7577

7577. Спортсмен-ныряльщик массой m= 80 кг прыгает в воду, набрав полные лёгкие
(v = 5 литров) воздуха. При этом объём его тела составляет V= 82 л. С какой
максимальной глубины H он сможет всплыть, не совершая никаких движений?
Плотность воды ρ = 103 кг/м3, атмосферное давление p0=105 Па, ускорение
свободного падения g = 10 м/c2.
Дано: m= 80 кг; v = 5 л; V= 82 л; ρ = 103 кг/м3; p0=105 Па; g = 10 м/c2
Найти: H=?
Решение. При погружении на искомую глубину H средняя плотность человека должна
сравняться с плотностью воды, то есть его объем должен стать равным
𝑚
= 80 л,
𝜌
где ρ = 103 кг/м3 — плотность воды. Уменьшение объема тела на величину
𝑚
∆𝑣 = 𝑉 − = 2 л
𝜌
происходит практически только за счёт сжатия воздуха в лёгких. При этом объем
воздуха в легких становится равным
𝑣 − ∆𝑣 = 3 л.
Так как сжатие происходит изотермически, то можно применить закон Бойля —
Мариотта
𝑝0 ∙ 𝑣 = (𝑝0 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻) ∙ (𝑣 − ∆𝑣),
5
где p0 = 10 Па — атмосферное давление. Таким образом, спортсмен сможет всплыть,
не совершая никаких движений, с глубины, немного меньшей
𝑝0
∆𝑣
𝑝0
𝜌∙𝑉−𝑚
𝐻=
∙
=
∙
;
𝜌 ∙ 𝑔 𝑣 − ∆𝑣 𝜌 ∙ 𝑔 𝑚 − 𝜌 ∙ (𝑉 − 𝑣)
1 ∙ 105
1 ∙ 103 ∙ 82 ∙ 10−3 − 80
𝐻=
∙
= 6,7 м;
1 ∙ 103 ∙ 10 80 − 1 ∙ 103 ∙ (82 − 5) ∙ 10−3
Ответ:
𝒑𝟎
𝝆∙𝑽−𝒎
𝑯=
∙
,
𝑯 = 𝟔, 𝟕 м.
𝝆 ∙ 𝒈 𝒎 − 𝝆 ∙ (𝑽 − 𝒗)