Теория ПР №2

2.7. Уравнение Пуассона.
Рассмотрим адиабатический процесс для идеального газа. В этом случае
уравнение (2.12) с учетом (1.14) и (1.15) примет вид
m

CV dT  pdV  0
(2.22)
Возьмем полные дифференциалы от обеих частей уравнения КлапейронаМенделеева (1.15)
pdV  Vdp 
m

RdT
Вычтя отсюда выражение (2.22) найдем
Vdp 
m

RdT 
m

CV dT
С учетом уравнения Майера (2.17) отсюда получим
Vdp 
m

C p dT
(2.23)
Отношение теплоемкостей   C p / CV носит название показателя адиабаты.
После умножения  на (2.22) и сложения с (2.23), получим
 pdV  Vdp  0
Поделим это уравнение на pV и проведем следующие выкладки

dV dp

 0 ,  d (ln V )  d (ln p)  0 , d (ln pV  )  0
V
p
После интегрирования последнего уравнения получим
pV   const
(2.24)
Это выражение носит название уравнения Пуассона1. Используя уравнение
Клапейрона-Менделеева (1.15) уравнение (2.24) можно записать так
TV  1  const
(2.25)
p1 T   const
(2.26)
2.8. Политропические процессы
Адиабатический и изотермический процессы являются идеальными и
пользоваться ими на практике можно лишь приближенно. Реальные
Пуассон Симеон Денни (1781-1840), французский математик, механик и физик. Труды по математике,
теории вероятностей, теоретической и небесной механике, теории упругости, гидродинамике и др.
1
процессы являются промежуточными между этими идеальными процессами,
к ним относятся политропические процессы.
В термодинамике политропическими называются процессы, в которых
теплоемкость системы постоянна. Рассмотрим такой процесс для моля
идеального газа. Запишем первое начало термодинамики с учетом (2.13) с
постоянной теплоемкостью С
dV
 Q  CdT  CV dT  pdV  CV dT  RT

V
 CV dT  (CP  CV )
dV
V
После преобразования и разделения переменных получим
dT
dV
  n  1
 0,
T
V
(2.27)
где n - показатель политропы
n
CP  C
CV  C
(2.28)
После интегрирования (2.27) получим так называемое уравнение политропы
для идеальных газов
TV n1  const
(2.29)
Это уравнение совпадает с уравнением Пуассона, если в последнем
уравнении заменить показатель адиабаты  показателем политропы n из
(2.28). Подобно
(2.24) и (2.26) из (2.29) и уравнения Клапейрона-Менделеева можно
получить уравнение политропы в других формах.
T n p1n  const ,
pV n  const
(2.30)
Для
изотермического процесса C   , после раскрытия
неопределенности в (2.28) получим, что n  1 . Для адиабатического процесса
 Q  0 и теплоемкость C  0 , тогда из (2.28) следует, что n   . Таким
образом для реальных процессов выполняется
1 n  
Обратимся ко второму уравнению политропы в (2.30). Из этого
уравнения после замены в (2.28) С= Ср, получим p=const, а после замены в
(2.28) С= СV получим V=const. Таким образом, изобарный и изохорный
процессы являются частными случаями уравнения политропы.