Осциллятор гармонического осциллятора, гамильтониан гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия W

Осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог
простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы,
действующие на частицу, а гамильтониан , то есть полную энергию
гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия W
предполагается квадратично зависящей от координат. Wk(x,y,z).
Так как энергия E — материальная величина, гамильтониан
являться Эрмитовым оператором (т.е. самосопряжённым) .
будет
Средняя энергия квантового осциллятора
Распределение Максвелла - Больцмана было получено в классической
физике, но оно оказалось верным и в квантовой механике. Классическая
энергия системы, моделирующей колебания атомов в молекуле дается
формулой
и может принимать любые значения в
зависимости от амплитуды колебаний. Как нам известно из квантовой
механики, энергия колебаний квантуется, то есть принимает дискретный ряд
значений (по гипотезе М.Планка), определяемых формулой:
. Для нахождения среднего
колебательного квантового числа п при некоторой температуре T, мы
должны подсчитать сумму:
=>
=>
, отсюда средняя энергия:
где функция cth - гиперболический
котангенс будет определяться соотношением
Средняя энергия квантового ротатора
В квантовой механике ротатор - система, совершающая вращательное
движение (вращающаяся молекула, электрон в поле атомного ядра). Его
главной характеристикой является момент импульсa I, который может
принимать дискретные значения, описываемые соотношением
.
Энергия вращательного движения классического ротатора будет иметь вид:
, отсюда энергия вращения молекулы:
. В квант. Мехе квадрат
момента импульса будет квантоваться
и
энергия вращ. Движения молекулы будет равна:
.
Используя это соотношение и распределение Максвелла - Больцмана, можно
получить выражение для средней энергии квантового ротатора. При низких
температурах ротатор будет находиться в основном состоянии,
соответствующем значению J=0 (отсутствие вращения). «Переход» между
двумя этими предельными случаями осуществляется, очевидно, при такой
температуре ТВР когда тепловое движение способно возбудить вращательные
степени свободы. Минимальная (отличная от нуля) энергия вращения равна
.
Влияние температуры на скорость хим. Реакций.
Объяснение влияния температуры на скорость хим. Реакций можно дать,
используя распределение Максвелла – Больцмана. Для протекания
большинства хим. реакций необходимо, чтобы энергия частиц превышала
определенный порог, т.е, чем больше таких частиц, тем выше скорость
реакций (N частиц ~ V реакции). Выразим скорость одной частицы через ее
кин. Энергию:
Уровням:
, в результате получим расп-е частиц по энерг.
, отсюда количество частиц с
большей пороговой энергией:
Используя значения комнатной температуры, можно сделать вывод,
что повышение температуры на мизерное значение привело к увеличению
на 60% числа частиц, энергия которых превышает пороговое значение.