль от единицы
продукции приведены в таблице. Требуется:
1) построить математическую модель задачи для определения оптимального
плана производства, обеспечивающего максимальную прибыль;
2) найти оптимальный план производства, решив задачу симплекс-методом;
3) определить, какие ресурсы являются дефицитными; для недефицитных
ресурсов найти их остаток;
4) записать двойственную задачу и найти ее решение по симплекс-таблице;
5) определить теневые стоимости ресурсов; для дефицитных ресурсов указать,
на сколько увеличится прибыль предприятия при увеличении запасов этих
ресурсов на единицу.
а)
Ресурсы
Количество ресурса, расходуемое
на изготовление ед. продукции
Запасы
ресурсов
Продукция 1
Продукция 2
Ресурс 1
2
2
160
Ресурс 2
2
1
140
Ресурс 3
1
4
200
Прибыль от ед.
продукции, у.е.
3
2
б)
Ресурсы
Количество ресурса, расходуемое
на изготовление ед. продукции
Запасы
ресурсов
Продукция 1
Продукция 2
Ресурс 1
3
1
195
Ресурс 2
1
7
175
Ресурс 3
4
2
180
Прибыль от ед.
продукции, у.е.
3
8
Контрольная работа. 4 семестр. Модуль 3. Транспортная задача
Задание. Решить транспортную задачу:
а)
ПотребиПостел
В1
В2
В3
В4
Запасы
и
тавщики
А1
10
3
22
3
210
А2
1
10
11
5
180
А3
14
23
23
11
190
135
230
30
185
В1
В2
В3
В4
Потребности
б)
ПотребиПостел
Запасы
и
тавщики
А1
8
15
10
10
100
А2
4
8
3
2
300
А3
16
20
15
8
235
150
100
150
235
Потребности
Домашняя работа. Тема 2 (1 семестр)
Вариант 1
1 0 2
2
2 3 5 1
2 1 0 3
 3 2 1 3
1. Вычислить определитель, приведя его к
треугольному виду:
A 
2. Найти обратную матрицу двумя
способами: а) по формуле обратной
матрицы; б) с помощью элементарных
преобразований. Проверить выполнение
1
5
 2


А =   3 5  11
 1 2
4 

соотношения A  A1  E .
 4

7
 1

 7
3. Найти ранг матрицы:
2 1
5

7 4 8
7
3  2 4  3

7  5 10  14 
2
Вариант 2
1 2
4
1
0 1 2 3
2 3 1 2
3 0 4 1
1. Вычислить определитель, приведя его к
треугольному виду:
A 
2. Найти обратную матрицу двумя
способами: а) по формуле обратной
матрицы; б) с помощью элементарных
преобразований. Проверить выполнение
соотношения A  A1  E .
  3 5 2


А =  4  6  2
  1 2 3


 3 1  3 3 2


  2 5 5 1  3
 1 4 2  2 3


7
2

4
4
7


3. Найти ранг матрицы:
Домашняя работа. Тема 3 (1 семестр)
Вариант 1
1. Найти общее решение системы
линейных уравнений, а также два
любых частных решения:
2. Найти фундаментальную систему
решений системы линейных
однородных уравнений:
 x1  2 x 2  x3  3x4  x5  1

 2 x1  x2  x3  2 x4  3x5   2
 3x  x  3x  x  x   1
1
2
3
4
5

 x1  x 2  10 x3  x4  x5  0

5 x1  x2  8 x3  2 x4  2 x5  0
3x  3x  12 x  4 x  4 x  0
2
3
4
5
 1
Вариант 2
1. Найти общее решение системы
линейных уравнений, а также два
любых частных решения:
  x1  x 2  3x3  x 4  2 x5  2

 3x1  x 2  2 x3  x 4  x5   1
 4 x  2 x  x  2 x  x  3
1
2
3
4
5

2. Найти фундаментальную систему
решений системы линейных
однородных уравнений:
2 x1  x 2  2 x3  x4  x5  0

 x1  x2  2 x3  2 x4  x5  0
4 x  9 x  4 x  5 x  x  0
2
3
4
5
 1
Домашняя работа. Тема 5 (1 семестр)
Вариант 1
1. Найти точку пересечения прямых 2 x  y  4 и 3x  5 y  19 , а также угол между ними.
2. Даны вершины треугольника A(1; -2), B(3; 1) и C(-2; 3). Найти: а) длины его сторон; б)
угол при вершине B; в) уравнение медианы, проведенной из вершины В; г) уравнение
стороны AC; д) уравнение высоты, опущенной из вершины B; е) уравнение прямой,
проходящей через вершину B параллельно стороне AC; ж) площадь треугольника.
3. Определить основные характеристики данных кривых 2-го порядка и построить их:
а) x 2  y 2  2 x  6 y  6  0 ,
б) 4 x 2  9 y 2  32 x  54 y  109  0 .
Вариант 2
1. Найти точку пересечения прямых 3x  y  1 и
ними.
 x  4 y  7 , а также угол между
2. Даны вершины треугольника A(2; 5), B(-2; 1) и C(1; -4). Найти: а) длины его сторон; б)
угол при вершине B; в) уравнение медианы, проведенной из вершины В; г) уравнение
стороны AC; д) уравнение высоты, опущенной из вершины B; е) уравнение прямой,
проходящей через вершину B параллельно стороне AC; ж) площадь треугольника.
3. Определить основные характеристики данных кривых 2-го порядка и построить их:
а) x 2  y 2  8 x  2 y  8  0 ,
б) 4 x 2  25 y 2  8 x  100 y  196  0 .
Домашняя работа. Тема 6 (1 семестр)
Задание.
Даны вершины пирамиды A1, A2, A3, A4. Найти: а) длину ребра A1A2; б)
уравнение прямой A1A2; в) угол между ребрами A1A2 и A1A4; г) площадь
грани A1A2A3; д) уравнение плоскости A1A2A3; е) угол между ребром A1A4 и
гранью A1A2A3; ж) объем пирамиды; з) высоту, опущенную из вершины A4 на
грань A1A2A3; и) уравнение этой высоты; к) координаты точки пересечения
высоты и грани.
1. A1(1, 3, 6), A2(2, 2, 1), A3(-1, 0, 1), A4(-4, 2. A1(1, 3, 6), A2(2, 2, 1), A3(-1, 0, 1), A4(-4,
6, -3)
6, -3)
3. A1(7, 2, 4), A2(7, -1, -2), A3(3, 3, 1), A4(- 4. A1(2, 1, 4), A2(-1, 5, -2), A3(-7, -3, 2),
4, 2, 1)
A4(-6, -3, 6)
Домашняя работа. Тема 10 (2 семестр)
Задание.
Найти неопределенные интегралы. Решение проверить дифференцированием.
1.
x 3  9 x 2  32 x  40
 ( x  4)( x 2  6 x  8) dx ;
3.
3x 3  x 2  40 x  88
 ( x  2)( x 2  2 x  8) dx ;
 (25  x

81  x 2 dx
x
4.
dx
2
) 25  x 2
 2 x 3  2 x 2  19 x  16
 ( x  2)( x 2  2 x  8) dx ;
2.

2
4 4 xx32 dx
 41x 2  131x  122
 ( x  4)( x 2  6 x  8) dx ;
dx
(4  x 2 )3
Домашняя работа. Тема 11 (2 семестр)
Вариант 1
2
1. Вычислить определенные интегралы: а)

5
3
2  5x dx , б)
5
 (25  x
0
dx
2
) 25  x 2
.
y  x 2  3x  5 ,
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
y  2x  1 .
3. Вычислить длину линии: y  ln x ,
3  x  15 .
4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками
функций, вокруг оси Ox: y   x 2  5x  6 , y  0 .

5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
x
1
2
dx
.
 6x  13
Вариант 2
1
1. Вычислить определенные интегралы: а)
dx
1 (2 x  3) 4 , б)
3

0
dx
(4  x 2 ) 3
.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций: x  2 y 2  5 y  14 ,
x  y2  2 y  4.
3. Вычислить длину линии: y 
x 2 ln x

, 1 x  2.
4
2
4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками
функций, вокруг оси Oy: y  arccos(x / 3) , y  arccos x , y  0 .
1/ e
5. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
dx
 x ln
0
2
x
.
Домашняя работа. Тема 12 (2 семестр)
Задание.
1.
Решить дифференциальные уравнения. Решения проверить подстановкой.
yx ln x  y ;
2.
y   y   2 y  6 x 2 , y (0)  4 , y (0)  1 .
3.
y  ctg x  y   0 ;
xy   y   1 ;
y   4 y  8 x 3 , y (0)  2 , y (0)  3 .
4.
y   2 y   y  8e x , y (0)  1 , y (0)  3 .
xy   y   x  1 ;
y   2 y   5 y  4e  x , y (0)  1 , y (0)  1 .
Домашняя работа. Тема 13 (2 семестр)
Вариант 1
1. Найти и изобразить область определения функции z 
x 2  25
.
y2 1
2. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции z  sin
y
.
x
3. Найти точки экстремума функции z  2 x 2 y  2 xy  3 y 2  12 y  1 .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x 2  y 2  9 xy  27 в области,
заданной неравенствами 0  x  3, 0  y  3 .
5. Имеются данные о количестве произведенной продукции и рыночной цене ее
реализации. Считая зависимость линейной, найти цену продукции как функцию
выпуска.
Кол-во продукции, млн. шт.
Цена реализации, руб.
2
50
3,5
47
4
47
4,5
46
5
44
Вариант 2
1. Найти и изобразить область определения функции z 
y  x  ln( x 2  y 2  1) .
2. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции z  x(e x  ln y) .
3. Найти точки экстремума функции z  8x  xy 2  2 xy  5x 2  3 .
4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x 2  2 y 2  2 x  4 y  1 в
треугольной области, ограниченной линиями x  0, y  0, x  3  y .
5. Имеются данные о количестве потребленной электроэнергии и количестве
произведенной продукции. Считая зависимость линейной, найти выпуск продукции как
функцию потребления электроэнергии.
Потребление электроэнергии, МВтч
Кол-во продукции, тыс. тонн
1,5
5
2
7
3
9
4
10
4,5
11
Домашняя работа. Тема 14 (2 семестр)
Вариант 1
1. Исследовать сходимость ряда:
а)
n 2  3n  1

n2
n 1


 (1)
n
n 1

б)
sin 2 n

n 1 n n
в)
(n  1)!

2n
n 1

 2n  1 



n 1  3n  2 

г)
3n
д)
2n  1
n(n  1)
2. Найти интервал сходимости степенного ряда:
1/ 2
3. Вычислить значение
e
 x2

n! x n
.

2
n 1 n
dx , точность 0,001.
0
Вариант 2
1. Исследовать сходимость ряда:
3n  5
а) 
n 1 7 n  1


 n 
(1) 


 2n  1 
n 1
3n1
в) 
n 1 n!


n cos 2 n
б)  3
n 1 n  5
n2
1
 n 1
г)  
  n
2
n 1  n 

д)
n
n

x 2n
2. Найти интервал сходимости степенного ряда:  3 .
n 1 n
1
3. Вычислить значение  cos x 2 dx , точность 0,001.
0
Домашняя работа. Тема 8 (2 семестр)
Задание.
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить
график.
1.
x3  4
y
x2
4.
y
4x
( x  2) 2
2.
y
2x
1 x2
3.
y
2
x  6x
5.
y
2x 2
1 x
6.
y
x2  x 1
x 1
2
Домашняя работа. Тема 9 (2 семестр)
Вариант 1
1. Составить уравнение касательной к графику функции в данной точке:
y  x 4  2 x 3  4 x 2  3x  5 , x0 = 1.
2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: y  3 x , x = 1,12.
3. Найти предел, используя правило Лопиталя: lim
x 
ln 5 x
.
x  2x  1
3
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке: f ( x ) 
x 5
,
x 2  11
x  [3; 7] .
5. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график:
x3  4
y
.
x2
Вариант 2
1. Составить уравнение касательной к графику функции в данной точке: y  x 2  4 x  7 ,
x0 = 3.
2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала: y  x 4 , x = 2,02.
x 3  3x 2  2
.
x  1 x 3  4 x 2  5
3. Найти предел, используя правило Лопиталя: lim
4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке: f ( x ) 
4x
,
4  x2
x  [4; 1] .
5. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график:
2x
y
.
1 x2
Домашняя работа (3 семестр)
Модуль 2. Случайные величины
Вариант 1
1. Два самолета сбрасывают бомбы в цель. Первый самолет сбросил две бомбы, а второй –
одну. Вероятности попадания равны 0,6 для первого самолета и 0,8 для второго.
Составить закон распределения дискретной случайной величины – числа бомб,
попавших в цель. Записать функцию распределения случайной величины и найти
математическое ожидание.
2. Заданы законы распределения случайных величин X и Y. Найти закон распределения
случайной величины Z  X  2Y , а также ее математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
X
-1
3
5
Y
1
2
P
p
0,2
0,4
P
0,8
0,2
3. Случайная величина X задана функцией распределения
0,
x 1

 2
F ( x )  c( x  x ), 1  x  3 .

1,
x3

Найти: а) плотность распределения, б) постоянную с, в) математическое ожидание и
дисперсию случайной величины, г) вероятность того, что случайная величина примет
значение в интервале (2; 4).
4. Рост взрослых женщин является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону с параметрами a = 165 см и  = 5 см. Найти вероятность того, что
рост произвольно выбранной женщины будет в пределах от 160 до 180 см.
Вариант 2
1. Из пяти ключей только один подходит к замку. Составить закон распределения
дискретной случайной величины – числа попыток открыть замок. Записать функцию
распределения случайной величины и найти ее математическое ожидание.
2. Заданы законы распределения случайных величин X и Y. Найти закон распределения
случайной величины Z  2 X  3Y , а также ее математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
X
4
7
Y
1
3
4
P
p
0,1
P
0,1
0,6
0,3
3. Случайная величина X задана функцией распределения
0,
x0


2
F ( x )  c(8 x  x ), 0  x  4 .

1,
x4

Найти: а) плотность распределения, б) постоянную с, в) математическое ожидание и
дисперсию случайной величины, г) вероятность того, что случайная величина примет
значение в интервале (3; 6).
4. Завод изготавливает шарики для подшипников. Диаметр шарика является нормально
распределенной случайной величиной с параметрами a = 5 мм и  = 0,05 мм. Какова
вероятность того, что диаметр шарика будет меньше 4,8 мм?
Домашняя работа (3 семестр)
Модуль 3. Элементы математической статистики
Вариант 1
1.
В результате выборочного обследования объектов были получены следующие
значения признака:
73
69
80
75
68
76
82
86
83
62
73
64
77
69
74
70
65
80
74
81
69
71
85
84
74
75
75
83
74
67
71
78
66
78
65
77
79
69
72
74
76
74
68
72
68
69
70
74
75
69
Требуется: 1) записать интервальное статистическое распределение выборки; 2)
построить гистограмму частот; 3) вычислить выборочную среднюю, выборочную
дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные
дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4) предполагая распределение
нормальным, найти точечные и интервальные оценки параметров распределения с
надежностью  = 0,99; 5) используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о
нормальном распределении при уровне значимости  = 0,05.
2.
В результате наблюдений получены значения двух признаков x и y для ряда объектов:
35
42
50
58
71
80
88
95
105
120
35,9
31,5
29,0
27,5
22,0
22,6
17,4
16,0
14,4
9,9
x
y
Требуется: а) записать выборочное уравнение прямолинейной регрессии; б) найти
выборочный коэффициент корреляции и оценить силу линейной связи между
признаками; в) построить на одном графике наблюдаемые значения признаков и
прямую регрессии.
Вариант 2
1.
В результате выборочного обследования объектов были получены следующие
значения признака:
63
62
58
53
53
47
58
57
55
48
54
56
57
49
52
56
61
58
50
62
53
61
56
55
56
54
51
60
57
54
58
55
54
58
61
58
51
57
61
58
53
50
51
56
54
52
55
57
63
60
Требуется: 1) записать интервальное статистическое распределение выборки; 2)
построить гистограмму частот; 3) вычислить выборочную среднюю, выборочную
дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленные
дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4) предполагая распределение
нормальным, найти точечные и интервальные оценки параметров распределения с
надежностью  = 0,95; 5) используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о
нормальном распределении при уровне значимости  = 0,05.
2.
В результате наблюдений получены значения двух признаков x и y для ряда объектов:
10
12
16
22
25
28
30
33
37
40
5,3
5,5
7,9
9,5
12,3
15,0
14,6
16,0
20,1
22,3
x
y
Требуется: а) записать выборочное уравнение прямолинейной регрессии; б) найти
выборочный коэффициент корреляции и оценить силу линейной связи между
признаками; в) построить на одном графике наблюдаемые значения признаков и
прямую регрессии.
Домашняя работа (4 семестр)
Модуль 1. Моделирование. Основы линейного программирования
Задание. Решить графически задачу линейного программирования:
1.
f ( x)  x1  x2  x3  x4  extr
f ( x)  2 x1  x2  x3  x4  extr
2.
 x1  2 x2  x3  x4  2 ,
8 x1  x2  2 x3  x4  20 ,
 3x1  4 x2  x3  x4  7 ,
x14  0
2 x1  5 x2  2 x3  x4  2 ,
x14  0
Домашняя работа (4 семестр)
Модуль 2. Симплекс-метод
Вариант 1
1. Найти общее и два каких-либо
базисных решения системы линейных
уравнений:
 5 x1  2 x 2  x3  3x 4  x5   2

  x1  x2  2 x3  x 4  3x5  5
 3x  2 x  x  x  x   3
1
2
3
4
5

2. Решить
задачу
линейного
программирования симплекс-методом.
Записать двойственную задачу и найти
ее решение: а) по симплекс-таблице, б)
используя теорему о дополняющей
нежесткости.
f ( x )  4 x1  9 x 2  8 x 3  min
4 x1  x 2  3x 3  4
2 x1  2 x 2  x3  12
x13  0
Вариант 2
1. Найти общее и два каких-либо
базисных решения системы линейных
уравнений:
2. Решить
задачу
линейного
программирования симплекс-методом.
Записать двойственную задачу и найти
ее решение: а) по симплекс-таблице, б)
используя теорему о дополняющей
нежесткости.
 2 x1  x 2  3x3  3x 4  x5   6

 3x1  3x 2  x3  x 4  x5  3
 x  2x  x  x  2x  1
1
2
3
4
5

f ( x )  7 x1  6 x 2  4 x 3  max
 2 x1  6 x 2  4 x 3  6
2 x1  x 2  x 3  9
x13  0
Домашняя работа (4 семестр)
Модуль 4. Нелинейное программирование
Вариант 1
1. Требуется распределить капитал в
размере 50 единиц порциями по 10 единиц
между пятью предприятиями, функции
доходности которых известны, так чтобы
суммарный доход от капиталовложений
был максимальный.
2. Найти кратчайший путь от начального
пункта до конечного.
y
f1
f2
f3
f4
f5
0
0
0
0
0
0
10
2
1
2
3
2
20
3
4
4
5
3
30
8
8
7
6
8
40
9
10
8
7
9
50
10
12
11
8
11
5
2
2
4
3
3
1
2
4
2
4
11
6
6
7
5
3
6
3
3
4
8
4
3
3
2
6
5
2
13
4
10
7
4
9
2
12
4
Вариант 2
1. Требуется распределить капитал в размере 90
единиц порциями по 15 единиц между четырьмя
предприятиями, функции доходности которых
известны, так чтобы суммарный доход от
капиталовложений был максимальный.
2. Найти кратчайший путь от начального пункта до
конечного.
18
2
4
10
15
1
6
8
7
6
3
12
9
7
8
5
13
14
4
9
6
6
7
8
10
f2
f3
f4
0
0
0
0
0
15
2
2
3
1
30
5
4
4
5
45
8
7
7
6
60
9
10
9
8
75
10
11
11
9
90
11
11
12
12
13
12
10
6
f1
11
15
2
y
12
8
Заочная форма обучения
На перовом курсе студент должен решить задания 1-7 своего варианта,
на втором курсе – задания 8-17.
Вариант определяется по последней цифре номера зачетной книжки.
Например, если последняя цифра номера 3, то в первом семестре студент
должен решить задачи 1.3, 2.3, …, 7.3; во втором семестре – задачи 8.3, 9.3,
…, 17.3. Если последняя цифра номера 0, то решаются задачи 1.10, 2.10, 3.10
и т.д. При отсутствии зачетки номер варианта задается методистом.
При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо
соблюдать следующие правила:
1. Работа выполняется в тетради в клетку ручкой синего или черного
цвета. Работа должна быть аккуратно оформлена.
2. На обложке тетради должны быть ясно указаны фамилия и инициалы
студента, специальность, курс, название дисциплины.
3. Работа должна содержать задания строго своего варианта.
Контрольные работы, содержащие задачи не своего варианта, не
засчитываются.
4. Задания желательно располагать в порядке возрастания их номеров.
Условия задач необходимо записывать полностью. Ход решения
следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями.
После получения проверенной работы, студент должен исправить все
отмеченные преподавателем ошибки и недочеты. Для этого рекомендуется
оставить в конце тетради несколько чистых листов для выполнения работы
над ошибками.
Студент должен быть готов к защите своей контрольной работы на
сессии. Во время защиты студент должен уметь дать пояснения по ходу
решения задач, знать теоретические понятия, определения, формулы,
теоремы, использованные при решении.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ (1 курс)
Задание 1. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:
2
1.1. z  2 z  17  0 .
2
1.2. z  6 z  13  0 .
2
1.3. z  4 z  5  0 .
2
1.4. z  8z  17  0 .
2
1.5. z  2 z  10  0 .
2
1.6. z  4 z  20  0 .
2
1.7. z  6 z  34  0 .
2
1.8. z  8 z  20  0 .
2
1.9. z  10 z  50  0 .
2
1.10. z  10 z  34  0 .
Задание 2. Найти значение матричного выражения:
3
9
 2
 4  6
 8 2






2.1. A  B T  4C , где A    2
3 , C   0
1  1 .
5 , B   1
 2
 2
 4  3
5 
7
3 




3  1
3
 4
1





5
1
4


2.2.  2A T  B  C , где A  
0
3 , C   4  6  .
 , B   5
  2 6 2
 1  2
 2
8 
5 


 2 1
2.3. A T  B  2C , где A  
5  4
 5

.2.4. 4A  B  C , где A    1
 4

T
3
5
 1
 , B  
7
 2 3
 2 1
2.5. A  B  3C , где A  
 3 0
3  5
1
 1  6




8
6 , C   2
7 .
 , B   2  4
7
2
 3
5  2 
9 


3
2
 1


8  2
2.6.  3A  B  C , где A   6  2  5  , B  
6 1
 7
2  4 

.
T
 5 3
2.7. A  B  3C , где A  
4
 1
5
 3  6  1
 , C  

0
3
8
1


3
4
 6


1
 2  7 0
 , B  
 , C   2  1  2  .
8
5  1
3
 5 9
3 

5
 4


1
2.8. 3A  B  C , где A   2  6  , B  
5
 1
6 

T
6

0
1
1  3
6
 1  6
 2





5
8 , B   3
5 , C   4  5 .
 2
 1
2
0 
8 
3 


T
T
 4 3

6
2
 , C    7
4
 8 2

 2  3  4


0  5
4
6 .
 , C    1
7  2
 8 2
4 

1
1
 2 5
 3




3  2
8
2.9. A  B  2C , где A    3
3
0  , B    5  2  , C  
 .
7

5
2


 1
 4
7  9 
1


T
 4  6


 7 2
2.10. 4A  B  C , где A    2
9  , B  
3
 2
 3  5


T
 5  3

4
 , C   2  2
1
 1
6

0

8 .
2 
Задание 3. Вычислить определитель двумя способами: а) разложением по
любой удобной строке (столбцу), б) приведением к треугольному
виду:
2
1
3 2
2
3.1. 1
3
2
0
1
3
5
0 2
1
0
0
1
2
3
3
3
1
2.
3.2.
2
3
1 2
0
5
1
0.
0 1
2 2
2
3
3
1
2 3
1
3.7.  3
4
3 5
2 5
0
1 1
0
3.9.  2
4
1
0 1
1
3.4. 4
3
2
5 0
1 1 .
2 5
5
3
1 4
2
0
3.6.  1  2
1 2 2
0
1
3.8.  1
3
1
1 2
4
1
2 2
1
3.
1
3.10.  2
1
3
3 2
2
0.
3 5
0
2
1 3
1 4
0
5.
2
1.
1
1
3
1
1  2
2
6 3
3.5. 4
1 1  2
2
3 1
3
2
4
2
1 2
1 3
3  2 1 .
3.3.  1
0 3
1
4
1
0
2
1
0 6
3
0
4
1
3
2.
4
2
4
1.
Задание 4. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)
матричным методом, б) по формулам Крамера, в) методом
Гаусса:
 2 x1  x2  2 x3   1

 x1  2 x2  x3  3
 3 x  x  x  8
1
2
3
4.1. 
.
 2 x1  7 x2  x3   12

 4 x1  2 x2  x3   4
  x  2x  x  1
1
2
3
4.2. 
.
 4 x1  2 x2  x3   9

 3 x1  2 x2  2 x3   5
 x  x  3x  1
1
2
3

 3x1  2 x2  2 x3   2

  x1  x2  2 x3  2

4.4.  2 x1  x2  3x3  6 .
4.3.
.
 4 x1  2 x2  x3  4

 x1  3x2  2 x3   2

4.5.  2 x1  x2  2 x3   7 .
 4 x1  4 x2  x3   6

 3x1  x2  2 x3  1

4.6.   x1  2 x2  3x3   2 .
 5 x1  6 x2  x3  11

 2 x1  x2  2 x3   4

4.7.  x1  2 x2  2 x3  11 .
 5 x1  7 x2  2 x3  7

  x1  3x2  x3  10

4.8.  3x1  4 x2  x3   5 .
 4 x1  7 x2  4 x3   11

 x1  3 x2  2 x3   8

4.9.  5 x1  8 x2  4 x3  9 .
 2 x1  x2  8 x3   1

 5 x1  2 x2  9 x3  11

4.10.   x1  x2  3x3  6 .
Задание 5. Для данных векторов a и b найти: а) их длины; б) скалярное
произведение векторов; в) угол между векторами; г) векторное
произведение
векторов;
д)
площадь
параллелограмма,
построенного на векторах; е) вектор c  m a  n b .
5.1. a = (-3, 5, 1), b = (4, 2, -1), m = 2, n = 5.
5.2. a = (-1, 4, -2), b = (6, -1, 2), m = -3, n = 4.
5.3. a = (3, -2, 1), b = (-2, -5, 4) , m = 5, n = -4.
5.4. a = (5, -2, 1), b = (-2, 4, 6) , m = -2, n = -3.
5.5. a = (-2, 4, -1), b = (-1, 3, 3) , m = 3, n = 7.
5.6. a = (1, -2, -3), b = (3, -5, 2) , m = -4, n = 2.
5.7. a = (-5, 2, -2), b = (-2, 3, 1) , m = 4, n = -2.
5.8. a = (-3, 4, -2), b = (-1, -2, 5) , m = -5, n = -4.
5.9. a = (-2, 1, 3), b = (3, -4, 1) , m = 7, n = 2.
5.10. a = (-3, 6, -1), b = (2, 2, -1) , m = 3, n = -6.
Задание 6. Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Требуется
найти: а) длины его сторон; б) угол при вершине B; в) уравнение
стороны AC; г) уравнение медианы, проведенной из вершины B;
д) уравнение высоты, опущенной из вершины B; е) уравнение
прямой, проходящей через вершину B параллельно стороне AC;
ж) площадь треугольника.
6.1. A(1; -2), B(3; 1), C(-2; 3).
6.2. A(2; 5), B(-2; 1), C(1; -4).
6.3. A(-5; -1), B(2; 1), C(-1; 3).
6.4. A(1; 2), B(2; -1), C(-5; -2).
6.5. A(3; -3), B(1; 4), C(-3; 1).
6.6. A(2; 2), B(3; -1), C(-4; -3).
6.7. A(-1; 2), B(-2; -2), C(5; 1).
6.8. A(-4; 1), B(2; -3), C(1; 3).
6.9. A(1; 1), B(5; -3), C(-4; -2).
6.10. A(-2; -1), B(5; -2), C(4; 2).
Задание 7. Пирамида ABCD задана координатами своих вершин. Требуется
найти: а) длину ребра AB; б) уравнение прямой AB; в) угол
между ребрами AB и AD; г) уравнение плоскости ABC; д) угол
между ребром AD и гранью ABC; е) объем пирамиды.
7.1. A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3).
7.2. A(-1, -5, 2), B(-6, 0, -3), C(3, 6, -3), D(-10, 6, 7).
7.3. A(2, -1, -2), B(1, 2, 1), C(5, 0, -6), D(1, -4, 6).
7.4. A(1, 2, 0), B(3, 0, -3), C(5, 2, 6), D(8, 4, -9).
7.5. A(2, -1, 2), B(1, 2, -1), C(3, 2, 1), D(-4, 2, 5).
7.6. A(2, 3, 1), B(4, 1, -2), C(6, 3, 7), D(7, 5, -3).
7.7. A(1, 1, -1), B(2, 3, 1), C(3, 2, 1), D(5, 9, -8).
7.8. A(-3, 4, -7), B(1, 5, -4), C(-5, -2, 0), D(2, 5, 4).
7.9. A(4, -1, 3), B(-2, 1, 0), C(0, -5, 1), D(3, 2, -6).
7.10. A(-2, -1, -1), B(0, 3, 2), C(3, 1, -4), D(-4, 7, 3).
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ (2 курс)
Задание 8. Найти пределы функций:
x2  4x  5
lim 2
8.1. а) x1 3x  5 x  2 ;
tg 5 x
lim
г) x0 2 x ;
3x 2  x  10
lim 2
8.2. а) x2 x  5 x  14 ;
x2
lim
2
г) x0 sin 4 x ;
x  11  2 x  13
lim
x2
б) x2
;
 2x  1
lim

x  2 x  1


д)
б)
lim
x 4
3 2 x
.
x4
13  x  3 ;
 x  4
lim

x  x  1


д)
x 2  5x
lim 2
в) x 2 x  3x  1 ;
x 1
.
2x3  3
lim 3
в) x x  4 x  1 ;
3x 2  16 x  16
lim
2
8.3. а) x4 x  2 x  8 ;
tg 2 x
lim
г) x0 sin 5 x ;
4 x 2  17 x  15
lim 2
8.4. а) x5 x  3x  10 ;
sin 5 x  tg 3x
lim
x2
г) x0
;
x2  x  6
2
8.5. а) x2 2 x  x  10 ;
lim
3x
lim
г) x0 sin 8 x ;
x 2  3x  18
2
8.6. а) x3 2 x  11x  15 ;
lim
tg 2 6 x
lim
2
г) x0 x ;
x2  6x  5
lim 2
8.7. а) x5 5 x  22 x  15 ;
sin 4 x
lim
г) x0 sin 3x ;
3x 2  5 x  2
lim 2
8.8. а) x1 x  3x  4 ;
x2
lim
x 0 tg 5 x  sin 6 x
г)
;
2x2  9x  9
lim 2
8.9. а) x3 x  2 x  15 ;
tg 4 x
lim
x 0 tg 7 x
г)
;
б)
lim
x 5
x5
4  x  x  14 ;
 3x  1 
lim

x  3 x  5


д)
7 3 x
.
x7 3
б) x2 2  x  2 ;
4 x  3x 2  2
lim
x2  5 ;
в) x
lim
 x  2
lim

x  x  1


д)
2  2x 4  x3
lim
4
в) x 3x  2 x ;
2 x 1
.
4  x  19
x3 ;
б) x3
lim
2 x 3  3x  1
3
в) x 3  x
;
lim
1 4 x
 4x  5 
lim

x  4 x  1


д)
б)
lim
x5
.
x  11  3x  1
x5
;
 2x  3 
lim

x  2 x  1


д)
x4  x  1
4
в) x 3x  2 ;
lim
2 x 5
.
x 1
lim
x 1 3 
x  10 ;
б)
2x2  2x  3
lim
2
в) x 5  x
;
1 2 x
 x 3
lim

x  x  4


д)
.
x3
lim
x 3
x  1  3x  5 ;
б)
 3x  2 
lim

x  3 x  1


д)
3 x2
.
2 x8
lim
x 4 12  x  4
б)
;
 x 1 
lim

x  x  3


д)
1  2x  x3
lim 3
2
в) x 4 x  2 x  1 ;
2 x
.
4 x 4  3x
lim 4
2
в) x 3x  x  2 ;
x 2  x  20
lim 2
8.10.а) x4 2 x  11x  12 ;
x32
lim
б) x1 x  1 ;
 4x  1 
lim

x  4 x  3


д)
sin 2 2 x
lim
2
г) x0 x
;
3  x2
lim
2
в) x 5  2 x  x ;
4 x2
.
Задание 9. Найти производные следующих функций:
3
y

x
sin 2 x ,
9.1. а)
x 5  3x 3  2
y
arcctg 3 x ,
б)
в) y  4 arcsin 1  3x .
3
9.2. а) y  x ln 2 x ,
3x 2  8 x
y
arcsin 4 x ,
б)
25 x
в) y  3 tg e .
5
9.3. а) y  x tg 4 x ,
4x  5  2x3
y
sin 6 x ,
б)
в) y  2 ln cos(3x  5) .
2
9.4. а) y  x arctg 4 x ,
x4  2x  3
y
ln 5 x ,
б)
4
в) y  sin( 2 x  3) .
4
y

x
arcsin 2 x ,
9.5. а)
3x 3  5 x
y
ctg 2 x ,
б)
3
в) y  ln( 4 x  5)  1 .
y
x5  2x 4  1
tg 7 x
,
3
в) y  2 sin (4  x) .
9.6. а) y  x arccos 5 x ,
б)
5
9.7. а) y  x cos3x ,
2x4  x
y
arctg 4 x ,
б)
3
в) y  4 arccos ln x .
9.8. а) y  x arcctg 6 x ,
2  x3  4x 2
y
e2 x
б)
,
2
в) y  3ctg x  2 .
y
2 x 3  5x 2
arccos5 x ,
3x
4
9.9. а) y  x  e ,
б)
3
9.10. а) y  x ctg 5 x ,
x 2  3x  1
y
cos 3x ,
б)
3 2
в) y  2 cos(1  x ) .
в) y  3 arctg sin( 5  4 x) .
Задание 10. Провести
полное
исследование
функции
методами
дифференциального исчисления и построить ее график.
x3  4
y
x2 .
10.1.
x
y
1  x2
2
 8x
y 2
y 2
x 4.
x  2 x . 10.6.
.10.5.
y
10.7.
Задание 11. Найти неопределенные
дифференцированием:
11.1.
11.2.
2 x  3 dx
e
а) 
53 x
dx
5 sin
б) 
,
,


 sin  3x  4  dx
11.3. а)
,
11.4. а)


11.5. а)
11.6.
dx
1  (3  2 x) 2 ,


cos2  4 x  
6,

4
dx
,


 cos 3  5x  dx
11.7. а)
,
dx
 (4 x  1) 2  1
11.8. а)
,
11.9. а)
x
32  x 3
y
( x  1) 2 . 10.8.
x2 .
3
интегралы,
x  cos x dx
результат
проверить
 2 x 2  7 x  13
 (1  x) 2 (5  x) dx
в)
.
,
ln 4 x dx
 3x ,
б)
2 x 2  5x  7
 ( x 2  4)(3  x) dx
в)
2 x 3 dx
 4
б) x  1 ,
3 x 2  2 x  23
 (2  x)( x 2  9) dx
в)
4 sin x dx
2

б) (cos x  1) ,
2x2  9x  6
 ( x  3) 2 (4  x) dx
в)
2 arctg x dx

x2  1 ,
б)
 4 x 2  3x  5
 ( x  3)(1  x 2 ) dx
в)
.
dx
(4  7 x)
а) 

10.4.
x2  x  1
y
x 1 .
10.10.
x2
y
1 x .
10.9.
а) 
1  2x3
y
x2 .
10.3.
5
y 2
x  2x  3 .
10.2.
dx


sin 2   6 x 
4
,
cos x dx
 6 x ,
б)
б)

2 x 2  5 x  18
 (4  x 2 )( x  2) dx
в)
.
5dx
1  x 2  arccos x ,
4x
б) 
2
sin( x 3  5) dx
6dx

б) x ln x ,
,
4 x 2  19 x  4
 ( x  4)( x  2) 2 dx
в)
3 x 2  2 x  17
 ( x  5)( x 2  9) dx
в)
 x 2  2 x  20
 ( x 2  16)( x  2) dx
в)
.
dx

11.10. а) 5x  3 ,
б)
3 x 2  4 x  13
 ( x  5)( x  1) 2 dx
в)
.
3x dx

x2  3 ,
Задание 12. Вычислить определенный интеграл:
/2
12.1.
 (3  4 x) cos x dx
/6

.
12.2.
12.4.
/3
.
12.5.
/6
12.7.
 (2  5x) cos x dx
 / 2
/3
.
12.3.

/ 2
 (2 x  5) cos x dx
 (3x  1) sin x dx
ln 2
 (5  6 x) sin x dx
/6
12.8.
.
 (5 x  3) sin x dx
 / 3
x
dx
.
0
ln 3
12.6.

.
 (1  2 x)e
 (4 x  3)e
x
dx
.
0
ln 4
.
12.9.
 ( 4  3 x )e
x
dx
ln 2
/3
12.10.
 (6 x  5) cos x dx
 / 2
.
Задание 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
2
13.1. y  x  3x  5 , y  2 x  1 .
2
2
13.2. y  2 x  5x  14 , y  x  2 x  4 .
2
13.3. y   x  2 x  6 , y  2  x .
2
2
13.4. y  3x  4 x  10 , y  2 x  2 .
2
13.5. y  x  5 x  1 , y  x  4 .
2
2
13.6. y   x  6 x  10 , y  2 x  2 x  5 .
2
13.7. y   x  x  5 , y  x  3 .
2
2
13.8. y  3x  x  2 , y  4 x  10 .
2
13.9. y  x  8 x  8 , y  3  2 x .
2
2
13.10. y  2 x  8 x  3 , y  3x  x  3 .
Задание 14. Найти точки экстремума функции двух переменных:
2
2
14.1. z  8x  xy  2 xy  5x  3 .
2
2
14.2. z  x y  2 xy  2 y  3 y  2 .
2
2
14.3. z  xy  4 xy  4 x  3x  4 .
2
2
14.4. z  x y  6 xy  2 y  8 y  3 .
2
2
14.5. z  4 xy  2 xy  4 x  6 x  1 .
2
2
14.6. z  2 x y  4 xy  y  16 y  4 .
2
2
14.7. z  xy  2 xy  3x  3x  4 .
2
2
14.8. z  2 x y  8 xy  4 y  6 y  5 .
2
2
z

xy

6
xy

5
x
 8x  3 .
14.9.
2
2
z

x
y

4
xy

y
 3y  2 .
14.10.
.
Задание 15. Найти частное решение дифференциального
удовлетворяющее заданному начальному условию:
уравнения,
2

xy

y

1

x
15.1.
, y (1)  2 .
15.2. y  ( x  1) y   1 , y(0)  3 .
15.3. ( x  1) y  xy   0 , y (1)  1 .
2
15.4. 2 xy  y  y  2 , y(1)  3 .
15.5. yy   x  1 , y(0)  2 .
15.6. y   ctg x  ( y  1) cos x , y( / 3)  0 .
15.7. (3  2 x) y   2  y , y(1)  5 .
15.8. xy   y  3 , y (1)  2 .
2
15.9. y y  1  cos x , y(0)  2 .
15.10. xy  y   ln x , y (1)  1 .
Задание 16. Найти общее решение дифференциального уравнения, результат
проверить подстановкой в исходное уравнение:
2



y

y

2
y

6
x
16.1.
.
x



y

2
y

y

8
e
16.2.
.
16.3. y   9 y  cos 3x .
16.4. y   5 y   6 y  13 sin 3x .
2
16.5. y  3 y  3x  1 .
2 x
16.6. y  4 y  2e .
16.7. y   3 y   2 y  4 cos 2 x .
16.8. y   6 y   9 y  10 sin x .
3
16.9. y  y  2 x  x  2 .
x
16.10. y  2 y  5 y  4e .
Задание 17. Исследовать сходимость числового ряда:

n

n
17.2. n1 2 (n  1)! .
2 n1
 n
17.3. n1 n .

( 1) n

17.5. n1 3n  2 .
(n  2)!
n
17.6. n1 n
.
1

2
17.1. n1 (n  5) ln (n  5) .
n2

2
17.7. n1 n  1 .
.

17.8.

n 1
(1) n
2n  1 .



1

17.4. n1 (n  1) ln( n  1) .




cos2 n

n
17.9. n1 3  2 .

n2
 1 1
1   n

 n 2
n

1
17.10.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Нумерация примеров соответствует номерам заданий контрольных работ.
В примерах подробно рассмотрен ход решения и даны необходимые
пояснения. Однако данных примеров недостаточно для успешного
выполнения контрольных работ, так как в них не содержится общий
теоретический материал, который необходимо изучить самостоятельно по
учебникам. В помощь студенту в каждом примере приведен список основных
теоретических понятий, формул, методов, которые нужно знать для
успешного решения задач по данной теме.
Пример 1. Решить квадратное уравнение на множестве комплексных чисел:
z 2  6 z  45  0 .
Теория: комплексное число; мнимая единица; действительная и мнимая
части комплексного числа; модуль и аргумент комплексного числа;
сопряженные числа; сложение, умножение, деление комплексных
чисел.
Решение.
Найдем дискриминант
D  62  4 1 45  144 .
Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Вычислим
квадратный корень из дискриминанта:
D   144  (1) 144  i 2 12 2  12i
.
Тогда решение уравнения
z1, 2 
6  12i
 3  6i
2
.
Следовательно, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня
z1  3  6i и z 2  3  6i .
T
Пример 2. Найти значение матричного выражения 2 A  B  C , где
2  5
3


A 0
1
4
3 1
 4
 1  2 6
 C  

B  
 6  2

2

1

2
2
5
3

1

,

,

.
Теория: матрица, элемент матрицы; умножение матрицы на число;
сложение
и
вычитание
матриц;
умножение
матриц;
транспонированная матрица.
Решение.
Произведем вычисления по действиям:
1. Умножим матрицу A на число 2:
22
2  (5)    6
4  10 
 2  (3)

 

2A   2  0
2 1
24    0
2
8
 2  (6) 2  (2)
2  2    12  4
4  .

2. Транспонируем матрицу B:
  4  1


BT   3  2 
 1
2  .

T
3. Умножим транспонированную матрицу B на матрицу C:
  4  1

  1  2 6
 
B  C   3  2   
5
3

1


 1
2 

5
 23 
  4  1  (1)  5  4  (2)  (1)  3  4  6  (1)  (1)    9

 

  3  1  (2)  5
3  (2)  (2)  3
3  6  (2)  (1)     7  12 20  .
 1 1  2  5
1  (2)  2  3
1  6  2  (1)   11
4
4 

T
T
4. Вычтем матрицы 2A и B  C :
4  10    9
5  23 
 6




2 A  BT  C   0
2
8     7  12
20  
  12  4
4   11
4
4 

45
 10  (23)   3  1
13 
  6  (9)

 

  0  (7) 2  (12)
8  20    7 14  12  .
  12  11
44
4  4    23  8
0 

Пример 3. Вычислить определитель двумя способами: а) разложением по
любой удобной строке (столбцу), б) приведением к треугольному
виду:
A
3
2
1
2
3 4
0 3
2
5
7
5
0
3
5 3 .
Теория: определитель матрицы; вычисление определителя 3-го порядка
методом треугольников; минор, алгебраическое дополнение;
свойства определителей; разложение определителя по строке
(столбцу); приведение определителя к треугольному виду.
Решение.
а) По теореме Лапласа, определитель 4-го порядка можно разложить на
четыре определителя 3-го порядка, которые легче вычисляются
(например, по правилу треугольников). Данный определитель удобно
разложить по 2-й или 3-й строке, либо по 2-му или 3-му столбцу, т.к. в них
есть нули. Воспользуемся, например, 2-й строкой:
3 4
A  2  (1) 21  2
0
5
3
 5  (1) 24  1
2
7
3  0  (3)  (1) 23 
5 3
3
1
2
3
2
7
3
5 3
3 4
2
0
5
5
 2  3  0  (3)  (4)  3  5  2  5  7  7  0  5  (4)  2  (3)  3  5  3 
 3  3  2  (3)  3  3  (2)  1  5  7  7  2  (2)  3 1  (3)  3  5  3 
 5  3  2  5  3  0  (2)  1  5  (4)  (4)  2  (2)  3  1  5  0  5  3 
 2  (59)  3  (9)  5  (21)  14 .
б) Приведение определителя к треугольному виду основано на
использовании свойств определителей (пометки сбоку поясняют
выполняемые действия):
A
3
2
1
2
3 4
0 3
2
5
7
5
0
3
5 3
1
2
0
0 4 3
3
1

1
2
3
2
2
0
0 3
3 (–2) (–3) 2
+
+
5
+
3 4
7
5
5 3
3
0
2
 1  3  4 (–2) 3


+
0 3 4 2
0 2 4 3
+
0
9
5
3
0
3
5
9
=
1
0
=

1 3
0
2
0 1  3  4
0
0
0
2
5 2
0 4 3 +

1 3
0
2
0 1  3  4
0
0
0
0
2
0
5
7
 1  (1)  2  7  14 .
Так как данный метод расчета достаточно сложен, дадим дополнительные
пояснения к примеру, рассмотрев его по действиям:
1) меняем местами 1-ю и 3-ю строки, чтобы в углу оказалось число 1 (так
будет легче подбирать множители на следующем этапе); при этом
меняется знак определителя;
2) умножаем 1-ю строку на (–2) и прибавляем ее ко 2-й строке, затем
умножаем 1-ю троку на (–3) и прибавляем ее к 3-й строке, затем
умножаем 1-ю строку на 2 и прибавляем ее к 4-й строке; множители
выбираются такие, чтобы получились нули в 1-м столбце;
3) меняем местами 2-й и 4-й столбцы, получая (-1) на главной диагонали
(чтобы легче было подбирать множители на следующем этапе); знак
определителя при этом меняется;
4) умножаем 2-ю строку на (–2) и прибавляем ее к 3-й строке, затем
умножаем 2-ю строку на 3 и прибавляем ее к 4-й строке; в результате
получаем нули во 2-м столбце под главной диагональю;
5) умножаем 3-ю строку на 2 и прибавляем ее к 4-й строке, чтобы
получить нуль в 3-м столбце;
6) определитель приведен к треугольному виду; вычисляем его,
перемножая диагональные элементы.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений тремя способами: а)
матричным методом, б) по формулам Крамера, в) методом
Гаусса:
 3x1  2 x2  x3  9

 x1  3x2  x3   2
 5 x  4 x  3x   5
1
2
3

.
Теория: системы
системы,
Капелли;
Крамера;
Гаусса.
Решение.
линейных уравнений; совместность систем; матрица
расширенная матрица системы; теорема Кронекераобратная матрица; матричный метод решения; формулы
элементарные преобразования систем уравнений, метод
а) Решим систему матричным методом. Запишем матрицу коэффициентов
2
1
 3


A   1  3  1
 5 4
3  . Наиболее трудоемкой частью метода

системы:
является нахождение обратной матрицы A-1. Для этого сначала вычислим
определитель матрицы (например, по правилу треугольников):
A  (3)  (3)  3  2  (1)  5  1  (4) 1  1  (3)  5  2 1  3  (1)  (4)  (3) 
 27  10  4  15  6  12  34.
Теперь рассчитаем алгебраические дополнения элементов матрицы:
A11  (1)11
 3 1
4
A12  (1)12
A13  (1)13
A21  (1) 21
A22  (1) 22
A23  (1) 23
A31  (1)31
A32  (1)32
A33  (1)33
1 1
5
,
 (1  3  (1)  5)  8
3
,
1 3
 1  (4)  (3)  5  11
5 4
,
2
1
4
3
3
1
5
3
3
 (3)  3  (1)  (4)  13
3
 (2  3  1  (4))  10
,
 (3)  3  1  5  14
,
2
5 4
2
1
 3 1
3
1
1 1
3
2
1 3
 ((3)  (4)  2  5)  2
,
 2  (1)  1  (3)  1
,
 ((3)  (1)  1 1)  2
,
 (3)  (3)  2 1  7
.
1
  13  10

1 
A    8  14  2 
34 
7 
 11  2
Тогда обратная матрица
. Умножив ее на столбец
правых частей системы, получим:
1
1  9 
  13  10

  
1
X  A1  B    8  14  2     2  
34 
7    5 
 11  2
  13  9  (10)  (2)  1  (5) 
  102    3 
 1 
  
1 
   8  9  (14)  (2)  (2)  (5)     34     1.
34 
 34  68   2 
11

9

(

2
)

(

2
)

7

(

5
)



  
Следовательно, решение системы x1  3, x2  1, x3  2 .
Решив систему, полезно сделать проверку, подставив значения неизвестных в
уравнения системы:
 3  (3)  2  (1)  2  9

 3  3  (1)  2   2

 5  (3)  4  (1)  3  2   5

.
Так как все равенства выполняются, система решена верно.
б) Решим эту же систему по формулам Крамера. Определитель матрицы
системы уже был вычислен в пункте (а) данного примера:
3
 A 
2
1
1  3  1  34
5 4
3
.
Заменим 1-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем
получившийся определитель:
9
1   2
2
1
 3  1  81  10  8  15  12  36  102
5 4
3
.
Заменим 2-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем
получившийся определитель:
3
2 
9
1
1  2  1  18  45  5  10  27  15  34
5 5
3
.
Заменим 3-й столбец на столбец правых частей системы и рассчитаем
получившийся определитель:
3
3 
2
9
1  3  2  45  20  36  135  10  24  68
5 4 5
.
Тогда по формулам Крамера
x1 
1  102

 3

34
,
x2 
 2  34

 1

34
,
x3 
 3 68

2
 34
.
в) Решим эту же систему методом Гаусса. Данный метод основан на
использовании элементарных преобразований систем уравнений,
важнейшим из которых является то, что к любому уравнению системы
можно прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на
произвольное число. С помощью этих преобразований происходит
последовательное исключение неизвестных из уравнений (пометки сбоку
поясняют выполняемые действия):
 3x1  2 x2  x3  9

 x1  3x2  x3   2
 5 x  4 x  3x   5
1
2
3

 x1  3x2  x3   2 3 (-5)
+

  3x1  2 x2  x3  9
+
 5 x  4 x  3x   5
1
2
3


 x1  3x2  x3   2

   7 x2  2 x3  3

11x2  8 x3  5

 x1  3x2  x3   2

   7 x2  2 x3  3
11
+

34 x3  68 .
7

Поясним проделанные преобразования:
1) меняем местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы коэффициент перед x1 в
первом уравнении был равен единице; это облегчает подбор
множителей на следующем шаге;
2) исключаем x1 из 2-го и 3-го уравнений, для этого умножаем 1-е
уравнение на 3 и прибавляем его ко 2-му уравнению, затем умножаем
1-е уравнение на (-5) и прибавляем его к 3-му уравнению;
3) исключаем x2 из 3-го уравнения; т.к. множитель здесь получается
дробный, удобнее умножить 3-е уравнение на 7 и прибавить к нему 2-е
уравнение, умноженное на 11.
Теперь находим значения неизвестных из преобразованной системы:
 из 3-го уравнения сразу получаем x3  68 / 34  2 ;
 подставим это значение во 2-е уравнение:
 7 x2  2  2  3 , отсюда  7 x2  7 и x2  1 ;
 подставим найденные значения x2 и x3 в 1-е уравнение:
x1  3  (1)  2  2 , отсюда x1  3 .
Пример 5. Для векторов a = (4; -3; -2) и b = (1; 3; -6) найти: а) их длины; б)
скалярное произведение векторов; в) угол между векторами; г)
векторное произведение векторов; д) площадь параллелограмма,
построенного на векторах; е) вектор c  3a  5 b .
Теория: вектор; длина вектора; единичный вектор; орты осей координат;
координаты вектора; умножение вектора на число; сложение и
вычитание векторов; скалярное, векторное и смешанное
произведения векторов; угол между векторами; признаки
коллинеарности и перпендикулярности векторов.
Решение.
а) Найдем длины векторов:
a  4 2  (3) 2  (2) 2  29 ; b  12  32  (6) 2  46 .
б) Найдем скалярное произведение векторов:
a  b  4  1  (3)  3  (2)  (6)  4  9  12  7 .
в) Найдем угол между векторами:
cos 
ab
7

 0,192
ab
29  46
;
  arccos(0,192)  79 .
г) Найдем векторное произведение векторов
треугольников для расчета определителя):
i
j
(используем
правило
k
a  b  4  3  2  18i  2 j  12k  3k  24 j  6i  24i  22 j  15k  (24; 22; 15)
1
3 6
.
д) Найдем площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Эта
площадь численно равна длине вектора, найденного в пункте (г):
S  a  b  24 2  22 2  15 2  1285  35,8
(кв.ед.).
е) Найдем вектор c  3a  5 b :
 3a  (3)  4; (3)  (3); (3)  (2)   (12; 9; 6) ;
5b  5  1; 5  3; 5  (6)   (5; 15;  30) ;
c  3a  5b   12  5; 9  15; 6  (30)   (7; 24;  24) .
Пример 6. Треугольник ABC задан координатами своих вершин A(-3; 3),
B(4; 1), C(-1; -2). Требуется найти: а) длины его сторон; б) угол
при вершине B; в) уравнение стороны AC; г) уравнение медианы,
проведенной из вершины B; д) уравнение высоты, опущенной из
вершины B; е) уравнение прямой, проходящей через вершину B
параллельно стороне AC; ж) площадь треугольника.
Теория: система координат на плоскости; расстояние между двумя точками;
определение координат вектора по двум точкам; уравнение прямой,
проходящей через две точки; общее уравнение прямой; уравнение
прямой с угловым коэффициентом; угол между прямыми; условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Решение.
y
а) Найдем длины сторон как расстояние между двумя
заданными точками:
AB 
4  (3) 
AC 
(1)  (3) 2  (2)  32
BC 
(1)  42  (2)  12
2
 1  3  49  4  53
A
B
2
O
,
 4  25  29
 25  9  34
,
C
.
б) Найдем угол при вершине B как угол между векторами BA и BC (см.
Пример 5(в)). Выразим координаты векторов через координаты вершин:
BA  (3)  4; 3  1  (7; 2) , BC  (1)  4; (2)  1  (5;  3) .
cos Bˆ 
Тогда
BA  BC
(7)  (5)  2  (3)
29


 0,683
2
2
2
2
BA  BC
53

34
(7)  2  (5)  (3)
;
B̂  arccos( 0,683)  47 .
в) Запишем уравнение стороны AC как уравнение прямой, проходящей через
две точки:
y 3
x  (3)
y 3 x3


(2)  3 (1)  (3)   5
2  2( y  3)  5( x  3) 
 2 y  6  5 x  15 .
Окончательно, уравнение прямой AC в общем виде 5x  2 y  9  0 .
г) Получим уравнение медианы, проведенной из вершины B. Для этого
найдем координаты точки D, лежащей на середине стороны AC:
 (3)  (1) 3  (2) 
D
;
  D(2; 0,5)
2
2 

.
Уравнение медианы запишем как уравнение прямой, проходящей через
две точки B и D:
x
x4
y 1
x  4 y 1


(2)  4 0,5  1   6  0,5  x  4  12( y  1) 
 x  12 y  8  0 – уравнение медианы.
д) Получим уравнение высоты, проведенной из вершины B. Возьмем
уравнение прямой AC и найдем ее угловой коэффициент:
5
9
5
y


x

k


1
5x  2 y  9  0 
2
2 
2.
Так как искомая высота перпендикулярна прямой AC, то используем
условие перпендикулярности прямых, чтобы найти угловой коэффициент
высоты:
k2  
1
1
2


k1
5/ 2 5 .
y
2
xb
5
. Значение b
Это означает, что уравнение высоты имеет вид
найдем из того, что высота проходит через точку B(4; 1), следовательно,
координаты этой точки должны удовлетворять уравнению высоты:
2
8
3
1   4  b  b  1  
5
5
5.
Окончательно, уравнение высоты
y
2
3
x
5
5.
е) Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину B параллельно
стороне AC. В данном случае воспользуемся условием параллельности
прямых:
k 2  k1  
5
2.
5
y   xb
2
Тогда искомое уравнение имеет вид
. Значение b найдем
аналогично предыдущему пункту:
5
1    4  b  b  11
2
.
5
y   x  11
2
Окончательно, уравнение прямой
.
ж) Найдем площадь треугольника.
способами, например, по формуле:
Это
можно
сделать
различными
S
1
AB  BC  sin Bˆ
2
.
Пользуясь результатом пункта (б) и основным тригонометрическим
тождеством, найдем
sin Bˆ  1  cos 2 Bˆ  1  (0,683) 2  0,73
Тогда
S
.
1
53  34  0,73  15,5
2
(кв. ед.).
Пример 7. Пирамида ABCD задана координатами своих вершин A1(-1, 3, 3), B(4, -1, 0), C(2, 1, -2), D(3, 4, 5). Требуется найти: а) длину
ребра AB; б) уравнение прямой AB; в) угол между ребрами AB и
AD; г) уравнение плоскости ABC; д) угол между ребром AD и
гранью ABC; е) объем пирамиды.
Теория: система координат в пространстве; расстояние между двумя
точками; определение координат вектора по двум точкам;
уравнение прямой в пространстве; направляющий вектор прямой;
уравнение плоскости, проходящей через три точки; общее
уравнение плоскости; нормальный вектор плоскости; угол между
прямой и плоскостью; взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве.
Решение.
а) Найдем длину ребра как расстояние между двумя заданными точками A и
B:
AB 
4  (1) 2  (1)  32  0  (3) 2
 25  16  9  50  5 2
.
б) Запишем уравнение прямой AB как уравнение прямой, проходящей через
две заданные точки A и B:
канонические
x  (1)
y 3
z  (3)
x 1 y  3 z  3




4  (1) (1)  3 0  (3)  5
4
3 – уравнения прямой
в) Найдем угол между ребрами AB и AD как угол между векторами AB и AD
(см. Пример 5(в)). Выразим координаты векторов через координаты
вершин:
AB  4  (1); (1)  3; 0  (3)   (5;  4; 3) ,
AD  3  (1); 4  3; 5  (3)   (4; 1; 8) .
Тогда
cos 
AB  AD
5  4  (4)  1  3  8
40
 2

 0,628
AB  AD
50  81
5  (4) 2  32  4 2  12  82
;
  arccos(0,628)  51 .
г) Найдем уравнение плоскости ABC как уравнение плоскости, проходящей
через три заданные точки A, B и C:
x  (1)
y 3
z  (3)
x 1 y  3 z  3
4  (1) (1)  3
0  (3)  5
2  (1)
1 3
(2)  (3)
3
4
2
3
1
 ( x  1)  (4)  1 
 ( y  3)  3  3  5  (2)  ( z  3)  ( z  3)  (4)  3  ( y  3)  5  1  3  (2)  ( x  1) 
 4 x  4  9 y  27  10 z  30  12 z  36  5 y  15  6 x  6 
 2 x  4 y  2 z  4  2( x  2 y  z  2)  0 .
Окончательно, уравнение плоскости имеет вид x  2 y  z  2  0 .
д) Из полученного уравнения плоскости определим ее нормальный вектор
n  (1; 2; 1) . Так как вектор AD  (4; 1; 8) , найденный в пункте (в), является
направляющим вектором прямой AD, то по формуле угла между прямой и
плоскостью
sin  
n  AD
1 4  2 1  1 8
14
 2

 0,635
2
2
2
2
2
n  AD
6

81
1  2 1  4 1  8
;
  arcsin(0,635)  39 .
е) Объем пирамиды, построенной на трех векторах, равен модулю их
смешанного произведения. Вектора AB и AD были уже найдены в пункте
(в). Найдем вектор AC  2  (1); 1  3; (2)  (3)   (3;  2; 1) . Тогда
5 4
V  AB  AC  AD  3  2
4
Пример 8. Найти
lim
x 6
1
пределы
10  x  x  22
;
x6
3
1  80  16  9  24  96  5  28
8
(куб. ед.).
функций:
а)
x2  7x  6
;
x 6 2 x 2  9 x  18
lim
б)
sin 8 x
 5x  4 
 3x 3  2 x 2  5
lim
lim

lim
3
x  5 x  1
x0 tg 3 x
x


3

2
x
в)
; г)
; д)
2 x 1
.
Теория: предел функции; свойства пределов; бесконечно малые и
бесконечно большие функции; неопределенности и их раскрытие;
первый и второй замечательные пределы.
Решение.
x2  7x  6
lim 2
а) x6 2 x  9 x  18
Так как числитель и знаменатель при x  6 стремятся к нулю, имеем
0
неопределенность вида 0 . Разложим числитель и знаменатель на множители.
2
1) x  7 x  6  0
D  7 2  4  1  6  25  52
x1 
75
75
 6 x2 
1
2
2
,
Следовательно,
x 2  7 x  6  ( x  6)( x  1) .
2
2) 2 x  9 x  18  0
D  9 2  4  2  (18)  225  15 2
x1 
9  15
6
22
,
x2 
9  15
3

22
2
Следовательно,
3
2 x 2  9 x  18  2( x  6)( x  ) 
2
 ( x  6)(2 x  3) .
x2  7x  6
( x  6)( x  1)
x 1
6 1
1

lim

lim


x 6 2 x 2  9 x  18
x 6 ( x  6)( 2 x  3)
x 6 2 x  3
26  3 3.
Тогда
lim
б)
lim
x6
10  x  x  22
x6
0
Здесь также имеем неопределенность вида 0 , так как числитель и
знаменатель стремятся к нулю при x  6 . Избавимся от иррациональности
в числителе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение,
сопряженное знаменателю, т.е. на
 10  x 

x  22 :
10  x  x  22
( 10  x  x  22 )( 10  x  x  22 )
 lim

x6
x6
x6
( x  6)( 10  x  x  22 )
(10  x)  ( x  22)
 2 x  12
 lim
 lim

x6 ( x  6)( 10  x 
x  22 ) x6 ( x  6)( 10  x  x  22 )
lim
 2( x  6)
2
 lim

x6 ( x  6)( 10  x 
x  22 ) x6 10  x  x  22
2
2
1


 .
4
10  (6)   6  22 4  4
 lim
 3x 3  2 x 2  5
3  2x3
в) x
lim
Числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, поэтому здесь

имеет место неопределенность вида  . Разделим числитель и знаменатель на
x в наибольшей степени, т.е. на x3:
 3x 3  2 x 2  5
2 5
3  3
3
2
3
 3x  2 x  5
x
x x 
lim
 lim
 lim
3
3
x
x


x


3
3

2
x
3  2x
2
x3
x3
2 5
3 
   3 00   3

3
02
2
2

.
1 1 1
, 2, 3
Здесь использовано то, что функции x x x и т.д. являются бесконечно
малыми (т.е. стремятся к нулю) при x   .
sin 8 x
x0 tg 3 x
г)
lim
Внешний вид предела наводит на мысль воспользоваться первым замечательным пределом. Разделим числитель и знаменатель на x, затем используем
свойства пределов и представим тангенс в виде отношения синуса и
косинуса:
sin 8 x
sin 8 x
sin 8 x
sin 8 x
lim
lim
lim
sin 8 x
x0
x0
x 0
x
x
x
x
lim
 lim




x0 tg 3 x
x0 tg 3 x
tg 3x
sin 3x
sin 3x
1
lim
lim
lim
 lim
x 0
x0 x  cos 3 x
x 0
x 0 cos 3 x
x
x
x
Сведем получившиеся пределы к 1-му замечательному пределу. В верхнем
пределе домножим числитель и знаменатель на 8; внизу в первом пределе
домножим числитель и знаменатель на 3, а второй предел вычислим
непосредственно:
8 sin 8 x
sin 8 x
8 lim
8 1
8
x 0
x 0
8x
8x




3 sin 3x 1
sin 3x 1 3  1  1 3
lim

3 lim

x 0
x 0
3x
cos 0
3x 1
.
lim
2 x 1
 5x  4 
lim

x  5 x  1


д)
Имеем неопределенность вида 1, для раскрытия которой воспользуемся
вторым замечательным пределом. Преобразуем сперва выражение в скобках:
 5x  4 
lim

x 5 x  1


2 x 1
 5x  1  5 
 lim

x
 5x  1 
2 x 1
5 
 5x  1
 lim


x 5 x  1
5x  1 

2 x 1
5 

 lim1 

x
 5x  1 
2 x 1

5x  1
Теперь умножим степень на выражение 5 и, чтобы она не изменилась,
5
на обратное выражение 5 x  1 ; затем воспользуемся 2-м замечательным
пределом:
5 

 lim1 

x 
 5x  1 
5 x 1 5

( 2 x 1)
5 5 x 1
5 x 1


5
5


  lim1 
 
 x 5 x  1  


5( 2 x 1)
5 x 1
e
lim
x 
5 ( 2 x 1)
5 x 1
 e2
.
Предел в показателе степени рассчитан аналогично Примеру 8(в).
Пример 9. Найти производные следующих функций:
5 x  3x 4  2
y
6
sin 3x ; в) y  4 cos ln 2  5 x .
а) y  x  log 3 2 x ; б)
Теория: производная функции; смысл производной; производные основных
элементарных функций; производная суммы, произведения,
частного двух функций; производная сложной функции.
Решение.
6
а) y  x  log 3 2 x
Используем правила производной произведения и производной сложной
функции, а также табличные производные от степенной и логарифмической
функций:
y  ( x 6  log 3 2 x)  ( x 6 )  log 3 2 x  x 6  (log 3 2 x) 
 6 x 5  log 3 2 x  x 6 
1
1
 (2 x)  6 x 5  log 3 2 x  x 6 
2 
2 x  ln 3
2 x ln 3
x5
 6 x  log 3 2 x 
.
ln 3
5
5 x  3x 4  2
y
sin 3x
б)
Используем правила производной частного, производной суммы и
производной сложной функции, а также табличные производные от
степенной функции и синуса:

 5 x  3x 4  2  (5 x  3x 4  2)  sin 3x  (5 x  3x 4  2)  (sin 3x)
 
y  

sin 2 3x
 sin 3x 
(5  12 x 3 )  sin 3x  (5 x  3x 4  2)  cos 3x  3

.
sin 2 3x
в) y  4 cos ln 2  5 x
Преобразуем корень в степень и используем несколько раз правило
производной сложной функции, применяя его сначала к внешней, а затем к
вложенным функциям, а также табличные производные. Так как данный
пример достаточно сложен, будем пояснять его по действиям:

y  4 cos ln( 2  5 x)1/ 2  
находим производную косинуса и умножаем на производную его аргумента:

 4 sin ln( 2  5 x)1/ 2  ln( 2  5x)1/ 2  
находим производную логарифма и умножаем на производную его
аргумента:
 4 sin ln 2  5x 
1
(2  5x)1/ 2  
1/ 2
( 2  5 x)
находим производную степенной функции и умножаем на производную ее
аргумента:
 4 sin ln 2  5 x 
1
1
  (2  5 x) 1 / 2  (2  5 x) 
2  5x 2
находим последнюю производную и делаем несложные преобразования:
 4 sin ln 2  5 x 
1
1
1
10 sin ln 2  5 x
 
 (5) 
2  5x
2  5x 2 2  5x
.
x2
y 2
x  1 методами
Пример 10. Провести полное исследование функции
дифференциального исчисления и построить ее график.
Теория: функция; область определения функции; график функции; четные и
нечетные функции; условия убывания и возрастания функции;
экстремумы функции, критические точки, необходимое и
достаточное условия экстремума; выпуклость и вогнутость графика
функции, точки перегиба; асимптоты графика функции; общая
схема исследования функции и построения ее графика.
Решение.
Исследование проведем по схеме.
1. Найдем область определения функции.
2
Функция определена, если x  1  0 , т.е. всюду за исключением точек
x = 1 и x = –1. Следовательно, область определения функции
D( y)  (;  1)  (1; 1)  (1;  ) .
2. Исследуем функцию на четность и нечетность.
y ( x) 
Так как
( x) 2
x2

 y ( x)
( x) 2  1 x 2  1
, то функция четная.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
0
x2
y (0) 
0
0
2
0

1
x

1
Если x = 0, то
. Если же y = 0, то
, откуда x = 0.
Следовательно, точка (0; 0) – единственная точка пересечения графика с
осями координат.
4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции и ее экстремумы.
Найдем производную функции как производную частного:

 x 2  ( x 2 )  ( x 2  1)  x 2  ( x 2  1) 2 x  ( x 2  1)  x 2  2 x
y   2  


2
2
2
2
x

1
(
x

1
)
(
x

1
)


2 x3  2 x  2 x3
2x

 2
2
2
( x  1)
( x  1) 2 .
Найдем критические точки функции, т.е. точки, где производная равна
нулю или не существует:
y   0 , если 2x = 0  x = 0;
y  не существует, если x 2  1  0  x = 1, x = –1.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки производной на
получившихся интервалах; функция возрастает (убывает) на тех
интервалах, где производная положительна (отрицательна):
y (2)  4 / 9  0 ,
max
+
+
-1
–
0
–
x
y (0,5)  16 / 9  0 ,
1
y (2)  4 / 9  0 ,
y(0,5)  16 / 9  0 .
При переходе через точку x = 0 производная меняет знак с «+» на «–»,
следовательно, в этой точке максимум и ymax  y (0)  0 .
5. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика
функции.
Найдем вторую производную функции:



2x 
(2 x)  ( x 2  1) 2  2 x  ( x 2  1) 2 
 
y    2

2 
( x 2  1) 4
 ( x  1) 
2  ( x 2  1) 2  2 x  2( x 2  1)  2 x
2( x 2  1)  8 x 2 6 x 2  2



 2
.
( x 2  1) 4
( x 2  1)3
( x  1)3
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не
существует:
y   0 везде, т.к. 6 x 2  2  0 при любых значениях x;
y  не существует, если x 2  1  0  x = 1, x = –1.
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки второй
производной на интервалах; график функции выпуклый (вогнутый) на тех
интервалах, где вторая производная отрицательна (положительна):
+
–
-1
+
1
x
y (2)  26 / 27  0 ,
y(0)  2  0 ,
y (2)  26 / 27  0 .
6. Найдем асимптоты графика функции.
а) Точки x = 1 и x = –1 – точки разрыва графика функции, т.к. функция в них
не существует. Рассчитаем односторонние пределы функции в этих
точках:
x2
1
x2
1
lim 2
  
lim 2

 
x10 x  1
x10 x  1
0

0
;
;
x2
1
lim 2

 
x10 x  1
0
;
x2
1
lim 2
  
x10 x  1
0
.
Так как пределы функции в этих точках бесконечны, то прямые x = 1 и x =
–1 являются вертикальными асимптотами графика функции.
б) Найдем наклонные асимптоты, рассчитав пределы (см. Пример 8(в)):
k  lim
x
1
x
f ( x)
x
0
 lim 2
 lim

0
x x  1
x 
1 1 0
x
1 2
x
;
x2
1
1
b  lim  f ( x)  kx   lim 2
 lim

1
x
x x  1
x
1 1 0
1 2
x
.
Уравнение асимптоты имеет вид y  kx  b . Подставив значения k и b,
получаем, что прямая y = 1 – горизонтальная асимптота.
7. С учетом полученной выше информации, строим схематически график
функции:
y
1
-1
0
1
x
Пример 11. Найти неопределенные интегралы:
3 x 2  11x  15
dx
3 tg 3 x dx
 ( x  2) 2 ( x  3) dx
 9  (3  4 x) 2  cos2 x
а)
; б)
; в)
.
Теория: дифференциал; первообразная; неопределенный интеграл; свойства
неопределенного интеграла; таблица основных интегралов; метод
замены переменной; внесение выражения под дифференциал; метод
интегрирования по частям; интегрирование рациональных дробей.
Решение.
dx
2

а) 9  (3  4 x)
Данный интеграл является «почти табличным» и легко находится с помощью
замены переменной t  3  4 x . Отсюда
x
1
1
1
(3  t ) dx  (3  t )dt   dt
4
4
4 .
и
Тогда (в скобках пояснены выполняемые действия)
1

dt
 делаем 
 получили таблич - 
dx
1
dt
4







 9  (3  4 x) 2  замену   9  t 2 4  32  t 2  ный интеграл  
 возвращаемся к исход - 
1 1
t
1
3  4x
   arctg
   arctg  C  
C .
ной
переменной
4 3
3
12
3


Результат интегрирования можно проверить дифференцированием:

3  4x
1
 1

C   
  arctg
3
12
 12


 3  4x 

 
2 
 3  4x   3 
1 

 3 
1
9
1
 4
 



.


12 9  (3  4 x) 2  3  9  (3  4 x) 2
1
Полученное выражение совпадает с подынтегральной функцией,
следовательно, интеграл найден верно.
3 tg 3 x dx
 cos2 x
б)
Чтобы найти данный интеграл, заметим, что дифференциал
d (tg x)  (tg x)dx 
dx
cos2 x
является частью подынтегрального выражения. Тогда
3 tg 3 x dx
3
 cos2 x   3 tg x  d (tg x) .
Такая операция называется внесением выражения под дифференциал. Теперь
очевидна замена t  tg x , с помощью которой интеграл приводится к
табличному:
3
3
3
 3 tg x  d (tg x)   3t dt  3 t dt  3 
t4
C
4
.
Выполнив обратную замену, окончательно получим:
3 tg 3 x dx 3 4
 cos2 x  4 tg x  C .
Проверка производится аналогично предыдущему примеру.
3 x 2  11x  15
 ( x  2) 2 ( x  3) dx
в)
.
Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную
дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
3 x 2  11x  15
A
B
C



2
2
( x  2) ( x  3) x  2 ( x  2)
x  3,
где A, B и C – некие числа. Чтобы найти их, умножим обе части равенства на
2
знаменатель ( x  2) ( x  3) . Тогда
3x 2  11x  15  A( x  2)( x  3)  B( x  3)  C ( x  2) 2 .
Подставляя в это равенство различные значения x (удобнее всего подставлять
значения, при которых одна из скобок обращается в ноль), получаем:
если x = –2, то
5  5B  B  1 ;
если x = 3, то
75  25C  C  3 ;
если x = 0, то
15  6 A  3B  4C 
A  0.
Окончательно получаем, что
3 x 2  11x  15
1
3



( x  2) 2 ( x  3)
( x  2) 2 x  3 .
Таким образом, первоначальная задача свелась к интегрированию
элементарных дробей:
3x 2  11x  15
dx
3 dx
dx
2
dx





(
x

2
)
dx

3
 ( x  2) 2 ( x  3)
 ( x  2) 2  x  3 
 x 3 
( x  2) 1
1

 3 ln x  3  C 
 3 ln x  3  C .
1
x2

 (4 x  1) sin x dx
Пример 12. Вычислить определенный интеграл
.
Теория: определенный интеграл; свойства определенного интеграла;
формула Ньютона-Лейбница; методы замены переменной и
интегрирования по частям в определенном интеграле.
/ 2
Решение.
Используем метод интегрирования по частям. Обозначим u  4 x  1 ,
dv  sin x dx , тогда

 (4 x  1) sin x dx 
/ 2
 (4 x  1)  ( cos x)
u  4 x  1  du  (4 x  1)dx  4dx

dv  sin x dx  v   sin x dx   cos x

/ 2

  ( cos x)  4dx   (4 x  1) cos x
/ 2

/2
 4 sin x

/2



  
 (4  1) cos    4   1  cos  4 sin   4 sin 
2
2
 2 
 (4  1)  (1)  (2  1)  0  4  0  4 1  4  1  4  4  5 .
2
Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y   x  3x  5 ,
y  2x  3 .
Теория: определенный
интеграл;
формула
Ньютона-Лейбница;
геометрические приложения определенного интеграла (вычисление
площади плоской фигуры, длины кривой, объема тела вращения).
Решение.
Изобразим схематически данную фигуру. Первая линия
представляет собой параболу, направленную ветвями
вниз, а вторая – прямую линию.
-1
2
Найдем абсциссы точек пересечения линий, приравняв
2
правые части уравнений:  x  3x  5  2 x  3 . Получаем квадратное
2
уравнение x  x  2  0 с корнями x1  1 и x2  2 .
Площадь заштрихованной фигуры найдем с помощью определенного
x
интеграла, пределы которого равны –1 и 2, а подынтегральная функция равна
разности верхней и нижней линий:
S   ( x  3x  5)  (2 x  3)  dx   ( x 2  x  2)dx 
2
2
2
1
1
2
2
 23 2 2
  (1)3 (1) 2

 3

   x  x  2 x       2  2    

 2  (1)  
3
2
 3 2
 1  3 2
 

8
1 1
   2  4    2  4,5 (кв. ед.).
3
3 2
Пример 14. Найти точки экстремума функции двух переменных
z  12 xy  2 x 2 y  5 y 2  16 y  2 .
Теория: функция двух переменных; график функции двух переменных,
линии уровня; частные производные; критические точки;
необходимое и достаточное условия существования экстремума.
Решение.
Найдем частную производную функции по переменной x, считая y
постоянной величиной:
zx  12 y  x  2 y  ( x 2 )  12 y  4 xy ,
и частную производную по y, считая x постоянной величиной:
zy  12 x  y  2 x 2  y  5  ( y 2 )  16  y  12 x  2 x 2  10 y  16
.
Найдем критические точки функции, приравняв частные производные к
нулю:
 4 y  0

2
6 x  x  5 y  8  0
3  x  0
12 y  4 xy  0
4 y(3  x)  0



2
2
2
12 x  2 x  10 y  16  0  6 x  x  5 y  8  0  6 x  x  5 y  8  0

 y  0
 y  0
 2

x

6
x

8

0


 x  2, x  4
 x  3
 x  3


5y 1
y  0,2




 
.
Таким образом, имеем три критические точки: A(2; 0), B(4; 0), C(3; 0,2).
Чтобы проверить эти точки на наличие экстремума, найдем вторые частные
производные функции z:
z xx  (12 y  4 xy )x  4 y ,
zyy  (12 x  2 x 2  10 y  16)y  10
,
z xy  (12 y  4 xy )y  12  4 x
и составим определитель
  zxx  zyy  ( zxy ) 2  40 y  (12  4 x) 2
.
2
В точке A:   40  0  (12  4  2)  16  0 , следовательно, в этой точке
экстремума нет.
2


40

0

(
12

4

4
)
 16  0 , следовательно, здесь экстремум
В точке B:
также отсутствует.
2
В точке C:   40  0,2  (12  4  3)  8  0 , следовательно, в точке C
экстремум есть. Так как в ней z xx  4  0,2  0,8  0 , то это точка максимума.
Пример 15. Найти частное решение дифференциального
удовлетворяющее заданному начальному условию:
(1  x 2 ) y  2 y  0 , y (0)  1.
уравнения,
Теория: дифференциальное уравнение; порядок уравнения; общее и частные
решения; задача Коши; уравнения с разделяющимися переменными.
Решение.
Запишем производную в виде отношения дифференциалов:
(1  x 2 )
dy
 2y
dx
и разделим переменные, т.е. перенесем в левую часть уравнения все, что
связано с y, а в правую – все связанное с x:
dy
2dx

y 1  x2 .
Проинтегрируем получившееся уравнение:
dy
2dx

 y  1  x2
.
Оба интеграла – табличные. Получаем:
ln y  ln
1 x
 ln C
1 x
,
здесь произвольная постоянная для удобства записана в виде lnC. Проделав
«школьные» преобразования, получим общее решение уравнения:
 1 x 
1  x 
ln y  ln  C 

y  C

1 x  
1  x  .

Чтобы найти частное решение, подставим начальное условие y (0)  1:
1  0 
1  C

1  0  ,
откуда получаем, что C = 1. Следовательно, искомое решение уравнения
y
1 x
1 x .
Пример 16. Найти общее решение дифференциального уравнения
y  2 y  3 y  3x 2  2 x . Результат проверить подстановкой.
Теория: линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами; однородное и неоднородное
уравнения; характеристическое уравнение; общее решение
однородного
уравнения;
нахождение
частного
решения
неоднородного уравнения по виду правой части.
Решение.
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением 2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
а) Найдем сначала общее решение однородного уравнения (без правой
части):
y   2 y   3 y  0 .
Составим характеристическое уравнение:
k 2  2k  3  0 .
Решив его, находим корни: k1  1, k 2  3 . Так как корни действительные
и различные, общее решение однородного уравнения имеет вид:
y0  C1e  x  C2 e3 x ,
где C1 и C2 – произвольные постоянные.
б) Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения по
виду правой части. Так как правая часть представляет собой многочлен 2й степени, то частное решение ищем в виде такого же многочлена:
yч  Ax 2  Bx  C ,
где A, B и C – некие числа. Чтобы определить их, найдем производные:
y ч  2 Ax  B ; yч  2 A
и подставим их и частное решение в исходное уравнение:
2 A  2(2 Ax  B)  3( Ax 2  Bx  C )  3x 2  2 x .
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в левой части по степеням x,
получим:
 3 Ax 2  (4 A  3B) x  2 A  2B  3C  3x 2  2 x .
Это равенство верно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых
степенях x в левой и правой частях равны, т.е. имеем систему уравнений:
 3 A  3

 (4 A  3B)  2
2 A  2 B  3C  0


 A  1

4  3B  2
 2  2 B  3C  0

 A  1

B  2

 C  2 .
2
y


x
 2x  2 .
ч
Следовательно, частное решение
в) Общее решение исходного неоднородного уравнения равно сумме общего
решения однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения т.е. y  y0  y ч . Следовательно, искомое решение
y  C1e  x  C2 e3 x  x 2  2 x  2 .
Проверим это решение. Найдем производные:
y  C1e  x  3C2 e3 x  2 x  2 ; y  C1e  x  9C2 e3 x  2
и подставим в исходное уравнение:
C1e  x  9C2 e3 x  2  2(C1e  x  3C2 e3 x  2 x  2) 
 3(C1e  x  C2 e3 x  x 2  2 x  2)  3x 2  2 x.
Сгруппируем отдельно слагаемые с C1 и C2:
(C1e  x  2C1e  x  3C1e  x )  (9C2e3 x  6C2e3 x  3C2e3 x ) 
 3x 2  4 x  6 x  2  4  6  3x 2  2 x.
Выражения в скобках равны нулю. Следовательно,
3x 2  2 x  3x 2  2 x .
Получено верное равенство, следовательно, решение правильное.

nn

Пример 17. Исследовать сходимость числового ряда n1 n! .
Теория: числовой ряд; член ряда; геометрический ряд; гармонический ряд;
сходимость
ряда;
необходимый
признак
сходимости;
положительные ряды; признаки сравнения; признак Даламбера;
признак Коши; интегральный признак; знакочередующиеся ряды;
признак Лейбница.
Решение.
Воспользуемся для проверки сходимости ряда признаком Даламбера.
Выпишем общий член ряда an и последующий член an+1:
(n  1) n1
an1 
(n  1)! .
Рассчитаем предел
nn
an 
n! ;
an1
(n  1) n1 n!
(n  1)  (n  1) n  n!
(n  1) n
lim
 lim
 n  lim
 lim

n  a
n ( n  1)!
n
n 
n
(n  1)  n!n n
nn
n
 n 1
 1
 lim
 lim1    e  1.

n 
 n  n   n 
n
n
При расчете использовался второй замечательный предел. Так как получили,
a
lim n1  1
n a
n
что
, то по признаку Даламбера исследуемый ряд расходится.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ (3 курс)
1.01. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7
на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8
человек 3 человека учатся на «отлично».
1.02. В мешке смешаны нити трех цветов: 30% белых, 50% красных,
остальные зеленые. Определить вероятность того, что при последовательном
вытягивании наугад трех нитей окажется, что, все они одного цвета.
1.03.К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50
спелых. Покупатель выбирает два арбуза. Какова вероятность, что оба арбуза
слепые?
1.04. В соревнованиях по футболу участвуют 20 команд. Случайным
образом они делятся на две группы по 10 команд. Какова вероятность того,
что 2 наиболее сильные команды при этом окажутся в одной группе?
1.05. Из 15 строительных рабочих 10 - штукатуры, а 5 -маляры.
Наудачу отбирается бригада из 5 рабочих. Какова вероятность того, что
среди них будет 3 маляра и 2 штукатура?
1.06. Гардеробщица одновременно выдала номерки пяти лицам,
сдавшим в гардероб свои шляпы, и повесила их наугад. Найти вероятность
того, что она каждому выдаст его собственную шляпу.
1.07. На стеллаже 15 учебников, 5 из них в переплете. Наудачу
выбирают 3 учебника. Какова вероятность, что хотя бы один из них будет в
переплет те?
1.08. .На спортивных соревнованиях вероятность показать рекордный
результат для первого спортсмена равна 0,5; для второго-0,3; для третьего 0,1. Какова вероятность того, что: а) рекорд будет установлен одним
спортсменом; б) рекорд будет установлен хотя бы одним спортсменом; в)
рекорд не будет установлен.
1. 09. В первой урне 6 шаров черного и 4 белого цвета, во второй 3
черных и 7 белых шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар.
Какова вероятность того, что вынуты: а) 2 белых шара; б) хотя бы один шар
черный; в) белый и черный в любой последовательности.
1. 10. В двух группах обучается по 25 студентов. В первой группе
сессию на «отлично» сдали 7 человек, во второй 4 человека. Из каждой
группы наудачу вызывают по одному студенту. Какова вероятность того,
что: а) оба студента отличники; б) только один отличник; в) хота бы один отличник.
2.01. Программа экзамена состоит из 30 вопросов. Из двадцати
студентов группы 8 человек выучили все вопросы, 6 человек по 25 вопросов,
5 человек по 20 вопросов, а один человек 10 вопросов. Определить вероятность того, что случайно вызванный студент ответит на два вопроса билета.
2.02. Перед посевом 95% семян обрабатываются специальным
раствором. Всхожесть семян после обработки равна 99%, необработанных 85%. а) Какова вероятность того, что случайно взятое семя взойдет? б)
Случайно взятое семя взошло. Какова вероятность того, что оно выращено из
обработанного семени?
2.03. В магазин поступают телевизоры четыре заводов. Вероятность
того, что в течение года телевизор не будет иметь неисправность, равна: для
первого завода 0,9, для второго 0,8, для третьего 0,8 и для четвертого 0,99.
Случайно выбранный телевизор в течение года вышел из строя. Какова
вероятность того, что он изготовлен на первом заводе?
2.04. Покупатель с равной вероятностью посещает каждый из трех
магазинов. Вероятность того, что покупатель купит товар в первом магазине,
равна 0,4, во втором 0,6 и втретьем-0,8. Определить вероятность того, что покупатель купит товар в каком-то магазине. Покупатель купил товар, найти
вероятность того, что он купил его во втором магазине.
2.05. В первом ящике из 6 шаров 4 красных и 2 черных, во втором
ящике из 7 шаров 2 красных и 5 черных. Из первого ящика во второй,
переложили один шар, затем из второго в первый переложили один шар.
Найти вероятность того, что шар, извлеченный после этого из первого ящика
— черный.
2.06. Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе
выпускает 55% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия первым предприятием 0,1, вторым -0,15. а) Определить
вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется нестандартным, б)
Взятое изделие оказалось нестандартным. Какова вероятность, что оно
выпущено на втором предприятии.
2.07. Имеется три урны. В первой 3 белых и 2 черных шара, во второй и
третьей по 4 белых и 3' черных шара. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар взят из
третьей урны?
2.08. Семена для посева в хозяйство поступают из трех
семеноводческих хозяйств. Причем первое и второе хозяйства присылают по
40 % всех семян. Всхожесть семян из первого хозяйства равна 90%, второго 85%, третьего -95%. а) Определить вероятность того, что наудачу взятое семя
не взойдет, б) Наудачу взятое семя не взошло. Какова вероятность, что оно
получено от второго хозяйства?
2.09. Из 5 винтовок, из которых 3 снайперские и 2 обычные, наудачу
выбирается одна, и из нее производится выстрел. Найти вероятность
попадания, если вероятность попадания из снайперской винтовки - 0,95, а из
обычной 0,7.
2.10. Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во
второй 4 белых и 3 черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто
наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.
3.01. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти
вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдет: 1) три, 2) не менее трех,
3) не более четырех.
3.02. В семье четверо детей. Принимая рождение мальчика и девочки
равными, найти вероятность того, что мальчиков в семье: 1) три, 2) не менее
трех, 3) два.
3.03. Среди деталей, изготовленных рабочим, бывает в среднем 4%
брака. Какова вероятность того, что среди взятых 6 деталей будет
бракованных: 1) две детали, 2) не более двух, 3) четыре.
3.04. Вероятность выигрыша по одной облигации 3% займа - 0,25.
Найти вероятность выигрыша из 8 облигаций: 1) трех штук; 2) двух штук; 3)
не менее двух.
3.05. Что вероятнее выиграть у равносильного партнера: 1) три партии
из четырех или пять партий из восьми; 2) не менее трех партий из четырех
или не менее пяти партий из восьми?
3.06.При массовом производстве полупроводниковых диодов
вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что из
восьми взятых диодов будет бракованных: 1) два; 2) не менее двух; 3) не
более двух.
3.07. Найти вероятность того, что из шести выстрелов по мишени
попаданий будет: 1) пять; 2) не менее пяти; 3) не более пяти, если в среднем
поражение мишени составляет 80%.
3.08. Вероятность сдать экзамен для каждого из шести студентов равна
0,8. Найти вероятность того, что сдадут экзамен: 1) пять студентов; 2) не ме-/
нее пяти; 3) не более пяти.
3.09. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того,
что из девяти семян взойдет: 1) семь; 2) не более семи; 3) более семи.
3.10.Оптовая база обслуживает шесть магазинов. Вероятность заявки
на данный день от каждого магазина равна 0,6. Найти вероятность того, что в
данный день будет: 1) пять заявок; 2) не менее пяти; 3) не более пяти.
4.01. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти
вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей будет 10 бракованных.
4.02. Аппаратура содержит 2000 радиоламп. Вероятность отказа для
каждой из них равна 0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одной радиолампы?
4.03. Вероятность отклонения от стандарта при штамповке клем равна
0,02. Найти вероятность наличия в партии из 200 клем от 70 до 80 клем не соответствующих стандарту.
4.04. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых
испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится не менее
1470 раз.
4.05. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение минуты равна 0,004. Найти вероятность
того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на шести веретенах.
4.06. Вероятность появления события в каждом из независимых
испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие
появится не менее 70 раз и не более 80 раз.
4.07. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых
колец составляет 30%. Найти вероятность того, что из 800 заготовок, число
брака заключено между 225 и 250.
4.08. Аппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа
одного элемента за время t равна 0,002 и не зависит от работы других
элементов. Какова вероятность отказа не менее двух элементов?
4.09. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие
появится не менее 104 раз, если вероятность его появления в каждом
испытании равна 0,5.
4.10. Найти вероятность одновременной остановки 30 машин го 100
работающих, если вероятность остановки для каждой равна 0,2.
5.01. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично»
наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - числа работ, оцененных на «отлично» среди извлеченных. Найти числовые характеристики св. X. Построить функцию
распределения.
5.02. С вероятностью попадания при одном выстреле 0,9 охотник
стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4-х
выстрелов. Найти закон распределения дискретной случайной величины X –
числа промахов. Найти числовые характеристики с.в. X. Построить функцию
распределения.
5.03. Бросают три монеты- Найти закон распределения дискретной
случайной величины X - число выпавших "решек". Найти числовые
характеристики св. X. Построить функцию распределения.
5.04. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность
попадания для первого стрелка при одном выстреле 0.5, для второго 0,4. Случайная величина X - число попаданий в мишень. Построить ряд распределения, найти числовые характеристики, построить функцию распределения
св. X.
5.05. Из партии в 20 изделий, среди которых имеются 4 бракованных,
выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить
ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся
в выборке. Найти числовые характеристики св. X. Построить функцию
распределения.
5.06. Три стрелка независимо друг от друга сделали по одному
выстрелу по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,9,
для второго - 0,8, для третьего - 0,7. Найти закон распределения величины X числа попадания в мишень. Найти числовые характеристики св. X. Построить
функцию распределения.
5.07. В урне 5 белых и 20 чёрных шаров. Вынули 3 шара. Случайная
величина X - число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения,
найти числовые характеристики, построить функцию распределения св. X.
5.08. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красных. Из этой коробки
наудачу извлекается 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины X равной числу красных карандашей в выборке. Найти числовые
характеристики св. X. Построить функцию распределения.
5.09. Производится три независимых испытания, в каждом из которых
вероятность появления события А равна 0,4. Составить закон распределения
дискретной случайной величины X - числа появлений события А в указанных
испытаниях. Найти числовые характеристики св. X. Построить функцию
распределения.
5.10. Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину
при четырех бросках, если вероятность попадания равна 0,7. Найти числовые
характеристики св. X. Построить функцию распределения.
6.01. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(x); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
с.в. X попадет ровно три раза в интервал (0;2). Построить графики функций
f(x), F(x).
6.02. Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
с.в. X попадет ровно два раза в интервал (0,5;1,5). Построить графики
функций f(x), F(х).
6.03.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
0,
x≤2, x>6
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях с.в.
X попадет ровно два раза в интервал (4;7). Построить графики функций f(x),
F(х).
6.04.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
с.в. X попадет ровно три раза в интервал (0;4). Построить графики функций
f(x), F(х).
6.05.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
с.в. X попадет ровно два раза в интервал (0;2). Построить графики функций
f(x), F(х).
6.06.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
0, x  0, x  2


3
f(x)=  A  (4 x  x ),0  x  2
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях с.в.
X попадет ровно два раза в интервал (-1;1). Построить графики функций f(x),
F(х).
6.07.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
 A  x, x  A

0, x  A
f(x)= 
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях
с.в. X попадет ровно два раза в интервал (-1/3A;5/4A). Построить графики
функций f(x), F(х).
6.08.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в трех независимых испытаниях с.в.
X попадет ровно два раза в интервал (-1;1). Построить графики функций f(x),
F(х).
6.09.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
0, x  0, x  2


2
f(x)=  A  (4 x  x ),0  x  2
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в двух независимых испытаниях с.в.
X попадет не меньше одного раза в интервал (-1/3;1/2). Построить графики
функций f(x), F(х).
6.10.Случайная величина X задана плотностью вероятностей:
0, x  1, x  4
 A

,1  x  4
 x
f(x)=
Определить: а) параметр А; б) функцию распределения F(х); в) Мо, Ме,
МХ, DХ, σ(Х); г) вероятность того, что в 3 независимых испытаниях с.в. X
попадет 1 раз в интервал (3;5). Построить графики функций f(x), F(х).
7.01.Срок службы прибора представляет собой случайную величину,
подчиненную закону нормального распределения со средним сроком службы
в 10 лет и средним квадратическим отклонением 1,5 года. Определить вероятность того, что прибор прослужит: 1) до 15 лет; 2) от 8 до 18 лет; 3)
свыше 16 лет.
7.02.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X,
которая распределена нормально с проектной длиной 75 мм. Фактически
длина изготовленных деталей не менее 60 мм и не более 90 мм. Найти
вероятность того, что длина X наудачу взятой детали: 1) больше 80 мм; 2) менее 65 мм.
7.03.Ошибка при измерении размера обуви подчинена закону
нормального распределения со средним квадратическим отклонением 0,1 см.
Определить вероятность того, что ошибка измерения не превысит по
абсолютной величине 0,2 см.
7.04. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если
отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной
величине меньше 0,5 мм. Найти, сколько в среднем будет годных шариков
среди 100 изготовленных, если проектный размер 2 см, допуск σ =0,4 мм.
7.05. Распределение по весу расфасованного на автомате сахара
подчинено закону нормального распределения, где средний вес 1000 г и
допуск σ =1,2 г. Определить вероятность того, что: 1) вес наудачу взятого
пакета будет не меньше 997; 2) вес наудачу взятого пакета отклоняется от
стандарта не боле, чем на 2 г.
7.06. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их
диаметр X. Проектный диаметр равен 10 мм и допуск σ =0,1 мм. В каком
интервале вероятнее всего будут заключены диаметры изготовленных шариков?
7.07. Автоматически изготовленные детали по длине распределены
нормально и расположены в интервале от 29,7 см до 30,3 см. Какой длины
проектировалась деталь и с каким допуском?
7.08. Распределение заводов по проценту выполнения плана подчинено
закону нормального распределения со средним планом 103,5% и средним
квадратическим отклонением 1,2%. Какая часть заводов не выполняет план?
7.09.Построить кривую Гаусса для случайной величины X,
подчиненной закону нормального распределения, если ее возможные
значения с вероятностью 0,9973 заключены в интервале от 5 до 17.
7.10. Случайная величина X подчинена нормальному закону
распределения с математическим ожиданием m=50. Определить дисперсию
с.в. X, если известно, что вероятность принятия случайной величиной
значения в интервале (50; 60) равна 0,3413.
8. Имеются данные о продаже товаров в системе спорткультторга по
кварталам за 5 лет в тыс. у.е. рассчитать гарантийный запас товара (в тыс.
у.е.) на квартал с указанной надежностью / и проанализировать плановые
товарные запасы на квартал.
396
438
398
412
414
422
436
418
443
474
450
418
412
480
478
519
429
437
391
368
8.01 .Данные о продаже швейных товаров:
γ = 0,96, план 460 тыс. у.е.
1266
1156
1256
651
1116
1084
1054
1452
1197
790
820
616
769
1014
1087
900
895
957
1141
1163
8.02.Данные о продаже радиотоваров:
γ = 0,95, план 898 тыс. у.е.
254
229
201
210
215
248
260
196
194
254
280
273
183
251
255
286
334
279
293
271
8.03. Данные о продаже кожаной обуви
γ = 0,97, план 238 тыс. у.е.
802
684
307
651
233
256
638
587
261
256
557
532
261
278
587
247
531
474
398
454
381
339
244
294
246
343
234
251
8.04.Данные о продаже трикотажных изделий:
γ = 0,97, план 457 тыс. у.е.
209
238
122
280
233
230
253
137
162
241
223
177
8.05.Данные о продаже канцтоваров:
γ =0,96, план 2060 тыс. у.е.
γ = 0,95, план 1087 тыс. у.е.
8
7127
1134
5138
6134
0139
5140
3130
1134
117
4123
2850
6138
9126
112
2115
549
635
1977
103
9110
8.06.Данные о продаже спорттоваров:
767
689
712
776
691
501
416
587
377
412
765
583
486
370
413
439
441
580
515
402
8.07.Данные о продаже велотоваров:
у = 0,96, план 497 тыс. у.е.
334
299
232
236
350
328
403
380
222
205
238
235
331
300
534
460
300
330
299
313
8.08.Данные о продаже одежды и трикотажного белья:
γ = 0,95, план 320 тыс. у.е.
1,6
1,4
4,95
5,05
5,7
5,3
26,1
23,9
17,8
16,2
22,8
21,2
4,9
5,1
3,1
3,9
1,6
1,3
3,1
2,9
5
5,2
7
6
6
5
8.09.Данные о продаже парфюмерии:
γ = 0,97, план 3,75 тыс. у.е.
24,1
23,9
32,7
31,3
38,5
41,5
34
39
40
47
65
61
40
35,2
8.10.Данные о продаже туристических товаров:
у - 0,95, план 36,24 тыс. у.е.
9.01. Зависимость между влажностью муки в % и выходом хлеба в
граммах из 1 кг муки задана таблицей, где X - влажность муки (%), Y выпечка хлеба (в г из 1 кг муки):
X
13,5 13,6 13,7 13,8 13,9 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4
Y
1362 1368 1357 1363 1360 1346 1354 1347 1359 1348
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии y x .
9.02.Уровень расходов по зарплате в % за год по одному магазину в
зависимости от выполнения плана товарооборота в % дан в таблице, где X —
процент выполнения плана товарооборота, Y - уровень расходов по зарплате
(в % за месяц):
X
101 98
104 105 98
85
97
103 103 101 106 102
Y
6,61 6,73 6,59 6,55 6,71 6,75 6,74 6,52 6,60 6,61 6,55 6,58
Определить тесноту связи между X и V и составить уравнение
регрессии y x .
9.03.Зависимость между товарными запасами Y (в днях оборота) и
товарооборотом (в тыс. у.е.) задана в таблице:
X
30
50
70
90
125 175 230 250 300 400
Y
122 106 92
98
94
90
85
82
81
78
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии y x .
9.04.Зависимость уровня издержек обращения Y (в %) и времени
обращения товара X (в днях) в магазине за год отражена в таблице:
X
45 47,4 48,2 48
36
52
32
60
55
40
42
35
Y
6,48 6,43 6,61 6,52 6,31 6,65 6,25 6,87 6,70 6,38 6,42 6,28
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии y x .
9.05. 3ависимость среднемесячной выработки продукции на одного
рабочего Y (тыс. у.е.) и стоимостью основных средств производства X (тыс.
у.е.) по данным 20 однотипных предприятий приведена в таблице:
X 9,9 10 10 10 10 10,1 10,1 10,1 10,1 10,2 10,2 10,2 10,2 10,3 10,4 10,4
Y 0,8 0,8 0,8 0,9 1,2 0,9 0,9 1,Ю0 1,0 0,9 1,0 1,0 1,1 1,0 1,1 1,1
Определить тесноту связи между X и V и составить уравнение
регрессии y x .
9.06.Средняя урожайность ячменя Y (центнеры) на равных участках, и
количество внесенных удобрений X (кг) даны в таблице:
X
21
44
25
37
63
24
27
36
32
40
36
Y
31,5 36
31
34
43
35
32
39
37 34,5 40
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии y x .
9.07. Выход продукции растениеводства Y (в тыс. у.е.) на одного
работника хозяйства в зависимости от основных средств производства X (в
тыс. у.е.) указан в таблице:
X
29
33
38
39
42
41
46
48
50
52
54
55
Y
7
10
12
16
20
19
25
27
29
29
33
36
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии y x .
9.08. Найти зависимость издержек обращения Y (тыс. у.е.) от
товарооборота X (тыс. у.е.) в виде уравнения регрессии y x , если данные по
полугодиям за пять лет выражены в таблице:
X
Y
390 816 198 465 642 244 405 192 560 488
28.2 45,7 15,9 38,4 44,7 13,2 29,7 8,3 32,9 25,3
Определить тесноту связи между X и Y.
9.09. Валовая продукция сельского хозяйства совхозов Y (тыс. у.е.) в
зависимости от мощности тракторов X (л. сил) дана в таблице:
X
4,15 5,5 6,07 7,45 7,85 8,11 9,87 11,3 12,4 13,2
Y
1,39 1,69 1,96 2,13 2,46 2,31 2,65 2,98 3,23 3,99
Определить тесноту связи между X и Y и составить уравнение
регрессии
9.10. 3ависимость издержек обращения Y (тыс. у.е.) ресторанов за год
приведена в таблице:
X
161 199 157 156 139 196 135 146 199 191 145 226
Y
18
24
32
31
16
18
27
25
34
23
26
56
Определить тесноту связи между X и У и составить уравнение
регрессии y x .
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
ФИЛИАЛ В Г. НАХОДКЕ
КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
МАТЕМАТИКА
080105.65 Финансы и кредит
(Финансовый менеджмент)
Очная/заочная форма подготовки
г. Находка
2012
Вариант 1
1. Уравнение касательной к графику функции y=x+1/x в точке (1;2) имеет вид ...
a) у - 1 = 0
b) х - у + 1 = 0
c) у - 2 = 0
d) у = 3
e) х - у - 1 = 0
2. При разложении функции у = хе x в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 первыми
тремя отличными от нуля членами ряда будут ...
x2 x3
1

 ...
1
!
2
!
a)
x2 x3
x

 ...
1! 2 !
b)
x2 x3
1

 ...
1
!
2
!
c)
x
x2 x3
  ...
1! 2 !
x
x3 x5

 ...
1! 2 !
d)
e)
3. Частное решение дифференциального уравнения (1 + ех) y' = уех при у(0) = 1 имеет вид
...
a) 1 + ex
b) 2(1 + еx
c) 2(1 + еx )
1
 1  e x 
d) 2
1

1 ex 
e) 2
4. График какой функции на всем отрезке [а,b] одновременно удовлетворяет трем
условиям: y > 0; y' > 0; y'' < 0?
a) только III
b) только I и IV
c) все графики
d) только II и III
e) только II
5. Из рядов

a)

n 1
4n  1
9n
n2  1
 3
b) n 1 3n  1

2n

c) n 1 n !

сходятся ...
a) только b и c
b) только b
c) ни один не сходится
d) только a и b
e) только c
6. Уравнение линии на рисунке имеет вид ...
a) x = -2y
b) x + y = -2
c) y = -2x - 2
d) y2 = -x + 2
e) 2x - y + 2 = 0
 3 1


7. Если А =  2 0 и B =
5 4


a) 4 3
1 2
0 3 

 , то B – 2A = …
  5 0


b)  4 3
 4 4


c) 3 5
d) 1
e) -19
8. Интеграл
 e
1
e x dx
 1 равен ...
3
x
a) 4e  1
x
2
C
b) e
c)
3
x
C
 1
2
 3 ln e x  1  C
1
x
d) 2e  1
1
2
x
e) 2e  1
2
C
C
9. Если U = ln(3x - y2 + 2z3), то значение U'z в точке М(1;0;1) равно ...
a) 3
b) 1/3
c) 6/5
d) 5
e) 1/5
10. Издержки z полиграфического предприятия на выпуск одного журнала определяются
формулой z = 100 - x2y + x + y, где х - расходы на оплату рабочей силы, тыс. руб., (x > 0),
у - затраты на материалы, тыс. руб., (y > 0). При каких значениях х и у издержки
производства будут минимальными, если затраты на один журнал составляют 9 тыс. руб.
a) х = 5.5; у = 3.5
b) х = 3; у = 6
c) х = 6; у = 3
d) х = 4; у = 5
e) х = 4.5; у = 4.5
11. Из уравнений:
а) 2х - 3у + z + 1 = 0
б) х + 2у - 6 = 0
в) х + 3у = 0
выберите те , которые определяют плоскость, параллельную оси OZ.
a) только а)
b) только б) и в)
c) только в)
d) ни одно
e) только б)
12. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом
...
2
 3  x   x  3 dx
2
a)
3
2
b)
2 3  x 2  x dx
0
0
c)
2  3  x 2 dx
3
0
d)


2  3  x 2   x  3 dx
3
2
 x  3  3  x  dx
2
e)
3
13. Уравнение 2х2 + 2у2 + х = 0 определяет на плоскости ...
a) гиперболу
b) эллипс
c) окружность
d) прямую
e) параболу
1 0 4 3
2 3 5 1
1 0 2 0
14. Определитель 3 0 5 0 равен...
a) -2
b) -9
c) 0
d) 5
e) 1
15. Функция y = Log3 x отображает множество ( 0;27] на множество ...
a)  ; 9
b)  ; 3
c) 3;  
d) (0;3]
e) ( 0; 9 ]




a
a

2
i

6
j

3
k
16. Если
, то
...
a) 11
b) 11
c) 23
d) 7
e) -1
17. Общим решением дифференциального уравнения
a) С1x3 + C2 x +1
b) x 4 /4+С1x+ C2
c) С1x3 + C2
d) 3x4+1
e) С1x4 + C2
yn  3
y
0
x
является ...
2x 2  2
2
18. Предел x  1 3x  9 x  6 равен ...
a) 2/3
b) 4
c) 4/3
d) -4/3
e) -4
lim
Вариант 2
1. Из плоскостей:
а) 3х - 2у + 4 = 0
б) y + z + 1 = 0
в) x - 3у + z = 0
выберите те , которые параллельны оси OХ.
a) только б
b) только а и в
c) ни одна
d) только в
e) только а
2 x 5 y  z 2 
2. Если U  e
, то значение U'у в точке М(0;-1;1) равно ...
6
a) 5е
b) е6
c) -е6
d) е
e) -5е6
3. Координаты фокусов эллипса 25х2 + 9у2 = 900 равны ...
a) F1(0;-8); F2(0;8)
b) F1(4;0); F2(-4;0)
c) F1(0;4); F2(0;-4)
d) F1(-8;0); F2(8;0)
e) F1(0;-2); F2(2;0)





a 
a

12

i

4

j

6

k
4. Если
, то
...
a) 124
b) 22
c) 10
d) -14
e) 14
5. График какой функции на всем отрезке [а,b] одновременно удовлетворяет трем
условиям y > 0; y' < 0; y'' < 0?
a) только I и III
b) только III
c) все графики
d) только II
e) только II и IV
1
2  x в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 первыми
6. При разложении функции
тремя отличными от нуля членами ряда будут ...
x x2 x3
 2  3  ...
2
a) 2 2
y
x x2 x3
 2  3  ...
2
b) 2 2
1 x
x2
 2  3
2
c) 2 2
1 x x2
 2  3  ...
2
d) 2 2
1 x x2
  2  ...
e) 2 2 2
7. Общим решением дифференциального уравнения yy'' - 2(y')2 = 0 является ...
C1
y
x  C1
a)
b) y = 0
y
1
 C2
C1 x  1
y
C1
2
x  C2
y
1
C1 x  C 2
c)
d)
e)
3x 2  12
2
8. Предел x  2 4 x  4 x  8 равен ...
a) 
b) 0
c) 3
d) 1
e) -1
lim
9. Уравнение линии на рисунке имеет вид ...
a) 2x - y + 2 = 0
b) 2x - у - 2 = 0
c) у = 2х + 2
d) y = -2x
e) y = x + 1
10. Из рядов

1

3
a) n 2 n ln n ;
5 n 1

b) n  2 n ! ;

1

c) n  2 n  1  n
сходятся ...
a) только a и b

b) только b
c) только а
d) сходятся все
e) только b и c
11. Уравнение касательной к графику функции
a) х - 2у - 2 = 0
b) х + 2у + 2 = 0
c) х + 2у - 2 = 0
d) х + 2у - 3 = 0
e) х + 2у = 0
x
y
1
x  1 в точке (1;0.5) имеет вид ...
2
xdx
4
 1 равен ...
12. Интеграл
1
ln e x  1  C
a) 2
1 x2 1
ln
C
2 x2 1
b)
1
c) arctg x 2  C
2
d) (arctg x)2 + C
e) arctg x2 + C
2
13. Функция y  x  x отображает множество (0;1) на множество ...
a)
b) (0;1/2]
c) (-1/2;1/2)
d) (0;1/2)
e) {0}
14. Частное решение дифференциального уравнения y' = (2y + 1) ctg x при у(  /4) = 1/2
имеет вид ...
1
sin 2 x 
2
a)
b) sin2x
c) 2sin2x – 0,5
d) sin2x – 1
e) sin2x + 1
1 2 1 3
0 4 2 0
3 1 0 0
15. Определитель 0 2 1 0 равен...
a) 2
b) 0
c) 4
d) 3
e) 1
1 2
 3 0
0 3 


 и B =  1 2 , то 2А – В =…
16. Если А = 
1 2


a) 3 4
4

b) 4
c) 24
d) 0
5

e)  1
 1
0 
4
4
17. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом
...
4
a)
 x  2
2
dx
2
2
0

0
 x  2
2
0
d)
 x  2 dx   4  x  dx
2
b)
c)
4
0
2
4
dx   4  x  dx
0
2
4
 x  2 dx   4  x  dx
2
0
4
e)
 4  x  dx
2
18. Прибыль П предприятия от выпуска единицы продукции определяется формулой П =
0,5ху - х - у, где х - затраты капитала, тыс. руб., (х > 0), у - затраты труда, тыс. руб., (y > 0).
При каких значениях х и у прибыль предприятия максимальна, а суммарные затраты на
единицу продукции не превышают 15 тыс. руб.
a) х = 5; у = 10
b) х = 7.5; у = 7.5
c) х = 2; у = 2
d) х = 7; у = 8
e) х = 8; у = 8
Вариант 3
1. Общим решением дифференциального уравнения
a) ln|x| + C1x2 + C2x
1
 C1 x  C 2
b) x
1
  C1 x  C 2
c) x
d) ln|x| + C1x + C2
1 C
 2  1  C2
x
e) x
y  
2
x 3 является ...
2. Угловой коэффициент "к" и величина отрезка "b", отсекаемого прямой х + 2 у + 6 = 0 на
оси ОУ равны:
a) b = 3; k = 0.5
b) b = 3; k = 2
c) b = 6; k = 2
d) b = -3; k = -0.5
e) b = 6; k = 0.5
3x 2  9 x  6
2
3. Предел x  1 2 x  2 равен ...
a) 1/4
b) -1/4
c) 3/2
d) -3/4
e) 3/4
lim
4. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом
...
0
a)


2  1  x   x 2  5 dx
3
 1  x  x
2
b)


2 x 2  5  1  x  dx
0
 1  x  x
2
d)

 5 dx
3
2
c)
2
3
2

 5 dx
 x
2
e)
2


 5  x  1 dx
3
cos xdx
2
x  1 равен ...
5. Интеграл
a) arctg(sin x) + C
b) ln|sin2 x+ 1| + C
1
C
2


sin
x

1
c)
 sin
d) (sin2x + 1) + C
e) -arctgx + C
6. При разложении функции у = е2x + (x – 2)2 в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0
первыми тремя отличными от нуля членами ряда будут ...
6 2
5  2x 
x
2
!
a)
5  22 x 
b)
5  2x 
c)
6 2
x  ...
2!
8 2
x  ...
2!
3  22 x 
24 2
x  ...
2!
3  2 2 x 
24 2
x  ...
2!
d)
e)
7. Какое из данных уравнений определяет плоскость:
а) х + 2 у - z = 0;
б) у2 = 4х – 30;
в) 2 х + 3 у + z = 0
a) ни одно
b) только а) и в)
c) только в)
d) все
e) только а)
8. Из рядов
n
 7n  1 



a) n  2  n  1  ;

n3
 n
b) n 1 3 ;


1
 n  ln n 
c) n 1
сходятся ...
a) ни один не сходится
b) только b
c) только c
d) только a и c
e) только b и c
9. Если U = ln(x2 – y + 2z), то значение U'z в точке М(1;2;2) равно ...
a) 0
b) -1/3
c) -2
d) 3/2
e) 2/3
10. Уравнение касательной к графику функции
a) х + у - 1 = 0
b) х - у + 1 = 0
c) х + у + 1 = 0
d) у - 1 = 0
e) у + 1 = 0
y
1
x  1 в точке (0;1) имеет вид ...
3
11. Частное решение дифференциального уравнения (1 + x2)y' = 2xу при у(0) = 1 имеет вид
...
a) 2x
b) x2
c) x2 + 1
d) 2x2 + 3
e) x3 - 1
2 0 
 1 2
 3  2


 и В =  2 1  , то A + 2B = ...
12. Если А = 
7 0 


a) 0 4
0 4


b) 7 0
c) 0
1 2 


d) 5 1
e) -28
1 0 0 3
3 2 1 4
4 1 0 2
13. Определитель 3 0 0 1 равен...
a) 0
b) 1
c) 2
d) 8
e) 6
14. График какой функции на всем отрезке [а,b] одновременно удовлетворяет трем
условиям y > 0; y' < 0; y'' > 0?
a) только II
b) только I и III
c) все графики
d) только III
e) только II и III
15. Функция y = x2 - 4 отображает множество (-1;3] на множество ...
a) (-5;5]
b) (-3;5]
c) (-3;5)
d) [-4;5]
e) (-4;5]
16. Прибыль П автомобильного завода от производства одного автомобиля определяется
формулой П = 0,25 ху - х - у - 2, где х - затраты на материалы, млн. руб., (х >0), у - затраты
на оплату рабочей силы, млн. руб., (у >0), 2 млн. руб. - постоянные затраты. Значения х и
у, при которых прибыль завода максимальна, а суммарные затраты на один автомобиль не
превышают 27 млн. руб., равны ...
a) х = 11,5; у = 13,5
b) х = 12; у = 13
c) х = 4; у = 4
d) х = 10; у = 15
e) х = 12,5; у = 12,5





a 
a


3
i

6
j

2
k
17. Если
, то
...
a) 11
b) -7
c) 7
d) 1
e) 11
18. Уравнение х2 + у2 - 2 х - 3 = 0 определяет на плоскости ...
a) эллипс
b) параболу
c) гиперболу
d) прямую
e) окружность
Вариант 4
1. Угловой коэффициент "к" и величина отрезка "b", отсекаемого прямой 3х + 2y - 6 = 0 на
оси ординат равны...
a) b = 4; k = 3
b) b = -4; k = 2
c) b = 4/3; k = 2/3
d) b = -4; k = 3
e) b = 3; k = -1.5


 ;0;0 
 равно ...
2. Если U = sin(x + 2y2 - z), то значение U'z в точке М  2
1

a) 2
2
b) 3
c) 1
2
d) 2
e) 0
3x 2  3x  18
2
3. Предел x  2 2 x  8
равен ...
15

a) 8
5
b) 8
15
c) 4
15
d) 8
5
e) 4
lim
4. Функция y = ех + 1 отображает множество (;0] на множество ...
a) (;2]
b) (;1)
c) (1;2]
d) (0;2]
e) [1;2]





a  ...
5. Если a  10  i  2  j  11  k , то
a) 2
b) 23
c) 23
d) -15
e) 15
6. Из рядов
7n2  5n
 2
a) n 1 9n  n

n!

n
b) n 1 100


c)
1
n  1 сходятся ...
a) только c
b) ни один не сходится
c) только b и c
d) только b
e) только a
n
n 1
7. График какой функции на всем отрезке [а,b] одновременно удовлетворяет трем
условиям y < 0'; y'< 0; y'' > 0?
a) только I и II
b) только IV
c) только II
d) только I
e) только II и III
8. При разложении функции y = 1 - 2 sin2 x в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0
первыми тремя отличными от нуля членами ряда будут ...
x x3
1    ...
1! 3!
a)
1
b)
22 2 24 4
 x   x  ...
2
4!
x2 x4
1    ...
2! 4!
c)
1 x x2
 2  3  ...
2
d) 2 2
x x3 x5
   ...
e) 1! 3! 5!
9. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом
2
 (5  x )dx
2
a)
3
 5  x   x  1dx
2
2
b)
3
2
c)
 (6  x
2
 x)dx
3
2
d)
2 (5  x 2 )dx
0
2
e)
2 (6  x 2  x)dx
0
x 2 dx
 3
10. Интеграл x 1 равен ...
2
ln x 3 1  C
a) 3
1
ln x 3 1  C
3
b)
1

C
2
3
x

1
c)
d) 2 ln|x3 - 1| + C
e) ln|x3 - 1| + C


11. Уравнение касательной к графику функции
a) х + 2у = 0
b) х + 2у - 2 = 0
c) х - 2у - 2 = 0
d) х - 2у = 0
e) х - 2у + 2 = 0
y
1
x  1 в точке (-1;0,5) имеет вид ...
2
12.
Каноническое уравнение окружности , показанной на рисунке, имеет вид ...
a) (x - 1)2 + (y - 1)2 = 1
b) x2 + (y + 1)2 = 1
c) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 1
d) (x + 1)2 + (y - 1)2 = 0
e) (x + 1)2 + y2 = 1
 
y   1
13. Частное решение дифференциального уравнения y' sin x = y cos x при  2 
имеет
вид ...
a) cos x + 1
b) -sin x
c) sin x + 1
d) sin x
e) cos x
14. Общим решением дифференциального уравнения y'' = 8sin(2x) является ...
a) C1 cos(2x) + C2
b) -4 sin(2x) + C1 x + C2
c) 8 sin(2x) + C1 x + C2
d) C1 sin(2x) + C2
e) -2 sin(2x) + C1 x + C2
1  1
0 1
A
B


1  1 и
1 0 , то 3A + B = ...
15. Если
 3  2


a) 2  1
 3  2


b) 4  3
c) 0
d) -1
1 0 


e) 2 1
16. Издержки предприятия на изготовление единицы некоторого вида продукции
определяются формулой z = x + y - x2 y + 5; где х - затраты капитала, тыс. руб., (х > 0), у расходы на оплату рабочей силы, тыс. руб., (y > 0). При каких значениях х и у издержки
производства будут минимальными, если затраты х + у на единицу продукции составляют
3 тыс. руб.?
a) х = 1,5; у = 1,5
b) х = 2; у = 1
c) х = 1; у = 2
d) х = 1.8; у = 1.2
e) х = 2,5; у = 0,5
4
1
0
2 6 7
0 3 2
0 1 0
17. Определитель  2 0 1 0 равен...
a) 2
b) 5
c) 0
d) -8
e) 4
18. Даны уравнения плоскостей:
а) 2х + 3у + z - 1 = 0
б) x - 3y + 4z = 0
в) y + z + 2 = 0
Через начало координат проходят ...
a) все
b) только а) и в)
c) только б)
d) только б) и в)
e) ни одна





a  ...
a


2

i

10
j

11
k
1. Если
, то
a) 23
Вариант 5
b) -15
c) 15
d) 23
e) -1
2. Общим решением дифференциального уравнения xy’’ - y’ = 0 является ...
x
C1  2C 2
2
a)
b) С1х2 + С2x
c) 2х2 + С1 + С2
d) С1х2 + С2
e) С1х + С2
2x 2  8
lim
2
3. Предел x2 3x  3x  18 равен ...
a) -8/15
b) 4/15
c) 4/5
d) 8/5
e) 8/15
1
3  6  x в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0
4. При разложении функции
первыми тремя отличными от нуля членами ряда будут ...
1 2
22 2
 x
 x  ...
9
a) 3 3
y
2
b)
22
22 2
x
 x  ...
3
3
1 2
22 2
 x
 x  ...
3
c) 3 3
2
22 2
1  x 
 x  ...
3
3
d)
1 x x2
 2  3  ...
3
e) 3 3
5. Если U = cos(x2 - y + z3), то значение U'у в точке М(0;-  /2;0) равно ...
a) 2 / 2
b) 1/2
c) 1
d) - 3 / 2
e) 0
6. Даны уравнения прямых:
а) x + y + 1 = 0
б) x + y = 0
в) 2x + у + 2 = 0
г) y = 2х
Выберите те, которые проходят через начало координат.
a) только б и г
b) только а
c) только в
d) только б
e) только г
7. Из рядов

1

a) n 1 100n  17
n1 2  1

b) n1 n

1

2
c) n 1 n  ln n

сходятся ...
a) только b
b) только а
c) только a и c
d) ни один не сходится
e) только a и b
2
1 1
0
A
B


1 1 и
 3  1 , то A - 3B = ...
8. Если
 1  5


a) 10 4 
b) 19
c) 54
0 2


d) 4 7
 1 5


e) 10 4
9. Частное решение дифференциального уравнения x2y’ + y2 = 0 при у(-1) = 1 имеет вид ...
a) 2x
b) x + 3
c) x - 1
d) -x
e) 2x + 3
10. Функция
y
1
x  1 отображает множество (0;2) на множество ...
a) (;0)  (0;)
b)  ;1  1;
c) (;1]  [1;)
d) {-1;1]
e) (-1;1)
11. Координаты нормального вектора к плоскости 2х - 3у + z - 6 = 0 равны…

a) N  (1 / 3;1 / 2;1 / 6)

N
b)  (1 / 3;1 / 2;1 / 6)

N
c)  (1 / 2;1 / 3;1)

N
d)  (2;3;1)

N
e)  (2;3;1)
0 1 2 0
1 2 0 0
0 2 4 0
12. Определитель 1
a) 2
b) 0
c) 3
d) 4
e) 1
2 3 4 равен...
13. Уравнение х2 – 2у2 = –4 определяет на плоскости ...
a) прямую;
b) параболу;
c) гиперболу;
d) окружность;
e) эллипс.
14. Уравнение касательной к графику функции
a) 3x - 4у + 1 = 0
b) 3х + 4у - 5 = 0
c) 3x - 4у - 5 = 0
d) 3x + 4у - 1 = 0
e) 3х + 4у + 1 = 0
y
1
x  1 в точке (1;0,5) имеет вид ...
3
15. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже, задана интегралом
...


9
a)
x  1 dx
0
 1  x dx
9
2
b)
1


9
c)
x  1 dx
1
9
d)
 (x
2
 1)dx
1
 1 
9
e)
x dx

0

x 3 dx
1  x равен ...
16. Интеграл
1
(arcsin x) 4  c
4
a)
1
arcsin( x 4 )  c
b) 4
1
ln 1  x 8  c
4
c)
d) arcsin(x4) + C
4
e) (arcsin x)  c
8
17. Прибыль П сельхоз. предприятия от возделывания 1 га кукурузы определяется
формулой П = 2ху - х - у - 5, где x –затраты на удобрения, тыс. руб./га, (x > 0), у - затраты
на семена, тыс. руб./га, (y > 0), 5 тыс. руб./га – постоянные затраты. Значения x и у, при
которых прибыль предприятия максимальна, а суммарные затраты не превышают 11 тыс.
руб./га, равны …
a) х = 1/2; у = 1/2
b) х = 3; у = 3
c) х = 4; у = 2
d) х = 4; у = 4
e) х = 2,5; у = 3,5
18. График какой функции на всем отрезке [а,b] одновременно удовлетворяет трем
условиям y> 0; y' > 0; y'' > 0?
a) только I и IV
b) только III
c) только I и II
d) только II
e) только I
КЛЮЧИ ПРАВИЛЬНЫХ ОТВЕТОВ
№
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Вариант
1
c
d
e
e
e
e
b
e
c
c
b
a
c
b
b
d
e
d
Вариант
2
a
e
a
e
b
c
e
d
b
a
c
c
d
c
b
e
d
b
Вариант
3
b
d
d
d
a
b
b
b
e
d
c
b
d
d
d
e
c
e
Вариант
4
e
e
d
c
e
a
d
d
c
b
e
d
d
e
b
b
d
c
Вариант
5
c
d
e
d
c
a
d
a
d
b
e
b
c
b
c
b
b
e
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании Совета Филиала:
Протокол от
«
»
г.
20
№
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
(подпись)
А.И. Разгонов
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании Совета Филиала:
Протокол от
«
»
20
Директор Филиала ДВФУ в г. Находке
(подпись)
г.
№
А.И. Разгонов
(И.О. Фамилия)