Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)
Цель урока
- отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;
- знакомство с геометрическим способом решения уравнений;
- развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;
- развитие алгоритмического мышления;
- повышение интереса к решению математических задач
- показать связь с другими предметами, с жизнью.
Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.
Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?
Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.
- Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.
I. Актуализация опорных знаний.
1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных
уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик - …Как его звали? - Франсуа Виет
“вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:
(На экране и на партах уравнения)
- Как называются такие уравнения?
- С помощью какой теоремы решим данные уравнения?
- Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?
В-1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
В-2
Х2 + 7Х +10 = 0
Х2- 19 Х+18=0
Х2+9Х+20=0
Х2-17Х+30=0
13Х2-29Х+16=0
17Х2-19Х-36=0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Х2 + 7Х-8 = 0
Х2+ 17Х-18=0
Х2-15Х+50=0
Х2+13Х+30=0
12Х2-35Х+23=0
100Х2+150Х+50=0
А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем
работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.
2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:
- нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);
- а мы поработаем устно.
1) Верно ли решены уравнения?
А)
х1=1, х2=4
Ответ:
нет, корень х=1 - посторонний.
Почему?
Б)
х=1
Ответ:
нет, есть еще один корен Х=2.
Какой вывод нужно сделать?
2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:
Ответ: 5х-2или 2-5х
Ответ: у2-4
Ответ: х(x+2)
II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.
- Мы научились решать дробные уравнения.
А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?
- Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.
Например: время =
;
;
Cторона прямоугольника=
;
;
и другие.
Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные
уравнения.
И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!
III. Решение задач + рисунок.
Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час
на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.
S (км) V(км/час) T (ч)
По расписанию
720
Х
720
Х
На самом деле
720
Х+10
72О
Х+10
720х+7200-720х-х2-10х=0
х 2 +10х-7200=0
Х1=80 х2= -90 (не удовлетворяет условию задачи).
80 км/час- скорость поезда по расписанию.
Ответ:
80 км/час.
Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод
2. Геометрический метод.
Экскурс в историю
. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в
геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени
доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической
задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:
1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,
2) решение получившейся геометрической задачи,
3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.
АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).
АД – время движения поезда по расписанию (ч).
SАВСД = АВ х АД =720
Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час.
C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно
изображающий 1 час.
S AEFK=SАВСД =720
S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.
Отсюда
Получили, что
используя что S 1=S2 получим уравнение:
Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час
Уравнения могут быть такими:
Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее,
чем в случае с другими составленными уравнениями.
IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).
V. Задача ( ЕГЭ) В9.
Одна мастерская должна была изготовить 420деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою
работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что
ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?
- О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)
- Значит имеем: 1 и 2 мастерские
- Чем занимались эти мастерские ?
- Что спрашивается в задаче?
Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней
работала каждая мастерская?
- Какая из них быстрее справилась с работой?
- На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)
Детали Количество деталей в день Сколько дней работала Справились раньше
1 мастерская
420
(х-5)
на 4 дня
П мастерская
500
Х
На 7 дней
Получим уравнение
х(х-5)
420х?-500(х-5)-3(х?-5х)=0
420х-500х +2500-3х?+15х =0
-3х? -65х -2500=0
Д=4225 +30000=34225=185?
Х1=
Х2=
(не удовлетворяет условию задачи)
- Значит 2 мастерская изготавливала в день 20деталей.
Ответ:
20 деталей.
VI. Домашнее задание:
(заранее написать на доске) № 609.
(Придумать задачу по уравнению и решить ее
VII. Самостоятельно решить задачу № 615.
12(Х+10)+12Х-(х2+10Х)=0
12Х+120+12Х-х2-10Х=0
)
Х2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х1=
Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.
Итог урока:
Общеизвестно высказывание:“Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.
После данного урока решение большинства задач,я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со
мной, ребята?
Математика всегда
То интересна, то сложна.
Получается задача Радуется душа.