Разработка урока по геометрии 9 класс По теме: «Теорема косинусов»

Разработка урока по геометрии
9 класс
По теме: «Теорема косинусов»
(сдвоенный урок).
Учитель МБОУ СОШ №: 3
Солдатова Л.В.
2012 год.
1
Слайд 2.
Цель урока:
познакомить ребят с теоремой косинусов, обратить внимание на угол
треугольника и изменение знака, если угол тупой;
научить применять теорему при нахождении угла треугольника;
научить определять вид треугольника по углам, используя теорему;
использовать теорему при нахождении длин элементов треугольника:
медианы, биссектрисы, высоты.
1. Организационный момент:
собрать домашние работы на проверку,
проверить наличие инструментов на парте,
приготовить справочник по геометрии,
раздать пособие «задачи по готовому чертежу.
Слайд 3-5.
Историческая справка
Слайд 6.
2. Изучение нового материала.
Теорема: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих
сторон на косинус угла между ними.
ВС2 = АВ2 + АС2 − 2АВ × АС cos 𝛼;
АС2 = АВ2 + ВС2 − 2АВ × ВС cos 𝛽;
АВ2 = ВС2 + АС2 − 2ВС × АС cos 𝛾.
Слайд 7.
Дано:
С
АС, АВ, ∠𝛼.
Доказать:
ВС2 = АВ2 + АС2 − 2АВ × АС cos 𝛼;
А
Доказательство:
⃗⃗⃗⃗⃗ = АС
⃗⃗⃗⃗⃗ − АВ
⃗⃗⃗⃗⃗ , возведем скалярно в квадрат.
ВС
Д
В
2
⃗⃗⃗⃗⃗ 2 = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗
ВС
АВ2 − 2АВ
АС + ⃗⃗⃗⃗⃗
АВ2=АВ2 + АС2 − 2АВ × АС × cos 𝛼.
Угол 𝛼 в нашем случае острый, а значит cos 𝛼 > 0.
Слайд 8.
В
2)Пусть угол 𝛼 тупой, тогда cos 𝛼 < 0.
Заметим, что АС × cos 𝛼=АД.
значит, если АВ× АС × cos 𝛼 < 0, то
ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АВ × АС cos 𝛼.
Д
С
А
С
Слайд 9.
Задача №7 учебника.
Дано:
АВ = с, АС = в, ВС = а.
Найти высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение:
а2 = в2 + с2 ± 2с × АД ⇒ АД = ±
а2 −в2 −с2
2с
а
в
В
Д
с
А
.
С
а2 −в2 −с2 2
По теореме Пифагора СД = √АС2 − АД2=√в2 − (
2с
) .
а
в
с
В
А Д
Слайд 10.
Вывод: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
± удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо
брать, когда противоположный угол тупой, а значит знак «-», когда угол - острый.
3. Практическая работа.
По готовому чертежу таблица 9.6. (1, 2, 6, 9, 10) на доске.
№
Решение.
Чертеж.
2
1
х2 = (3√2) + 62 − 2 × 3√2 × 6 × cos 450
х2 = 18 + 36 − 36 = 18;
х=3√2.
С
х
3√2
45
А
0
В
6
3
АВ2 = АС2 + ВС2 − 2 × АС × ВС × cos 1200
АВ2 = 16 + 9 + 2 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 1/2;
АВ2 = 37;
АВ=√37.
2
В
х
А
4
а2 = в2 + с2 − 2вс cos х;
2вс cos х=в2 + с2 − а2 ;
6
cos х =
в2 +с2 −а2
2вс
3
600
С
В
с
; угол х находим по таблице.
а
х
А
С
в
∆АВД прямоугольный.
х2 = 169 − у2 ;
∆ВСД прямоугольный.
х2 = 225 − (14 − у)2 ;
169 − у2 =225 − (14 − у)2 ;
28у=140; у=5.
Х=√169 − 25=12.
Ответ х=12, у=5
9
В
А
13
3
у
15
х
С
14-у
10
х2 + 16 − 2х × 4 cos 600 = 13;
𝑥 2 = 13 − 16 + 4х;
𝑥 2 − 4х + 3 = 0;
Х=3 и х=1.
Ответ: Х=3 и х=1.
В
√13
А
4
х
600
С
Выполняют на доске.
Работа в парах с последующим обсуждением.
Слайд 11.
В ромбе со стороной 10см высота, опущенная из вершины тупого угла, делит
сторону ромба на отрезки 3см и 7см. Найдите меньшую диагональ ромба.
В
Дано:
3см
10см
АВСД ромб.
К
7см
АВ=10см, ВК=3см, СК=7см.
А
С
АК⊥ ВС.
Найти: АС.
Решение:
Д
1)⊿АВК прямоугольный ⇒ АК = √АВ2 − ВК2 = √100 − 9 = √91.
2) ⊿АКС прямоугольный ⇒ АС = √АК2 + КС2 = √91 + 49 = √140.
АС=2√35.
4
Слайд 12.
3. Самостоятельная работа на два варианта.
Задача 1.
а =6см, в=8см,с=10см.
с=4см, в=6см, ∠А = 600 .
Найти: cos ∠ А.
Найти: а
в2 +с2 −а2 64+100−36
Решение:
cos А =
=
=
а2 = в2 + с2 − 2вс cos 600 ;
а2 = 36 + 16 − 24;
а = 2√7.
Ответ: 2√7.
128
160
2вс
4
2∗8∗10
= = 0,8.
5
Ответ: 0,8.
Слайд 13.
Задача 2.
Найдите
неизвестную
сторону
треугольника АВС.
АВ=11см, АС=8см, ∠А = 600 .
Решение:
ВС2 = АВ2 + АС2 − 2 × АВ × АС ×
cos 600 ;
ВС2 = 121 + 64 − 2 ∗ 11 ∗ 8 ∗ 1/2;
ВС2 = 185 − 88;
ВС2 = 97;
ВС=√97.
Найдите
неизвестную
сторону
треугольника АВС.
АВ=13см, ВС=7см, ∠В = 600 .
АС2 = АВ2 + ВС2 − 2 × АВ × ВС ×
cos 600 ;
АС2 = 169 + 49 − 2 ∗ 13 ∗ 7 ∗ 1/2;
АС2 = 218 − 91;
АС2 = 127;
АС=√127.
Слайд 14.
Задача 3.
Найдите
косинусы
углов
параллелограмма, если его стороны
равны 8мм и 10мм, а одна из
диагоналей равна 14мм.
Решение:
ВД2 = АВ2 + АД2 − 2АВ ∗ АД cos А;
cos А =
cos А =
cos А =
АВ2 +АД2 −ВД2
2АВ∗АД
64+100−196
−32
160
160
−1
=
5
.
;
;
Найдите
косинусы
углов
параллелограмма, если его стороны
равны 12дм и 14дм, а одна из
диагоналей равна 20дм.
Решение:
ВД2 = АВ2 + АД2 − 2АВ ∗ АД cos А;
cos А =
cos А =
cos А =
АВ2 +АД2 −ВД2
2АВ∗АД
144+19−400
−70
236
−35
236
118
=
;
;
.
5
Слайд 15.
Задача 4.
Угол
при
основании
равнобедренного
треугольника
0
равен 30 , а боковая сторона равна
14см.
Найдите
медиану,
проведенную к боковой стороне
Угол
при
основании
равнобедренного
треугольника
0
равен 30 , а боковая сторона равна
16см.
Найдите
медиану,
проведенную к боковой стороне.
В
14см
м
7см
С
16см
300
А
Д
Решение:
АС2 = АВ2 + ВС2 − 2 × АВ × ВС ×
cos 1200 ;
АС2 = 196 + 49 + 2 ∗ 14 ∗ 7 ∗ 1/2;
АС2 = 245 + 98;
АС2 = 343;
АС=√343;
АС=7√7.
А
В 8см
м С
300
Д
Решение:
АС2 = АВ2 + ВС2 − 2 × АВ × ВС ×
cos 1200 ;
АС2 = 256 + 64 + 2 ∗ 16 ∗ 8 ∗ 1/2;
АС2 = 256 + 128;
АС2 = 448;
АС=√448;
АС=8√7.
Подведение итогов урока:
 прочитайте теорему косинусов;
 зачитайте следствие из теоремы по учебнику;
 какие элементы необходимо знать, чтобы найти угол треугольника по
теореме косинусов?
 какие элементы треугольника можно найти, используя теорему?
Домашняя работа: п.109, №: 1,2, 4,5,6.
6