Математик года 2012» «Велика наука! …И не заняться ей нельзя

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа с.Клинцовка
Пугачевского района Саратовской области»
Работа на конкурс: «Математик года 2012»
«Велика наука!
…И не заняться ей -нельзя…»
«Некоторые применения
математики в экономике».
Работу подготовила
ученица 10 класса
МОУ СОШ с.Клинцовка
Дегтярева Ирина
Руководитель: Золотова
Елена Александровна.
2011-2012 учебный год
1
«Некоторые применения математики в экономике».
« В каждой науке заключено
столько истины, сколько
в ней математики»
И.Кант.
Я решила рассказать о применении математики в экономике, которая меня очень
заинтересовала. В будущем я мечтаю стать экономистом.
Сегодня встает вопрос об экономической грамотности общества, его экономической
культуре, о том, чтобы выпускники школ имели ясное представление об общечеловеческой
значимости экономики, не уступающей всем тем наукам, которые в течение нескольких лет мы
изучали в школе.
Цель моего проекта: познакомить с математическими моделями задач экономического
содержания, которые мы рассматриваем в курсе математики общеобразовательной школы.
Актуальность темы проекта заключаются в том, что задачи подобного рода приходится
решать постоянно. Они встречаются и среди текстовых задач на вопросах государственной
итоговой аттестации по математике в 9 классе и едином государственном экзамене 11
классе, а также в повседневной жизни.
Математические модели давно стали необходимым аспектом для изучения экономических
объектов, процессов и методов их исследования. Особенность моделирования экономических
процессов состоит
в исключительном многообразии и разнородности предмета
моделирования.
Текстовые задачи экономического содержания школьного курса математики можно
соотнести по следующим видам: на вычисление процентов, сплавов и смесей; задачи на
вычисления производительности, работы; задачи на вычисления наибольшего и наименьшего
значений. Рассмотрим некоторые из них более подробно.
1. Задачи на смеси и сплавы.
При решении данных задач используются различные методы решений, в зависимости от
типа задач.
1.
Задачи на понижение концентрации.
2.
Задачи на повышение концентрации.
3.
Задачи на «высушивание»
4.
Задачи на смешивание растворов разных концентраций.
5.
Задачи на переливание.
Приведу примеры некоторых из них:
1) Сироп содержит 18% сахара. Сколько килограммов воды нужно добавить к 40 кг сиропа,
чтобы содержание сахара составило 15%?
2)Сплав массой 36 кг содержит 45% меди. Сколько меди нужно добавить, чтобы новый
сплав содержал 60% меди?
3)Если из 10 кг абрикосов получается 8 кг кураги, содержащей 42% воды, то сколько
процентов воды содержат свежие абрикосы?
2
4)Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л спирта и наливают 1 л воды. После
перемешивания отливают 1 л смеси и наливают 1 л воды, так поступают 10 раз. Сколько
останется спирта в сосуде после десяти отливаний?
5)10%-ный раствора спирта. Из сосуда отлили 1/3 содержимого, а оставшуюся часть
долили водой так, что сосуд оказался на 5/6 первоначальной массы. Какое процентное
содержание спирта оказалось окончательно в сосуде?
Рассмотрим решение, например, последней задачи:
Пусть в сосуде 100 г раствора, тогда в сосуде 10 г спирта и 90 г воды. После того, как
отлили 1/ 3 содержимого, масса стала 200/3 г, причём спирта 20/3 г. В раствор долили воды,
и его масса стала 100* 5/6= 250/3 г.
Таким образом, процентное содержание спирта: ( 20/3 : 250/3) * 100%=8%.
Ответ: 8%.
2.Задачи на проценты.
Эти задачи очень актуальны для нашего общества для расчёта спроса и предложения на
рынке торговли, в банковском деле, в статистике и т.п.
Приведу примеры некоторых из них:
1. Молокозавод планирует увеличить выпуск продукции на 10%. На сколько процентов
увеличиться чистая прибыль завода, если отпускная цена его продукции возросла на 15%, а её
себестоимость для завода, которая до этого составляла ¾ отпускной цены, увеличилась на
20%?
2.Гражданин Н собирается взять ссуду в коммерческом банке. Определите максимальную
величину суммы (в рублях), которую гражданин Н может взять у банка под 20% годовых,
если он хочет полностью расплатиться с банком в течение двух лет, выплачивая в конце
каждого года не более, чем 90 000 руб.
3.Население города за два года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний
ежегодный процент роста населения этого города.
Рассмотрим решение последней задачи:
Пусть х средний ежегодный процент роста населения. Тогда 20000х *0,01=200х – человек
прибавившегося населения за 1-ый год.;
(20000+200х) человек - стало через год.;
0,01(20000+200х)- человек населения, прибавившегося за 2-ой год.
Зная, что население города составило 22050 человек, составим математическую модель:
20000+200х+0,01х(20000+200х)=22050;
х²+200х-1025=0.
По теореме Виета, легко увидеть, что корни этого уравнения х1 = 5 и х2 = -205.
По смыслу задачи х- положительное число, поэтому ответ 5%.
Ответ:5%.
3.Задачи на работу, производительность.
Эти задачи так же актуальны и важны в экономике для расчётов производительности,
работы и функционирования фабрик, заводов и других предприятий.
1)Автоматизированная мойка машин обслуживает 20 автомобилей на 5 часов быстрее, чем
ручная мойка обслуживает 45 автомобилей. За сколько часов ручная мойка обслужит 105
3
автомобилей, если автоматизированная мойка обслуживает за 1 час на 7 автомобилей больше,
чем ручная?
2)В цехе есть новые и старые станки. Производительность старого и нового станков
относятся как 2:9. Заказ можно выполнить с помощью пяти старых и двух новых станков за
определённое время. Сколько процентов заказа можно выполнить за это же время с помощью
шести старых и одного нового станка?
3)Опытный рабочий изготавливает 40 деталей на 2 часа быстрее, чем молодой рабочий
изготавливает 30 деталей. За сколько часов оба этих рабочих изготовят вместе 120 деталей,
если за 1 час опытный рабочий изготавливает на 5 деталей больше молодого рабочего?
Приведу пример решения последней задачи:
Пусть х деталей в час изготавливает молодой рабочий, тогда (х +5) деталей изготавливает
опытный рабочий. 30/х –время изготовления 30 деталей молодым рабочим, тогда 40/х +5 –
время выполнения 40 деталей опытным рабочим.
Зная, что 2 часа разность выполнения работы, составим математическую модель:
30/х – 40/(х+5)=2;
30(х+5)-40х=2х(х+5)
30х+150-40х=2х²+10х
х²+10х-75=0
По теореме Виета легко увидеть, что корнями этого уравнения являются числа 5 и -15, но –
число - 15 не удовлетворяет условию задачи, так как количество деталей не может быть
отрицательным. 5 деталей изготавливает молодой рабочий за час. 10 деталей изготавливает
опытный рабочий.
120/(5+10)= 120/15= 8 (ч)- Время изготовления 120 деталей.
Ответ: 8 часов.
4. Задачи на нахождение наименьшего или наибольшего значений.
Эти задачи используют для нахождения наибольшей или наименьшей стоимости, выпуска,
затратах продукции и т.д.
Пример: Фирма выпускает прогулочные и спортивные велосипеды. Ежемесячно сборочный
цех способен собрать 600 прогулочных и 300 спортивных велосипедов.
Готовая продукция проверяется на двух стендах: А и В. Каждый прогулочный велосипед
проверяется 0,3 ч на стенде А и 0,1 ч на стенде В, а каждый спортивный велосипед проверяется
0,4 ч на стенде А и 0,3 на стенде В. По технологическим причинам стенд А не может работать
более 240 ч в месяц, а стенд В- не более 120 ч в месяц. Каждый прогулочный велосипед
приносит фирме доход в 50000 рублей, а каждый спортивный- 90000 рублей. Сколько
прогулочных велосипедов и сколько спортивных велосипедов должна ежемесячно выпускать
фирма, чтобы её прибыль была наибольшей?
Составим математическую модель этой задачи.
Обозначим через х (десятков) количество прогулочных велосипедов, выпускаемых
ежемесячно фирмой, а через y(десятков) количество спортивных велосипедов.
По условию, 0≤х≤60, 0≤y≤30.
Это кол-во велосипедов обрабатывается 3х + 4y часов на стенде А и х +3 часов на стенде В.
Далее, по условию 3х+4у≤240, а х+3≤120. Прибыль фирмы составляет S=500000х+900000у.
4
Таким образом, мы пришли к следующей математической задаче: найти числа х и у,
удовлетворяющие системе неравенств:
3х +4у≤240,
Х+3у≤120,
х≥0,
у≥0,
х≤60,
у≤30.
И такие, чтобы прибыль S была наибольшей.
Решением данной задачи является выпуск 480 прогулочных и 240 спортивных велосипедов.
При этом наибольшая прибыль фирмы составляет S= 45,6 * 107 руб.
Полученный результат показывает возможности фирмы при работе в « идеальных
условиях», так как при составлении модели мы пренебрегли очень многими факторамине
учли возможный брак
велосипедов, поломку станков и стендов, возможную нехватку
электроэнергии.
Ответ: 480 и 240.
Рассмотренные мною примеры решений задач, представленных выше видов, конечно
же не являются
достаточными для полного овладения
умением решать задачи
экономического содержания, но при этом они помогают
использовать приобретенные
теоретические знания, на практике. Я считаю, что выпускник общеобразовательной школы,
оканчивая её, должен иметь представление об экономике как совокупности методов,
создающих условия для роста прогресса человечества.
В этом ему помогут знания
математики. Ведь еще Жуковский Н.Е. говорил: «В математике есть тоже своя красота, как в
живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очертанных идеях, где
на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает нас в широких замыслах,
скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее».
5