1. В очереди к стоматологу стоят... показывают 8:00. Как только начинается новая...

1. В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене
показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за
которым стоит девочка, пропускает ее вперед. Докажите, что перестановки в
очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
2. На доске написано n натуральных чисел. Пусть ak – количество тех из них,
которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все
положительные ak. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое,
то
на
доске
окажется
исходный
набор
чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4,
4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).
3. На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на
каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке
числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова
на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял
номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите,
что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние
было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
4. На полке в произвольном порядке стоят десять томов энциклопедии,
пронумерованных от 1 до 10. Разрешается менять местами любые два тома,
между которыми стоит не меньше четырёх других томов. Всегда ли можно
расставить все тома по возрастанию номеров?
5. Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при
помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении
любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого
содержится не менее двух троек.
6. a1, a2, ..., an — произвольные натуральные числа. Обозначим через bk количество
чисел из набора a1, a2,..., an, удовлетворяющих условию: ai ≥ k. Доказать, что
a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ...
7. Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих
предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз
меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны
быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого.
Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два
расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми.
Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим
правилам добиться любого нового их расположения.
8. В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки
происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии
одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек.
Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено
уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава
ячейки реализованы?
9. Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03, ..., 99. Затем
номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из
предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1
(например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 – не может). Какое
наибольшее число номерков могло остаться на своих местах?
10.На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну
операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое
наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в
правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от
начального положения?