2.8..Проблема цен в модифицированной модели Леонтьева.

Тема 2. Балансовые модели планирования народного
хозяйства
2.1 Межотраслевой баланс
В экономико–математическом моделировании широко используются
балансовые модели. В основе их построения лежит балансовый метод, т.е.
метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и
финансовых ресурсов
с потребностью в них. Балансовые методы
планирования применяются на различных уровнях иерархии экономических
объектов: предприятиях, объединениях, отраслях, народном хозяйстве в
целом. В соответствие с указанными типами объектов планирования строятся
соответствующие экономико-математические модели (ЭММ). Например,
широко применяется комплекс моделей межотраслевого баланса
производства и распределения продукции (народно-хозяйственный,
региональный и пр.).
Модель межотраслевого баланса исторически является первой
экономико-математической моделью сводного народнохозяйственного
планирования. Первые балансы народного хозяйства были разработаны
Центральным статистическим управлением СССР в 1923-1924гг. В
настоящее время межотраслевые балансы строятся в большинстве стран
мира.
Основоположником балансового метода является американский ученый
(русский по происхождению) Василий Леонтьев. Одна из первых его
научных работ, которую он написал после окончания Ленинградского
университета, называлась “Баланс народного хозяйства ССС Р .
В 1973 году за разработанные методы экономического анализа( модель
“затраты–выпуск ”) ему была присуждена Нобелевская премия. Эта модель
позволяет рассчитывать полные затраты валовой продукции, прямые и
косвенные затраты на единицу продукции, а также дает возможность
устанавливать четкие количественные соотношения между валовым
общественным продуктом, национальным доходом, развитием отдельных
отраслей экономики Метод универсален. С его помощью американцы,
например, проводили перестройку экономики с военных рельсов на мирные.
Он был положен в основу индикативных планов, применяемых в Японии.
Межотраслевой баланс представляет собой таблицу, характеризующую
связи между отраслями экономической системы. В зависимости от того, в
каких единицах измеряются потоки продуктов в балансе, существует
различные варианты межотраслевых балансов:
 в натуральном выражении,
 в стоимостном,
 в натурально-стоимостном,
 в трудовых измерителях.
По экономическому содержанию информации балансы можно
разделить на
плановые и отчетные;
По характеру используемой модели – на статические и динамические
Рассмотрим отчетный межотраслевой баланс(МБ), в котором потоки
продукции измеряются на основе стоимости произведенной продукции в
некоторых фиксированных ценах(таблица 1). Основу баланса составляет
совокупность всех отраслей материального производства, в таблице 1 их
число равно n. .. В межотраслевом балансе понятие отрасли отличается от
общепринятого.
Здесь
используется
понятие
“чистой”
(или
технологической), т.е. условной отрасли, объединяющей все производство
данного продукта независимо от ведомственной подчиненности предприятий
и фирм.. Переход от хозяйственных отраслей к “чистым” требует
специального преобразования реальных данных хозяйственных объектов,
например агрегирования отраслей, исключения внутриотраслевого оборота и
др..
Каждая отрасль дважды фигурирует в балансе: как производящая и как
потребляющая. Отрасли как производителю продукции соответствует
определенная строка i таблицы,, как потребителю продукции – определенный
столбец k. Баланс содержит четыре раздела(квадранта)–
В первом разделе содержится информация о межотраслевых связях.
Величины аij находящиеся на пересечении отраслей (т. е. строк и столбцов
таблицы) нужно понимать как стоимость средств производства,
произведенных в i-ой отрасли и потребляемых в качестве материальных
затрат в j-й отрасли (межотраслевые поставки продукции, обусловленные
производственной деятельностью отраслей). .Таким образом, каждая i-ая
строка первого раздела показывает распределение продукции i–ой отрасли
между другими отраслями народного хозяйства. В столбцах первого раздела
баланса отражается структура материальных затрат каждой отрасли.
n
Pi   aij – производственное потребление продукции i-ой отрасли
j 1
экономической системой ( промежуточный продукт. i–ой отрасли
n
Zj   aij – суммарные производственные затраты j-ой отрасли.
i 1
n
n
P    aij – суммарные производственные затраты всех отраслей или
j 1 i 1
производственное потребление всех отраслей(промежуточный продукт
народного хозяйства).
Таким образом, первый раздел показывает общую картину
производственных затрат и распределения продукции отраслей на
производственные цели. Данные I квадранта играют решающую роль в
анализе структуры материальных затрат отраслей, пропорций и
производственных связей между отраслями, потоков системе материальнотехнического снабжения.
Во втором разделе содержатся величины Y i – значения конечного
продукта и Xi –значения валового продукта ( i  1, n; j  1,n ) Под конечной
продукцией понимается продукция, выходящая из сферы производства в
область конечного использования ( личное и общественное потребление,
накопление и возмещение выбытия основных фондов, прирост запасов,
затраты на просвещение, здравоохранение, экспорт и т.д.).
Таблица 1
Фрагмент отчетного межотраслевого баланса
Промежуточный
Конечный Валовы
продукт
Продукт
й
продукт
1 ... j .. n
Итого
Итого
.
n
1
2
a11 ... a1j .. a1n a1j
i=1
.
...Y1
X1
...Y2
X2
...
...
Yi
Xi
...
...
Yn
Xn
n
a21 ... a2j .. a2n a2j
i=1
...
...
...
...
..
...
...
i
ai1 ...
aij
..
.
..
ain ajj
n
Текущие
материальные
затраты
I
...
...
...
...
i=1
...
...
n
n
an1 ... anj .. ann anj
i=1
n
n
n
n n
Ит ai1 ... aij .. ain aij
i=1
i=1 j=1
. i=1
ого i=1
Условно–
чистая
продукция
n
n
Yi
Xi
i=1
i=1
n
V1 ...
Vj
..
.
Vn
Vj
j=1
n
Валовый продукт X1 ...
Xj
..
.
Xn
Xj
IV
j=1
В таблице.1 конечная продукция представлена одним столбцом.
Однако, в развернутой схеме баланса конечный продукт каждой отрасли
показывают дифференцировано по направлениям использования: для
потребления (Ci), инвестиции (Ii), прирост запасов и резервов (Ri), экспорт
(Ei), импорт (Ji), прочие расходы (Gi). Дело в том, что именно эти
принципиально различные элементы конечного потребления необходимо
выделять для обоснования технологических взаимосвязей отраслей
экономики, а также для оценки связей валового
и внутреннего
национального продуктов.
Итак, второй квадрат характеризует отраслевую материальную
структуру национального дохода, а в развернутом виде характеризует также
распределения национального дохода на фонд потребления , фонд
накопления и т. д
Потоки продуктов каждой отрасли можно описать следующим
n
балансовым соотношением:. Xi   aij  Yi ,
j 1
( i  1, n ),
(1.1),
т.е. валовой продукт каждой отрасли равен сумме конечного и
промежуточного продуктов.
Первый и второй раздел межотраслевого баланса называют таблицей
"затраты-выпуск".
В третьем разделе МБ отражается стоимостная структура валового
продукта отраслей. В нашей таблице третий раздел представлен 2-я
строками. В первой стоят величины Vj, каждая из которых означает условночистую продукцию отрасли, а во второй–Xj,–валовой продукт. Условно–
чистая продукция определяется как разность между валовой продукцией и
производственными затратами:
n
Vj  Xj   aij,
j  1, n
(1.2)
i 1
Обычно в развернутых МБ народного хозяйства условно-чистая
продукция каждой отрасли разделяется на амортизационные отчисления,
идущие на возмещение основных фондов и чистую продукцию, которая в
свою очередь подразделяется на заработную плату, и различные виды
чистого доход(прибыль государственных предприятий, колхозов. налог с
оборота и др.).Из соотношений (1.1) и (1.2) следует
n

n

i 1

n

n

 Vj   aij      aij  Yi 
j 1 
i 1  j 1

(1.3),
откуда получаем:
n
n
j 1
i 1
Vj   Yi
(1.4)
Это соотношение показывает, что суммарный конечный продукт
экономической системы равен суммарной условно–чистой продукции. Таким
образом, в третьем разделе также фигурирует конечный продукт, но если во
втором разделе он разбивается на величины Yi, характеризующие структуру
потребления, то в третьем разделе показывается, в каких отраслях экономики
была произведена стоимость конечного продукта.
Третий раздел также характеризует национальный доход, но со
стороны его стоимостного состава как сумму оплаты труда и чистого дохода
всех отраслей материального производства. Данные третьего раздела
необходимы для анализа соотношений между вновь созданной и
перенесенной стоимостью, между величиной необходимого и прибавочного
продукта в целом по материальному производству и в отраслевом разрезе.
В целом же уравнение (1.4) показывает, что в межотраслевом балансе
соблюдается важнейший принцип единства материально-вещественного и
стоимостного состава национального дохода.
Четвертый раздел МБ не имеет непосредственного отношения к условиям
производства и реализации продукции и не рассматривается в данном
пособии. Он характеризует перераспределительные отношения в народном
хозяйстве, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В
результате перераспределения первоначально созданного национального
дохода образуются доходы населения, предприятий, государства. Важным
является тот факт, что общий итог 4-го квадранта, также как 2-го и 3-го равен
созданному за год национальному доходу.
Следует отметить, что все четыре раздела охватывает баланс в стоимостном
выражении, баланс в натуральных измерителях обычно содержит только
показатели I и II разделов схемы межотраслевого баланса. Он
разрабатывается по важнейшим видам продукции и обычно не охватывает
всего общественного производства.
Подчеркнем, что рассмотренный нами МБ – это пока не модель, а лишь
способ представления статистической информации об экономике страны. Он
строится на основе агрегирования результатов отдельных предприятий. Этот
МБ называется отчетным. Кроме отчетных МБ разрабатываются плановые
МБ, они уже не могут быть рассчитаны на основе статистических данных.
Для их построения необходимо использовать межотраслевые балансовые
модели.
2.2. Статистическая балансовая модель производства.
Статистические многоотраслевые модели предназначены для разработки
народнохозяйственных планов выпуска и потребления продукции и
основываются на балансовых соотношениях межотраслевого баланса:
n
Xi   aij  Yi
( i  1, n )
(2.1)
j 1
Каждое уравнение балансовой модели выражает требование равенства
между производимым отдельным экономическим объектом, количеством
продукции и совокупной потребностью в нем.
Обычно балансовая модель строится на следующих предположениях о
свойствах экономического объекта:
1. Экономическая система состоит из нескольких экономических
объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может
быть охарактеризовано одним числом. Если объект выпускает несколько
видов продукции, то таким числом является валовой выпуск в некоторых
фиксированных ценах, если же выпускается один вид продукции, то таким
числом также может быть соответствующий натуральный показатель: число
тонн, метров и т.д.
2. Комплектность потребления: для выпуска заданного количества
продукта объект должен получать строго определенное количество других
продуктов.
Это свойство предполагает, что технология производства в каждом объекте
остается неизменной в течение рассматриваемого промежутка времени,
причем в каждой отрасли имеется единственная технология производства, не
допускается замещение одного ресурса другим.
3. Линейность потребления: увеличение выпуска продукции в
некоторое число раз требует увеличения потребления объектом всех других
продуктов в то же самое число раз.
4. Выпускаемая каждым объектом продукция частично потребляется
другими объектами системы, а частично поступает вовне в качестве
конечного продукта данной системы.
5. Цель системы заключается в производстве заданного количества
конечного продукта.
Очевидно, что сформулированные предположения лишь приближенно
отражают реальную экономическую ситуацию, к примеру, предположение о
комплектности потребления. В реальном производстве один и тот же продукт
в зависимости от применяемой технологии может требовать различное
количество инградиентов, а в модели
предполагается, что продукт
производится некоторым усредненным способом.
Предположение о линейности также очень сильное. Существуют расходы
(накладные, условно-постоянные), не зависящие от количества выпускаемой
продукции. Кроме того, интенсификация процессов производства меняет
нормы расходов ресурсов. Все это приводит к нарушению свойства
линейности.
Несмотря на эти упрощения, балансовая модель является удобным
инструментом планирования благодаря своей простоте и возможности
расчета всех показателей плана.
Построение модели.
1. Пусть
экономическая
система
состоит
из
n
объектов
(отраслей):Р1,Р2...Рn. В силу предположения 1, всю продукцию i-го объекта
можно характеризовать одним числом, которое обозначим Xi и назовем
валовым выпуском. В силу предположения 4 часть этого продукта уходит из
системы в качестве конечного продукта. Обозначим эти величины через Yi
Величины Yi выступают для данной системы в качестве плановых заданий.
2. Свойства линейности и комплектности потребления определяют
закономерности преобразования ресурсов в системе, а именно, согласно
свойству комплектности для выпуска единицы продукции j–ый объект
должен использовать другие продукты рассматриваемой экономической
системы в определенном соотношении. Пусть j=(1j 2j  nj–вектор,
определяющий это соотношение, где величины ij называют
технологическими коэффициентами или коэффициентами прямых
затрат
ij –количество продукции i отрасли необходимоe, учитывая только прямые
затраты, для производства единицы продукции в j-ой отрасли. Величины ij
не зависят от объема производства и являются относительно стабильными
величинами во времени.
Обычно, технологические коэффициенты задают в виде матрицы А.
  11  12



A=  21 22
...
...


 n2
 n1
...  1n 

...  2 n 
... .. 

...  
nn 
Из экономического смысла величин  ij следует, что все элементы матрицы А
не отрицательны. Будем это свойство записывать так: А > 0.
Так как процесс воспроизводства нельзя было бы осуществлять, если бы
для собственного производства в отрасли затрачивалось большее количество
продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные элементы
матрицы А меньше 1:  ii < 1
На основе свойства линейности можно утверждать, что. если j–ый
объект выпустит не единицу продукции, а Yj.,то ему понадобится  ij
единиц продукции.
a   Y
ij
ij
i
(2.2)
Потоки ресурсов (продуктов) в модели описываются на основе
балансовых соотношений (2.1). Подставим в (2.1) вместо a ij их выражение
из соотношения (2.2).
Получим систему балансовых уравнений:
n
Xi  ij Xj  Yi ( i  1, n )
(2.3)
j 1
В матричной форме модель можно записать следующим образом:
A X  Y  X
(2.4).

X

0

В этой модели считаются заданными:
* матрица А,
* матрица (вектор) Y конечной продукции.
Матрица Х (валовой выпуск) подлежит определению.
Модель, определяемая соотношениями (2.4), вместе с изложенной
интерпретацией матрицы А, векторов Х и Y называют моделью Леонтьева.
Для определения плана выпуска продукции Х на основе балансовой
модели необходимо знать коэффициенты прямых затрат (отраслевые
нормативы)–матрицу А. Иногда эти коэффициенты могут быть рассчитаны
на основе физико-химических закономерностей технологических процессов
по выпуску продукции. Однако, в большинстве случаев, особенно когда в
качестве объектов выступают целые отрасли эти коэффициенты
рассчитываются на основе обработки данных о реальных потоках продукции
за прошлый период. Эти данные представлены в отчетных межотраслевых
балансах. Для расчета технологических коэффициентов используют первый и
второй разделы баланса. Составленную из этих разделов таблицу называют
обычно таблицей "затраты-выпуск".
Из этой таблицы определяют:  ij  a ij
Xj
(2.5)
Если на планируемый период не намечается существенного изменения
технологии, то можно считать, что технологические коэффициенты в новом
плановом периоде практически не изменится и их можно использовать для
построения балансовой модели.
Особенностью
нормативов,
употребляемых
при
разработке
межотраслевых балансов, является то, что они включают помимо
технологических
затрат
и
общепроизводственные
(цеховые,
общезаводские),а также внепроизводственные материальные затраты,
приходящиеся на единицу продукции. Эти нормативы должны отвечать ряду
принципиальных требований:
* материальные затраты и продукция должны строго соответствовать
номенклатуре межотраслевого баланса;
* Материально–энергетические ресурсы и продукция, на производство
которой они расходуются, должны быть показаны в единых измерениях
номенклатуры межотраслевого баланса
2.3.Исследование системы балансовых уравнений
A X  Y  X
Рассмотрим балансовую модель: 
(3.1)
X 0

Введем единичную матрицу Е, тогда можно записать:
AX+Y=EX или (Е-А)Х=Y
(3.2).
Исследование системы уравнений (3.2) означает, в первую очередь,
выяснение условий, гарантирующих существование и единственность
решения этой системы. Как известно, для того, чтобы системы уравнений
(3.2) имела решение необходимо, чтобы матрица (Е-А) была не вырождена,
т.е. ее определитель (E-A)0.
В этом случае существует матрица S, обратная к (Е-А), S=(Е-А)-1
Тогда решение системы (3.2) определится соотношением :
X=(E-A)-1Y
(3.3)
Однако, для того, чтобы решение имело экономический смысл,
необходима его неотрицательность, т.е. Х>0. Заметим, что не всегда, даже
при условии А>0 система (3.2) будет иметь неотрицательное решение.
С экономической точки зрения особый интерес представляют системы,
имеющие неотрицательное решение при любых положительных Y (Y>0).Это
означает, что любой объект может выпустить некоторое количество
конечной продукции. Таким образом, основной вопрос, который возникает
при исследовании модели Леонтьева: сможет ли рассматриваемая
технология, задаваемая матрицей A, удовлетворить любой конечный спрос
Y>0?
С математической точки зрения, исследование системы балансовых
уравнений сводится к установлению условий, которым должна
удовлетворять матрица А, чтобы при любом Y>0 система (3.2) имела
неотрицательное решение. Ответ на этот вопрос связан с понятием
продуктивности матрицы А
Реальной экономической системе ,характеризующейся способностью к
непрерывному воспроизводству должна соответствовать такая матрица
коэффициентов прямых затрат, которая обеспечивала бы возможность
получения конечной продукции при соответствующих пропорциях развития
производства.
Определение. Матрица А называется продуктивной, если существует
такой неотрицательный вектор Х>0, что (Е-А)Х>0, т.е. Х>АХ
(3.4).
Условие (3.4) означает, что продукции производится больше, чем идет
на внутреннее потребление, значит каждый объект выпускает некоторое
количество конечной продукции. В случае продуктивной матрицы А модель
(3.1) также называется продуктивной.
Для неразложимой матрицы А можно использовать более слабое
условие продуктивности: существует X>0, что X AX
Определение. Матрица А называется разложимой, если одновременной
перестановкой строк и столбцов ее можно привести к виду:
 A11 * 

 ,где А11, А22 - квадратные блоки, включающие ненулевые
 0 A22
элементы;
*– блок, элементы которого могут принимать любое(нулевое и
ненулевое)значения.
Если матрица А неразложима ,то каждая отрасль непосредственно или
косвенно использует продукцию всех других отраслей, а ее продукция
непосредственно или косвенно также используется при производстве
продукции всех других отраслей, т.е. все пары отраслей находятся в
двусторонней взаимосвязи.
Теорема- 1. Продуктивность матрицы А является необходимым и
достаточным условием существования и единственности неотрицательного
решения системы балансовых уравнений (3.2).
Теорема- 2 (необходимое и достаточное условие продуктивности).
Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица
S=(E-A)-1 и все ее элементы не отрицательны.
Теорема- 3 (достаточное условие продуктивности)
Матрица A продуктивна, если все ее элементы неотрицательны и сумма
n
элементов по каждому столбцу не более единицы (  ij  1; j  1, n ).
i 1
Этот признак может быть использован для матрицы А в стоимостных
измерителях. Заметим, что матрица А может быть продуктивной и в случае
невыполнения этого условия.
Итак, для продуктивной матрицы А решение системы балансовых
уравнений можно записать:
(3.5),
X  S Y
т.е. на основе коэффициентов прямых затрат по заданному конечному
продукту сразу можно определить валовые выпуски отраслей. В этом
заложена основная идея использования межотраслевых моделей для
планирования производства.
2.4. Экономический смысл матрицы S=(E-A)-1
 s11 s12

s21 s22
S= 
 ... . . .

 sn1 sn 2
... s1n 

... s2 n
... . . 

... snn 
Обозначим векторы и столбцы матрицы S через S(j) =S1j, S2j,... Snj>.
В векторной форме соотношение (3.6) можно записать:
X=S Y1+ S Y2+..........+ S Yn=
(1)
(2)
(n)
n
 s Y
( j)
j
(4.1)
j 1
Рассмотрим частный случай: пусть одну единицу конечной продукции
производит k–ый объект, а остальные объекты не производят конечной
продукции, т.е.
0, если
Yj  
 1, если
jk
jk
Тогда (4.1) запишется: X = S(k) Yk = S(k)
(4.2)
Cледовательно, X = < S1k, S2k, ... Snk > . Из равенства этих векторов
следует, что
(4.3).
x i  s ik ( i  1, n )
Соотношения (4.3) вскрывают экономический смысл элементов s ik
матрицы S:
здесь s ik – валовое количество продукции, которое должна изготовить i–
ая отрасль, чтобы k–ая отрасль выпустила одну единицу конечной
продукции. Поэтому элементы Sik называют коэффициентами полных затрат
продукции, а матрицу S - матрицей полных затрат продукции.
Коэффициенты прямых затрат  ij характеризуют непосредственные
затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой
отрасли. Однако, кроме прямых затрат существуют косвенные затраты.
Например, рассмотрим формирование затрат электроэнергии при
производстве
автомобилей,
при
этом
ограничимся
следующей
технологической цепочкой: автомобиль - кузов - листовая сталь - прокат.
Затраты электроэнергии непосредственно при сборке автомобиля
(стадия 1) будут прямыми затратами. Но затраты электроэнергии
необходимы как при изготовлении кузова из листовой стали, так и стали из
проката. Это затраты прямые при изготовлении кузова и листовой стали
являются косвенными затратами соответственно первого и второго порядка
при изготовлении автомобиля. Введение косвенных затрат позволяет дать
второе определение коэффициентов полных затрат:
коэффициентом полных материальных затрат Cik называется сумма
прямых и косвенных затрат продукции i-ой отрасли, необходимыx для
производства единицы продукции k-ой отрасли через все промежуточные
продукты на всех стадиях производства.
Для производства единицы продукции отрасли j необходимо затратить
набор продуктов a j  (1 j , 2 j , nj ) , который формально описывается j–ым
столбцом матрицы A. Но для производства этого набора продуктов a j
необходимо затратить набор продуктов, который мы обозначим через a j (1) .
В силу свойства линейности a j (1) =A a j . Элементы вектора a j (1)
называются коэффициентами косвенных затрат первого порядка для
производства единицы продукта j . Матрица A(1), составленная из столбцов
a j (1) называется матрицей косвенных затрат первого порядка. Очевидно, что
A(1)=AA=A2.
Косвенными затратами второго порядка называются затраты,
необходимые для обеспечения косвенных затрат первого порядка, т.е.
a j ( 2)  A  a j (1) или в матричной форме: A(2)=AA(1)=A3. Продолжая по аналогии,
назовем косвенными затратами порядка m затраты, необходимые на
обеспечение косвенных затрат (m-1)–го порядка:
A(m)=AA(m-1)=Am+1
Определим теперь полные затраты как сумму прямых и косвенных
затрат всех порядков:
С = А + А (1)+A(2)++A(m)+ 
(4.4)
(m)
m+1
Учитывая, что A =A ,имеем
С = А + А2 + А3 +... Аm +...
(4.5)
Теорема 4. Если матрица А продуктивна, то существует матрица
S=(Е-А)-1 ,являющаяся суммой сходящегося матричного ряда:
Е + А + А2 +A3 +... Аn +......
(4.6)
2
3
n
S= Е + А + А +A +... А +..
(4.7)
Доказательство:
Лемма: если матрица A продуктивна, то lim An  0 (без доказательства).
n
Докажем, что при n равенство (4.7) справедливо.
Умножим (4.7) на матрицу (Е-A). Получим следующее соотношение:
(Е-A)S =(E-A)  (Е + А + А2 +A3 +... Аn)=E-A+A-A2+A2 -...-An +An -An+1 ( 4.8)
В правой части равенства (4.8) все элементы попарно уничтожатся
кроме (E- An+1), тогда (4.8) запишется: (Е-A)S= E- An+1
(4.9)
Перейдем в (4.9) к пределу при n. В правой части получим:
n 1
n 1
lim ( E  A )  E  lim ( A )  E .
n
n
Тогда (Е-A)S=E, отсюда следует ,что S=(E-A)-1
Сопоставление соотношений (4.4) и (4.7) позволяет установить связь
между матрицами S и C полных материальных затрат: S = Е + С.
Данная связь определяет экономический смысл различия между
матрицами С и S.
В отличие от коэффициентов матрицы С, учитывающих только затраты
на производство продукции, коэффициенты матрицы S включают кроме
затрат также саму единицу конечной продукции, которая выходит за сферу
производства.
Исходя из экономического смысла элементов Sik матрицы S, по аналогии
с кейнсианской концепцией мультипликатора ее называют матричным
мультипликатором или мультипликатором
Леонтьева. Матрица S в
сущности определяет эффект распространения спроса, первоначальным
источником которого является спрос на конечную продукцию, т.е.
X = S Y
(4.10).
Все это определяет значимость матрицы S для анализа и планирования
производства. Знание матрицы полных затрат позволяет провести анализ
взаимосвязей конечного и валового продукта, определить полные затраты на
выпуск конечного продукта того или иного вида, рассчитать различные
варианты плана при разных объемах и структуре конечного потребления.
Определение. Матрицу К = S–Е–А = С–А называют матрицей
косвенных материальных затрат.
К = А2 +A3 +... Аn +....
(4.11)
Косвенные затраты высоких порядков весьма малы, поэтому при
практических расчетах ими можно пренебречь. Соотношения (4.7) и (4.11)
дают приближенное значение соответствующих матриц. Чем большее число
членов выбирается для их расчета, тем они точнее.
2.5. Балансовые модели с факторами производства
Для функционирования экономических объектов необходима не только
продукция других объектов этой системы, но и такие факторы производства,
как производственные фонды(оборудование, производственные площади и
т.д.), материальные ресурсы, труд и т.д. Кроме того экономическая система
может получать продукцию из других экономических систем.
Принципиальной особенностью использования этих факторов является то,
что объемы их ограничены. Именно ограниченность факторов производства
является причиной того, что не всякий вектор конечного продукта может
быть произведен экономической системой. Поэтому для определения плана
необходимо не только выявить потоки продукции между отдельными
объектами экономической системы, но и потребность системы в факторах
производства и поставках извне.
Допустимым планом будет лишь такой план, при котором потребности в
факторах производства и продукции извне не превышают соответствующих
ограничений. Не будем в дальнейшем различать факторы производства и
продукцию извне. Будем то и другое называть факторами.
Пусть таких факторов будет–m. Потребность системы в факторах
производства обозначим Z = (z1,z2,....zm ), где zi –потребность системы в i-ом
факторе. Потребность может измеряться в натуральных единицах (часах, кв.
м., т., и пр.),так и в денежных единицах (фонд заработной платы, стоимость
сырья и пр.).Каждый экономический объект будем характеризовать вектором
затрат факторов производства: B j  ( 1 j ,  2 j ,,  mj ) =
где ij– количество i –го фактора, необходимое объекту j для выпуска
единицы продукции. Величины ij называют коэффициентами прямых затрат
факторов производства, а
  11  12

 21  22
матрица .В= 
...
...

 m1 m 2

...  1n 

...  2 n 
носит название
... .. 

... mn 
матрицы прямых затрат факторов производства Каждый столбец матрицы В
определяет прямые затраты факторов для некоторого объекта, а каждая i–ая
строка описывает потребность системы в i-м факторе производства. Считаем,
что для факторов производства выполняются свойства линейности и
комплектности потребления
Если X  ( X 1 , X 2 , X n ) –вектор
валового выпуска продукции, то
суммарная потребность экономической системы в i –том факторе:
n
  ij  X j  Z i
(7.1) .
j 1
Соотношение (7.1) в матричной форме запишется:
Z  B X
(7.2),
так как X  S  Y ; X  S  B  S  Y
(7.3),
где S=(E-A)-1–матрица полных затрат продукции.
Соотношение (7.3) позволяет определить потребность в факторах
производства для любого вектора конечной продукции.
Введем матрицу B* = B S. Выясним экономический смысл этой матрицы.
Применим тот же прием, что и при выяснении экономического смысла
матрицы S: рассмотрим частный случай, когда одну единицу конечной
продукции производит k–ый объект, а остальные объекты не производят
0, если J  k
1, если J  k
конечной продукции, т.е. Yj  
Обозначим Вj * – j–столбец матрицы B* , j=1,..n .
Тогда (7.3) запишется:
Z= B SY =B* Y =B1*Y1+B2*Y2+....Bk*Yk+...Bn * Yn = Bk*Yk = Bk (7.4) ,
следовательно, Z =<z1,z2,....zm>= < B1k, B2k, ... Bmk >.
Из равенства этих векторов следует, что
Zi = Bik ( i  1, n )
(7.5).
Соотношения (7.5) вскрывают экономический смысл элементов Bik
матрицы B*. Здесь Bik - суммарное количество i–го фактора, которое должна
иметь экономическая система, чтобы, k–ая отрасль выпустила одну единицу
конечной продукции. Поэтому элементы Bik называют коэффициентами
полных затрат факторов производства, а матрицу B*- матрицей полных затрат
факторов производства
Замечание. Экономический смысл матрицы B* можно выяснить на
основе следующих рассуждений.
Полные затраты какого либо ресурса R на производство единицы
продукции i–ой отрасли Ri складываются из прямых затрат данного
ресурса–ri и
полных его затрат на производство промежуточных
продуктов других отраслей:
Ri  ri   R j   ji Получаем векторно–матричное уравнение: R=r+RA,
j
откуда R  r  ( E  A) 1  r  S
Как уже отмечалось, количество каждого фактора ограничено и
составляет соответственно d1,d2,....dm единиц, т.е. d = (d1,d2,....dm)– вектор
ограничений по факторам производства. Тогда план по выпуску продукции
является допустимым, если требуемые для его реализации объемы факторов
производств не превышают их наличие ,заданное векторомd.
Т.е. план экономической системы должен удовлетворять ограничению :
(7.6)
B  S Y  d
A X Y  X
Балансовая модель в этом случае запишется:  X  0
 B  S Y  d

(7.7)
В отличие от простой балансовой модели модель с факторами
производства даже в случае продуктивной матрицы A разрешима не для
любого Y>0, а только для Y, удовлетворяющего соотношению (7.6), т.е. в
данном случае уже нельзя говорить об удовлетворении любого конечного
спроса.
Поэтому прежде чем приступать к решению системы балансовых
уравнений необходимо проверить выполнимость условия (7.6) при заданном
Y. Если это условие не выполняется, то следует изменить плановое задание
по конечной продукции. При этом необходимо сохранить структуру
конечного потребления, изменив масштаб производства. Другими словами,
все элементы вектора Y должны быть изменены в одно и тоже число раз.
Коэффициент масштабирования определяется следующим образом:
d
i  1, m
(7.8)
k  min( i )
zi
i
2.6. Модифицированная модель Леонтьева.
Частным случаем балансовой модели с факторами производства является
модель, в которой в качестве единственного производственного фактора
используется труд.
Пусть b0 =(b01,b02,....b0n)–вектор прямых затрат труда, необходимых для
выпуска единицы продукции. Тогда b* =b0S–вектор полных затрат или
полная трудоемкость изготовления единицы продукции, а Z=b*Y –
трудоемкость заданного вектора конечной продукции Y.
Если d–объемы трудовых ресурсов, имеющиеся в наличии, то
модифицированная модель Леонтьева запишется следующим образом:
A X Y  X


X 0

b 0  S  Y  b*  Y  d

(8.1)
В этой модели уже не любой вектор X0 может быть допустимым, а
лишь удовлетворяющий ограничениям по затратам труда. Поэтому при
задании вектора Y это условие должно быть учтено.
В дальнейшем будем считать, что вектор Y задает лишь структуру
конечного спроса, тогда масштаб может быть выбран так, чтобы ограничение
по труду выполнялось.
Можно сравнивать различные наборы продуктов по трудоемкости. Тот
набор продуктов, который требует больше затрат труда является более
интенсивным по труду, при этом наборы могут быть эквивалентными, т.е.
иметь одну и ту же стоимость.
2.7. Ценовые балансовые модели
Рассматривая баланс построчно мы познакомились с центральной
задачей анализа межотраслевых связей–определением объемов валового
выпуска До сих пор наши рассуждения касались лишь технологии
производства. Рассмотрим баланс по столбцам и исследуем ценовой аспект
балансовых моделей.
Основные соотношения баланса по столбцам (для стоимостного
n
баланса) запишутся:  aij  Vj  Xj
j  1, n
i 1
(9.1)
Здесь Vj–стоимость условно–чистой продукции или добавленная
стоимость
Обычная таблица затраты–выпуск на уровне страны или региона
содержит строку амортизационные отчисления и прочие
издержки,
понесенные отраслями, в дополнение к платежам за продукцию,
поступившую из других отраслей экономической системы. Значительная
часть этой добавленной стоимости представлена издержками рабочей силы и
других факторов производства и зависит от физической величины их затрат и
цен.
Введем в рассмотрение цены на продукцию отраслей: c=(c1, c2,....cn)– где
cj–цена продукции отрасли j.
Соотношения (9.1) можно записать:
n
 –i ij  Xj  Vj  –j  Xj
i 1
j  1, n
(9.2)
Разделим (9.2) на валовый выпуск Xj ,получим:
n
 ci ij  v j  cj
i 1
j  1, n
(9.3),
где j–доля добавленной стоимости, приходящаяся на единицу j –ой
продукции.
Тогда ценовая балансовая модель в матричном виде будет иметь вид:
 AT  C  V *  C
(9.4)


C 0
Здесь AT–матрица транспонированная к матрице A технологических
коэффициентов, V*–матрица долей добавленных стоимостей, приходящихся
на единицу продукции..
В модели заданными считаются АT и V*.. Искомой –величина С.
Ценовая балансовая модель (9.4) и балансовая модель равновесного
выпуска (2.4) являются взаимодвойственными: ( X  C , A  AT , Y  V * )
Для ценовой модели справедливы те же теоретические положения, что и
для модели равновесного выпуска. Модель (9.4) называют также моделью
равновесных цен.
Определение: равновесные цены–это цены, при которых общие
расходы, включая добавочную стоимость каждой отрасли равняются ее
совокупным доходам.
Если А продуктивна, то найдется единственное неотрицательное
решение модели (9.4):
1
(9.5).
C  ( E  AT )  V 
T -1
-1 T
(Можно показать, что (E-A ) =((E-A) ) ),
тогда С=((E-A)-1)TV'=STV'
(9.6)
T
В ценовой балансовой модели матрица S является мультипликатором
распространения изменения доли добавочной стоимости, т.е.
C =ST V'
(9.7).
Равенство (9.7)позволяет рассчитать как повлияет на цены изменение
добавочной стоимости в любой отрасли.
2.8..Проблема цен в модифицированной модели Леонтьева.
В модифицированной модели Леонтьева труд фигурирует в качестве
затрачиваемого производственного фактора, поэтому оплату труда следует
учитывать при нахождении прибыли. Рассчитаем прибыль j от
производства единицы продукции.
n
j =Cj -  ij  Ci  w 0  b0 j
i 1
j  1, n
(10.1),
n
где  ij  Ci – стоимость промежуточного продукта,  0  b0 j –заработная
i 1
плата, b0j–коэффициент прямой трудоемкости единицы продукции j–ого
объекта, 0–коэффициент оплаты труда
Предположим, что прибыль каждого объекта равна нулю (j= 0), т.е.
вся прибыль, создаваемая в процессе производства (Сj –
n
 ij  Ci )
идет на
i 1
оплату труда:
(Сj –
n
  c )=   b
ij
i
0
0j
j  1, n
(10.2)
i 1
Теорема : Если A–продуктивна, то существует единственный (с
точностью до положительного множителя ) вектор цен С=(с1,с2,...,сn), при
котором прибыль каждого объекта равна нулю.
Доказательство.
Пусть  0 =1 , тогда (10.2) запишется: Сj =
n
 c +   b
ij 
i
0
0j
j  1, n
i 1
или в матричном виде: C=ATC+b0
(10.3),
T
откуда (E-A )C=b0
(10.4)
Так как A–продуктивная матрица, то в силу теоремы 1 (10.4) имеет
неотрицательное решение для любого b0 .
Определение:
Набор цен С=(с1,с2,...,сn), при которых прибыль во всех объектах
равняется нулю в том случае, когда уровень заработной платы позволяет
приобрести весь конечный продукт системы, называется равновесным
(равновесные цены).
Теорема5:. Множество цен, пропорциональных коэффициентам
суммарной потребности в труде является множеством цен равновесия для
всех векторов конечной продукции, т.е. не зависит от задания вектора Y.
Доказательство.
ПустьС=(с1,с2,...,сn)–вектор цен, b0=(b01,b02,...b0n)– вектор прямых затрат
труда; b*=b0S=(b1*,b2*,....bn*)– вектор полных затрат труда.
По условиям теоремы цены пропорциональны суммарной потребности в
труде, т.е.
С=kb*
(10.5).
Докажем, что цены, определяемые этим соотношением являются ценами
равновесия.
Рассмотрим произвольный вектор конечного продукта Y = (Y1,Y2,...,Yn). Тогда
CY = с1Y1+c2Y2+....+cnYn – стоимость конечного продукта,
b*Y= b1Y1+b2Y2+....+bnYn – суммарная трудоемкость вектора конечного
продукта.
Если 0– цена единицы труда, то 0b*Y– стоимостная оценка труда или
заработная плата.
Если заработная плата позволяет приобрести весь конечный продукт, то
выполняется условие: 0b*Y=CY
(
10.7) .
Подставим С=kb* в (10.7),получим: 0b*Y= kb*Y.
Из этого соотношения следует, что k= 0 .
Вычислим прибыль от выпуска единицы продукта:
n
j =Cj -  ij  Ci  w 0  b0 j
j  1, n .
i 1
(10.8)
В матричном виде это равенство можно записать:
=C–ATC-0b=(E–AT)C–0b=(E–AT)kb*–0b=(E–AT)k(E–A)-1b0–0b=
=k(E–A)-1(E–A)b0–kb0=kb0– kb0=0
Примечание: (E–AT)=(E–A)T; (E–A)T(E–A)-1=(E–A)-1(E–A)
Таким образом, для любого вектора конечной продукции прибыль
равняется нулю. Тогда цены, вычисляемые по формуле С=kb* являются
ценами равновесия по определению. Теорема доказана.
Этот же результат может быть получен из модели равновесных цен, если
предположить, что добавленная стоимость включает только оплату труда.
Решение ценовой модели находится по формуле (10.6): C=STV* ,
если  V*=0b0 , то C=ST0b0=0b0S=0b*=kb*
2.11 Связь между показателями натурального и стоимостного балансов
Теоретически связь между показателями моделей в стоимостном и
натуральном выражении довольно проста. Если С=(с1,с2,...,сn)–набор цен на
продукцию отраслей, а волнистая черта над переменной означает, что
измерения производились по стоимости,, то
~
~
X j  Cj  X j,
Yi  C i  Yi ,
a~ij  C i  aij ,
(11.1)
c a
c
a~ij
~
тогда  ij  ~  i ij  i  ij
(11.2)
X ij c  X
c
j
j
j
~
~
Если обозначить через A  ( ) –матрицу коэффициентов прямых затрат
ij
в стоимостном выражении, а через
обратная матрица:


С-1= 



1
С
1
0


.

1
С 
n
С–диагональную матрицу цен, тогда
0
1
С
2

В
этом
случае
связь
между
матрицами
технологических коэффициентов в натуральном и стоимостном выражении
можно записать:
~
(11.3)
A  C  A  C 1 .
Коэффициенты полных затрат при переходе к стоимостным единицам
меняются в той же пропорции, что и коэффициенты прямых затрат:
~
~
S  ( E  A) 1  (C  ( E  A)  C 1 ) 1  C  ( E  A) 1  C 1  C  S  C 1
(11.4)
Переход от натуральной формы модели межотраслевого баланса к
стоимостной и обратно задается соотношениями:
~ ~
~
C  X  C  A  X  C Y ,
C 1  X  C 1  A  X  C 1  Y
(11.5)
На практике связь межотраслевых балансов в натуральном и
стоимостном выражении значительно сложнее. Балансы в натуральном
выражении имеют обычно более детальную номенклатуру отраслей, что
обусловлено их прямым назначением увязать в едином комплексе частные
материальные балансы важнейших видов продукции. Кроме того этот
переход затруднен также вследствие существенной дифференциации цен
конечного потребления(на продукцию одного наименования). Имеются и
другие причины.
Рассмотренные преобразования могут быть применены и при переходе
к новым ценам. В этом случае Элементами матрицы C являются
новая
коэффициенты перехода Pi  C стараяi , равные отношению новых цен к старым.
Ci
Пример. Рассмотрим двухотраслевую таблицу затраты–выпуск (в
натуральных измерителях)
таблица1
сельск. хоз-во Промышл.
Y
X
Сельское хоз-во
25
20
55
100
Промышленность
14
6
30
50
Затраты труда
80
180
Рассчитаем технологические коэффициенты (таблица2)
Сельское хоз-во
Промышл.
Сельское хоз-во
0.25
0.4
Промышленность 0.14
0.12
Затраты труда
0.8
3.6
Пусть коэффициент оплаты труда 0=2, тогда добавленная стоимость на
единицу продукта =(1.6; 7.2). Составим систему ценовых балансовых
уравнений:
0.25c1  0.14c 2  1.6  c1
 0.4c  0.12c  7.2  c

1
2
2
Решение : С1=4;С2=10
Построим стоимостной баланс.
1
4 0 
 , рассчитаем C-1=  4
C  
 0
 0 10 

0 
; тогда матрица технологических
1 
10 
коэффициентов в стоимостном выражении определится следующим образом:
 0,25 0,16 
~
 ;
A  C  A  C 1  
 0,35 0,12 
валовый выпуск и конечный продукт в
стоимостном выражении соответственно:
~
~
Y  C  Y  (220,300) .
и
X  C  X  (400,500)
Рассчитаем матрицу межотраслевых поставок:
 4 0   25 20  100 80 
  
 .
(a~ )  C  (a )  
  
ij
ij
 0 10   14 6  140 60 
Сведем полученные данные в таблицу:
Сельск.хоз-во
Промышленнос
Сельское
хозяйство
100
140
Промышленность
80
60
Промежуточный
продукт.
180
200
Y
X
220
300
400
500
ть
Итого
Усл. чистая .пр.
V  w 0  b0  X ( d )
240
160
140
380
360
100 0 
  (160;360)
 2  (0,8 ; 3,6)  
 0 50 
520
900
Условно–чистая продукция в стоимостном выражении совпадает с
добавленной стоимостью, представленной оплатой труда:
Цены в данном примере можно было найти по формуле: С=kb*=0 b0S
b0=(0.8;3.6); 0=2;
 1.457 0.662 
 ;
 0.232 1.242 
S= 
C=2(2;5)=(4;10)
 1.457 0.662 
 =(2;5)
 0.232 1.242 
b*=(0.8;3.6) 
2.12. Балансовая модель с включением факторов загрязнения
окружающей среды
Загрязнение окружающей среды является побочным продуктом всякой
нормальной экономической системы. Оно непосредственно связано с
некоторыми процессами производства и потребления, поэтому должно
рассматриваться как часть экономической системы, а следовательно
находить отражение в таблице "затраты–выпуск" Анализ "затраты–выпуск
описывает и объясняет уровень производства в каждой отрасли народного
хозяйства через связь с соответствующими уровнями во всех прочих
отраслях. Технологическая
зависимость между уравнениями выпуска
полезных и вредных продуктов может быть также описана посредством
структурных коэффициентов, сходных с коэффициентами прямых затрат.
Рассмотрим пример: пусть имеется упрощенная экономическая система,
состоящая из двух отраслей (например, сельское хозяйство и
промышленность) и домашних хозяйств.
Отраслевые взаимосвязи представим таблицей "затраты–выпуск"
Пусть сельское хозяйство произвело в отчетном периоде Q1 единиц
загрязнения, а промышленность–Q2 единиц. Для того, чтобы включить эти
данные в таблицу "затраты–выпуск", предположим, что имеется некоторая
третья (фиктивная) отрасль, производящая загрязняющие вещества.
Таблица 12.1
Сельское
Промежуточ.
хозяйство Промышленность.
продукт
P
Сельское хоз.
a11
a12
P1
Промышленность
a21
a22
P2
Фиктивн.отрасль
U1
U2
Кон.продукт Валовой
(дом.хоз-ва) Продукт
Y
X
Y1
X1
Y2
X2
Тогда структурные коэффициенты, характеризующие загрязнение,
получаемое при изготовлении единицы продукции можно рассчитать
следующим образом:
uj 
U
j
Xj
j 1, 2
(12.1)
Рассмотрим новое плановое задание по выпуску конечной продукции:
*
*
Y  (Y ,Y ) Для нахождения валового выпуска нужно построить систему
1
2
балансовых уравнений без учета загрязняющих веществ:
*

A  X  Y *  X


X 0

(12.2),
Затем для полученного валового выпуска X *  ( X1* , X 2* ) вычислить объем
загрязненния: X *  u1  X1*  u2  X 2*
(12.3)
3
Этот же результат можно получить, решая систему балансовых
уравнений, составленную с учетом загрязняющих веществ, т.е. к системе
ограничений (12.2) следует добавить ограничение: u1  X1  u2  X 2  0  X 3
В этом случае в матрицу А добавляется нулевой столбец.
Рассмотрим числовой пример. Отчетный баланс задан таблицей 12.2
Таблица 12.2
Сельское хоз-во
Промышленность
фикт.отрасль
Сельское
хозяйство.
ПромышленНость
25
14
50
20
6
10
Промежут.
продукт
P
Кон.продукт
(дом.хоз-ва)
Y
Валовой
Продукт
X
45
20
55
30
100
50
Найдем матрицу технологических коэффициентов А:
 0.25 0.4 


А   0.14 0.12 
 0.5 0.2 


Коэффициенты 3-ей строки матрицы А показывают, сколько
загрязняющих веществ вырабатывается отраслями экономической системы
при выпуске единицы продукции.
Рассмотрим новое плановое задание по выпуску конечной продукции:
Y=(60,40). Для нахождения валового выпуска нужно построить систему
балансовых уравнений:
 0.25 X 1  0.4 X 2  60  X 1

0.14 X 1  0.12 X 2  40  X 2
Решая эту систему, найдем валовый выпуск Х=(103.9, 63.6)
Тогда общее количество загрязняющих веществ, выработанное всеми
отраслями:
X3=0.5X1+0.2X2=69.67.
Этот же результат можно получить, решая систему балансовых
уравнений ,составленную с учетом загрязняющих веществ.
 0.25 X 1  0.4 X 2  60  X 1

0.14 X 1  0.12 X 2  40  X 2
 0.5 X 1  0.2 X 2  0  X 3

В этом случае в матрицу А добавляется нулевой столбец, а матрица
 1.46 0.66 0 


полных затрат S=(E-A) =  0.23 1.24 0 
 0.77 0.58 1 


-1
X=SY=(103.9, 63.6, 69.67)
Традиционная экономическая статистика изучает производство и
потребление товаров и услуг, которые имеют некоторую положительную
рыночную стоимость. Этим объясняется, почему производство и
потребление одних загрязняющих веществ включается в таблицу "затраты–
выпуск", а производство других (например, угарного газа, образующегося
при работе двигателя внутреннего сгорания) не включаются. Поэтому
величину таких загрязняющих веществ приходится оценивать косвенно,
путем проведения детального анализа технологических связей.
При выполнении конкретных расчетов об измерении загрязнения,
возникает проблема определения издержек и цен в этой области. В рамках
описанной нами системы "затраты-выпуск" любое снижение или увеличение
выпуска загрязняющих веществ происходит либо за счет изменения
конечного спроса, либо изменения технологии, а также за счет определенной
комбинации этих двух факторов.
Предположим, что начат некоторый процесс по переработке
загрязняющих веществ (или по предотвращению их образования). Этот
процесс осуществляется некой отраслью и требует затрат 2 человеко–часов
труда, 0.2 единицы продукции промышленности на 1 единицу загрязняющих
веществ. Включим в таблицу "затраты-выпуск" отрасль, занимающуюся
переработкой загрязняющих веществ.
Таблица 12.3
Сельское
хозяйство
Сельское хоз-во
25
Промышленность
14
фикт.отрасль
50
затраты труда
0.8
добавл.
0.8
стоимость
Промышленность.
20
6
10
3.6
3.6
Промеж. Кон.продукт Валовой
Переработ. продукт (дом.хоз-ва) Продукт
загрязязн..
P
Y
X
0
45
55
100
0.2
20
30
50
-Y3
0.2
0.2
Строка добавленная стоимость получается умножением затрат труда на
ставку оплаты одного человека–часа W0=1 (в данном случае). Y3 означает
количество непереработанных загрязняющих веществ.
Составим систему балансовых уравнений для расширенной таким
образом системы при условии, чтоY=(55,30,30)
 0.25  X 1  0.4  X 2  0  X 3  55  X 1

0.14  X 1  0.12  X 2  0.2 X 3  30  X 2
 0.5  X 1  0.2  X 2  0  X 3  30  X 3

Найдем матрицу S=(E-A)-1.
 1.57 0.75 0.15 


S=  0.45 1.4 0.28 
 0.87 0.65 1.13 


Коэффициенты 3-го столбца матрицы S показывают, сколько требуется
произвести продукции в каждой отрасли народного хозяйства для
уменьшения на единицу объема загрязняющих веществ, а отрасль,
перерабатывающая загрязняющие вещества должна
дополнительно
переработать 1.131 ед. загрязняющих веществ, чтобы снизить уровень их
конечного выхода на единицу.
Найдем решение системы : X=SY=(104.5;58.4; 33.9)
Для расчета объема загрязняющих веществ мы использовали модель
равновесного выпуска. Построим таблицу "затраты–выпуск" планового
баланса.
Таблица 12.4
Промеж. Кон.продукт Валовой
Сельское Промыш- Переработка продукт (дом.хоз-ва) Продукт
хоз-во
ленность Загрязнений
P
Y
X
Сельское хоз-во
26.1
23.4
0
49.5
55
104.50
Промышленн.
14.6
7
6.8
28.4
30
58.4
фикт.отрасль
52.2
11.70
63.9
-30
33.9
Обе отрасли произвели 52.2+11.7=63.9 ед. загрязняющих веществ, из
них 33.9 переработано третьей отраслью и 30 единиц осталось не
переработанными
Определение цены переработки загрязняющих веществ.
 AT  „  V   C
Используем ценовую балансовую модель:


C 0
Так как в экономическую систему включена отрасль по переработке
загрязняющих веществ в матрицу A включается столбец, содержащий
затраты этой отрасли, необходимые для предотвращения(переработки)
единицы загрязнений. При этом следует рассмотреть два случая:
*
отрасль не оплачивает переработку загрязняющих веществ;
*
отрасль полностью (частично) оплачивает переработку.
В первом случае в ценовое уравнение, соответствующее этой отрасли, не
включаются затраты на переработку, т.е c p  ui  0 .Во втором случае –эти
затраты включаются полностью или частично, т.е. c p  ui  0 , здесь Cp–цена
переработки загрязняющих веществ.
Рассмотрим числовой пример(по данным таблицы 12.3)
Система
ценовых
уравнений
запишется
следующим
образом:
0.25  C1  0.14  C 2  0.8  C 1

 0.4  C 1  0.12  C 2  3.6  C 2

0.2  C 2  2  C 3

Третье уравнение показывает, что цена переработки должна покрывать
затраты на переработку и добавленную стоимость. В данном случае мы
предполагали, что в цену отраслевой продукции не включается оплата
переработки загрязняющих веществ. Переработка оплачивается за счет
конечного потребителя (напрямую или в виде налогов)
Из решения этой системы получаем, что C= (2; 5; 3) . C3=3- цена
переработки единицы загрязняющих веществ.
Система цен будет иной, если каждая отрасль за свой счет будет
оплачивать переработку всего объема или части своих отходов. Пусть,
например, сельское хозяйство и промышленность оплачивают 50%
переработки загрязняющих веществ, которые они производят. Тогда система
ценовых
уравнений
изменится:
в
уравнения,
соответствующие
производящим отраслям должна быть включена стоимость переработки 50%
отходов.
Система ценовых уравнений примет следующий вид:
0.25  C  0.14  C  0.25C  0.8  C 1
1
2
3

0
.
4

C
1

0
.
12

C
2

0
.
1
„
3

3. 6  C 2


0. 2  C 2  2  C 3

Теперь покупая, например, единицу продукции сельского хозяйства
потребитель платит за переработку некоторого объема загрязняющих
веществ, аналогично, как и при покупке продукции промышленности. С
точки зрения конечного потребителя, в конечном счете, полезность всех его
расходов остается прежней: уплатив за борьбу с загрязнением косвенно
(через цены), напрямую он будет платить меньше (например, за счет
налогов).
2.12. Примеры решения задач
Задача 1. Построить балансовую модель и найти ее решение для
заданного плана по конечной продукции Y  200,300  . Построить плановый
баланс. Как изменится валовый выпуск при увеличении конечного спроса в
1 - ой отрасли на 20 %. Отчетный стоимостной баланс задан в следующей
таблице
1
2
Итого:
1
60
80
140
V
200  140  60
Х
200
2
30
50
80
400-80=320
400
Р
30+60=90
80+50=130
220
380
600
У
110
270
380
Х
110+90=200
270+130=400
600
1. Найдем матрицу технологических коэффициентов A
 а11 а12 


х
х
1
2

   11 12    0,3 0,075  .
А
 а21 а22    21  22   0,4 0,125 
 х
х2 
 1
Матрица A продуктивна в соответствии с достаточным признаком
n
продуктивности: (   ij  1 )
i 1
0,3x1  0,075 x2  200  x1
2. Построим балансовую модель: 0,4 x1  0,125 x2  300  x2
x1  0, x2  0
Так как матрица A продуктивна, существует единственное
неотрицательное решение системы балансовых уравнений, которое найдем
методом обратной матрицы: X  S  Y .
3. Рассчитаем матрицу полных затрат S  E  A1 точным методом
a) ( E  А)  1 0    0,3 0,075    0,7  0,075 
 0 1  0,4 0,125    0,4 0,875 
следовательно,
det( E  А)  det 0,7  0,075   0.5825  0 ,
  0,4 0,875 
существует обратная матрица S  E  A1 .
в) Для нахождения обратной матрицы построим матрицу из
алгебраических дополнений к элементам матрицы A (присоединенную
матрицу Aij ) и транспонируем её.
b)
Алгебраическое дополнение к элементу aij равняется Aij  (1)i J  M ij ,
где M ij - дополнительный минор к элементу aij . M ij –это определитель
матрицы, полученной из исходной вычеркиванием строки i и столбца j .
A11  (1)11  M 11  0,875 ;
A12  (1)12  M 12  (0,4)  0,4 ;
A21  (1) 21  M 21  (0,075)  0,075 ;
A22  (1) 2 2  M 22  0,7
 0,875 0,4  ; A T =  0,875 0,075  , тогда
Aij = 

 0,4 0,7

ij
 0.075 0,7 


1
1,5 0,13 
S
 Aij T  
.
det( E  A)
 0,69 1,2 
г) Найдем решение системы балансовых уравнений: X  S  Y
1,5 0,13   200   339,06 
X  S  Y  


 
 0,69 1,2   300   497,85 
д) Рассчитаем плановые межотраслевые поставки aij   ij  x j
и
построим плановый стоимостной баланс.
a11  0,3  339,06  101,72 .; a12  0,075  497 ,85  37,34
a21  0,4  339,06  135,62 ; a22  0,125  497 ,85  62,23
Плановый баланс представлен в следующей таблице.
1
2
итого
V
X
1
101,72
135,62
238,34
100,72
339,06
2
37,34
62,23
101,57
396,28
497,85
P
Y
X
139,06
197,85
336,91
500,00
836,91
200,00
300,00
500,00
339,06
497,85
836,91
e) Пусть плановое задание по конечной продукции в первой отрасли
увеличиться на 20%, т.е y1  200  0,2  40 , y2  0 .Тогда валовой выпуск
 40   60 
.
увеличиться на X  S  Y  1,5 0,13      
 0,69 1,2   0   27,6 
Задача 2. На основе межотраслевого баланса задачи 1 решить
балансовую модель с факторами производства при следующих условиях: в
отчетном периоде использовались труд и основные фонды в следующих
количествах (в стоимостном измерении).
Отрасли
1
2
Валовой выпуск
100
30
150
50
200
400
ресурсы
Основные фонды
труд
В плановом периоде наличные объемы этих факторов ограничены и
задаются вектором D  ( 200,150), плановое задание по конечному продукту
Y  200,300  .
 A  X  Y  X 1
(2)
Запишем модель с факторами производства:  X  0
 B  S  Y  D (3)
Для нахождения решения по этой модели прежде всего необходимо
проверить выполнение условия (3). Матрицы A и S
были найдены в
предыдущей задаче.
1. Пусть bij -затраты фактора i на производство продукции в отрасли j
в отчетном периоде. Тогда коэффициент прямых затрат фактора i на единицу
bij
продукции отрасли j  ij  . Найдем матрицу прямых затрат факторов
xj
производства B .

12  100 200 150 400   0,5 0,375 
В   11
=
.

  21  22   30 200 50 400   0,15 0,125 
2. Найдем матрицу полных затрат факторов производства на единицу
продукции
0,5 0,375  1,5 0,13   1,01 0,52 
B *  B  S = 
.
 =
 
 0,15 0,125   0,69 1,2   0,31 0,17 
3. Рассчитаем потребность в факторах производства на выполнение
 1,01 0,52   200   356,22 
планового задания: Z  B  S  Y  B *  Y  
 
 =

 0,31 0,17   300   113,09 
4. Сравним потребность с имеющимися объемами факторов
производства D  ( 200,150). Очевидно, что фактор «труд» имеется в
достаточном количестве, а фактора «основные фонды» не хватает, поэтому
следует скорректировать плановое задание.
Для сохранения структуры выпуска все коэффициенты вектора Y
должны быть уменьшены в одно и тоже число раз. Рассчитаем коэффициент
150 
 200
d
масштабирования k  min ( i ) = min 
;
 =0,56.
zi
 356,22 113,09 
i
Тогда новое плановое задание Yk  k  Y  0,56  (200,300 )  (112,168) ;
1,5 0,13  112  189,87 
X  S  Yk   
=
.
 
 0,69 1,2  168   278,8 
Задача 3. По данным задачи 1 определить индексы цен продукции
отраслей, если добавленная стоимость будет включать только оплату труда.
Коэффициент оплаты труда  0  2 . Как изменятся индексы цен, если
добавленная стоимость кроме оплаты труда будет включать прибыль.
Затраты труда отчетного периода заданы вектором b  (50,80) , прибыль в
расчете на единицу продукции   (2, 4) .
Рассмотрим ценовую балансовую модель:
 АТ  Р  V '  P
, где P  ( p1 , p 2 ) -индексы цен, V ' - доля добавленной
P  0

стоимости. Индексы цен определяются по следующей формуле P  S T  V '
1. Рассчитаем оплату труда. Для этого определим вектор прямых затрат
труда
по
данным
отчетного
периода:
b b
 30 50 
b0  ( 1 ; 2 )  
;
  0,15; 0,125  . Тогда заработная плата на единицу
X 1 X 2  200 400 
продукции ZP  w0  b0  2  (0,15; 0,125)  (0,3; 0,25) . Следовательно, доля
добавленной стоимости V '  ZP  (0,3; 0,25) .
2. Составим систему ценовых балансовых уравнений:
0,3  p1
0,4   p1   0,3   p1 
 0,3 p1  0,4 p2 
 0,3

     
    или 
 0,075 0,125   p2   0,25   p2 
0,075 p1  0.125 p2  0,25  p2
3. Найдем решение этой системы методом обратной матрицы: .
 1.5 0.69   0,3   0,62 
P  S T  V '  
  
  

 0,13 1,2   0,25   0,34 
4. Рассчитаем изменение цен при включении в долю добавленной
стоимости прибыли   (2, 4) , т.е. V '  (2,4) . Так как матрица S T является
ценовым мультипликатором, изменение индексов цен определится
 1.5 0.69   2   5,75 
следующим образом: P  S T  V '  
   
.
 0,13 1,2   4   5,06 
Контрольные вопросы
1. Суть балансового метода.
2. Понятие межотраслевого баланса. Виды межотраслевых балансов.
3. Содержание разделов межотраслевого баланса
4. Отличие между промежуточным и конечным продуктом.
5. Вычисление национального дохода в балансе.
6. Понятие и содержание условно- чистой продукции.
7. Основные балансовые соотношения межотраслевого баланса.
8. Предположения, лежащие в основе построения балансовой модели.
9. Простая балансовая модель Леонтьева и ее экономическая
интерпретация.
10. Матрица технологических коэффициентов, ее экономический
смысл.
11. Понятие продуктивности матрицы технологических коэффициентов
(определение, экономический смысл, теоремы о продуктивности)
12. Матрица полных затрат, ее экономический смысл и методы
вычисления.
13. Факторы производства. Определение потребности в факторах
производства.
14. Балансовая модель с факторами производства и условия ее
разрешимости.
15. Ценовая балансовая модель и ее экономическая интерпретация.