Ягупова Д - Школа одарённых детей

МИНЕСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ
ГБОШИ АО «ШКОЛА-ИНТЕРНАТ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ ИМ. А.П.ГУЖВИНА»
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
«Геометрическое место точек на плоскости»
Исполнитель
Ягупова Д.В.
Научный руководитель
Забалуева А.В.
АСТРАХАНЬ
1
2015 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………..…….3
1.Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических
инструментов……………………….……………………………………………..5
2.Эллипс, гипербола и парабола…………………….…………….……………..9
3.Свойства фокусов ЛВП…………………….………..…………………………11
3.1 Фокусы и касательные……...……………………………………………......12
3.2Уравнение окружности…………..…………………………………………...13
4.Постановка задачи на построение. Примеры задач………………………….16
5.Геометрическое место точек в пространстве………………………………... 20
5.1Примеры задач стереометрии………..……………………………………….24
6.Примеры применения координатного вектора к решению задач………….. 27
7.Заключение……………………………………………………………...………33
8.Список литературы…………………………………………………………......34
2
введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе,
является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры
современного человека. Практически все, что окружает современного человека так
или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и
информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем
положение вещей останется прежним.
Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в
математической подготовке школьника. Ни один вид задач не даёт столько
материала для развития математической инициативы и логических навыков
учащегося, как геометрические задачи на построение. Они обычно не допускают
стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на
построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу
школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма
существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у
учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических
построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами
геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными
инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих
математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются
также в процессе геометрических построений.
Целью данной работы является изучение нахождения геометрических мест на
плоскости и в пространстве.
В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались
следующие задачи:
1. дать характеристику основных гмт;
2. изучить задачи, где для решения применим метод геометрических мест точек
3. рассмотреть методы решения задач.
3
При написании данной работы использовались следующие методы:
анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор
материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.
Более чем 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать
на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь
известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их
числами.
В 14 веке французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с
географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость
прямоугольной сеткой и назвать широтой и долготой то, что мы теперь называем
абсциссой и ординатой.
Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе
возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в
создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.
Такую систему координат стали называть декартовой. Существует два способа
определять координаты точек. С первым познакомят еще в 5 классе, изучая
координаты точки на числовой оси. На плоскости строили две координатные
прямые (оси ОХ и ОУ). Произвольная точка М проектировалась на каждую ось (в
точки Мх и Му). Затем находились координаты проекций (х и у) на
соответствующих числовых осях. Пара этих координат и называлась координатами
точки на плоскости.
Такой метод очень удобен в том случае, когда нужно найти координаты
построенной точки, или, наоборот, по известным координатам нужно построить
точку. Однако он не позволяет получать уравнения различных фигур на плоскости,
проводить общие исследования их свойств.
Существует второй подход к определению
координат, основанный на понятии координат
4
радиус-вектора точки. Он основан на том факте, что любой вектор на плоскости
единственным образом раскладывается по двум неколлинеарным векторам.
Точнее, если a и b - два неколлинеарных вектора, а c - произвольный вектор на
плоскости, то всегда найдется единственная пара чисел (х,у), такая, что
c  x  a  y b .
Решение задач, в которых применяются пространственные геометрические
места, устанавливает некоторые, вначале простейшие, а затем и более сложные
соотношения геометрических фигур в пространстве. Решение подобных задач
заставляет мысленно представить себе геометрические тела в пространстве;
установить, как они расположены друг относительно друга: пересекаются,
касаются или у них нет общих точек.
Основная часть
1.Общие аксиомы конструктивной геометрии. Аксиомы математических
инструментов
Конструктивная геометрия — это раздел, в котором рассматриваются
задачи на построение на плоскости или в пространстве.
Этот раздел принимается без определения, конкретный его смысл известен
из практики, где оно означает: начертить, провести (линию), отметить (точку). В
интересах логической строгости изложения основное понятие конструктивной
геометрии - построить фигуру - характеризуется через основные требования
(общие аксиомы конструктивной геометрии).
Эти требования обычно не формулируются в пределах школьного курса
геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической
задачи на построение как нечто само собою разумеющееся. Общие аксиомы
конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее
5
существенные моменты многовековой чертежной практики и составляют
логическую основу конструктивной геометрии.
Рассмотрим эти общие аксиомы теории геометрии.
I. Каждая данная фигура построена, т.у. если о какой-либо фигуре сказано,
что она дана, то под этим подразумевается, что она уже изображена, начерчена, подругому говоря, построена.
2. Если даны две фигуры, то построено:
а) их объединение
б) пересечение (если оно не пусто )
в) разность (если она не равна пустому множеству)
3. Если дана некоторая фигуpa, то можно построить точку:
а) принадлежащую данной фигуре б) не принадлежащую ей.
Заметим, что успех от применения этого метода полностью зависит от
знания конкретных ГМТ. Наиболее часто применяются следующие геометрические
места:
ГМТ 1. Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от
двух данных точек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.
ГMT 2. Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной
прямой, есть две прямые, параллельные данной и стоящие от нее на данном
расстоянии.
ГМТ 3. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных
параллельных прямых, есть прямая, являющаяся их осью симметрии.
6
ГМТ 4. Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух
пересекающихся прямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые,
содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми,
ГМТ 5. Множества точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под
прямым углом, есть окружность (без точек А и В ), построенная на отрезке АВ как
на диаметре.
ГМТ 6. Множество точек плоскости, из которых отрезок АВ виден под
углом α, где α ≠ 90є, α ≠ 180є , есть две дуги с общими концами А и В (без точек А
и В), симметричные относительно прямой АВ.
ГМТ 7. Множество точек плоскости, из которых данная окружность видна
под углом α, где α ≠ π, есть окружность,- концентрическая с данной, радиус
которой больше радиуса данной окружности.
ГМТ 8. Множество точек, делящих всевозможные хорда окружности (O,
ОА), проведенные через точку А окружности, в одном и том же отношении λ, где λ
> 0, есть окружность (без точки А) с центром на прямой ОА, проходящая через
точку А. Если λ = 1, то эта окружность построена на отрезке ОА как на диаметре.
ГМТ 9. Множество точек плоскости, для каждой из которых разность
квадратов расстояний от двух данных точек А и В постоянна, есть прямая,
перпендикулярная прямой АB.
ГМТ 10. Множество точек плоскости, для каждой из которых сумма
квадратов расстояний до двух данных точек А и В равна а2, есть окружность с
центром в середине отрезка АВ, если 2а2>AB2; середина отрезка AB, если 2a2 =
AB2; и пустое множество, если 2a2<AB2.
ГМТ 11. Множество точек плоскости, для каждой из которых отношение
расстояний до двух данных точек А и В постоянно и отлично от единицы, есть
окружность с центром на прямой АВ (окружность Аполлония).
7
Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую,
проходящую через две данные точки.
Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в
данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.
Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет: а)
выполнить любое построение, выполнимое линейкой;
б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой,
построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии
h, где h - фиксированный элемент для данной двусторонней линейки (ширина);
в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если
AB > h , то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно
через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h ,
Аксиомы угла. Угол позволяет: а) сделать все построения, выполнимые
линейкой; б) через данную точку плоскости провести под углом α к некоторой
данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура ф , то установить,
содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если
такая существует, то построить ее.
8
2. Эллипс, гипербола и парабола
Самыми интересными ЛВП (линейновекторное пространство) являются эллипс,
гипербола и парабола. Последние две линии
хорошо знакомы: парабола – это график
квадратичной функции. Каноническое уравнение
гиперболы имеет вид
, где
–
Рисунок 1. Эллипс
положительные действительные числа.
Мы рассмотрим геометрические и физические свойства названных выше
линии. Начнем с эллипса.
Эллипсом называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой
удовлетворяют уравнению
x2 y2

1
a2 b2
. (1).
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. О виде эллипса
можно судить по рисунку 1.
Далее будем считать, что a  b (в противном случае можно развернуть систему
координат на 90 градусов). Параметр a называется большей, а параметр b меньшей полуосью эллипса.
2
2
2
Положим c  a  b . Точки F1, 2 (c, 0) называются фокусами эллипса. С фокусами
связан ряд интересных свойств, о которых мы будем говорить ниже.
Гиперболой называется фигура на плоскости, координаты всех точек которой
удовлетворяют уравнению
9
x2 y2

1
a2 b2
(2).
Уравнение (2) называется
каноническим уравнением гиперболы.
О виде гиперболы можно судить по
рисунку 2.
2
2
2
Положим c  a  b . Точки
F1, 2 ( c, 0)
называются фокусами
Рисунок 2.
гиперболы. Параметр a называется
действительной, а параметр b - мнимой полуосью гиперболы, соответственно ox –
действительная, а oy – мнимая оси гиперболы. Прямые, заданные уравнениями
b
y x
a , называются асимптотами. При больших значениях
параметра x точки асимптот бесконечно близко приближаются к
ветвям гиперболы. На рисунке 2 асимптоты изображены
пунктирными линиями. Параболой называется фигура на
плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют
уравнению
y 2  2 px (3).
Уравнение (3) называется каноническим уравнением
параболы. Она изображена на рисунке 3. Фокусом параболы
p 
 ,0 
называют точку F с координатами  2 
Рисунок 3.
10
3.Свойства фокусов ЛВП
Для каждой ЛВП(линейно-векторного пространства) указывались специальные
точки – фокусы. Эти точки играют большую роль для объяснения важных свойств
эллипса, гиперболы и параболы. Мы сформулируем эти свойства в виде теорем.
Теорема. 1. Эллипс есть множество точек M, таких, что сумма расстояний от этих
точек до фокусов равно 2a:
F1M  F2 M  2a. (4).
Теорема. 2. Гипербола есть множество точек M, таких, что разность расстояний от
этих точек до фокусов равно 2a:
F1M  F2 M  2a. (5).
Для того чтобы сформулировать аналогичное свойство для параболы, определим
директрису. Это прямая d, заданная уравнением
x
p
2.
Теорема 3. Парабола есть множество точек M, таких, что расстояние от этой точки
равно расстоянию от нее до директрисы:
FM   ( M , d ). (6).
11
3.1Фокусы и касательные
Касательной к ЛВП является прямая, которая имеет с ней только одну общую
точку. Уточним, что в случае гиперболы эта линия не должна быть параллельна ни
одной из асимптот, а в случае параболы – ее оси симметрии. Пусть точка M ( x0 , y0 )
принадлежит соответствующей ЛВП. Ниже приведены
уравнения касательных, проходящих через эту точку:
x  x0 y  y 0
 2 1
a2
b
– для эллипса,(7)
x  x0 y  y 0
 2 1
a2
b
– для гиперболы,(8)
( x  x0 )  p  y  y0
– для параболы.(9)
Если в точку касания с эллипсом или гиперболой провести отрезки из обоих
фокусов (их называют фокальными радиусами точки), то обнаружится
замечательное свойство (смотри рис. 4 и 5): фокальные радиусы образуют равные
углы с касательной, проведенной в этой точке. Это свойство имеет интересную
физическую интерпретацию. Например, если считать контур эллипса зеркальным,
то, лучи света от точечного источника, помещенного в одном его фокусе, после
отражения от стенок контура обязательно
пройдут
через
второй
фокус.
Рисунок 4. Касательная к эллипсу
12
Рисунок 5. Касательная к гиперболе.
Большое практ
Физически э
Именно поэтому зеркала фонарей и
прожекторов имеют параболическую форму.
Кстати, если параллельный оси параболы
поток света (радиоволн) входит в нее, то, после
отражения от стенок, все его лучи пройдут
через фокус. На этом принципе работают
станции космической связи, а также радары,
принимающие антенны которых также имеют
параболическую форму.
Рисунок 6. Касательная к параболе
ЛВП нашли широкое применение в физике и астрономии. Так, было установлено,
что одно относительно легкое тело (например, спутник) движется в поле силы
тяготения более массивного тела (планеты или звезды) по траектории,
представляющей собой одну из ЛВП. При этом более массивное тело находится в
фокусе этой траектории. Впервые эти свойства подробно описал Иоганн Кеплер и
они были названы Законами Кеплера.
3.2 Уравнение окружности
Важным частным случаем эллипса является хорошо известная читателю линия –
окружность. По определению, окружность представляет из себя множество точек
плоскости, удаленных от данной точки О (центра окружности) на одинаковое
расстояние R (радиус окружности). Получим уравнение окружности, считая, что ее
центр – точка О(х0,у0), а радиус равен R. Пусть М(х,у) – произвольная точка
окружности.) Выразим расстояние от М до центра окружности:
MO  ( x  x0 )2  ( y  y0 )2
.
13
Возведем теперь левую и правую части в квадрат, и, учитывая, что МО=R,
2
2
2
получим уравнение окружности: ( x  x0 )  ( y  y0 )  R . (10)
Замечание. В некоторых задачах мы можем получить уравнение второй степени с
2
2
двумя неизвестными, имеющее вид: x  y  a  x  b  y  c  0 . (11)
Выделив в нем полные квадраты относительно x и y, мы получим уравнение:
2
2
a 
b 1 2 2

 x     y    a  b   c
2 
2 4

. (12)
Если правая часть этого уравнения положительна, то это есть уравнение
 a b
1
O , 
R
2
окружности с центром  2 2  и радиусом
a
2
 b2   4  c
. Заметим также,
что если правая часть уравнения (12) отрицательна, то оно не имеет решения, а
a
b
x ,y
2
2.
если она равна нулю, то существует только одно решение
Задание фигур на плоскости системами неравенств.
Возможность задать фигуру на плоскости с помощью уравнений или неравенств
(либо их систем), связывающих координаты точек, принадлежащих данной фигуре
– весьма заманчива и полезна. Действительно, вместо того, чтобы хранить
информацию о координатах каждой точки фигуры достаточно запомнить
неравенства, которые ее задают, и, в нужный момент, сгенерировать координаты
нужных точек. Мы начнем с рассмотрения самого важного случая, когда фигура
задается системой линейных неравенств:
 a1 x  b1 y  c1 ,
a x  b y  c ,
 2
2
2

..........
..........
.

ak x  bk y  ck .
(13)
14
При правильном подборе неравенств эта система может задать на плоскости
выпуклый k – угольник. Если же к выбору неравенств отнестись менее
щепетильно, то в результате можно получить довольно причудливую
многоугольную область, границы которой будут лежать на k прямых линиях
(уравнения этих прямых можно найти, если заменить в неравенствах знак
«больше» на знак «равно»).
На практике, для того, чтобы верно составить систему поступают так: сначала
строят прямые, которые образуют границу многоугольника. Затем в уравнениях
прямых знак равенства заменяют на знак «больше» или «меньше» так, чтобы точки
многоугольника удовлетворяли этим неравенствам.
Дадим практический совет, как правильно выбрать знак неравенства.
Дело в том, что можно легко определить полуплоскость, которая содержит начало
координат (если прямая не проходит через эту точку, то есть коэффициент c не
равен нулю). Если c  0 , то выбирается знак «больше», а если c  0 , то знак
«меньше». Для выбора знака будем ориентироваться на начало координат. Если
начало координат лежит в нужной полуплоскости, то знак определяется по
указанному выше правилу, в противном случае он изменяется на
противоположный.
Задание ромба неравенством с модулями.
Сложные фигуры приходится задавать совокупностями нескольких систем
неравенств. Иногда можно обойтись без громоздких записей, тут на помощь
приходят модули. В качестве примера приведем важное неравенство, задающее на
плоскости ромб, центр которого совпадает с началом координат, а диагонали
направлены по координатным осям. Вот это уравнение:
x y
  1, a, b  0.
a b
(14)
15
Здесь a и b – числа, равные половинам длин диагоналей ромба.
4.Постановка задачи на построение. Примеры задач.
Задача на построение состоит, в том, что требуется построить указанными
инструментами фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые
соотношения между элементами искомой фигуры и данной. Каждая фигура,
удовлетворяющая условию задачи, называется решением задач.
Найти решение задачи на построение - значит указать конечную
последовательность основных построений, после выполнения которых искомая
фигура будет считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной
геометрии. Перечень основных построений, а следовательно, и ход решения
задачи, зависит от употребляемого набора инструментов. Следует заметить, что
такой подход в определении нахождения решения не рациональный. Иногда
целесообразнее укрупнить шаги построения.
Рассматривают как шаг построения целые блоки основных построений. Эти блоки
представляют собой решения элементарных задач на построение. Их назовем
элементарными построениями. Тогда можно дать следующее определение.
Решить задачу на построение - это значит указать такую конечную
последовательность основных (ОП) и элементарных построений (ЭП), после
выполнения которых искомая фигура может считаться построенной в силу общих
аксиом конструктивной геометрий. Иногда условиям задачи на построение
удовлетворяют несколько фигур. Решить задачу на построение - значит найти все
ее решения. Поясним это определение. Фигуры, удовлетворяющие условию задачи,
могут отличаться размерами, формой и положением на плоскости. Фигуры,
удовлетворяющие условию задачи, отличающиеся размерами или формой, будем
считать различными. С расположением дело обстоит так.
16
Если условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой
фигуры относительно данных фигур, то задача считается решенной, если: а)
построено некоторое число неравных фигур Ф1,…, Ф2 удовлетворяющих условию
задачи, и б) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условию задачи, равна
одной из них; считается, что задача имеет n решений (о точностью до равенства).
Если условие задачи предусматривает определенное расположение искомой
фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то задача считается решенной,
если: а) построено некоторое число фигур, удовлетворяющих условию задачи, и б)
доказано, что любая фигура, удовлетворяющая условию задачи, совпадает с одной
из них. При этом равные фигуры, но различно расположенные, считаются
различными решениями. Замечание. Встречаются задачи, имеющие бесконечное
множество решений. Такие задачи называются неопределенными. Очевидно, все
решения нельзя построить. В связи с этим вопросом: когда же считать
неопределенную задачу решенной?
Решение неопределенной задачи ищется в параметрической форме: указывается
прием построения фигур, удовлетворяющих условию задачи, причем эти фигуры
определяются выбором определенного положения одной точки на некоторой
данной фигуре. Эти точки играют роль геометрического параметра. Задача
считается решенной, если при всевозможных допустимых положениях
произвольной точки возникают все фигуры, удовлетворяющие условию задачи.
Встречаются задачи такие, что не существуют фигур, удовлетворяющих условию
задачи. Например, в параллелограмм (не ромб) нельзя вписать окружность. Нельзя
провести прямую через 2 данные точки одним лишь циркулем.
Во всех этих случаях решить задачу на построение - значит доказать, что искомая
фигура не существует, или доказать, что она не может быть построена данными
средствами.
17
Условие задачи часто дает известный простор в выборе данных. Например, если
требуется построить треугольник по трем сторонам, то данными являются три
отрезка, которые могут быть произвольными по величине и положению. Задача в
такой формулировке считается решенной, если она решена для всех
принципиально различных предположений относительно выбора данных.
Может оказаться, что при таком выборе данных задача решается иначе, чем при
другом их выборе, поэтому приходится рассматривать ряд отдельных случаев и
давать решение задачи для каждого из них.
Примеры задач:
Задача 1.
Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов всех его сторон.
Решение
Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD. По теореме косинусов из
треугольников ABD и ACD находим, что
BD2 = AB2 + AD2 - 2AB . AD cos
BAD,
AC2 = AD2 + CD2 - 2AD . CD cos
ADC = AD2 + CD2 -2AD . CD cos(180о -
BAD) = AD2 + CD2 + 2AD . CD cos BAD.
Следовательно,
BD2 + AC2 = 2 * AB2 + 2 *AD2.
18
Задача 2.
В треугольниках ABC и A1B1C1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1,
длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и
величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине
ВС равно n (где n-целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС.
Решение: Пусть ABC и A1B1C1 – данные в условии задачи треугольники. Применяя
теорему косинусов к треугольникам ABC и А1В1С1, имеем:
Т. к. по условию задачи В1С1 :ВС = n, то
Поскольку А1В1 = АВ и А1С1 = АС, то, разделив числитель и знаменатель дроби в
левой части равенства (1) на АС2и обозначив АВ: АС через х, получим равенство:
откуда ясно, что искомое отношение длины АВ к длине АС есть корень уравнения
19
х2(n – 1) – х(n + 1) + n – 1 = 0. (15)
Т. к. В1С1 > ВС, то n > 1. Следовательно, уравнение (15) является квадратным. Его
дискриминант равен (n + 1)2– 4(n – 1)2= – 3n^2+ 10n – 3.
3±√5
X1,2=
2
3±√5
Ответ: отношение длины АВ к длине АС равно X1,2=
2
5.Геометрическое Место Точек в пространстве. Основные геометрические
места точек в пространстве.
Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние R от данной точки O,
является сфера радиуса R с центром в этой точке.
Геометрическим местом точек пространства равно удаленных от двух данных
точек A и B, является плоскость P, перпендикулярная к отрезку прямой,
соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.
20
Геометрическим местом точек, равноудаленных от трех данных точек А,В,С , не
лежащих на одной прямой, является прямая M, перпендикулярная плоскости P и
проходящая через центр окружности, проведенной через эти точки.
Геометрическим местом точек, равноудаленных от граней двугранного угла,
является так называемая "биссекторная плоскость"
, проходящая через
ребро
двугранного угла и пересекающая любой линейный угол двугранного
угла
по биссектрисе .
21
Задача 3. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB
то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АB и
перпендикулярной прямой AB. Дано: АХ = ВХ, М – середина
Доказать:
Доказательство:
1). Предположим противное:
.Так как точки А и В лежат по разные стороны
от плоскости α, то точка Х и одна из точек А и В также лежат по разные стороны от
α. Будем сначала считать, что это точки А и Х. Тогда отрезок АХ пересечет
плоскость α в некоторой точке Y.
2). Соединим точку Y с точкой В и получим треугольник AYB. В этом
треугольнике YM – медиана (по условию М – середина АВ) и
(АВ
перпендикулярна плоскости, а следовательно, любой прямой в этой плоскости).
Тогда имеем два прямоугольных треугольника AMYи BMY, равных по двум
катетам. Отсюда, AY = BY – гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках.
22
3) Из треугольника BXY мы имеем, что BX < BY + XY. Но, по построению АХ =
AY + XY. Тогда получается, что BX < AX, а это противоречит условию. Таким
образом, предположение
приводит к противоречию, а, следовательно,
что и требовалось доказать.
Расстояние между двумя прямыми.
Расстоянием между двумя
Непересекающимися
прямыми в пространстве
называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.
Расстояние от точки до прямой.
Расстоянием от точки до прямой в пространстве
называется длина перпендикуляра, опущенного
из данной точки на данную прямую.
Расстояние от точки до плоскости.
Расстоянием от точки до плоскости
в пространстве называется
длина перпендикуляра, опущенного из
данной точки на данную плоскость.
23
,
5.1ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
Задача 1
В правильном шестиугольнике A..F1найти расстояние от точки A до плоскости
A1ED.
1.Соединим A и E ∠AА1E=90
AH – высота в прямоугольном ∆AA1E
DE⊥AE; DE⊥EE1⇒DE⊥(AEE1)
AH ⊂ (AEE1) ⇒AH⊥DE AH⊥A1Е
AH⊥DE=>AH⊥(A1B1D)
AH-искомое расстояние
1
1
2
2
4) AA1 *AE= A1E *AH (по формуле для нахождения площади треугольника)
AE=√3 A1E=2 AH=√3/2
24
Задача 2.
В единичном кубе A..D1найдите расстояние между прямыми AB и BD1.
1) BD1⊥ (ACB1)
2)O – центр ∆ACB1,
центр радиуса r вписанной в
данный треугольник окружности,
поскольку в пирамиде
AB1CB ребра AB=BC=BB1,а
AB1C-правильный.
BD1⊥ (ACB1)
3)OE – общий перпендикуляр, так как EC ⊥AB1
OE=r – искомое расстояние. По формуле радиуса вписанной окружности
r=
а√3
6
где а- сторона треугольника AB1C, равная √2=> OE=
25
√6
6
Задача 3
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром . Найдите расстояние от середины
ребра B1C1 до прямой MT, где точки M и T– середины ребер CD и A1B1
соответственно.
Решение:
EH⊥TM=.> EH-искомое расстояние
Из TOM: TM =√(TO2+OM2)
TM=√(1+1)=√2
ИЗ С1СM: C1M=√MC2+CC21 C1M=√0,25+1=√1,25
Из
MC1E: EM=√ (EC21 +MC21)
EM=√(1,25+0,25)=√1,5
4) ИЗ TB1E
TE=√(B1T2+B1E2) TE=√(0,25+0,25)=√0,5
TEM- прямоугольный
5) ИЗ TEM
1
1 √2 √6 √12
2
2 2
1
√2
2
2
STEM= ∙TE∙EM= ∙ ∙ =
2
8
STEM= ∙EH∙TM= ∙EH
EH=
√12
√6
8
4
∙2\√2=
26
6.Примеры применения координатного
вектора к решению задач
Задача 1. Дана прямоугольная
трапеция с основаниями a и b. Найдите
расстояние между серединами ее диагоналей.
Решение. 1. Введем систему
Рисунок 7. Чертеж к задаче 1.
координат как указано на рисунке 7. Тогда
вершины трапеции будут иметь координаты: A(0,0), B(0,y), C(b,y) и D(a,0).
(Здесь y – высота трапеции).
2. Найдем координаты середин диагоналей, используя формулу
x
x1   x2
y   y2
, и учитывая, что середина делит отрезок в отношении =1.
;y 1
1 
1 
Для точки О:
xO 
0b b
0 y y
0a a
0 y y
 ; yO 

xO1 
 ; yO1 

2
2
2
2 . Для точки О1:
2
2
2
2.
найдем расстояние между точками О и О1:
a b
a b  y y
OO1         
2 .
2 2  2 2
2
Ответ:
OO1 
2
a b
2 .
Замечание. Мы вводили в рассмотрение неизвестную нам высоту
трапеции y. Но на этапе вычислений она сократилась.
27
Задача 2. Медиана, проведенная к основанию
равнобедренного треугольника, равна 160 см, а
основание треугольника равно 80 см. Найдите две
другие медианы этого треугольника.
Решение. 1. Введем прямоугольную систему
координат так, как показано на рисунке 8. В этой
системе вершины треугольника будут иметь
координаты: А(-40,0), В(0, 160), С(40,0), а точка
М2(0,0). Используя, как и в предыдущей задаче,
Рисунок 8. Чертеж к задаче 2.
формулы, найдем координаты середин двух других
сторон. Для М3 получим:
находим:
xM1 
xM 3 
0  (40)
160  0
 20; yM 3 
 80
2
2
. Для М1 аналогично
0  40
160  0
 20; yM1 
 80
2
2
.
2. Вычислим длины отрезков АМ1 и СМ3. Для АМ1 получим:
AM1  (20  (40))2  (80  0) 2  100 (см)
.
Длина второй медианы вычисляется аналогично.
Ответ: AM1  CM 3  100 (см) .
28
Задача 3. В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы
острых углов. Вычислите косинус угла между ними.
Решение. 1. Введем систему координат так, как показано на рисунке 9. В этом
случае вершины треугольника будут иметь координаты: С(0,0), А(а,0), В(0,а), а
a   a
B1  , 0  ; A1  0, 
середины катетов:  2   2  . (Здесь а – длина катета.)
a
a

 
AA1   0  a;  0    a; 
2
2 и

 
2. Вычислим координаты векторов
a
 a

BB1    0;0  a    ; a 
2
 2
.
3. Теперь используем формулу для вычисления косинуса угла
между векторами. (Этот угол совпадает с углом между
медианами.)


cos AA1 , BB1 
a a
(a)    ( a)
2 2
2
2
a
a
(a)        ( a) 2
2
2

2
Ответ:

Рисунок 9. Чертеж к
задаче 3.
4
5
.
4
5.
Задача 4. Дан ромб АВСD, диагонали которого равны 2а и 2b.
Найдите множество всех точек М, для каждой из которых
выполняется условие: AM2+DM2=BM2+CM2.
29
Рисунок 10.
Чертеж к задаче 4.
Решение. 1. Введем систему координат, взяв за ее начало центр ромба, а за оси
– его диагонали. В этой системе вершины имеют координаты: A(-a;0), B(0;b),
C(a;0) и D(0;-b).
2. Считая, что точка М имеет координаты (х;у), запишем условие
AM2+DM2=BM2+CM2 в координатной форме. Для этого используем формулу
при вычислении длин отрезков. Получим следующее выражение:
( x  a)2  ( y  0)2  ( x  0)2  ( y  b)2  ( x  0)2  ( y  b)2  ( x  a) 2  ( y  0) 2 .
Раскрывая скобки и приводя подобные, получим следующее уравнение:
2ax  2by  2by  2ax  0 , или: ax  by  0
В пункте 4.3 мы уже встречали такое уравнение – это общее уравнение прямой.
И так, мы установили, что интересующее нас множество точек – это прямая
линия. Попробуем теперь определить ее расположение относительно ромба.
3. Нетрудно заметить, что сторона АВ ромба может быть задана уравнением1
xa y
b
a

y  xb
y x
a
b . Перепишем его в виде
a
b . Угловые
, а уравнение в виде
коэффициенты в этих уравнениях в произведении дают -1. Это значит, что для
данных прямых выполняется признак перпендикулярности. Кроме того,
очевидно, что полученная выше прямая проходит через начало координат – оно
же – центр ромба. Таким образом, условию задачи удовлетворяют все точки,
лежащие на прямой, проходящей через центр ромба и перпендикулярной
прямой АВ.
30
Задача 5. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от
которых до двух данных точек есть величина постоянная.
Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат как показано на
чертеже. Тогда, считая, что длина отрезка равна b,
получим следующие координаты точек А и В: А(0;0),
В(b;0).
2. Пусть М(х;у) – произвольная точка плоскости,
удовлетворяющая условию задачи: |AM|2+|BM|2=с2.
Тогда:
( x  0) 2  ( y  0) 2  ( x  b) 2  ( y  0) 2  c 2 ,
2 x 2  2 y 2  2bx  b 2  c 2 ,
2
b
1

2
2
2
 x    y   2c  b  .
2
4


Рисунок 11. Чертеж к задаче 5.
В случае, когда правая часть последнего равенства
положительна, мы получаем окружность, центр
которой лежит на середине отрезка АВ. Если правая
часть равна нулю, то решением будет единственная
точка – середина АВ. Если правая часть
отрицательна, то задача не имеет решений.
Задача 6. Дана окружность радиуса r. Через одну из ее
точек (точку А) проведены всевозможные хорды.
Найти геометрическое место точек, делящих эти
хорды пополам.
31
Рисунок 12. Чертеж к задаче 6.
Решение. 1. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ее центр
совпал с центром окружности, а ось ОУ прошла через точку А. Уравнение
окружности будет иметь вид:
x 2  y 2  r 2 (**). У точки А координаты (0;r).
2. Далее, пусть B( x1; y1 ) – второй конец хорды. Координаты середины хорды
(точки М(х;у)) найдем по известной формуле (см., например, задачу 2):
x
0  x1
r  y1
;y
2
2 .
Выразим из них координаты точки В: x1  2 x; y1  2 y  r . Эти координаты должны
удовлетворять уравнению окружности. Подставим их в это уравнение.
Получаем:
4 x 2  (2 y  r )2  r 2 .
Раскрыв скобки, сократив уравнение на 4 и проведя группировку, получим
2
r 2
r
следующее выражение: x  ( y  2 )  4 . Это уравнение окружности, центр
2
которой лежит на середине радиуса, проведенного в точку А, а радиус
полученной окружности в два раза меньше радиуса данной.
32
6.Заключение
Изучив и проанализировав учебно-методическую и научную литературу, были
выполнены следующие задачи:
1. дана характеристика основных гмт;
2. изучены задачи, где для решения применим метод геометрических мест
точек
3. рассмотрены методы решения задач.
Таким образом, цели, поставленные в работе, выполнены. Рассмотрены
различные методы решения геометрических задач. Все рассмотренные способы
сопровождаются разбором большого количества примеров. Очень часто
геометрическое решение требует довольно подробных, громоздких пояснений,
а аналитические методы позволят находить простое решение довольно трудных
задач. В каких-то случаях более красивым и простым оказывается
геометрический способ. А решение одной задачи несколькими способами
гораздо полезнее, чем решение нескольких задач одним способом.
Решение базовых задач способствует успешному решению более сложных.
Выполненная работа поможет при подготовке к ЕГЭ, а также может быть
использована учениками десятых-одиннадцатых классов для систематизации
способов решения задач по планиметрии и стереометрии. Подборка базовых
задач может быть применена и преподавателями математики в качестве
раздаточного материала при подготовке к ЕГЭ.
В ходе выполнения работы мы убедились, как велика прикладная роль
геометрии. Свойства геометрических фигур находят большое применение в
алгебре, информатике, физике, химии, в повседневной жизни человека.
33
Сферическая геометрия особенно широкое применение находит в астрономии,
геодезии, навигации и картографии.
7.Список использованной литературы
1.Адлер А. Теория геометрических построений, М:Учпедгиз,1940
2. Александров И.И. Сборник геометрических задач на построение,
М:Учпедгиз,1950
3.Аргунов Б.И. и Балк М.Б. Геометрические построения на плоскости, М:
Учпедгиз,1957 Белошистая А.В. задачи на построение в школьном курсе
геометрии. «Математика в школе», 2002, №9.
4.Болодурин В.С., Вахмянина О.А. Учебное пособие, Оренбург:ОГПУ, 1998
5.Глаголев Н.А. Сборник геометрических задач на построение, М, 1930
6.Зетель С. Геометрия линейки и геометрия циркуля, издательство АПН, 1950.
7.Костовский А.Н. Геометрические построения одним циркулем, М:Наука,1989
8.Никулин Н.А. Геометрические построения с помощью простейших
инструментов, М:Учпедгиз, 1947.
34