Решения олимпиадных задач по математике Басыровой

Решения олимпиадных задач по математике
Басыровой Эльмиры ученицы 8 а класса
МБОУ СОШ №4 с. Раевский, Альшеевский р-н
Задача №1
Обозначим искомое число как 7abc. Второе число с изменённой цифрой представим как abc7;
Получается уравнение 7abc-abc7 = 864;
Нахождение цифр:
1) 7abc
- abc7
864
очевидно, что c=1, т.к. 4+7=11, получается, что мы заняли единицу у b.
2) 7ab1
- ab17
864
Из второго находим b; b=6+1=7 И прибавляем 1, т.к. мы занимали, т.е. b=8.
3) 7a81
- a817
864
Из третьего шага : a+10=8+8=16. Т.е. a=6.
Искомое число : 7681.
Проверка: 7681-6817=864
Ответ: 7681
Задача №2
81=8
82 =64
83=612
84=4096
85=32768
Логично, что последняя цифра изменяется циклично через каждые четыре числа.
2003:4=500 (ост 3)
То есть последняя цифра соотвествует остатку 3, то есть последней цифре 2.
Ответ: последняя цифра равняется 2
Задача №3
Для начала разобьем на 3 горсти по 27 монет
Взвешивание №1 - взвешиваем 2 любые горсти , после выявляем какая легче , там и лежит легкая
монета . Далее разбиваем ее на 3 кучки по 9 монет.
Взвешивание №2 - повторяем предыдущее, потом разбиваем на кучки по 3 монеты.
Взвешивание №3 - повторяем первый пункт, теперь мы знаем, что одна из 3 монет в кучке
фальшивая.
Взвешивание №4 - повторяем первый пункт.
Задача №4
Всего есть 3 способа, т.к. у треугольника всего 3 вершины. Проведя биссектрисы из этих вершин ,
получаем нужные нам треугольники.
Задача №5
(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b2c +3bc2 – c3 + c3 – 3c2a + 3ca2 = - 3a2b +
3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2
Задача №6
√1 + √2 + √х = 2
1 + √2 + √х = 22
1 + √2 + √х = 4
√2 + √х = 4-1
√2 + √х = 3
2 + √х = 32
2 + √х = 9
√х = 9-2
√х =7
х = 72
х = 49
Ответ: 49
Задача №7
11 нулей дают сомножители кратные 10 (10, 20 ...100)
10 нулей дают произведения сомножителей, кратных 5 на четное число (5*2, 15*6 ...95*22)
2 дополнительных нуля дают прозведения 25*4=100 и 75*8=300
1 дополнительный нуль дает произведение 50 на четное число
11 + 10 + 2+ 1 =24
Ответ: 24 нуля
Задача №8
150:10=15 (м/сек) - скорость
15*5=75 (метров)- длина поезда.
Ответ: 15 м/сек; 75 метров
Задача №9
𝑛 − 2𝑚
𝑚
3−2∗1
1
= 3-2=1
Ответ: 1
Задача №10
Разделим слагаемые на группы по 4 члена, но не трогаем первое слагаемое:
2-3-4+5= 0
6-7-8+9 = 0
…
2002-2003-2004+2005= 0
Везде в ответе 0. Т.к. мы не трогали первое слагаемое, наш ответ будет равен 1.
Ответ: 1