Дистанционная олимпиада по математике 8 классx

Дистанционная олимпиада по математике 8 класс.
1)Первая слева цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру перенести на
последнее место, то число уменьшится на 864. Найдите четырехзначное число
Решение: Число можно обозначить как 7abc. Второе число как abc7;
Получим уравнение 7abc-abc7 = 864;
Находим цифры "столбиком".
1) 7abc
-
abc7
864
Очевидно, что c=1, т.к. 4+7=11, получается, что мы заняли единицу у b.
2) 7ab1
-
ab17
864
Из второго находим b; b=6+1=7 И прибавляем 1, т.к. мы занимали, т.е. b=8.
3) 7a81
-
a817
864
Из третьего шага : a+10=8+8=16. Т.е. a=6.
Искомое число : 7681. Можно проверить, отняв из этого числа 6817. Получим 864
Ответ: 864.
2)Найдите последнюю цифру числа
Ответ: Последняя цифра 2.
3) Среди 81 монет имеется 1 фальшивая (более легкая). Как ее найти, используя всего 4
взвешивания?
Решение: Нужно разделить монеты на три кучки по 27 монет в каждой и взвесить две
любые, если они равны, то третья будет меньше (первое взвешивание). Определив
меньшую, разделить её на три кучки по 9 монет, и также определить меньшую (второе
взвешивание). Потом меньшую кучку разделить на три по 3 монеты и повторить
взвешивание (третье взвешивание). Потом взять оставшиеся три монеты и две любые
взвесить, определим самую лёгкую из них (четвертое взвешивание).
4) Сколькими способами можно разрезать равносторонний треугольник на 2 равных
треугольника?
Решение: Тремя способами, т.е. из каждой вершины треугольника провести биссектрису
(высоту, медиану) к противоположной стороне.
5) Упростите выражение ( a – b) 3 + (b - c) 3 + (c – a)3
Решение: (a – b) 3 + (b - c) 3 + (c – a)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + b3 – 3b 2c+ 3bc 2- c3+ c3- 3c
a +3ca 2 - a 3 = -3a 2 b + 3ab 2 -3b 2 c +3bc 2 – 3c 2 a + 3ca 2 = -3a(ab) + 3b(ab) – 3b(bc) + 3c (bc)
– 3c(ca) + 3a(ca) = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2
2
7) Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100
включительно?
Решение: 24 нуля
8) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 метров за 15 с.
Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: V= __S___ = __150 м__ = 15м/с – скорость поезда
t – t0
15 с – 5 с
l = Vt 0 = 15 м/с * 5 с = 75 м – длина поезда
Ответ: 15 м/с ; 75 м.
9) Зная, что
Решение:
, найдите значение выражения
_n -2m_ = 3 – (2*1) = 1
m
1
10) Сосчитайте:
1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.
Ответ: 0