Задачи на доказательство

Задачи на доказательство
1. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС
проведен к его плоскости перпендикуляр КО. Докажите, что наклонные КА, КВ
и КС равны.
2. К плоскости шестиугольника ABCDEF проведен перпендикуляр DM.
Докажите перпендикулярность прямых АВ и МВ; AF и MF.
3. К плоскости равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) проведен
перпендикуляр АК. Е – середина стороны ВС. Докажите, что КЕВС.
4. Через вершину D прямоугольника ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр DK. Докажите, что КАВ=КСВ=90о.
5. Сторона ВС треугольника АВС лежит в плоскости α. АА1α. АК –
высота треугольника АВС. Докажите, что отношение площадей треугольников
АВС и А1ВС равно отношению АК:А1К.
6. Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость α,
параллельная прямой ВС. АК – высота треугольника, КК1, ВВ1 и СС1 –
перпендикуляры к плоскости α. Докажите, что отношение площадей
треугольников АВС и АВ1С1 равно отношению отрезков АК и АК1.
7. В плоскости α расположены параллельные прямые а и b. Через
некоторую точку А прямой а проведен перпендикуляр АС к плоскости α. На
прямой b отметили точку В, ближайшую к точке А. Докажите, что среди точек
прямой b точка В является ближайшей к точке С.
8. Через точку М проведена наклонная МВ и перпендикуляр ММ1 к
плоскости угла АВС. Острые углы МВА и МВС равны. Докажите, что
М1ВА=М1ВС.
9. Катет прямоугольного треугольника АВС (С=90о) лежит в плоскости
α. АА1α. Докажите, что А1С2+СВ2=А1В2.
10. К плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90о) проведен
перпендикуляр МВ. Через произвольную точку наклонной МС проведен
отрезок DE параллельный АС. Докажите, что МСDE; треугольник BDE –
прямоугольный.
11. В плоскости прямоугольной трапеции ABCD проведены равные
перпендикуляры АР и DM. DAB=АВС=90о, DKBC. Докажите, что прямые
РВ и МК параллельны.
12. Через точку К диагонали АС ромба ABCD проведен к его плоскости
перпендикуляр МК. Р – произвольная точка наклонной МС. Докажите, что
ОМBD; OPBD.
13. Через некоторую точку О высоты AD равнобедренного треугольника
АВС (АВ=АС) проведен к его плоскости перпендикуляр ОК. Докажите, что
прямая ВС перпендикулярна прямой DP, где Р – произвольная точка отрезка
АК.
14. Отрезок DM является высотой параллелограмма ABCD. DK –
перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Докажите, что КМКХ, где Х –
произвольная точка отрезка АВ.