Раздел дисциплины - Высшая школа экономики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный институт электроники и математики
(технический университет)»
«СОГЛАСОВАНО»
«УТВЕРЖДАЮ»
Декан факультета
Проректор по учебной работе
______ ________/Белов В.А./
_____________/А.Ф. Каперко/
«___»_______________2011 г.
"____"_____________ 2011 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
Наименование дисциплины: Управляемые случайные процессы
Направление подготовки: 010400 – Прикладная математика и информатика
Профиль: ____________________________________________________
Квалификация выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Факультет: Прикладной математики
Кафедра: Исследование операций
Москва 2011
2
1. Цели и задачи дисциплины
Дисциплина «Управляемые случайные процессы» относится к математическому
и естественно-научному циклу (его специальной части) и обеспечивает логическую
взаимосвязь между её основными теоретическими дисциплинами (теория вероятностей и
математическая статистика, теория случайных процессов, теория оптимизации) и
специальными дисциплинами. Изучение этой дисциплины направлено на формирование
профессиональных компетенций по физическому описанию строить и анализировать
математические стохастические модели реальных процессов.
Задачи дисциплины — дать основы:
 теории управления случайными процессами;
 методов построения математических моделей;
 решения задач оптимизации и построения оптимальных стратегий управления.
2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Данная
дисциплина
относится
к
специальной
части
математического
и
естественно-научного цикла. Она является естественным продолжением базовых
дисциплин «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Теория случайных
процессов и процессы массового обслуживания».
Требования к входным знаниям, умениям и компетенциям студента, необходимым
для её изучения: студент должен

знать: базовые понятия и определения, используемые в стохастических
курсах, и основные методы анализа стохастических моделей;
3

уметь: использовать алгоритмические приёмы решения стандартных задач
теории вероятностей, вычислять вероятностные характеристики случайных
величин и процессов, строить статистические оценки;

владеть: теоретическим материалом, позволяющим формулировать и решать
задачи, возникающие в ходе изучения данной дисциплины, правильно применять
теоремы теории вероятностей и математичкой статистики.
3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по направлению «прикладная математика и
информатика (бакалавр)»:
А) общекультурных (ОК):
 способность осознать социальную значимость своей будущей профессии, обладать
высокой мотивацией к выполнению профессиональной деятельности (ОК-9);
 способность и готовность к письменной и устной коммуникации на родном языке
(ОК-10);
Б) профессиональных (ПК):
 способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук,
математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов
теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой (ПК-1);
 способность приобретать новые научные и профессиональные знания, используя
современные образовательные и информационные технологии (ПК-2);
 способность осуществлять целенаправленный поиск информации о новейших
научных и технологических достижениях в сети Интернет и из других источников
(ПК-6);
4
 способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных
научных
исследований,
соответствующим
необходимые
для
формирования
выводов
по
научным, профессиональным, социальным и этическим
проблемам (ПК-7);
 способность
формировать
суждения
о
значении
и
последствиях
своей
профессиональной деятельности с учетом социальных, профессиональных и
этических позиций (ПК-8);
 способность решать задачи производственной и технологической деятельности на
профессиональном уровне, включая: разработку алгоритмических и программных
решений в области системного и прикладного программирования (ПК-9);
 способность приобретать и использовать организационно-управленческие навыки в
профессиональной и социальной деятельности (ПК-11);
 способность использования основ защиты производственного персонала и
населения от возможных последствий аварий, катастроф, стихийных бедствий и
применения современных средств поражения, основных мер по ликвидации их
последствий,
способность
к
общей
оценке
условий
безопасности
жизнедеятельности (ПК-13);
В результате изучения дисциплины студенты должны:
иметь представление о принципах формулирования задач оптимизации процессов
управления в стохастических моделях;
знать: математические методы исследования стохастических моделей;
уметь:
 формализовывать постановки задач управления случайными полумарковскими
процессами в условиях полной и неполной информации;
 используя
математические
результаты,
анализировать
и
исследовать
разработанные модели;
формировать компетенции:
 по физическому описанию строить математические модели;
 использования математических методов решения задач оптимального управления и
построения вычислительных алгоритмов.
5
4. Объём дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
Всего
часов/у.е.
Аудиторные занятия (всего):
54
В том числе
Лекции
36
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
18
Лабораторные работы (ЛР)
−
Самостоятельная работа (всего)
90
В том числе
Курсовой проект (работа)
18
Расчётно-графические работы
Реферат
Вид промежуточной
аттестации (зачёт, экзамен)
Общая трудоёмкость,
часы
зачётные единицы
Экзамен
зачет
144
6
4. Содержание дисциплины.
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№
Раздел дисциплины
Аудиторные
занятия
П
№/
п
Лекции
Построение
1
объектов управления – управляемых
1.
ПЗ
6
2
8
4
12
6
10
6
полумарковских процессов. Исследование свойств
вероятностных
характеристик,
определяющих
полумарковский процесс.
2
Задача оптимального управления. Построение
целевых функционалов достижения. Теоремы о
свойствах оптимальных стратегий.
3
Построение
накопления.
целевого
Исследование
функционала
асимптотического
поведения функционала накопления. Теоремы о
свойствах оптимальных стратегий.
4
Задачи
управления
различными
характеристиками системы массового обслуживания
(структурой
системы,
входящим
длительностью обслуживания).
потоком,
7
4.2. Содержание разделов дисциплины
Р а з д е л 1. Определение полумарковского процесса, свойства полумарковского
ядра, построение вероятностной меры на траекториях полумарковского процесса.
Определение управляемого полумарковского процесса, свойства полумарковского ядра.
6 часов.
Р а з д е л 2. Постановка задачи управления, определение стратегий управления,
их свойства. Определение функционала достижения (математического ожидания времени
и
математического
ожидания
накопленного
эффекта).
Вычисление
функции
распределения времени достижения подмножества состояний отказа. Вывод уравнений
для функционалов достижения. Теоремы о структуре этих функционалов. Лемма о
сведении поиска экстремума дробно-линейного функционала к поиску специально
подобранного линейного функционала. Теорема о структуре оптимальных стратегий
управления. 8 часов.
Р а з д е л 3. Определение функционала накопления. Вывод уравнений для
функционалов
накопления.
Исследование
характеристик
вложенных
процессов
восстановления. Исследования асимптотического поведения функционала накопления.
Теорема о структуре оптимальных стратегий управления. 12 часов.
Раздел
4. Задачи управления различными характеристиками системы
массового обслуживания (структурой системы, входящим потоком, длительностью
обслуживания). Построение полумарковского ядра, описание множества принимаемых
решений (при управлении структурой системы дискретное множество управлений).
10 часов.
8
4.3 Понедельный план проведения занятий: лекционных и практических.
Номер
Вид
Тема
занятия занятий
1
Лекция
1
Вводные замечания. Примеры управляемых
систем
массового
надежности,
встречающихся
Конструктивное
процесса.
обслуживания
моделей
на
построение
Исследование
и
практике.
полумарковского
свойств
полумарковского
ядра.
2
Лекция
2
Частные
случаи
полумарковского
процесса
(процессы восстановления и Марковские процессы с
непрерывным временем). Конструктивное построение
управляемого полумарковского процесса.
3
ПЗ 1
Построение полумарковского ядра для модели
надежности (технического облуживания системы как
единого целого).
4
Лекция
3
Исследование
полумарковского
свойств
процесса,
полумарковского
процесса
полумарковского
процесса.
ядра
управляемого
связь
характеристик
и
управляемого
Способы
задания
управляемого полумарковского процесса.
5
Лекция
4
Постановка задачи оптимального управления.
Определение
управления
определяющих
объекта
и
их
управления,
свойств,
качество
стратегий
функционалов,
управления.
Построение
целевого функционала накопления, определенного на
траекториях управляемого полумарковского процесса.
6
ПЗ 2
Построение
полумарковского
описывающего работу системы M/G/1/N.
процесса,
9
7
Лекция
5
Вывод интегральных уравнений для функций
распределения
множества
времени
достижения
состояний.
Вывод
заданного
алгебраических
уравнений для математических ожиданий времени
достижения заданного множества состояний.
8
Лекция
6
Теорема о структуре функционала накопления.
Лемма
о
сведении
линейного
поиска
функционала
экстремума
к
поиску
дробно-
экстремума
специально подобранного линейного функционала.
9
ПЗ 3
Построение
процесса
для
управляемого
модели
полумарковского
надежности
(мгновенная
индикация отказа и без индикации отказа).
10
Лекция
7
Теорема
о
структуре
экстремального
распределения, доставляющего экстремум линейного
функционала, и ее следствия.
11
Лекция
8
Построение
аддитивного
функционала
накопления,
определенного
на
управляемого
полумарковского
процесса.
интегральных
ожидания
уравнений
накопленного
для
траекториях
Вывод
математического
эффекта
на
конечном
интервале времени.
12
ПЗ 4
Исследование функционала достижения для
моделей надежности.
13
- 14
Лекции
9 - 10
Исследование
асимптотического
разложения
аддитивного функционала накопления. Определение
характеристик
разложения
характеристики,
через
определяющие
исходные
управляемый
полумарковский процесс.
15
ПЗ 5
Исследование коэффициента готовности для
моделей надежности.
16
Лекции
11-12
Теорема о структуре функционала накопления.
Теорема
о
структуре
экстремальной
функции,
10
доставляющей экстремум функционалу накопления.
17
ПЗ 6
Исследование
накопленного
дохода
для
моделей надежности.
18
Лекция
13
Формулировка
алгоритма
определения
оптимальной стратегии управления полумарковским
процессом.
Исследование
свойств
оптимальных
стратегий.
19
Лекция
14
20
Описание
управляемых
моделей
массового
обслуживания. Постановка задачи управления.
Лекции
Задача управления входящим потоком в системе
15 - 16
G*/M/n/m. Вычисление исходных характеристик
и формулировка решения задачи.
21
ПЗ 7-8
Решение задач управления системами массового
обслуживания для конкретных значений числа каналов
22
Лекция
17-18
23
ПЗ 9
Задача
управления
длительностью
обслуживания в системе M/G*/1/m
Решение задач управления системами массового
обслуживания для конкретных значений числа мест
для ожидания
11
5. Курсовая работа.
5.1. Содержание работы. Требования. Этапы выполнения работы.
1. Все задачи разбиты на две группы:

Управление полумарковским процессом при полной информации об
управляемом объекте;

Управление полумарковским процессом при неполной информации об
управляемом объекте;
2. Требования.

Построить управляемый процесс;

Построить функционал качества управления;

Определить оптимальную стратегию управления в случае управления при
полной информации;

Определить минимаксную стратегию управления при управлении с
неполной информацией.
3. Этапы выполнения работы:
 Определение Марковских моментов и построение множества состояний
управляемого полумарковского процесса;
 Определение множества принимаемых решений и меры, определяющие
множество Марковских однородных рандомизированных стратегий;
 Вычисление полумарковского ядра, матрицы переходных вероятностей;
 Определение условных математических ожиданий накопленного эффекта на
одном периоде изменения состояний управляемого объекта;.
 Вычисление стационарных вероятностей вложенной цепи Маркова (для
функционала накопления);
 Решение алгебраических уравнений (для функционала достижения);
 Построение целевого функционала;
 Определение оптимальной (или минимаксной) стратегии.
12
6. Содержание разделов дисциплины и вопросы к экзамену
1. Определение полумарковского процесса.
2. Определение управляемого полумарковского процесса.
3. Марковский
процесс
как
процесс
полумарковский.
Построение
полумарковского ядра по характеристикам марковского процесса.
4. Определение функционала достижения (времени до момента первого
попадания процесса в подмножество отказовых состояний, накопленного дохода до
момента первого попадания процесса в подмножество отказовых состояний).
5. Вывод
уравнений для функции распределения функционала достижения,
построенного на траекториях полумарковского процесса (времени и накопленного
дохода).
6. Уравнения для математического ожидания времени до момента первого
попадания полумарковского процесса в подмножество отказовых состояний.
7. Уравнения для математического ожидания накопленного дохода до момента
первого попадания полумарковского процесса в подмножество отказовых состояний.
8. Классификация и свойства стратегий управления.
9. Теорема о структуре функционала достижения.
10. Лемма о сведении поиска экстремума дробно-линейного функцоинала к
поиску экстремума специально подобранного линейного функционала.
11. Теорема
о
структуре
экстремальной
функции
дробно-
линейного
функционала.
12. Определение
процесса
восстановления.
Функция
восстановления,
вероятностный смысл, уравнение восстановления, предельная теорема Смита.
13. Определение функционала накопления, построенного на траекториях
процесса восстановления. Определение вида этого функционала при t.
14. Модель №1-обслуживание элемента с мгновенной индикацией отказа.
Исследование математического ожидания времени до отказа.
15. Модель №1-обслуживание элемента с мгновенной индикацией отказа.
Исследование среднего дохода, накопленного до отказа.
16. Модель №3- модель подключения резервных элементов. Построение
полумарковского ядра, постановка и решение задачи оптимизации математического
ожидания времени до отказа
13
17. Модель №3- модель подключения резервных элементов. Построение
полумарковского ядра. Постановка и решение задачи оптимизации накопленного
дохода до момента отказа.
18. Система
GIM11.
Постановка
задачи
управления.
Построить
полумарковский процесс и определить его характеристики (полумарковское ядро,
стратегию управления).
19. Система
GIM11.
Постановка
задачи
управления.
Определение
функционала достижения- накопленный доход (функций, определяющих этот
функционал, его свойства).
20. Система
полумарковского
GIM11.
процесса,
Постановка
определение
задачи
процесса,
управления.
описывающего
Определение
эволюцию
состояний (вложенная цепь Маркова), вычисление характеристик этого процесса.
21. Система
MG12.
Постановка
задачи
управления.
Построение
полумарковского процесса. Определение его характеристик (полумарковское ядро,
стратегия управления).
22. Система
MG12.
Постановка
задачи
управления.
Определение
функционала достижения- накопленный доход (функции, определяющие этот
функционал, свойства).
23. Система
полумарковского
MG12.
процесса,
Постановка
определение
задачи
процесса,
управления.
описывающего
Определение
эволюцию
состояний (вложенная цепь Маркова), вычисление характеристик этого процесса.
24. Модель №1- обслуживание элемента с мгновенной индикацией отказа
(процесс восстановления). Исследовать средний удельный доход при бесконечном
периоде эксплуатации.
25. Модель №1- обслуживание элемента с мгновенной индикацией отказа
(процесс восстановления). Исследование коэффициента готовности.
26. Обслуживание элемента без самостоятельной индикации отказов (процесс
восстановления). Исследовать средний удельный доход при бесконечном периоде
эксплуатации.
27. Обслуживание элемента без самостоятельной индикации отказов (процесс
восстановления) Исследование коэффициента готовности.
7. Технология преподавания
Слайды, демонстрация графического материала
14
8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
8.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература:
1.
Е.Ю.Барзилович, Ю.К.Беляев, В.А.Каштанов и др. Вопросы математической
теории надежности (под редакцией Б.В.Гнеденко). Радио и связь, Москва, 1983.
2.
Е.Ю.Барзилович,
В.А.Каштанов.
Некоторые
математические
вопросы
теории обслуживания сложных систем. Советское радио, Москва, 1971.
3.
Е.Ю.Барзилович,
В.А.Каштанов.
Организация
обслуживания
при
ограниченной информации о надежности системы, Советское радио, Москва, 1975.
4.
Каштанов В.А., Медведев А.И. Теория надежности сложных систем.
Физматлит, Москва, 2010.
5.
Х.Майн, С.Осаки. Марковские процессы принятия решений. Наука, Москва,
6.
Дынкин Е.Б, Юшкевич А.А. Управляемые марковские процессы и их
1977.
приложения. Москва, Наука, 1975.
б) дополнительная литература:
1. Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. УРСС,
Москва, 2004.
2. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания,
Высшая школа, Москва, 1982.
Рабочая программа составлена в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению
подготовки 010400 «прикладная математика и информатика (бакалавр)»
15
Составители:
профессор, д. ф.-м. н. В.А Каштанов (___________),
Настоящая
рабочая
Исследование операций « »
программа
рассмотрена
на
заседании
кафедры
2011 г. протокол № и рекомендована к применению в
учебном процессе.
Заведующий кафедрой Исследование операций: проф., д.ф.-м.н. Каштанов В.А.
/_________________/
Эксперт:
Председатель учебно-методической
комиссии факультета:
/_________________/
Программа продлена на 20__/___ уч.год
/_________________/
Подпись зав.каф.
Программа продлена на 20__/___ уч.год
/_________________/
Подпись зав.каф.
16
Программа продлена на 20__/___ уч.год
/_________________/
Подпись зав.каф.
Программа продлена на 20__/___ уч.год
/_________________/
Подпись зав.каф.