 

ВАРИАНТ 1
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
z
x  y 1


2
2. Найти градиент функции u  ln 3  x  8 xyz в точке M 0 (1,1,1) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (-1,4,0).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x 2  y 2  z 2  4 x  6 y  8z  1 , проведённой в точке
N (1,2,2).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 ; y в точке
1;0;1 для функции z( x, y) , заданной неявно уравнением xz 5  y3 z  x3  0 .
6. Для функции z  x 2  2 xy  y 2  4 x  1 найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  y  1  0; y  0; x  3 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
x  y 1  0.
7. Вычислить двойной интеграл
 12x y
2 2

 16 x3 y3 dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x 2 ; y   x .
8. Найти массу отрезка прямой y 
1
x  2 , заключённого между точками
2
A  0; 2  ; B  4;0  , если плотность в каждой точке равна модулю ординаты
точки.


9. Найти работу силы F  x  2 y; y  2 x при перемещении из точки (-4;0) в
2
2
точку (0;2) по отрезку прямой, соединяющей эти точки.


10. Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x  9  y ; x  0
 y
C
2

 y dx   2 xy  y  dy , пользуясь формулой Грина.
2
ВАРИАНТ 2
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
 x2 y 2

 1 .
z  ln  
4
 9

2. Найти градиент функции u  x y  y z в точке M 0 (1,1,1) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (-1,4,9).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x 2  y 2  x  2 y  4 z  13  0 , проведённой в точке
N (2,1,2).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 ,  y  2  в
точке 1, 2,0  для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
x  yz  e z  2  0 .
6. Для функции z  4 x 2  9 y 2  4 x  6 y  3 найти: а) наибольшее и
наименьшее значения в области D :  x  0; y  0; x  y  1 ; б) условный
экстремум (используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при
условии x  y  1  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
 12xy  27 x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x 2 ; y   x .
8. Найти массу контура прямоугольника с вершинами в точках
A  0,0  , B  4,0  , C  4,2  , D  0,2  , если плотность в каждой точке равна
модулю ординаты точки.


9. Найти работу силы F  x  2 y; y  2 x при перемещении из точки (-4;0)
2
2
x2
в точку (0;2) по отрезку параболы y  2 
, соединяющей эти точки.
8


10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x  16  y ; x  0

C
 x  y 2 dx   x2  y 2  dy , пользуясь формулой Грина.
2
ВАРИАНТ 3
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
x2  y 2
.
z  arccos
9


2
2. Найти градиент функции u  2ln 5  x  4 xyz в точке M 0 (1,1,1) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (-1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x 2  2 y 2  3z 2  xy  yz  2 xz  16  0 , проведённой в точке
N (1,2,3).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 ,  y  1 в
точке 1,1,1 для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
x 2  y 2  z 2  3xyz .
6. Для функции z  5 x 2  3xy  y 2  4 найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  1; y  1; x  y  1 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
x  y 1  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
3 3
 36x y  96x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y 
3
x ; y   x3 .
8. Найти массу окружности x 2  y 2  2 y , если плотность в каждой точке равна
модулю ординаты точки.
9. Найти работу силы F   x  y;2 x при перемещении из точки (2;0) в точку
(-2,0) по части окружности x  y  4; y  0 , соединяющей эти точки.
2
2


2
10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : y  x  1; y  2

C
y dx  x 2 dy , пользуясь формулой Грина.
ВАРИАНТ 4
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
z
x

yx
y
.
yx
1 2
x y  x 2  5 z 2 в точке M 0 (-2,0.5,1) .
4
2. Найти градиент функции u 
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (-1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x
z  y  ln , проведённой в точке
z
N (1,1,1).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 ,  y  1 в
точке 1,1, 1 для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
z 2  3xyz  4  0 .
6. Для функции z  10  2xy  x 2 найти: а) наибольшее и наименьшее значения в


области D : y  4  x ; y  0 ; б) условный экстремум (используя метод
2
неопределённых множителей Лагранжа) при условии x 2  y  4  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
 8xy  18x y  dx dy по области,
2 2
D
ограниченной линиями x  1; y 
3
x ; y   x2 .
8. Найти массу контура треугольника с вершинами A  1,0  , B 1,0  , C  0,1 , если
плотность в каждой точке равна модулю ординаты точки.

9. Найти работу силы F  y ; x
2
2
 при перемещении из точки (2;0) в точку
(-2,0) по части окружности x  y  4; y  0 , соединяющей эти точки.
2
2


10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : y  x  1; y  0

C
2
e y  x  2sin x  dx  e y 1  2cos x  dy , пользуясь формулой Грина.
ВАРИАНТ 5
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
z  1  x2  1  y 2 .
2. Найти градиент функции u  xz 2 
x3 y в точке M 0 (2,2,4) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x2 y 2 z 2


 0 , проведённой в точке
16 9
8
N (4,3,4).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 ,  y  1 в
точке 1,1,1 для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
x
z
 ln  1.
z
y
6. Для функции z  4 x 2  y 2  4 x  2 y  6 найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  0; y  0; x  y  2  0 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
x  y  2  0.
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
3 3
 9x y  48x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y 
x ; y   x2 .
8. Найти массу части параболы y  2 x ;0  x  1, если плотность в каждой точке
равна модулю ординаты точки.
9. Найти работу силы F   x  y; x  y при перемещении из точки (-1;1) в точку
(1,1) по параболе y  x 2 , соединяющей эти точки.


10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x  y  9

C
2
2
 2 xy  y  dx   x2  x  dy , пользуясь формулой Грина.
ВАРИАНТ 6
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
z 1 1  x  y .
2
2
2. Найти градиент функции u  x y  yz в точке M 0 (2,4,4) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
x 2 y 2  2 x  z 3  16 , проведённой в точке
N (1,1,2).
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  3 ,  y  4  в
точке  3,4,2  для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением


3 x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  xz   35 .
6. Для функции z  y 2  2 xy  x 2  4 y найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  3; y  0; y  x  1 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
x  y 1  0.
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
 12xy  27 x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x 2 ; y   3 x .
x 2 ln x

;1  x  2 , если плотность в каждой
8. Найти массу части кривой y 
4
2
точке равна модулю ординаты точки.
9. Найти работу силы F  0; x при перемещении из точки (0;-3) в точку (0,3)
по части окружности x  y  9 , соединяющей эти точки.
2
2


2
10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x  y  1; x  2

C
2ln y dx  xy dy , пользуясь формулой Грина.
ВАРИАНТ 7
1. Найти и построить область определения функции двух переменных


z  ln x2  y .


2
2. Найти градиент функции u  7ln 1  x  4 xyz в точке M 0 (2,2,4) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением
z  sin
y
, проведённой в точке
xz
N  2,  ,1 .
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  1 , y в точке
 2,0,1 для функции z( x, y) , заданной неявно уравнением
2 x 2  2 y 2  z 2  8 xz  z  8  0 .
6. Для функции z  1  2 xy  2 x 2 найти: а) наибольшее и наименьшее значения в


области D : y  x ; y  1 ; б) условный экстремум (используя метод
2
неопределённых множителей Лагранжа) при условии x 2  y  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
 18x y
2 2

 32 x3 y3 dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x3 ; y   3 x .
8. Найти массу части кубической параболы y  x3 ;0  x  2 , если плотность в
каждой точке равна модулю ординаты точки.


9. Найти работу силы F  x  y ; xy при перемещении из точки (1;1) в точку
2
2
(3,4) по соединяющему их отрезку.
2
10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x  y  1; x  0
  2 y  x  dx  y x  y  x  dy , пользуясь формулой Грина.
2
C
2
ВАРИАНТ 8
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
z
1
x  y 1
2
2
.
2. Найти градиент функции u  arctg
y
 xyz в точке M 0 (2,2,4) .
x
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,1,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
xz
   
, проведённой в точке N  ; ;  .
y
4 2 4
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  2  ,  y  2  в
уравнением
z  arctg
точке  2, 2,1 для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
x  y  z  1  2ln z .
6. Для функции z  3  2x 2  xy  y 2 найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  1; y  2;2 x  y  2 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
2x  y  2  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
  24xy  18x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x3 ; y   3 x .
 x  5  t  sin t 
;0  t   , если плотность в
y

5
1

cos
t



8. Найти массу части циклоиды 
каждой точке равна модулю ординаты точки.

9. Найти работу силы F  y;  y  x
2
 при перемещении из точки (0;0) в точку
(2,0) по части параболы y  2 x  x .
2
10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : y  cos x; y  0; 

C
 y  x 2 dx   x  y 2 dy , пользуясь формулой Грина.

2
x

2
ВАРИАНТ 9
1. Найти и построить область определения функции двух переменных


z  1  x2  y .


2
2. Найти градиент функции u  ln 1  x  xy z в точке M 0 (1,-2,4) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,4,4).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной
уравнением


x  ln z 2  y 2 , проведённой в точке
N (0,0,1) .
5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  3 ,  y  2  в
точке  3, 2,2  для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
z 3  2 xz  2 y  0 .
6. Для функции z  y 2  xy  2 найти: а) наибольшее и наименьшее значения в


2
области D : y  x  1; x  0 ; б) условный экстремум (используя метод
неопределённых множителей Лагранжа) при условии y 2  x  1  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
  27 x y
2 2

 48 x3 y3 dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y  x 2 ; y   3 x .
 x  10cos3 t

;0  t  , если плотность в каждой
8. Найти массу части астроиды 
3
2
 y  10sin t
точке равна модулю ординаты точки.
 1 1 
;
9. Найти работу силы F  
 при перемещении из точки (1;0) в точку
x
y


(0,1) по дуге окружности x 2  y 2  1.


10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : x   4  y ; x  0
2
2
2
2
  x  y  dx  y  x  dy , пользуясь формулой Грина.
C
2
ВАРИАНТ 10
1. Найти и построить область определения функции двух переменных
y
x
z  arcsin .
2. Найти градиент функции u 
x2  y 2  z в точке M 0 (3,4,1) .
3. Для этой же функции найти производную по направлению вектора
s  (1,2,3) в точке A (1,4,2).
4. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной


N  2;2;  .
2

5. Записать многочлен Тейлора второго порядка по степеням  x  2  ,  y  2  в
уравнением
z
y  x tg , проведённой в точке
2
точке  2,2,0  для функции z ( x, y) , заданной неявно уравнением
x3  z 3  6 xz  y 3 .
6. Для функции z  x 2  3 y 2  x  y найти: а) наибольшее и наименьшее
значения в области D :  x  1; y  1; x  y  1 ; б) условный экстремум
(используя метод неопределённых множителей Лагранжа) при условии
x  y 1  0 .
7. Вычислить двойной интеграл
2 2
 8xy  9x y  dx dy по области,
D
ограниченной линиями x  1; y 
3
x ; y   x3 .
x 2 ln x

;1  x  2 , если плотность в каждой
8. Найти массу части кривой y 
4
2
точке равна модулю ординаты точки.

9. Найти работу силы F  2 xy;  y
2
 при перемещении из точки (0;0) в точку
(2,1) по соединяющему их отрезку.
10.Вычислить интеграл по замкнутому контуру C : 2 x  y  4; x  1; y  0

C
y
dx  2ln x dy , пользуясь формулой Грина.
x