Цифровая обработка одномерных интерферограмм

УДК 535.14(06)+004.056(06) Фотоника и информационная оптика
Н.Г. ВЛАСОВ, С.М. КУЛИШ
Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ОДНОМЕРНЫХ ИНТЕРФЕРОГРАММ
В работе предложен метод, позволяющий определять величину сдвига фазы
между одномерными интерферограммами с точностью во много раз большей, чем
сдвиг фаз между соседними пикселями изображения.
В последние годы метод фазовых шагов (сдвигов) становится основным в цифровой обработке интерферограмм. Напомним, что в соответствии с ним в компьютер последовательно вводится несколько интерферограмм одного и того же исследуемого объекта, отличающихся друг от
друга фазой опорного волнового поля. Пространственное распределение
интенсивности в них описывается независимыми уравнениями, что и позволяет вычислить фазу объектного волнового поля в каждой точке (пикселе) плоскости изображения.
По понятным причинам, например в связи с ограничением быстродействия измерительной системы, значительно увеличить её точность за счет
увеличения числа обрабатываемых интерферограмм (числа шагов) невозможно.
Зарубежными авторами предложен пространственный аналог метода
фазовых шагов, требующий, однако, введения несущей пространственной
частоты, сравнимой с голографической. Таким образом, теряется основное, по сравнению с цифровой голографией, преимущество – снижение
требований к разрешающей способности ПЗС-матрицы.
В [1] нами показано, что названный недостаток устраняется при переходе к исследованию одномерных фазовых объектов, типа прозрачной
или отражающей ступеньки, напыленной на плоскопараллельную пластинку. Число пространственных фазовых шагов возрастает тогда до нескольких десятков, что позволяет в принципе аттестовать такую пластинку как образцовую для поверки интерферометров.
В настоящей работе обсуждается альтернативный вариант такой аттестации. Пусть интерферограмма получена в полосах конечной ширины,
расположенных перпендикулярно ступеньки, и её верхняя часть, в которой напыление отсутствует и нижняя часть (с напылением) усреднены в
направлении, совпадающим с направлением полос. Таким образом, после
вычитания постоянной составляющей, остаются два одномерных распреISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 15
129
УДК 535.14(06)+004.056(06) Фотоника и информационная оптика
деления интенсивности, описываемых функциями cos(x) и cos(x  ) ,
где искомый сдвиг фазы  вызван наличием ступеньки. Таким образом,
задача сводится к разработке пространственного анализа гетеродина и
достижения сравнимой с ним точности.
Рассмотрим несколько более общую задачу: пусть в результате эксперимента мы получаем заданные дискретно с шагом h на отрезке [a, b] две
периодические (с одинаковым периодом) достаточно гладкие функции
f(x) и g(x), которые сдвинуты друг относительно друга по оси X на некоторую неизвестную величину T, т. е. f ( x)  g ( x  T ) . Требуется найти с
максимально возможной точностью эту величину сдвига T.
В такой сравнительно простой постановке решение можно найти (с
учетом дискретности и реальных погрешностей в полученных функциях)
следующим образом.
b
Рассмотрим интеграл (функционал) H (T ) 
 f ( x)  g ( x  T ) dx . Искоa
мая величина T определится из требования минимальности этого функционала с учетом экспериментальных погрешностей (из-за дискретизации
данных, аппаратных ошибок, флуктуаций и т.п.).
Рассматривая нахождение минимума функционала с точностью порядка шага – расстояния между ближайшими точками аргумента, в которых
задаются функции f(x) и g(x) – мы не встретим особых сложностей, использую информацию о поведении функционала вблизи его минимума.
Однако особый интерес представляет задача в случае, когда мы имеем
подробную информацию о поведении функционала как функции от T – в
достаточно большом количестве точек. Подчеркнем дополнительно, что
значение функционала в каждой точке определяется интегральным поведением обоих функций на всей области их задания – отрезке [a,b]. Тогда,
учитывая вышеприведенное, можно ожидать, что детальный анализ повеb
дения функционала как функции от T H (T ) 
 f ( x)  g ( x  T ) dx
может
a
позволить определить T, при котором достигается минимум функционала
со значительно большей точностью, чем шаг задания аргумента функций
f(x) и g(x).
Рассмотрим функции f ( x)  A cos(x) и g ( x)  A cos(( x  T0 )) . Тогда
выражение для функционала
130
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 15
УДК 535.14(06)+004.056(06) Фотоника и информационная оптика
b

H (T )  A cos(( x  T ))  cos(( x  T0 )) dx 
a
b

2 A sin(0,5(T  T0 )) sin(( x  0,5(T  T0 )) dx
a
при достаточно малом T имеет асимптотическое приближение
b
b


a
a
H (T )  A T  T0 sin(( x  0,5(T  T0 ))) dx  A T  T0 sin(x) dx .
T T0
Ясно, что вблизи точки T0 функционал
b

H (T )  A cos(( x  T ))  cos(( x  T0 )) dx
a
ведет себя подобно функции y  Ń T  T0 . Более точно – в этом выражении C не константа, а медленно меняющаяся функция от T.
Мы провели численный эксперимент – вблизи точки минимума функционала находили координату x точки пересечения двух прямых, проведенных через две ближайших точки слева и соответственно две точки
справа от точки минимума функционала.
Несмотря на упрощенную процедуру – линеаризацию функционала
слева и справа от точки минимума и вычисление определенного интеграла
методом прямоугольников оказалось, что даже такая упрощенная модель
позволяет восстановить значение сдвига фаз функций с погрешностью не
более 0,5% от величины шага h.
При уменьшении шага дискретизации задания функций погрешность
определения сдвига фазы уменьшалась пропорционально – кратность
уточнения или обратная ей величина – относительная погрешность –
практически заметно не изменялась.
Таким образом, поставленная задача – аттестация образцовой меры
для поверки интерферометров может быть решена с точностью, не худшей чем 5 10 3  .
Список литературы
1. Власов Н.Г., Тханг Нгуен Ван Расчет интерферограмм одномерных объектов с повышенной точностью // Измерительная техника. 2006. №8. С.37-38.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 15
131