Задачи на доказательство 1. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС проведен к его плоскости перпендикуляр КО. Докажите, что наклонные КА, КВ и КС равны. 2. К плоскости шестиугольника ABCDEF проведен перпендикуляр DM. Докажите перпендикулярность прямых АВ и МВ; AF и MF. 3. К плоскости равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) проведен перпендикуляр АК. Е – середина стороны ВС. Докажите, что КЕВС. 4. Через вершину D прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр DK. Докажите, что КАВ=КСВ=90о. 5. Сторона ВС треугольника АВС лежит в плоскости α. АА1α. АК – высота треугольника АВС. Докажите, что отношение площадей треугольников АВС и А1ВС равно отношению АК:А1К. 6. Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость α, параллельная прямой ВС. АК – высота треугольника, КК1, ВВ1 и СС1 – перпендикуляры к плоскости α. Докажите, что отношение площадей треугольников АВС и АВ1С1 равно отношению отрезков АК и АК1. 7. В плоскости α расположены параллельные прямые а и b. Через некоторую точку А прямой а проведен перпендикуляр АС к плоскости α. На прямой b отметили точку В, ближайшую к точке А. Докажите, что среди точек прямой b точка В является ближайшей к точке С. 8. Через точку М проведена наклонная МВ и перпендикуляр ММ1 к плоскости угла АВС. Острые углы МВА и МВС равны. Докажите, что М1ВА=М1ВС. 9. Катет прямоугольного треугольника АВС (С=90о) лежит в плоскости α. АА1α. Докажите, что А1С2+СВ2=А1В2. 10. К плоскости прямоугольного треугольника АВС (С=90о) проведен перпендикуляр МВ. Через произвольную точку наклонной МС проведен отрезок DE параллельный АС. Докажите, что МСDE; треугольник BDE – прямоугольный. 11. В плоскости прямоугольной трапеции ABCD проведены равные перпендикуляры АР и DM. DAB=АВС=90о, DKBC. Докажите, что прямые РВ и МК параллельны. 12. Через точку К диагонали АС ромба ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр МК. Р – произвольная точка наклонной МС. Докажите, что ОМBD; OPBD. 13. Через некоторую точку О высоты AD равнобедренного треугольника АВС (АВ=АС) проведен к его плоскости перпендикуляр ОК. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямой DP, где Р – произвольная точка отрезка АК. 14. Отрезок DM является высотой параллелограмма ABCD. DK – перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Докажите, что КМКХ, где Х – произвольная точка отрезка АВ.