1. Основные законы электрического поля

1. Основные законы электрического поля
1.1. Электрическое поле
Теория электрических цепей, которую мы до сих пор изучали, является лишь
макро отображением теории электромагнитного поля, к изучению которой мы
сейчас приступаем.
Существует множество практических задач, для решения которых понятия
теории цепей становятся неприменимы, в силу того, что они просто теряют смысл.
Примером может служить задача о нахождении напряжения между проводом
расположенным над землей и самой землей, в присутствии грозовой тучи. Особенно
много задач, которые решаются методами теории поля, возникают в технике
высоких напряжений. Скажем больше, параметры элементов электрических цепей,
такие как: индуктивность, емкость, сопротивление, магнитное сопротивление,
можно рассчитать только методами теории поля. Теория поля является более
высоким уровнем изучения электромагнитных явлений, нежели теория цепей.
Частным случаем электромагнитного поля является электростатическое поле.
Электростатическое поле – это поле, не изменяющееся во времени, оно создается
неподвижными электрическими зарядами. Изучение теории поля начнем именно с
изучения электростатического поля.
Вспомним, что изучение электрических цепей на первых этапах вызывало
определенные трудности, которые во многом связаны с тем, что процессы,
происходящие в электрических цепях невидимы для человека. Однако по мере
накопления знаний стало понятным, что все явления, происходящие в цепях,
подчиняются довольно простым законам. В основу расчета электрических цепей
положены два закона Кирхгофа и закон Ома. Первый закон Кирхгофа есть не что
иное, как закон сохранения вещества. В данном случае веществом являются заряды,
движение которых представляет собой ток. Второй закон Кирхгофа это закон
сохранения энергии, который говорит, что сумма работ, связанных с передвижением
зарядов в замкнутом контуре равна сумме энергий генераторов, находящихся в этом
контуре. Вероятно, эту трактовку второго закона следует пояснить. Вспомним что
разность потенциалов это работа, затрачиваемая при передвижении заряда из одной
точки в другую, а ЭДС источника, - это энергия, затрачиваемая на перенос того же
заряда внутри источника. Теперь, вероятно, все стало понятно.
Вернемся к закону Ома. Закон Ома говорит о том, что в проводниках затраты
энергии пропорциональны количеству переносимого вещества (зарядов), т.е. он
определят связь между количеством переносимого вещества (электронов, ионов) в
единицу времени, и затратами энергии. Коэффициент пропорциональности зависит
от вида проводника, что вполне естественно. Эти три закона позволяют рассчитать
линейную электрическую цепь любой сложности.
Электрическое поле так же невидимо для человека, как и электрический ток.
Дело еще усложняется тем, что никто не знает, что это такое. Поэтому трудностей
возникает еще больше. Однако не стоит бояться. Законы аналогичные основным
законам электрических цепей существуют для электрических и магнитных полей.
1.1. Закон Кулона.
Электрический заряд, даже если он находится в вакууме, создает вокруг себя
специфическую среду, которую называют электрическим полем. Особенностью этой
среды является то, что другие заряды, помещенные в это поле, испытывают
действие силы, которая вычисляется в соответствии с законом Кулона
F
Q1Q2
40 R
1 ,
2 R
1
109
- диэлектрическая постоянная вакуума, которая измеряется
36
в единицах, Фарада/метр (Ф/м);
R- расстояние между зарядами, единица измерения метр (м);
единичный вектор 1R служит для указания направления силы .
где  0 
Напомним, что сила измеряется в Ньютонах (Н), а заряд в Кулонах (К).
Для того, чтобы количественно оценить интенсивность поля создаваемое
зарядом Q1 вводится понятие напряженности, т.е. силы, которая действует на
единицу заряда, находящегося в поле Q1 . т.е. напряженность это
E
F2
Q1

1R .
Q2 4 ε0 R 2
(1.1)
Единицей напряженности является Вольт/метр (В/м).
За направление электрического поля принимается направление силы
действующей на положительный заряд. Если представить расположение таких
векторов в пространстве, то получится точка с исходящими из нее лучами. Такое
поле называется радиальным.
Если вместо векторов, соответствующих направлению напряженности поля,
провести линию, касательную к этим векторам, то такую линию называют силовой
линией. Силовая линия характеризует направление поля в данной точке, но ничего
не говорит о его величине. Поэтому величину поля отражают увеличением или
уменьшением плотности силовых линий. Количество силовых линий, проходящих
через единицу площади, расположенной поперек линий пропорционально
напряженности поля. Силовые линии обладают рядом свойств: во-первых, силовые
линии не пересекаются, во-вторых, они непрерывны. Силовые линии можно
рассматривать как траектории по которым движется заряд с бесконечно малой
массой. Для иллюстрации электрического поля можно использовать как линии
напряженности, так и линии индукции. О последней мы расскажем чуть позже.
а)
б)
в)
Рис.1.1. Силовые линии одиночного положительного и отрицательного зарядов
и двух разноименных зарядов.
Один заряд создает радиальное поле. Более сложная картина поля возникает,
если в пространстве имеется несколько зарядов. В этом случае напряженность поля
рассчитывается как сумма напряженностей, создаваемых в этой точке каждым
зарядом отдельно. Это так называемый принцип суперпозиции, который хотя не
доказан теоретически, но и не опровергнут в экспериментах. Естественно, что
присутствие в пространстве нескольких зарядов может существенно изменить
картину поля. Пример картины такого поля представлен на рис.1.а и б.
Следует понимать, что силовые линии это всего лишь иллюстрации, которые
иногда обеспечивают лучшее восприятие рассматриваемой задачи. Силовые линии
используются для наглядного изображения невидимого электрического поля. На
самом деле никаких силовых линий в природе нет.
1.2. Теорема Гаусса для вакуума.
Картину поля можно представить как совокупность силовых линий. Такая
картина напоминает поток жидкости или газа. Поэтому когда имеют дело с
векторными полями, возникает вопрос о балансе силовых линий, точнее вопрос о
равенстве числа линий входящих и выходящих из пространства ограниченного
произвольной поверхностью. Естественно, что если выходит количество входящих и
исходящих линий равно, то внутри поверхности нет источника поля, в противном
случае он есть и по разности потоков можно судит о производительности такого
источника, т.е. о величине заряда.
Поток жидкости величина более-менее понятная, это количество жидкости
прошедшей через плоскость перпендикулярную потоку. По аналогии, поток
силовых это количество силовых линий прошедших через перпендикулярную
плоскость. Теперь вспомним, что плотность силовых линий пропорциональна
напряженности поля Е. Таким образом поток напряженности электрического поля
ψ  E  s . Эта формула справедлива когда плоскость перпендикулярна направлению
вектора E . Если плоскость и вектор напряженности будут сориентированы иначе,
то величину потока следует искать как ψ  E  s  cosα , где α – угол между вектором
E и вектором направленным перпендикулярно рассматриваемой плоскости.
После того как мы дали определение потоку напряженности электрического
поля, вернемся к вопросу о балансе потока вектора E . Чтобы найти ответ на этот
вопрос рассмотрим простейший источник поля – точечный заряд величиной Q.
Охватим его некой замкнутой поверхностью и найдем поток вектора E . Выберем
элементарную поверхность с площадью ds. Эта площадка может быть по-разному
ориентирована относительно силовых линий поля, поэтому элементарный поток
находится как dψ  E  ds  cosα .
Далее, с целью сокращения записи, элементарную площадь ds будем
рассматривать как вектор ds  ds  1n , где 1n - единичный вектор, направленный от
цента наружу замкнутой поверхности. С учетом введенных обозначений поток
вектора напряженности можно рассматривать как скалярное произведение
d  E ds . Суммарный поток через всю замкнутую поверхность это сумма всех
элементарных потоков пронизывающих поверхность.
ψE  lim  Eds
ds 0
Предел такой суммы записывается специальным образом
ψE 
 E ds
s
Для поля созданного одиночным зарядом
Q
 4 R
E 
s
2
ds1R 1n 
0
Q
4 0

s
cos 
ds
R2
где  угол между единичными векторами.
Под знаком интеграла находится так называемый элементарный сферический
угол dΩ . Сумма всех сферических углов равна 4π, т.е.

s
cos 
ds  4
R2
Отсюда следует, что
Q
 E ds  ε0 ,
(1.2)
s
т.е. поток вектора E через поверхность s пропорционален заряду находящемуся
внутри поверхности.
Введем новую величину,
D  ε0 E ,
(1.3)
которую назовем вектором электрической индукцией (часто называют
электрическим смещением) для вакуума. Единица измерения электрической
индукции Кулон/метр2, (К/м2).
Формулу (1.2), с учетом (1.3) можно записать так
 D ds  Q ,
(1.4)
s
т.е. поток вектора электрической индукции равен заряду, породившему этот поток.
Если заряд не одиночный, а распределен в пространстве, то картина поля
выглядит более сложной, и рассчитать значение интеграла сложнее. Хотя если
заряды находятся на расстоянии значительно меньшем чем величина R, то
результаты получаются примерно равными.
Необходимость введения дополнительного вектора D для описания
электрического поля станет понятной чуть позднее. Хотя и сейчас полученным
выражениям можно найти соответствующую аналогию из теории цепей.
Представим себе движение токов в проводнике по траекториям соответствующим
силовым линиям (именно так, в силу малой массы электронов, происходит их
движение в вакууме). Выделим вокруг одной из линий тонкую трубку с площадью
поперечного сечения ds. Тогда (1.3) напоминает закон Ома. Здесь вектор D
является аналогом плотности тока, вектор E аналогом напряжения, а  0
соответствует проводимости трубки деленной на площадь ds. Нет нужды лишний
раз говорить о том, что  0 вовсе не проводимость. Мы говорим об аналогии формул,
т.е. о том, что формулы, полученные сейчас, похожи на формулы, которые мы
изучали в теории цепей.
Продолжим дальнейшее рассмотрение. Обратимся к формуле (1.4). Может
быть это не очевидно, но она напоминает первый закон Кирхгофа. В самом деле,
пусть имеется узел, к которому подключено бесконечное множество ветвей. Ток
каждой ветви равен dψ  D ds . Это могут быть как входящие, так и выходящие токи.
Первый закон Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма токов
ветвей, не содержащих источники тока, равна току источника, подключенного к
узлу. В данном случае ток источника численно равен заряду, который охватывает
поверхность S.
Задача 1. Поле формируется двумя зарядами Q1 и Q2. Знак и величина
зарядов не имеет значения. Какую величину заряда нужно подставить в правую
часть теоремы Гаусса?
Ответ прост. Теорема Гаусса связывает поток вектора E или D с
поверхностью, которая охватывает заряд, создающий этот поток. Поэтому если мы
интересуемся потоком от Q1, то мы охватываем замкнутой поверхностью этот
заряд, и в правой части (1.2) или (1.4) записываем Q1, а под интегралом
соответственно вектора E1 или D1 . То же самое, для Q2. Если нас интересуют
потоки от обоих зарядов, то в правой части названных равенств фигурирует сумма
Q1 и Q2, а под интегралом результирующая напряженность или индукция от двух
зарядов.
Задача 2. На рис.1.2. внутри поля выделена поверхность S для проведения
интегрирования в соответствии с теоремой Гаусса. Из рисунка видно, что
напряженность поля быстро меняется по мере изменения координат. Вопрос в том,
какое значение вектора E или D нужно подставлять под интеграл?
Рис.1.2. Поверхность S в электрическом поле.
Ответ не должен вызывать затруднений. Теорема Гаусса говорит о потоках
вектора E или D , т.е. в упомянутую формулу нужно подставить вектора E ( x, y, z ) и
D( x, y, z ) , где x, y, z координаты точек расположенных на поверхности S.
1.3. Обобщенная теорема Гаусса.
Все вещества мы разделим на две группы: проводники и диэлектрики.
Проводники это вещества, в которых есть свободные заряда. К ним относятся все
металлы и электролиты. Диэлектрики вещества, в которых свободные заряды
отсутствуют (дерево, различные пластмассы, керамика и др.). Естественно, что
проводники проводят ток, а диэлектрики, в силу отсутствия свободных зарядов, нет.
Рассмотрим теперь влияние поля на диэлектрик.
Примем следующую модель диэлектрика. Будем считать, что в диэлектрике все
заряды расположены парами, т.е. каждому положительному заряду  Q
соответствует свой отрицательный  Q . Расстояние между зарядами настолько
мало, что их поля компенсируют друг друга. Под действием поля с напряженностью
E расстояние между парными зарядами увеличивается и становится равным d.
Такие связанные заряды называются диполями, а явление перемещения зарядов
называется поляризацией. Положительные заряды смещаются на величину x от
своего первоначального состояния, следовательно, отрицательные смещаются на
величину d-x. Величина p  Qd1d называется дипольным моментом. Здесь 1d единичный вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному.
Вновь охватим диэлектрик замкнутой поверхностью и выясним количество
заряда прошедшего через элементарную площадку ds  ds  1n . Если число диполей в
единице объема обозначить через N, то суммарный положительный заряд,
прошедший
через рассматриваемую
площадку

dQ  Qxds1d N .
Количество

отрицательного заряда, прошедшего через туже площадку dQ  Q(d  x)ds1d N .
Сумма этих зарядов


dQ  dQ  dQ  Qd ds1d N  pN ds
Вектором поляризуемости называется величина P  pN . Таким образом, заряд
dQ  dQ   dQ   Pds
Для замкнутой поверхности количество прошедшего через нее заряда можно
определить как интеграл по поверхности.
Q   P ds
s
Внутри рассматриваемой поверхности остался, так называемый, связанный
заряд, т.е. заряд, связанный с полем. Если поле исчезнет, то диполи тоже исчезнут и
связанный заряд исчезнет.
Qсвяз    Pds
s
Если внутри поверхности поместить дополнительный заряд (обычно его
называют свободным зарядом) величиной Qсвоб, то справедливо
1
 Eds    Q
своб
 Qсвяз 
(1.5)
0
s
или иначе

1
 Qсвоб   Pds 
0 
s

 Eds  
s
Сосредоточив интегралы в левой части можно получить:
 
0

E  P ds  Qсвоб
(1.6)
s
Величина D   0 E  P
называется вектором электрической индукции для
К 
диэлектрика. Размерность вектора D    2  .
м 
Для однородных веществ справедливо
P  K э E , где K э - коэффициент восприимчивости. Тогда
D   0 E  Kэ E  E 0  Kэ 
a  0  Kэ
Величина
называется
абсолютной
проницаемостью. Её единица измерения Фарада/метр (Ф/м).
Отношение

a
0
называется
относительной
диэлектрической
диэлектрической
проницаемостью (это величина безразмерная). Поэтому можно записать, что
D  εa E .
(1.7)
D  εε 0 E
(1.8)
или
Относительная диэлектрическая проницаемость характеризует способность
диэлектрика к поляризации. Диэлектрики с плохой поляризацией имеют величину
ε=1÷4.
Относительная диэлектрическая проницаемость показывает насколько поле
внутри диэлектрика меньше чем поле в вакууме.
Возвращаясь к (1.6) можно записать его так:
 Dds  Qсвоб
(1.9)
s
Обратите внимание, что связанный заряд в уравнение не входит. В правой
части этого уравнения присутствует только свободный заряд.
Физический смысл выражения (1.9) заключается в следующем. Если поток
вектора D через замкнутую поверхность S не равен нулю, то внутри объема,
ограниченного этой поверхностью, заключены источники данного вектора. Иными
словами, источниками вектора D являются свободные заряды. Если зарядов внутри
поверхности нет, то поток вектора D сквозь такую поверхность равен нулю.
Геометрический смысл (1.9): линии вектора электрической индукции D связаны со
свободными зарядами. Они начинаются на свободных зарядах и заканчиваются на
них. Линии вектора D неразрывны.
Возвращаясь к иллюстрации результатов с помощью аналогов теории цепей,
можно сказать, что ток в диэлектрике превосходит ток в вакууме в ε раз. Об этом
говорит равенство (1.8). Каждый диэлектрик имеет свою относительную
диэлектрическую проницаемость, которая в наших аналогиях соответствует
проводимости. Веществом с наименьшей проводимостью оказался вакуум.
Уравнение (1.9) как и ранее можно рассматривать как первый закон Кирхгофа.
Задача 1. Пластина из диэлектрика с ε>1 помещена в однородное
электростатическое поле E (рис. 1.3). Размеры пластины ограничены, окружающая
среда – воздух. Определить, где в явном виде появится связанный заряд.
Рис. 1.3
Из рис. 1.2 видно, что связанные заряды появятся на торцах пластины,
перпендикулярных направлению поля, т.е. на границах раздела сред. Конечно,
связанный заряд будет также внутри диэлектрика, но на поверхностях параллельных
направлению поля он отсутствует.
1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса в интегральной форме выражает связь между потоком вектора
D через поверхность S ограничивающую некоторый объем, и алгебраической
суммой зарядов, находящихся внутри этого объема. С помощью теоремы Гаусса в
интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий Q в данной точке
поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке поля. Ответ на этот вопрос
дает дифференциальная форма записи теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней,
разделим обе части уравнения
 Dds  Qсвоб
s
на одну и ту же скалярную величину — на объем V, находящийся внутри замкнутой
поверхности S:
 Dds
s
V

Qсвоб
V
Это выражение остается справедливым для объема V любой величины.
Устремим объем V к нулю:
 Dds
Q
lim s
 lim своб
V 0 V
V 0 V
При стремлении объема к нулю интеграл также стремится к нулю, но
отношение двух бесконечно малых величин V есть величина конечная. Предел
отношения потока векторной величины сквозь замкнутую поверхность,
ограничивающую некоторый объем, к объему V называют дивергенцией вектора D .
Дивергенция D записывается как divD .
В правой части выражения находится объемная плотность свободного заряда
ρ своб .
Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме записывают
следующим образом (первая форма записи):
divD  ρсвоб ,
(1.10)
т. е. исток линий D в данной точке поля определяется значением плотности
свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность зарядов в данной точке
положительна ( ρсвоб  0 ), то из бесконечно малого объема, окружающего данную
точку поля, линии вектора D исходят (исток положителен, рис.1.4). Если в данной
точке поля своб  0 , то в бесконечно малый объем, внутри которого находится
данная точка, линии вектора D входят. И, наконец, если в какой-либо точке поля
ρсвоб  0 , то в данной точке объема нет ни истока, ни стока линий D т. е. в данной
точке линии вектора D не начинаются и не заканчиваются.
Рис.1.4. Иллюстрация понятия дивергенции.
Если среда однородна и изотропна (обладает одинаковыми свойствами во всех
направлениях), то ее ε a  const . Тогда вспомнив, что D   a E можно записать, что
divε a E  ρсвоб . Вынесем ε a за знак дивергенции:
ε a divE  ρсвоб ,
или
divE 
ρсвоб
εa
(1.11)
Эта формула представляет собой вторую форму записи теоремы Гаусса. Она
справедлива только для однородной и изотропной сред. Для неоднородной среды ε a
является функцией координат, и потому она не может быть вынесена за знак
дивергенции.
Теорему Гаусса в дифференциальной форме записывают так (третья форма
записи):
divE 
ρсвоб +ρсвяз
.
εa
(1.12)
Следовательно, истоком вектора E , в отличие от истока вектора D , являются
не только свободные, но и связанные заряды.
Дивергенция вектора может быть выражена через его частные производные.
Естественно, что в различных системах координат divE раскрывается по-разному.
1.4.1. Вывод выражения для divE в декартовой системе координат
Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dх, dу, dz.
Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис.) с
единичными векторами i , j , k . Для нахождения истока вектора E из данного
объема составим разность потоков, выходящих из данного объема и входящих в
него, и разделим разность потоков на объем параллелепипеда, равный.
Рис.1.5. Иллюстрация к вычислению дивергенции
Левую грань площадью dхdz пронизывает только одна составляющая вектора
E , т. е. составляющая jE y , остальные ( iE x и k E z ) скользят по грани. Поток вектора
E , входящий в эту грань, равен E y dxdz .
Так как E есть функция координат, то и ее составляющие также являются
функциями координат. Правая грань площадью dхdz отстоит от левой грани на
расстоянии dу. Проекция вектора E на ось у равна
Ey 
где
E y
y
E y
y
E y
y
dy ,
- скорость изменения E y в направлении оси y;
dy - приращение «игрековой» составляющей напряженности поля на пути
dy.
Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен
E


 E y  y dy dxdz
y


Исток через грани площадью dxdz равен
E y
y
dydxdz
Таким же путем получим разность потоков через грани площадью dydz
E x
dydxdz
x
Разность потоков через грани dx dу (верхнюю и нижнюю стенки объема) равна
E z
dydxdz
z
Для нахождения divE сложим разности потоков через все грани и поделим
сумму на объем параллелепипеда dх dу dz, получим
div E 
E x E y E z


x
y
z
(1.13)
Из полученной формулы и (1.11) следует уравнение
Ex E y Ez своб



.
x
y
z
a
которое справедливо для однородных и изотропных сред, и уравнение
(1.14)
Ex E y Ez своб  связ



,
x
y
z
a
(1.15)
которое справедливо для неоднородных сред.
Аналогичное уравнение можно получить для вектора D
Dx Dy Dz


 своб .
x
y
z
(1.16)
Эти уравнения при заданных ρсвоб и ε0 позволяют найти вектора E и D в любой
точке пространства.
1.4.2. Поле внутри проводника.
В отличие от диэлектрика, внутри проводника существуют свободные заряды,
которые под действием поля приходят в движение. Это движение и есть
электрический ток. Положительные заряды (если они есть) смещаются в сторону
направления вектора E , отрицательные в противоположную сторону. Изменение
положения зарядов приводит к ослаблению электрического поля внутри
проводника. Тем не менее, если поле существует, движение зарядов продолжается.
Пока внешнее поле не будет скомпенсировано полем свободных зарядов, в
проводнике существует ток. Наконец настанет момент, когда ток прекратится, т.е.
поле внутри проводника станет равным нулю.
Таким образом, напряженность электростатического поля внутри проводника
равна нулю. Если поляризация диэлектриков приводит к ослаблению поля внутри
диэлектрика, то свободные заряды проводника компенсируют электростатическое
поле полностью.
1.4.3. Скалярный потенциал электрического поля
Движение заряда в электрическом поле связано с энергетическими затратами.
Работа, выполненная при перемещении заряда Q на расстояние dl в
электростатическом поле определяется как
dA  Fdl cosα  EQdl cosα  EdlQ .
Здесь F – сила, действующая на заряд Q,
α – угол между вектором силы F и вектором напряженности E .
Как видно, величина работы пропорциональна величине заряда. Затраты
энергии на единицу заряда
dA1  dA / Q  Edl
(1.17)
Выделим в пространстве две точки a и b. Интеграл вектора напряженности
электрического поля вдоль линии, соединяющей некоторые точки a и b, называется
электрическим напряжением Uab между этими точками вдоль указанной линии:
b
a
U ab   dA1   Edl
a
(1.18)
b
Впоследствии встретятся электрические поля, где напряжение между двумя
точками получается различным в зависимости от того, вдоль какого пути,
соединяющего эти точки, вычисляется или измеряется напряжение. В
электростатическом поле напряжение между двумя точками не зависит от формы
пути, вдоль которого интегрируется вектор E . Действительно, если соединить две
произвольные точки a и b (рис.1.6) несколькими линиями и проинтегрировать
вектор E по замкнутому пути — контуру, двигаясь от b к a по одной линии и от a к
b - по любой другой, то на основании формулы (1.18) получится нуль.
Рис.1.6. Иллюстрация к понятию потенциал
Пусть напряжение вдоль первой линии
a
 Edl
 U ba .
b
Очевидно, что по любой второй линии независимо от ее формы и длины получится
тот же результат, но со знаком минус:
b
 Edl
 U ab  U ba
a
Введем понятие потенциальной функции или потенциала поля
b
φb    Edl  φ a ,
(1.19)
a
т.е. потенциал точки b пересчитывается через потенциал точки a. Рассматривая φ a
как постоянную интегрирования, можно потенциал поля в точке с координатами x,
y, z определить как
φ( x, y, z )    Edl ,
(1.20)
Из (1.19) следует, что Uab=φa-φb, т.е. разность потенциалов двух точек
представляет собой напряжение между этими точками.
Найдем связь между напряженностью и потенциалом поля. Для этого
совершим несколько пробных шагов из точки с координатами (x,y,z) в соседние
точки 1, 2 и 3, с соответствующими координатами (x+dx,y,z), (x,y+dy, z) и (x,y,z+dz).
Причем соседние точки выберем так, чтобы отрезок 0-1 был параллелен оси x,
а отрезок 0-2 параллелен оси y, отрезок oz параллелен оси z.
Рис.1.7. Иллюстрация к понятию потенциал
Пусть в точке 0 потенциал равен φ, тогда в точке 1, сдвинутой от первой на
бесконечно малое расстояние dx потенциал будет равен
φ1  φ  dφ  φ 
φ
dx .
x
Разность потенциалов между этими точками должна равняться напряжению на
отрезке dx:
φ  φ1  
φ
dx ,
x
Что такое разность потенциалов? Это работа, выполненная при переносе единицы
заряда из одной точки в другую, т.е. то, что мы обозначили через A1. С другой
стороны, в соответствии с (1.17) работа, связанная с перемещением единицы заряда
A1  Edx  Ex dx , где Ex - проекция вектора E на ось x.
Отсюда следует, что
Ex  
φ
x
т. е. проекция вектора E на ось x показывает, как быстро убывает потенциал в этом
направлении.
Аналогичным образом можно показать, что
Ey  
φ
;
y
Ez  
φ
.
z
Тогда
 φ
φ
φ 
E  iEx  jE y  kEz    i
j
k
 .

x

y

z


(1.21)
Выражение, стоящее в скобках называют градиентом, т.е.
grad φ= i
φ
φ
φ
,
j
k
x
y
z
(1.22)
тогда поученное ранее выражение (1.20) можно записать так
E   grad φ
(1.23)
Иногда это выражение записывают так:
E  φ
(1.24)
где  - дифференциальный оператор.
=i



j
k
x
y
z
Эта запись на самом деле не имеет смысла, т.к. в нее входят производные от
пустого места. Но если к ней подходить формально и рассматривать  как вектор с
  
координатами
, , , то произведение вектора  на скалярную величину φ даст
x y z
необходимую формулу
φ=i
φ
φ
φ
j
k
x
y
z
То есть оператор «набла» удобен для записи.
Рассмотрим несколько примеров (все примеры и их решения взяты из [1]).
Задача 1.1. В цилиндрическом конденсаторе, заполненном воздухом, радиусы
внутреннего и внешнего электродов соответственно а = 1см и b = 2 см. Длина
конденсатора l= 20 см. Определить напряженность и смещение (индукцию) между
электродами конденсатора при заряде на обкладках Q =6,36·10-9К.
Решение. Для решения задачи с помощью теоремы Гаусса следует мысленно
окружить внутренний электрод замкнутой поверхностью в виде соосного цилиндра
произвольного радиуса b>r>a и длиной l с плоскими торцами, перпендикулярными
оси. Через торцовые поверхности поток вектора смещения равен нулю, а через
боковую цилиндрическую поверхность он определяется по уравнению (1.7):
 D ds   Dds D  ds 2 rlD  Q
s
s
s
откуда
Q
6,36  109
5,11  1011
D


К / см 2
2 rl 2  3,14  20r
r
11
D
5,11 10
578
E


В/см2
14
 0 1  8,85 10 r
r
так как для воздуха ε= 1.
Задача 1.2. Определить напряжение между электродами конденсатора,
рассмотренного в задаче 1.1.
Решение. Из определения напряжения U и найденного в задаче 1.1 значения
напряженности поля Е следует, что
b
b
dr
b
 578ln  400 В
r
a
a
U   Edr  578
a
Задача 1.3. Определить, по какому закону должна быть распределена
диэлектрическая проницаемость между электродами конденсатора, рассмотренного
в задаче 1.1, чтобы напряженность оставалась всюду равной Е=400 В/см?
Решение. Из полученного в задаче 1.1 выражения для Е можно записать:
5,11  1011
D
1,44
r



14
 0 E 8,85 10  400
r
Следует обратить внимание на то, что напряжение между обкладками
останется при этом прежним, как и в задаче 1.2, так как здесь
U  (b  a ) E  (2  1)400  400 В
Задача 1.4. Между электродами плоского конденсатора помещен диэлектрик
толщиной d=5 мм. Его диэлектрическая проницаемость меняется от точки к точке
по закону

3
1  2x
где х - расстояние от положительного электрода, в сантиметрах. Напряжение на
конденсаторе U=500 в. Найти уравнение напряженности Е как функцию расстояния
х.
Решение.
Исходя из условия задачи напряжение
D 1  2x
D d  d2
U   Edx  
dx  
dx 
 0
0 0 3
0 3
0
0
d
d
D
d
Отсюда следует, что
D d  d2
 500 В
0 3
т.е. D  2000 0  1,77  1010 К / см2
D
1  2x
E
 2000
В / см
 0
3
1  x 10
 1
P  D   0 E  1   D  3,54
10 К / см 2
3
 
1.5. Граничные условия
Как было показано выше, поляризация диэлектриков приводит к ослаблению
напряженности электрического поля внутри диэлектрика. На его поверхности
возникает связанный заряд. С другой стороны, если поле действует вдоль
поверхности раздела двух диэлектриков на этой поверхности не должны возникать
связанные заряды. Словом, представляет интерес влияние диэлектриков на
электрическое поле. Например, как изменится значение вектора E , при переходе из
одного диэлектрика в другой? Или как меняется напряженность поля при переходе
из проводника в диэлектрик?
Граничные условия для нормальной составляющей вектора D
Рассмотрим рисунок, на котором изображена граница раздела двух сред с
разными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. Кроме того, будем считать,
что на поверхностях сред имеются свободные заряды, с плотностью σ 1 и σ2.
Указанные среды находятся в электрическом поле с индукцией D .
Найдем, как связаны между собой вектора электрического поля в указанных
средах.
Предположим, что граница перехода из одной среды в другую имеет толщину
Δh, и по мере перемещения по границе вектор D плавно изменяется от D1 до D 2 .
Выделим в этой границе цилиндр, так, чтобы его верхняя и нижняя грани
находились в разных средах. Запишем для цилиндра теорему Гаусса.
 D ds  Q
s
Выразим интеграл через сумму потоков проходящих через верхнее и нижнее
основание и боковую поверхность цилиндра.
D11n1s  D21n 2s  б  Q
(1.25)
где б - поток вектора D через боковую поверхность;
1n1 и
1n 2 - единичные, нормальные к верхнему и нижнему основаниям
цилиндра, векторы;
Δs – площади оснований цилиндра.
Теперь вспомним, что на самом деле толщина границы раздела двух сред
равна нулю. Это значит, что в (1.25) Δh следует устремить к нулю.
При h  0 поток б  0 . Уравнение после замены скалярных произведений
проекциями принимает вид
 D1n  D2n 
Q
s
Q
- это поверхностная плотность заряда. Естественно, что она не
s
может быть разной на границе раздела, т.к. это одна и та же поверхность, т.е.
σ1=σ2=σ. Уравнение можно записать так
Величина  
D2n  D1n  
(1.26)
Если   0 , то D2 n  D1n . Таким образом, нормальная составляющая вектора D
имеет разрыв только тогда, когда поверхностная плотность зарядов не равна нулю.
Тогда из уравнения для нормальной составляющей вектора D следует
ε a 2 E2n  ε a1E1n ,
(1.27)
т.е. нормальная составляющая вектора E имеет разрыв, если конечно, имеется
изменение диэлектрической проницаемости ε a .
Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора D
Рассмотрим пространство, в котором существует электрическое поле. Вектор
напряженности электрического поля E в каждой точке пространства имеет свою
величину и направление. В соответствии с (1.19) в таком поле интеграл по
замкнутому контуру
 Edl
0
(1.28)
l
Воспользуемся этим уравнением для определения закона изменения
тангенциальных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред. Вновь
рассмотрим рисунок изображающий границу раздела двух сред.
Запишем уравнение (1.28) для выделенного прямоугольного контура
E11 1l  E21 2l  U12  U 21  0 ,
где E1 , E2 - вектора напряженности электрического поля в средах 1 и 2;
1 1 , 1 2 - единичный вектор касательный к поверхности раздела;
U12 , U21 –напряжения на границе раздела двух сред
Пусть h  0 . Тогда U12→0 и U21→0. Уравнение принимает вид
E1  E2 ,
(1.29)
т.е. тангенциальная составляющая вектора E разрыва не имеет. Но вектор D может
иметь разрыв, т.к.
D1
 a1
или

D2
 a2
D1  a1

D2  a 2
(1.30)
(1.31)
Граничные условия на границе проводник-диэлектрик
При отсутствии тока в проводнике, выполняются условия:
1. Потенциалы всех точек проводника равны;
2. Напряженность поля внутри проводника равна нулю;
В таком случае
Нормальная составляющая вектора D в проводнике равна нулю, а в
диэлектрике, в соответствии с (1.25), Dn=σ. Соответственно E n=σ/εa.
Тангенциальные составляющие напряженности поля, как в проводнике, так и в
диэлектрике, равны нулю, т.е. Eτ=0 согласно с (1.28).
Граничные условия на границе диэлектрик-диэлектрик
На границе двух диэлектриков нормальные составляющие векторов D равны,
т.е. Dn1=Dn2, т.е. нормальная составляющая вектора D непрерывна. Тангенциальные
составляющие, в соответствии с (1.30) связаны отношением
D1  a1

D2  a 2
т.е. имеют разрыв.
С составляющими вектора E все обстоит иначе. Нормальная составляющая
вектора E имеет разрыв. В соответствии с (1.26)
E1n ε a 2

E2n ε a1
Тангенциальная составляющая вектора E непрерывна (1.29), т.е.
E1  E2 ,
1.6. Поле заряженной оси
Под заряженной осью понимают бесконечно тонкий, бесконечно длинный
проводник, имеющий внешний заряд.
Задача заключается в том, чтобы найти напряженность поля, создаваемого
заряженной осью. При этом предполагается, что плотность заряда на единицу длины
известна, и равна τ. Известна также диэлектрическая проницаемость окружающей
среды εa.
Очевидно, что вектор напряженности, создаваемый заряженной осью, лежит в
плоскости перпендикулярной заряженной оси и перпендикулярен ей.
Для нахождения решения охватим ось цилиндрической поверхностью так,
чтобы ее ось совпадала с заряженной осью.
Воспользуемся Теоремой Гаусса. Очевидно, что поток вектора E через
основания цилиндра равен нулю, поскольку угол между векторами E и ds равен
π/2. Поэтому остается найти только поток через боковую поверхность цилиндра.
Направление векторов элементарных площадей ds и напряженностей E везде
совпадают. Поэтому поток вектора E через боковую поверхность
 Eds  E 2 rh ,
s
где h – высота цилиндра.
Величина электрического заряда, охваченного поверхностью Q   h . Из
теоремы Гаусса следует равенство
τ
E 2πr 
εa
или
τ
E
.
2πrε a
Потенциал в любой точке определяется как
τ
τ
τ
1
dr  
ln r  C 
ln  C
2πε a r
2πε a
2πε a r
s
φ    Edr  
s
1.7. Емкость
Если два проводника имеют равные, но противоположные по знаку заряды Q, то между ними
создается электрическое поле.
Если напряжение между проводниками U, то под емкостью между двумя телами понимают
отношение абсолютных величин
C
Q
.
U
Задача 1. В коаксиальном кабеле с твердой изоляцией (ε2=6) вследствие
перегрева образовался между жилой и изоляцией воздушный зазор (ε 1=1) шириной
b-а=0,5 см. Кабель проходит в земле. Радиусы жилы и оболочки (внутренней и
внешней) соответственно а = 0,5 см, с = 2 см, d = 2,5 см. Требуется определить
емкость кабеля на единицу длины.
Решение.
Для подсчета емкости кабеля следует предположить,
что на жиле имеется заряд q. Затем нужно найти разность
потенциалов между жилой и оболочкой U, необходимую для
подсчета емкости.
Q
С
U
Напряженность поля между жилой и оболочкой кабеля
можно легко найти с помощью теоремы Гаусса, причем нужно
интегрировать по равнопотенциальной поверхности, имеющей форму цилиндра
радиусом r и длиной l. Эту поверхность силовые линии пересекают под прямым
углом, α=0, и в силу симметрии напряженность поля по всей поверхности будет
одинакова. Поэтому поток вектора напряженности через эту поверхность
 Eds  Eds cos E  ds Es  E 2πrl
В соответствии с теоремой Гаусса этот поток можно выразить через
охватываемый заряд
Q
E 2πrl 
εε 0
т.е.
Q
τ
E

2πrlεε0 2πrεε0
Для образовавшегося воздушного зазора ε=1, т.е.
E1 
τ
2πrε0
E2 
τ
2πrεε 0
Для твердой изоляции
Потенциал произвольной точки, находящейся между жилой и оболочкой на
расстоянии r от оси кабеля
c
φ   Edr
r
Для области b≤r≤c
c
c

dr

c
φ2   E2dr 

ln

2 εε0 r r 2 εε0 r
r
Для области a≤r≤b
c
b
c
r
r
b
φ1   Edr   E1dr   E2dr 
  b 1 c
 ln  ln 
2 ε0  r ε2 b 
Так как оболочка заземлена, напряжение между жилой и оболочкой равно
потенциалу жилы:
U =(φ1 ) r a 
  b 1 c
 ln  ln 
2 ε 0  r ε 2 b 
Следовательно емкость на единицу длины кабеля
2π
C0 
1
2πε0
C
Q τ
4π  9  109  68,8  1012 Ф/м
U
= =

l
lU U ln b  1 ln c ln 1  1 ln 2
r ε2 b
0,5 6 1
1.8. Уравнения Пуассона и Лапласа
Уравнение (1.16) позволяет найти вектор D по заданной плотности заряда.
Однако найти его решение можно только в самых простых случаях, например, когда
вектор D имеет только одну составляющую. Для того, чтобы решить его в общем
виде воспользуемся (1.23)
E   grad φ ,
которое с учетом (1.8) можно записать так:
D   0 grad φ
Таким образом (1.16) принимает вид:
div(   0 grad φ)= ,
а в тех точках поля, где заряд отсутствует
div(   0 grad φ)=0
Уравнения можно записать иначе
div(grad φ)=-

 0
(1.32)
и
div(grad φ)=0
(1.33)
Первое уравнение называется уравнением Пуассона, второе уравнением Лапласа.
Иногда они записываются с помощью оператора  2 (набла квадрат). В этом случае
уравнение Пуассона выглядит так:
 2 φ=-

,
 0
или
2
2 φx  φ y 2 φz

.
+ 2 + 2 =2
x
y
z
 0
Уравнение Лапласа записывается так:
 2 φ=0 .
или
2
2 φx  φ y 2 φz
+ 2 + 2 =0 .
x 2
y
z
Уравнение Лапласа играет в электростатике важную роль. Дело в том, что в
большинстве случаев электростатические поля возбуждаются заряженными
проводниками. Заряды распределяются по проводнику бесконечно тонким слоем по
его поверхности, являясь пограничным слоем для поля. Внутри проводника
напряженность поля равна нулю, иначе в проводнике протекал бы ток. Напротив, в
диэлектрике поле существует, но нет свободных зарядов, поэтому ток тоже
отсутствует. Во всех случаях уравнение Лапласа позволят определить параметры
поля.
1.0. Теорема единственности
Уравнение Лапласа как уравнение в частных производных допускает
бесчисленное множество линейно независимых частных решений; в этом находит
свое математическое отражение бесконечное разнообразие полей, которые могут
быть возбуждены заряженными проводниками. Обычно требуется определить поле,
если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные
граничные условия:
а) потенциалы проводников,
б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого не известен.
При этом необходимо иметь критерий, который позволил бы отобрать из
всевозможных решений уравнения Лапласа то решение, которое соответствует
именно данной задаче. Такой критерий устанавливается теоремой единственности:
решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям данной задачи,
является единственным.
Из теоремы единственности вытекают два следствия, имеющие важное прикладное
значение.
Следствие 1. Электростатическое поле (и соответствующее ему решение) в
некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не
изменится, если эти поверхности станут проводящими, т. е. превратятся в границы
проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.
Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону поверхности S
(необязательно равнопотенциальной) не изменится, если по другую сторону этой
поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы
сохранились граничные условия на поверхности S.
Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных
зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета называется методом
изображений. Оба следствия позволяют значительно расширить область
применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.