TR_3._Klasicheskiy_metod_rascheta

Учреждение образования
Белорусский Государственный университет
информатики и радиоэлектроники
Кафедра теоретических основ электротехники
Типовой расчет по курсу: «Теория электрических цепей»
Тема: «Переходные процессы в линейных электрических цепях.
Классический метод расчёта переходных процессов».
Шифр студента № XXXXXX-XX
Проверил
Выполнил
Ст. гр. № XXXXXX
NoName
MRY
Минск 2012
1
1. Определение независимых начальных условий
R1
R2
L
E
R3
Согласно закону коммутации:
𝑈𝐶 (0− ) = 𝑈𝐶 (0+ ) = 0
Реактивное сопротивление индуктивности:
𝑋𝐿 = ω ∗ 𝐿 = 320 Ом
Реактивное сопротивление ёмкости:
1
= 107,527 Ом
ω∗𝐶
Комплексное сопротивление цепи относительно источника
𝑋𝐶 =
𝑍 = 𝑅3 +
𝑅1 ∗ (𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿 )
= 82.047 + 14.213𝑖 Ом
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
Комплексная амплитуда тока в цепи источника определится по закону Ома:
̇ =
𝐼3𝑚
𝐸
= 0,698 − 0,121𝑖 А
𝑍
Комплексную амплитуду тока в ветви с индуктивностью определим по правилу
плеч:
̇ = 𝐼3𝑚
̇ ∗
𝐼2𝑚
𝑅1
= 0,015 − 0,149𝑖
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
Мгновенное значение тока в цепи с индуктивностью запишется в виде
̇ (𝑡) = 0.149 ∗ sin(10000 ∗ 𝑡 − 84.285°) А
𝐼2𝑚
Полагая в последнем выражении 𝑡 = 0− , получим величину тока в
индуктивности
непосредственно перед коммутацией:
̇ (0− ) = 0.149 ∗ sin(−84.285°) = −0,148 А
𝐼2𝑚
2
По законам коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком.
Следовательно, I2 (0− ) = I2 (0+ ) = − 0,148
2. Расчет установившегося режима
R1
C
R2
L
E
R3
Комплексное сопротивление цепи относительно источника:
𝑍 = 𝑅3 +
(𝑅1 − 𝑗 ∗ 𝑋𝐶 ) ∗ (𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿 )
= 157,448 − 108,954𝑖 Ом
𝑅1 − 𝑗 ∗ 𝑋𝐶 + 𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
Комплексная амплитуда тока в ветви источника определится по закону Ома:
̇ =
𝐼3𝑚
𝐸
= 0,253 + 0,175𝑖 А
𝑍
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью определяется по
правилу плеч:
̇ = 𝐼3𝑚
̇ ∗
𝐼2𝑚
𝑅1 − 𝑗 ∗ 𝑋𝐶
=0,001-0,172i А
𝑅1 + 𝑅2 − 𝑗 ∗ 𝑋𝐶 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
Мгновенное значение тока в индуктивности, т.е. искомая принужденная
составляющая, запишется в виде:
̇ =0,172*sin(10000*t-89.525°) А
𝐼2пп
Комплексная амплитуда тока в цепи с емкостью определим по правилу плеч:
̇ = 𝐼3𝑚
̇ ∗
𝐼1𝑚
𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
= 0,252 + 0,347𝑖 А
𝑅1 − 𝑗 ∗ 𝑋𝐶 + 𝑅2 + 𝑗 ∗ 𝑋𝐿
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости определится по закону Ома:
̇ ∗ 𝑗 ∗ 𝑋𝐶 = −37,308 + 27,093𝑖 В
𝑈̇𝐶𝑚 = 𝐼1𝑚
Мгновенное значение напряжения на емкости:
𝑈̇𝐶пр = 46,108 ∗ sin(10000 ∗ 𝑡 + 144.013°) В
3
3. Определения вида свободной составляющей:
R1
C
R2
L
R3
Комплексное сопротивление от-но разрыва имеет следующий вид:
𝑍𝑝 = 𝑅1 +
1
𝑅3 ∗ (𝑅2 + 𝑝 ∗ 𝐿)
+
=0
𝑝∗𝐶
𝑅3 + 𝑅2 + 𝑝 ∗ 𝐿
После выполнения алгебраических преобразований получено
характеристическое уравнение второго порядка:
𝑝2 + [
(𝑅3 + 𝑅2 )
𝑅3 ∗ 𝑅2
1
𝑅3 + 𝑅2
+
+
=0
]∗𝑝+
(𝑅3 + 𝑅1 ) ∗ 𝐿 (𝑅3 + 𝑅1 ) ∗ 𝐿 (𝑅3 + 𝑅1 ) ∗ 𝐶
𝐿 ∗ 𝐶 ∗ (𝑅3 + 𝑅1 )
Подставляем численные значения параметров цепи:
𝑝2 + 12630 ∗ 𝑝 + 1.368 ∗ 107 = 0
Корни уравнения:
𝑝1 = −1.196 ∗ 103 = −1196
𝑝2 = −1.143 ∗ 104 = −11430
По виду корней характеристического уравнения записывается свободная
составляющая переходного процесса:
𝑖2св (𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑝1𝑡 + 𝐴2 𝑒 𝑝2𝑡
Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принуждённой и
свободной
составляющих:
𝑖2 (𝑡) = 0,172*sin(10000*t-89.525°)+𝐴1 𝑒 −1196∗𝑡 + 𝐴2 𝑒 −11430∗𝑡 А
Дифференцируя это уравнения получим:
𝑑𝑖2
= 1720 ∗ cos(10000*t-89.525°) − 1196 ∗ 𝐴1 𝑒 −1196∗𝑡 − 11430 ∗ 𝐴2 𝑒 −11430∗𝑡
𝑑𝑡
Полагая в вышеприведённых уравнениях t = 0+ , получим:
2
𝑖2 (0+ ) = 0,172*sin(-89.525°)+𝐴1 + 𝐴2
{𝑑𝑖2 (0+ )
= 1720 ∗ cos(-89.525°) − 1196 ∗ 𝐴1 − 11430 ∗ 𝐴2
𝑑𝑡
Для определения зависимых начальных условий составим
систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t = 0+
послекоммутационной схемы:
𝑅3 𝑖3 (0+ ) + 𝑈𝐶 (0+ ) + 𝑅1 𝑖1 (0+ ) = 𝑒(0+ )
𝑑𝑖2 (0+ )
−𝑅1 𝑖1 (0+ ) − 𝑈𝐶 (0+ ) + 𝐿
+ 𝑅2 𝑖2 (0+ ) = 0
𝑑𝑡
𝑖3 (0+ ) = 𝑖1 (0+ ) + 𝑖2 (0+ )
{
Подставляя численные значения найденных ранее независимых начальных
условий 𝑖2 (0+ ), 𝑈𝐶 (0+ ) и значение 𝑒(0+ ) = 0, получим
𝑑𝑖2 (0+ )
= 305,885 А/с
𝑑𝑡
Тогда уравнение для определения постоянных интегрирования примут вид:
−0,148 = −0,172 + 𝐴1 + 𝐴2
{
305,885 = 14,228 − 1196 ∗ 𝐴1 − 11430 ∗ 𝐴2
Постоянные интегрирования
𝐴1 = 0,055, 𝐴2 = −0,031
Окончательное выражение для переходного тока в индуктивности запишется в
виде:
𝑖2 (𝑡) = 0,172*sin(10000*t-89.525°)+0,055𝑒 −1196∗𝑡 − 0,031𝑒 −11430∗𝑡 А
Переходной процесс по напряжению на ёмкости рассчитывается аналогично.
Записываем выражение 𝑈𝐶 (𝑡) как сумму двух составляющих:
𝑈𝐶 (𝑡) = 𝑈𝐶св (𝑡) + 𝑈𝐶пр (𝑡)
Принуждённая составляющая переходного процесса определена выше.
Свободную
составляющую ищем в виде суммы двух экспонент. С учётом этого:
5
𝑈𝐶 (𝑡) = 46,108 ∗ sin(10000 ∗ 𝑡 + 144.013°) + 𝐴1 𝑒 −1196𝑡 + 𝐴2 𝑒 −11430𝑡
Второе уравнение, необходимое для однозначного определения постоянных
интегрирования, получим дифференцированием первого:
dUC
=46,108*10000*cos(10000*t-144.013°)-1196*A1 e-1196*t -11430**A2 e-11430*t
dt
Полагая в вышеприведённых уравнениях t = 0+ , получим:
𝑈𝐶 (0+ ) = 27.093 + 𝐴1 + 𝐴2
{dUC (0+ )
= −373100 − 1196 ∗ 𝐴1 − 11430 ∗ 𝐴2
dt
Производная напряжения на ёмкости в момент коммутации относится к
зависимым
начальным условиям. Определим её значение по выражению
dUC (0+ ) i1 (0+ )
=
dt
𝐶
Значение i1 (0+ ) определим из системы уравнений по законам Кирхгофа для
момента времени t = 0+ , записанной выше. Тогда:
dUC (0+ )
= 309100 В/с
dt
Уравнения для определения постоянных интегрирования примут вид:
0 = 27.093 + 𝐴1 + 𝐴2
{
309100 = −373100 − 1196 ∗ 𝐴1 − 11430 ∗ 𝐴2
Решая полученную систему уравнений, определим постоянные
интегрирования:
𝐴1 = 23,907, 𝐴2 = −51
Окончательное выражение для переходного напряжения на ёмкости:
𝑈𝐶 (𝑡) = 46,108 ∗ sin(104 ∗ 𝑡 + 144.013°) + 23,907𝑒 −1196𝑡 − 51𝑒 −11430𝑡
X. Определение длительности переходного процесса
При построении графиков переходных процессов прежде всего необходимо
опре-
2
делить их длительность. Теоретически переходные процессы длятся бесконечно
долго. Практически же – оканчиваются за время, равное трём постоянным
времени
𝑡пп = 3 ∗ 𝜏. За это время свободная составляющая переходного процесса будет
иметь значение, составляющее 5 % от значения при 𝑡 = (0+ )
Постоянная времени ф определяется как величина, обратная минимальному по
модулю корню характеристического уравнения:
𝜏=
1
= 8.358 ∗ 10−4
|𝑝|𝑚𝑖𝑛
Следовательно, длительность переходного процесса для рассматриваемой
задачи
будет равна
𝑡 = 3 ∗ 𝜏 = 0.003
7