28 января 11е Определение положения основания высоты пирамиды или призмы. 1) Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника. 2) Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60◦.Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объём пирамиды. (Объем пирамиды вычисляется по формуле 𝑉 = 13 𝑆осн ∙ 𝐻, где 𝐻 − высота пирамиды или i расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания). Ответ. 48√3, 192√3, 128√3, 128√3. 3) Основание пирамиды — ромб с острым углом в 30◦. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60◦. Найдите объём пирамиды, если радиус 8√3 вписанного в ромб круга равен 𝑟. Ответ. 𝑟3 3 4) В четырёхугольной пирамиде OABCD плоскости боковых граней OAB, OBC, OCD, OAD образуют с плоскостью основания углы, равные 60◦, 90◦, 45◦, 90◦ соответственно. Основание ABCD—равнобедренная трапеция, ребро AB равно 2, площадь основания равна 2. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ. 6√2−√6+4. Многогранные углы.ii 5) Сколько существует различных пирамид, все рёбра которых равны 1? (Ответ. 3) 6) В каких пределах может изменяться плоский угол трёхгранного угла, если два других плоских угла соответственно равны: а) 70◦ и 100◦; б) 130◦ и 150◦? (Ответ. а) 30◦ <𝛼<170◦; б) 20◦ < 𝛼 <80◦) 7) В пространстве взяты точки A, B, C и D, для которых AD=BD=CD, ∠ ADB=90◦, ∠ ADC=50◦, ∠ BDC=140◦. Найдите углы треугольника ABC. (Ответ. 25◦, 45◦, 110◦) 8) Докажите, что каждый плоский угол выпуклого четырёхгранного угла меньше суммы трёх остальных. 9) Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180◦ и меньше 540◦. 10) Первая теорема косинусов для трёхгранного угла. 11) Вторая теорема косинусов для трёхгранного угла. 12) Найдите двугранные углы трёхгранного угла, плоские углы которого равны 90◦, 90◦ и 𝛼. Ответ. 90◦, 90◦ и 𝛼. 13) Каждый двугранный угол трехгранного угла имеет величину 𝛼. Найти величины его плоских углов и допустимые значения 𝛼. (№5.25) 14) Найдите двугранные углы трёхгранного угла, плоские углы которого 𝜋 𝜋 1 равны , и arccos . (№ 5.26) 3 6 √3 15) Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит ромб ABCD со стороной a и острым углом 60◦. Ребро AA1 также равно a и образует с рёбрами AB и AD углы 45◦. Найдите объём параллелепипеда. (Объем параллелепипеда вычисляется по формуле 𝑉 = 𝑆осн ∙ 𝐻, где 𝐻 − высота пирамиды или расстояние от вершины одного основания до плоскости другого основания). i ii Калинин, Терешин. Стереометрия-10, § 9.2. И разобрать решения примеров 9.2,9.3, 9.4. Калинин, Терешин. Стереометрия -10, § 5.4, §5.5. Ответ. 1 2 𝑎3 .